1
《简明实变
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数》(哈尔滨
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
大学出版社,杨海欧编,2002.3)
实变函数诞生于上世纪初.(法)Lebesgue 创立 Lebesgue 积分.Riemann 积分的对象是连续函数;
Lebesgue 积分的对象是可测函数,其应用广泛.测度积分形成后,建立了泛函分析理论.它是现代数学的
一门重要课程,应用广泛.它在泛函分析、概率论、测度论、微分方程等方面有许多应用.
第 1 章 集合与势
1.1. 集合和集的运算 1.2. 实数点集 1.3. 集合的映射与势
1. 映射(对应)概念 2. 集合的对等 3. 集合的势 4. 可列集 5. 不可列集
在无限集中大量存在着不可列集.
例 1. 实数集 R 是不可列集.
证:只需证明闭区间 b)(a ]b ,[
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示无理数集,据 25P 例 1.19 知,
ℵ=== RQS US . 结果: 0)n ( 0 0 >ℵ<ℵ<< n .
Open 问题:是否存在介于 0ℵ 与ℵ之间的势?
实数列全体可表示为 } x ) , x x,{( nn 21 RxR ∈=∞ LL,, .
∞⊂××××××∈= R }0{}0{} x ) x x,{( in 21 L4434421 LL
n
n RRRRxR ~,, .
例 2. ℵ=∞R . 从而, ℵ===== ∞RRRR nL21 .
证:令 } 1) (0, x ) , x, , x,{( nn21 ∈= LLxA . 由映射
) ,)5.0( ,)5.0( ,)5.0(()) , x x,(( 321n 21 LLL πππϕ −−−= xtgxtgxtgx ,, 知 , ∞RA~ . 仅 需 证
ℵ=A .
若把 )1 ,0(∈x 与 A 中点 ), x x,( LL,,xx = 对应,知 )1 ,0( 对等于 A 的一个子集.故 A≤=ℵ )1 ,0( .
另一方面, Axx ∈=∀ ), x x,( n 21 LL,, ,可用十进制小数表示为:
.0 11312111 LL nxxxxx = ,
.0 22322212 LL nxxxxx = ,
.0 33332313 LL nxxxxx = ,
LLLLLLLLLLL
x, 0. 321 LL nnnnnn xxxx = ,
LLLLLLLLLLL .利用对角线法则,映射 0. : 132231122111 Lxxxxxxx →ψ 是 A 到
)1 ,0( 中的单射,从而 ℵ≤A . ∞=ℵ= RA .
p 进制小数:设 ) 3, 2, 1,k ( }, 1p , ,2 ,1 ,0{ }, 4, 3, ,2{ LLL =−∈∈ ktp . 称级数
2
LL ++++= kkp
t
p
t
p
tx 2
21
为 p 进制小数. 也记为 LL ktttx 21 .0= .
p 进制有限小数全体是可列集,p 进制小数全体的势为ℵ.
例 3. 可列集的子集全体的势为ℵ,即 ℵ=ℵ02 .
证:记可列集 ),a a ,( n 21 LL,,aA = ,构造 A 的幂集 A2 到二进制小数全体 ]1 ,0[=B 的映射 f.
A2C ∈∀ ,即 AC ⊂ ,定义 LL ntttCf 21 .0)( = , 其中 ⎩⎨
⎧
∉
∈=
C
C
tn
n
n
a ,0
a ,1
若
若
.
映射 Bf A →2: 是一一映射. ]1 ,0[22 0 =ℵ=== ℵ BA .
例 4. 用 ] ,[ baC 表示 ] ,[ ba 上一切连续函数所成之集, y y=f(x)
试证 ℵ=] ,[ baC .
证:记 +∞= 1}{] ,[ nrbaQ I .
首先,常值函数 ] ,[ baC∈ ,故 ℵ=≥ RbaC ] ,[ . o a rn b
x
其次,作映射 ∞→ RbaC ] ,[ :ϕ 为 )}({)( 1+∞→ nrfxf .
