应用抽样技术课后习题答案

应用抽样技术答案2.7（1）抽样分布：33.674.3355.676.3371/101/102/102/102/101/101/10（2）期望为5，方差为4/3（3）抽样标准误1.155（4）抽样极限误差2.263（5）置信区间（3.407，7.933）第二章抽样技术基本概念第三章简单随机抽样3.3为调查某中学学生的每月购书支出水平，在全校名学生中，用不放回简单随机抽样的方法抽得一个的样本。对每个抽中的学生调查其上个月的购书支出金额yi（如表1所示）。(1)在95%的置信度下估计该校学生该月平均购书支出额；(2)试估计该校学生该月购书支出超出70元的人数；(3)如果要求相对误差限不超过10%，以95%的置信度估计该校学生该月购书支出超出70元的人数比例，样本量至少应为多少。表130名学生某月购书支出金额的样本数据 样本序号 支出额（元） 样本序号 支出额（元） 样本序号 支出额（元） 12345678910 85624215503983653246 11121314151617181920 207534415863951201957 21222324252627282930 4945953625451284529843.3解：(1)依据题意和表1的数据，有：因此，对该校学生某月的人均购书支出额的估计为56.07（元），由于置信度95%对应的t=1.96,所以，可以以95%的把握说该学生该月的人均购书支出额大约在56.07±1.96×5.115，即50.96--61.19元之间。，(2)易知，N=1750，n=30，的95%的置信区间为:的95%的置信区间为:(159，776)(3)N=1750，n=30，n1=8,t=1.96,p=0.267,q=1-0.267=0.733由此可计算得：计算结果说明，至少应抽取一个样本量为659的简单随机样本，才能满足95%置信度条件下相对误差不超过10%的精度要求。n=n0/[1+(n0—1)/N]=1054.64/[1+1053.64/1750]=658.2942=6593.5要调查甲乙两种疾病的发病率，从历史资料得知，甲种疾病的发病率为8％，乙种疾病的发病率为5％，求：(1)要得到相同的标准差0.05，采用简单随机抽样各需要多大的样本量？(2)要得到相同的变异系数0.05，又各需要多大的样本量？3.5解：已知P1=0.08,Q1=1-P1=0.92;P2=0.05,Q2=1–P2=0.95;V(p)=0.05*0.05，(1)由得：由得：(2)4.3解：第四章分层抽样（1），（2）按比例分配n=186，n1=57，n2=92，n3=37（3）Neyman分配n=175，n1=33，n2=99，n3=434.5，置信区间（60.63，90.95）元。4.6解已知W1=0.2，W2=0.3，W3=0.5，P1=0.1，P2=0.2，P3=0.4P=ΣhWhPh=0.28，Q=1—P=0.72n=100的简单随机抽样估计方差：V(Psrs)≈[(1—f’)/100]PQ≈0.28*0.72/100=0.002016按比例分配的分层抽样的估计方差：V(Pprop)≈ΣhWh2[(1—fh)/nh]PhQh≈n-1ΣhWhPhQh=n-1[0.2*0.1*0.9+0.3*0.2*0.8+0.5*0.4*0.6]=0.186n-1故n≈92.26≈934.8解已知W1=0.7，W2=0.3，p1=1/43，p2=2/57（1）简单随机抽样Psrs=(1+2)/100=0.03V(P)=PQ/(n-1)=0.03*0.97/99=0.0002937（2）事后分层Ppst=ΣhWhph=0.7*1/43+0.3*2/57=0.0268V(Ppst)=ΣhWh2[(1—fh)/(nh—1)]phqh=0.72*[1/42](1/43)(42/43)+0.32*[1/56](2/57)(55/57)=0.000319425.2N＝2000,n＝36,1－α＝0.95,t＝1.96,f=n/N＝0.018，0.000015359，＝0.00392置信区间为[40.93%,42.47%]。第五章比率估计与回归估计 5.3当时用第一种方法，当时用第二种 方法，当时两种方法都可使用。这是因为： ，， 若则0第五章比率估计与回归估计＜﹥05.4 解：V(YR)≈[(1—f)/n]Y2[CY2+CX2—2rCYCX]V(Ysrs)=[(1—f)/n]SY2=[(1—f)/n]CY2Y2故V(YR)/V(Ysrs)=1—[2rCX/CY—CX2/CY2]=1-[2*0.696*1.054/1.063-1.0542/1.0632]=1-0.397076=0.6029245.5 证明：由（5.6）得： 5.6 解(1)简单估计:总产量:Ysrs=(N/n)∑i=1nYi=(140/10)[1400+1120+…+480]=176400(斤)v(Ysrs)=[N2(1—f)/n]SY2=[1402(1—10/140)/10]*194911.1=354738222se(Ysrs)=18834.496^^^5.6 解(2)比率估计:R=∑i=1nYi/∑i=1nXi=12600/29.7=424.2424YR=XR=460*424.2424=195151.5(斤)v(YR)=[N2(1—f)/n]*∑i=1n(yi—RXi)2/(n--1)=[1402(1—10/140)/90]*124363.5=25149054se(Ysrs)=5014.883 面积/亩 产量/斤 3 1400 2.5 1120 4.2 1710 3.6 1500 1.8 720 5.2 1980 3.2 1310 2.4 1080 2.6 1300 1.2 480 29.7 126005.6 解(3)回归估计:回归系数b=Sxy/Sxx2=370.5965ylr=x—b(x—X)=1260—370.5965*(2.97—460/140)=1377.089Ylr=Nylr=192792.47(斤)v(Ylr)=[N2(1—f)/n]*∑i=1n[yi—y—b(xi—x)]2/(n--2)=[1402(1—10/140)/80]*89480.59=20356834se(Ylr)=4511.8555.7解： 故估计量虽然与一样都是的无偏估计，但方差不小于的方差，当时，故不优于。6.1假设对某个总体，事先给定每个单位的与规模成比例的比值Zi，如下表，试用代码法抽出一个n=3的PPS样本。第六章不等概率抽样表1总体单位规模比值6.1解：令,则可以得到下表，从1－1000中产生n=3个随机数，设为108，597，754，则第二、第六和第七个单位入样。 i Mi 累计Mi 代码 12345678 98102572516748154223 982002575085756237771000 1~9899~200201~257258~508509~575576~623627~777778~1000 Σ M0=1000 — —6.3欲估计某大型企业年度总利润，已知该企业有8个子公司，下表是各子公司上年利润Xi和当年利润Yi的数据，以Mi作为单位Xi大小的度量,对子公司进行PPS抽样，设n=3,试与简单随机抽样作精度比较。表2某企业各子公司上年与当年利润（单位：万元）对子公司进行抽样，根据教材（6.7）式：如果对子公司进行简单随机抽样，同样样本量时的简单估计方差为：显然对抽样，估计量的精度有显著的提高。抽样的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 效应是：6.4解(1)PPS的样本抽样方法可采用代码法或拉希里法.(2)若在时间长度2、8、1、7h中打入电话数量分别为8、29、5、28，则客户打入电话的总数：YHH=(35/4)[8/2+29/8+5/1+28/7]=145.46875(3)估计量的方差估计v(YHH)=[n(n—1)]-1Σi=1n(yi/zi—YHH)2=[352/(4*3)][(8/2—4.15625)2