由于 )(xf 连续,若 +∞+∞ == 11 }0{)}({)( nrffϕ ,则 ) b] [a,(x 0)( ∈=xf .
故ϕ 是单射, ℵ=≤ ∞RbaC ] ,[ . 这样, ℵ=] ,[ baC .
1.4. 实直线上的开集和闭集
1. 直线上的开集和闭集
开集: x E, x, ∃∈⊂ 若RE 的邻域 ExU ⊂) ,( δ ,称 x 为 E 的一个内点. ( ( . ) )
E 的内点全体记为 0E ,称为内部.若 0EE = ,称 E 为开集. 0 E x E
x
定理 1.17. (开集性质)
(1) R ,φ 是开集;(2) 任意个开集的并集是开集;(3) 有限个开集的交集是开集.
证:(1)显然. (2) 略.
(3) 设 nGG , ,1 L 是开集.记 I
n
k
kGG
1 =
= .若 G x , ∈∀≠φG ,则 )n , 2, 1,k ( , L=∈ kGx (开).存
在 x 的邻域 )n k1 ( ,) ,( ≤≤⊂ kk GxU δ . 取 } , ,min{ n1 δδδ L= ,则 GxU ⊂) ,( δ ,x 是内点,
G 是开集.
定义 1.9. (i) E 的聚点全体 E′称为 E 的导集; EE ′\ 中的点称为 E 的孤立点; EEE ′= U 称为 E 的闭
包.
(ii) 若 EE ′= ,即 E 是无孤立点的闭集,称 E 为完全集(完备集). (书 29P 错)
(iii) 若 cE 是开集,称 E 为闭集.
(iv) −σF 型集 A: U
+∞
=
=
1
nF
n
A , nF( 是闭集); −δG 型集 B: I
+∞
=
=
1
nG
n
B , nG( 是开集).
显然,φ和 R 既是开集,又是闭集,也是完全集, −σF 型集, −δG 型集.
定理 1.18.(闭集性质)
(1) R ,φ 是闭集; (2) 任意多个闭集之交是闭集. (3) 有限个闭集之并是闭集.
定理 1.19.E 是闭集 EE ⊂′⇔ .
3
证:若 E 是闭集,则 cE 为开集,且 φ=cEE I .由聚点定义, cc ) E( ,) E( x ′⊂′∈⇒∈ cc EEx 即 ,
EE ⊂′ .
反之,设 EE ⊂′ ,则 x ,) E( x c ∃′∈⇒∈ 故cEx 的一邻域G,满足 φ=ExG I}){\( .而 cEx∈ ,
φ=∴ EG I ,即 cEGx ⊂∈ .说明 x 为 cE 之内点,, cE 为开集,E 为闭集.
例 1. 1] [0,E );1 ,0(E ,)1 ,0[ 0 =′== 则ZE U ; ZEEE UU ]1 ,0[=′= .
由于 EE ⊂′ 不成立,E 不是闭集.
例 2. 证明 E 的导集E′是闭集.
证:需要证 c) E( ′ 是开集.
x,) E( x c′∈∀ 不是 E 的聚点,存在 x 的邻域 ) ,( δxU , ) ,( δxU 中不存在异于 x 的 E 中的点,故
) ,( δxU 中的每个点均不是 E 的聚点.于是 cExU ) () ,( ′⊂δ , c) E( ′ 是开集. (书 30P 错)
2. 开集及完全集的构造
开区间 ) ,( ba 是 R 中开集 ( +∞≤<≤∞− ba ). 任意多个开区间之并是开集.另一方面,设开集
RG⊂ .
则 Gr) xr,(x 0,r G, x ⊂+−>∃∈∀ 使 . 记 }G x),( , inf{ ⊂<= ααα 且xa ,
}G ) ,( , sup{ ⊂>= βββ xxb 且 .
开区间 ) ,( ba 具有性质: Gb G,a ,) ,( ∉∉⊂Gba .称 ) ,( ba 为开集 G 的一个构成区间.于是,G 中
每一点必在 G 的一个构成区间.此外,G 的任何两个不同的构成区间必不相交.而 R 中两两不交的开区
间至多有可列个.
定理 1.21. (开集构造定理) 每个非空开集 RG⊂ 可表示为至多可列个两两不交的开区间之并:
U
In
G
nn )b ,(a
∈
= , (I 至多为可列集).
由于完全集是为无孤立点的闭集,故有如下定理.
定理 1.22. (R 中完全集的构造) 集 RE ⊂ 是完全集 cE ⇔ 是两两不交且无公共端点的开区间之并.
3. Cantor 集 0P . [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
用 0P 表示 Cantor 集, 0 23
1 23
2
3
1
3
2
9
7
9
8 1
称 00 \]1 ,0[ PG = 为 Cantor 补集.
构造过程:
第一步:将 ]1 ,0[ 三等分,挖去 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
3
2 ,
3
1
1G (称为 0G 的一阶区间),留下闭区间 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
3
1 ,0 , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ 1 ,
3
2 .
第二步:对 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
3
1 ,0 , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ 1 ,
3
2 分别三等分,挖去中间的开区间: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 2221 3
2 ,
3
1G 与 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 2222 3
8 ,
3
7G (称为 0G
的二阶区间),留下 4 个闭区间 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
9
1 ,0 , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
3
1 ,
9
2 , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
9
7 ,
3
2 , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ 1 ,
9
8 .
LLLL
第 n 步:对上一步留下的 12 −n 个闭区间施行同样过程,挖去 12 −n 个开区间: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
n3
2 ,
3
1
n , ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
nn 3
8 ,
3
7 ,
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−
n
n
n
n
3
13 ,
3
23 ,L (称为 0G 的 n 阶区间). 记 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= n
k
n
k
3
13 ,
3
23G kn , ) 2 , 2, 1,k ( 1n−= L ,
U
1n2
1
nG
−
=
=
k
knG . 得 U UU
+∞
= =
Δ+∞
=
−
==
1 n
2
1
1
n0
1n
GG
k
kn
n
G , 0G 为开集, knknG , }{ 为构成区间.称
00 \]1 ,0[ GP = 为 Cantor 集.
4
由于 ) ,1()0 ,( P
1 n
2
1
c
0
1n
∞+−∞⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
+∞
= =
−
UUU U
k
knG 是一列互不相交且无公共端点的开区间之并, 0P
是闭集、完全集.
下面讨论 0P 的势.采用三进制小数表示 ]1 ,0[ 中数.则 0G 中数可表示为:
一阶区间: )0.2 ,1.0(
3
2 ,
3
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ;
二阶区间: )0.02 ,01.0(
3
2 ,
3
1
22 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ , )0.22 ,21.0(
3
8 ,
3
7
22 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ;
三阶区间: )0.002 ,001.0(
3
2 ,
3
1
33 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ , )0.0221 ,021.0(
3
8 ,
3
7
33 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ , )0.202 ,201.0(
3
20 ,
3
19
33 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ,
)0.222 ,221.0(
3
26 ,
3
25
33 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ .
可以看出, x GGx
1
n0 ⇔=∈
+∞
=
U
n
中至少有一位数是 1,亦即: x Px 0 ⇔∈ 可表示为由 0 或 2 作为位数构
成的无穷小数 }2 ,0{a ,a .0 nn21 ∈= LLaax .
再用二进制小数表示 ]1 ,0[ 中数,其小数全体记为 B. 作映射 B→0P :ϕ 为:
Bttaax ∈→= LLLL n21n21 t .0 a .0 , 其中 0P x), 1n ( ,2 ∈≥=
n
n
at .
B P 0 到是ϕ 上的一一映射,故 ℵ=== ]1 ,0[P0 B . 1] [0, P0 ~ .
习题一. 34P
6. 证明整系数多项式全体 } )( )({ 为整系数多项式xPxPA = 是可列的.
证:记 }n , 1, ,0i ,a { i2210 LL =∈++++= ZxaxaxaaA nnn , ) 3, 2, 1, ,0 ( L=n . 则 U
+∞
=
=
0
nA
n
A .
先 考 虑 nA . 作 映 射 1n Z: +→nn Aϕ 为 ),,,,( 2102210 nnn aaaaxaxaxaa LL →++++ ,
1n Z +到是 nn Aϕ 上的一一映射, 01nZ ℵ== +nA . 再由 23P Th1.13 知, 0ℵ=A .
17. 设 )(xf 是定义于 1R 上只取整数值的函数.试证它的连续点集为开集,不连续点集为闭集.
证:用 C 表示连续点集. 00 x f(x) , x 在C∈∀ 处连续, f(x)
对于 ) ,U(x x 0, ,05.0 0 δδε ∈>∃>= 当 时,
5.0)()(5.0)( 00 +<<− xfxfxf .
而 )( ),( 0 xfxf 都是整数,故 )()( 0xfxf = . 0 0x
x
这样, )(xf 在每个 ) ,U(xx 0 δ∈ 处连续, 00 xC,) ,U(x ⊂δ 为 C 之内点.C 为开集.
不连续点集 cCD = 为闭集.
21. 设点集列 +∞1}{ nE 是有限区间 ] ,[ ba 中的渐缩序列,且每个 nE 均为非空闭集,试证 I
+∞
=1
nE
n
非空.
5
证: φ≠nE ,可取 nn Ex ∈ .得有界数列 ] ,[}{ baxn ⊂ .它有收敛子列 0xx kn → , ) k ( +∞→ .
ll ≥∈∀ kn N, 当 时,有 ln EE k ⊂∈knx . 而 lE 为闭集, lnk Ex k ∈=∴ +∞→lim x0 . 从而,
I
+∞
=
∈
1
0 E
l
lx .
5
第 2 章 Lebesgue 测 度
2.1. 引 言
先研究 Riemann 积分.
有界函数 )(xfy = 定义于 ] ,[ ba .划分 ] ,[ ba : bxxxa n =<<<= L10 , 记 1i x −−=Δ ii xx ,
}x{ max in 1 Δ= ≤≤ iλ , 取点 ] x,[ i1−∈ ii xξ , )n , 2, 1,i ( L= . f(x)
作积分和 ∑
=
Δ=
n
i
iin xfS
1
)(ξ .
取极限: n
b
a
SdxxfR
0
lim)()( →=∫ λ .
Riemann 积分的基本思想就是用小矩行代替小曲边
梯形.∫ba dxxf )( 表示整个曲边梯形的面积之和. 0 0xa = 1x 1−ix ix 1−nx bxn =
x
记 } x)(inf{} x)(sup{ 1i1i iii xxxfxxxf ≤≤−≤≤= −−ω
(振幅),则 )(xf 在 ] ,[ ba 上 R 可积 0 lim
n
1
i0
=Δ⇔ ∑
=→ i
ixωλ .
微积分于十八世纪由 Newton—Leibniz 开创,后经 Cauchy、Riemann 等人的改进,十九世纪后期已经
成熟.
R 积分的两大局限:
(1) R 积分基本上只适用于连续函数.
Dirichlet 函数 ⎩⎨
⎧
∈
∈=
S1] [0, x,0
Q1] [0, x,1
)( I
I
xD . 1)(0)(
1
0
1
0
=<= ∫∫
-
dxxDdxxD , 非 R 可积.
(2) R 积分中极限交换及累次积分交换的条件太强(大多
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
一致收敛、绝对收敛等条件).
新积分应运而生,(法)Lebesgue 积分诞生于 20 世纪初.它克服了两大局限.L 积分对象是可测函数.应
用广泛.测度积分形成后,建立了泛函分析理论.
数硬币试验.改分割定义域为值域.
y
yn=d
yi
iξ
yi-1
y0=c
0 a b x
iE
现设 df(x)c ] ,[ <≤∈ 时,bax .划分 ] ,[ dc : dyyyc n =<<<= L10 , 记 ,y 1i−−=Δ ii yy
}y{ max in 1 Δ= ≤≤ iμ , 取点 ]y ,[ i1−∈ ii yξ , )n , 2, 1,i ( L= . 作积分和 ∑= ⋅=
n
i
iin mET
1
ξ .
取极限: ∫∑ Δ
=→
=⋅
b] [a,
1 0
dm f (L) lim
n
i
ii mEξμ .
6
其中 imE 为可测集 iE 的长度(测度)
, )( 1 iii yfyEE <≤= − ))( { 1 ii yxfyEx <≤∈= − , ] ,[ baE = .
可测集 iE 可能不规则.例如, SDE I]1 ,0[)3.00( =<≤ ; QDE I]1 ,0[) 1.18.0( =<≤ ,( )(xD 是 Dirichlet
函数).
要定义 L 积分,应先定义测度 imE .它是区间长度概念的推广.应当满足:
(1) 非负性: 0m ,0 =≥ φimE .(2) jijiji EEEEEE \ , , UI 是可测集.
(3) 可列可加性:若 +∞1}{ iE 是一列互不相交的可测集,则 U
+∞
=1
iE
i
也是可测集,且 ∑+∞
=
+∞
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1
i
1
i mEE
ii
m U .
2.2. 有界集的测度,可测集
本节讨论有界点集的内、外测度.
定义 2.1. (开集、闭集的测度)
(1) abb) m(a, ;0 −==φm .
(2) 若非空有界开集 G 的构造为 U
Ii
iiG
) ,(
∈
= βα ,定义 G 的测度为 ∑
∈
−=
I
)(
i
iimG αβ .
(3) 定义闭集 b) (a,F⊂ 的测度为 F]\b) (a,[mF mab −−= .
结论:
(1) +∞
∀ 使开和 . 由于 U
+∞
=
⊂
1
kG
k
E (有界开),于是
ε+<≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤ ∑∑ +∞
=
+∞
=
+∞
= 1
k
*
1
k
1
k
* EmmGG
kkk
mEm U . 令 0→ε ,可得结论.
(4) 0, >∀ε 及正整数 nk ≤ ,存在闭集 kk EF ⊂ ,使 nEm k ε−> *kmF .
}{ kE 互不相交,故 }{ kF 互不相交. 由于 UU
n
kk
E
1
k
1
k EE
=
+∞
=
⊃= , 从而 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥
==
UU
n
k
n
k
mmEm
1
k
1
k * * FF
ε−>= ∑∑
==
n
1
k *
n
1
k EmmF
kk
. 令 0→ε , 得: EmEm
kk
*
1
k **
n
1
k * Em Em ≤⇒+∞<≤ ∑∑ +∞
==
.
定义 2.3. 有界集 RE ⊂ ,若 EmE **m = ,称 E 为 Lebesgue 可测集,记 E*mmE = .若 0mE = ,称 E 为零
测集.
例 2. 若 BmBAA *** )(m ,0m == U则 .
证:由外测度单调性, BmBA ** )(m ≥U .
再由次可加性, BmBmAmBA **** )(m =+≤U . 于是 BmBA ** )(m =U .
例 3. 闭区间 ] ,[ ba 是可测集.
证:取闭集 ] ,[ baF = 得: abmFbam −==] ,[ * .
另取开集 ] ,[)1 ,1( ba
n
b
n
aGn ⊃+−= ,得: ) n ( ,
2] ,[* +∞→−→+−=≤ ab
n
abmGbam n .
所以 b] ,[] ,[] ,[ * * amabbambam =−== ,可测.
同理,每个区间 I 是可测集, =mI 区间测度. 单点集是可测集, 0}{ =am .
例 4. 开集 1mG ),1 ,0( =⊂ 且G .问 )1 ,0(=G 是否成立?
解:不成立.如 1mG ).1 ,0()1 ,5.0()0.5 ,0( =⊂= UG .
2.3. 可测集的性质
本节讨论可测集的性质.
定理 2.2. 有界集 E 可测 0, >∀ε 存在有界开集 FEG ⊃⊃ (闭集),使 ε<)\( FGm .
证:“⇐”. 假设 0, >∀ε 存在开集 FEG ⊃⊃ (闭),使 ε<−= mFmGFGm )\( ,即 ε+< mFmG .
故 εε +≤+<≤≤ EmFmGEE ** * mmm ,令 0→ε , 得: EE * * mm = .
“⇒”. 假设 E 可测,则 mEEE == ** mm . 据内、外测度定义, ∃>∀ 0, ε 开 FEG ⊃⊃ (闭),
使
22mmF ,22mmG *
* εεεε −=−>+=+< mEEmEE . 故 ε<−= mFmGFGm )\( .
定理 2.3. 基本集 ) ,( baX = ,那么:
(1) E 可测 cE ⇒ 可测.
(2) 21 EE, 可测 212121 E\E ,EE E IU ,E⇒ 可测.
(3) 21 EE, 可测, 21 EE ⊂ 21mE mE≤⇒ .
(4) nEE , ,E , 21 L 可测,互不相交,则 ∑
==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ n
k
n
k
mm
1
k
1
k )(EEU .
证:(1) 设 E 可测,由 Th2.2, 0, >∀ε ∃开 FEG ⊃⊃ (闭),
9
使 2)\(
ε∀ε ∃开 iii FEG ⊃⊃ (闭),使 ) 2 1,i ( ,2)\( =< εii FGm .
记 21 GGG U= (开), 21 FFF I= (闭).则 )\()\(\ ,)( 221121 FGFGFGFEEG UU ⊂⊃⊃ 且 ,
故 ε<+≤ )\()\()\( 2211 FGmFGmFGm , 21 EE U 是可测集.
ccc EEEE )( 2121 UI = 可测; cEEEE 2121 \ I= 可测.
(3) 若 21 EE ⊂ ,根据外测度单调性有 22*1*1 EmmE mEEm =≤= .
(4) 根据内、外测度性质得: ∑∑
===
≥≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ n
k
n
k
n
k
mmm
1
k
1
k *
1
k* EEEU ; ∑∑
===
=≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ n
k
n
k
n
k
mmm
1
k
1
k
*
1
k
* EEEU .
而 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==
UU
n
k
n
k
mm
1
k
*
1
k * EE ,结论成立.
定理 2.4. 基本集 ) ,( baX = , +∞1}{ nE 为可测集列,则 IU
+∞
=
+∞
= 1 n
n
1
n E ,E
n
都是可测集,且
∑+∞
=
+∞
=
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1
n
1
n EE
nn
mm U .若 +∞1}{ nE 互不相交,则 ∑+∞
=
+∞
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1
n
1
n EE
nn
mm U .
证:先设 +∞1}{ nE 互不相交,则 ∑∑ +∞
=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤
1
n
1
n
*
1
n *
1
n EEEE
nnnn
mmmm UU , 得
∑+∞
=
+∞
=
+∞
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1
n
1
n
*
1
n * EEE
nnn
mmm UU , U+∞
=1
nE
n
可测.
若 +∞1}{ nE 为一般可测集列,令 ) 2n ( ,E\F ,
n
1
kn11 ≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=
U
k
nEEF ,则
UU LUULUU
+∞
=
+∞
=
==
1
n21
1
n FE
n
n
n
FFF ,
+∞
1n}{F 互不相交,每个 nF 可测, nn EF ⊂ ,故 ∑∑ +∞=
+∞
=
+∞
=
+∞
=
≤=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1
n
1
n
1
n
1
n mEmFFE
nnnn
mm UU .
c
nn
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∞+
=
∞+
=
UI
1
c
n
1
n EE ,可测.
例 1. 设 +∞1n}{E 是可测集列,且 U
+∞
=1
nE
n
有界,那么: I U
+∞
=
+∞
=+∞→
=
1
kn E E lim
n nk
n
, U I
+∞
=
+∞
=+∞→
=
1 n k
kE lim
n
n
n
E 都是可测
集.
例 2. 设 ) ,( ba 为基本集.
(1) (下半连续性) 若 +∞1}{ nE 是单增可测集列,则 n n
1 n
n Elim E mm ∞+→
+∞
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛U .
10
(2) (上半连续性) 若 +∞1}{ nE 是单减可测集列,则 nn
1 n
n Elim E mm +∞→
+∞
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛I .
证:(1) 若 +∞1}{ nE 单增,则 ) (E ),E \(EE 01n
1 n
n
1 n
n φ== −
+∞
=
+∞
=
UU . +∞− 11}\{ nn EE 可测,互不相交,从而
n
1
1kk
1
1nn
1 n
n mElim)E\m(E lim)E\m(EE +∞→=
−+∞→
+∞
=
−
+∞
=
===⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∑∑ n
n
knn
m U .
(2) 若 +∞1}{ nE 单减,则
+∞
1}{
c
nE 单增, 故
nncn
1 n
c
n mElimab)mEa(blimmElimE +∞→+∞→+∞→
+∞
=
−−=−−==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
nnn
m U .
而 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∞+
=
∞+
=
∞+
=
IIU
1 n
n
1 n
n
1 n
c
n EEmE mabm
c
, 所以 nn
1 n
n Elim E mm +∞→
+∞
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛I .
例 3. 设 ) ,( ba 为基本集, +∞1}{ nE 是可测集列,证明:
n
n
n
n
mEEm
+∞→+∞→
≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ lim lim , ( ) nnnn mEEm +∞→+∞→ ≥ lim lim .
证: U I
+∞
=
+∞
=+∞→
=
1 n k
kE lim
n
n
n
E ,记 I
+∞
=
=
n k
kEnF , +∞1}{ nF 单增可测, nn EF ⊂ ,据例 2 得:
n
n
nn
n
n
n
mEmFmEm
+∞→+∞→
+∞
=+∞→
≤=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ limlimFlim
1
nU .
I U
+∞
=
+∞
=+∞→
=
1
kn E E lim
n nk
n
,记 U
+∞
=
=
nk
B
kn E , +∞1}{ nB 单减可测, nn EB ⊃ ,据例 2 得:
( ) n
1
nn mE limlimBE lim +∞→+∞→
+∞
=+∞→
≥=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nnn
n
n
Bmm I .
设 ) ,( ba 是基本集,对可测集 ) ,( baE ⊂ 有 abEEmmEmE cc −==+ )( U .
对一般子集 E,有如下结论.
定理 2.5. 设 ) ,( ba 是基本集,则 ) ,( baE ⊂∀ 有 abEmEm c −=+ * * . (书 52P 错)
证: ∃>∀ 0, ε 闭 EF ⊂ ,使 EmmF *>+ε . (a)
由于 开 cc EF ⊃ ,于是 mFabmFEm cc −−=≤* . (b)
由 (a) 与(b)得 ε+−≤+ abEmEm c* * . 令 +→ 0ε 得 abEmEm c −≤+ * * . (c)
另一方面,取 ) ,( ba 中开集 cEG ⊃ ,使 cEmmG *<−ε . 但 EGba ⊂]\) ,[( ,故
EmGbamGbam * * ]\) ,[(]\) ,[( ≤= . 从 而
εε −−=−+>+ abGbammGEmEm c ]\) ,[(* * .
令 +→ 0ε 得 abEmEm c −≥+ * * . (d)
等式成立.
定理 2.6. (希腊 Caratheodory 条件)
有界集 E 是可测集 ∀⇔ 有界集 A,成立 )()( *** cEAmEAmAm II += . (1)
证:“⇐”. 设 ) ,( baE ⊂ ,取 ) ,( baA = ,(1)式成为 cEmEmab ** +=− . (2)
由 Th2.5, cEmEmab * * +=− . (3) 由(2)、(3)得 EmEm ** = ,E 为可测集.
“ ⇒ ” . 设 E 是 可 测 的 , A 是 有 界 集 . 0, >∀ε ∃ 开
)()(m * cEGmEGmmGAAG II +=≥+⊃ ε使,
11
)()(m ** cEAmEA II +≥ .(外测度单调性) 令 +→ 0ε 得
)()( *** cEAmEAmAm II +≥ . (4)
另一方面, )()( cEAEAA IUI= ,由外测度的次可加性得 )()( *** cEAmEAmAm II +≤ . (5)
根据(4)和(5),(1)成立.
说明:设 ) ,( ba 是基本集.据运算性质,可测集关于并、交、差、可列并、可列交运算封闭,都是可测集.全
体开集、闭集都是可测集.因此,一般遇到的集合都可测.但确实有大量的不可测集存在.
定理. 对于 RE ⊂ ,若 0* >Em ,则存在 EF ⊂ ,使得 F 不可测.
(利用 Lebesgue 外测度的平移不变性可构造上述 F).
2.4. 无界可测集
定义 2.4. 设 RE ⊂ ,若 )n ,(E , n nENn −=∈∀ I集 是可测集,则称 E 为可测集.测度为
nn
EmE +∞→= lim .
(以上mE必存在,可能为 ∞+ ).
例 1. Z 是无界可测集, 00lim)]n ,([mlim ==−= +∞→+∞→ nn nZmZ I .
+∞= 1}{ nrQ 也是可测集, 00}{m
1 1
=== ∑∑ +∞
=
+∞
= nn
nrmQ .
QRS \= , 是 可 测 集 ,
+∞=−=−−=−= +∞→+∞→+∞→ )02(lim)]}n ,([\n) n,m{(lim)]n ,([mlim nnQnSmS nnn II .
例 2. 设 FE、 是可测集, )]n ,([)]n ,([)n ,(F)E ( , nFnEnNn −−=−∈∀ IUIIU有 ,可测;
)]n ,([)]n ,([)n ,(F)E ( nFnEn −−=− IIIII ,可测;
)]n ,()[)]n ,([)n ,()()n ,(F)\E ( nFnEnFEn cc −−=−=− IIIIII ,可测.
所以, FEFEFE \ , , IU 都是可测集.
例 3. (可列可加性)设 +∞1}{ kA 是互不相交的可测集列,则 I
+∞
=
=
1
kA
k
E 也可测,且 ∑+∞
=
=
1 k
kmAmE .
证: +∞=−∈∀ 1 )}n ,({ , kk nANn I 是互不相交的有界可测集列,且 ])n ,([)n ,(
1
U II
+∞
=
Δ −=−=
k
kn nAnEE
是可测集,根据有界集测度的可列可加性得 ∑∑ +∞
=
+∞
=
≤−=
1 1
n)] ,([
k
k
k
kn mAnAmmE I .
令 +∞→n 得 ∑+∞
=+∞→
≤=
1
lim
k
knn
mAmEmE .
另一方面,∀正整数 N,有 ∑∑
=
+∞
=
−≥−=
N
k
k
k
kn nAmnAmmE
1 1
n)] ,([n)] ,([ II , 由于 nE ↗ E ,令
+∞→n 得 ∑
=
≥
N
k
kmAmE
1
. 从而, ∑+∞
=
≥
1 k
kmAmE . 等式成立.
补充内容:测度的平移不变性及不可测集
定义 1.设 RE ⊂ , Ry∈ .称 ExExyxEy +=∈+= } { 为 E 关于 y 的平移.
引理 1.设 RFE ⊂ , ,则 Ry ∈∀ 成立:
(1) yyy FEFE )( II −= ; (2) cyyc EE )()( = ; (3) )(** yEmEm = .
定理 1. (测度的平移不变性) 若 E 可测,则 yE 也可测,且 mEEm y =)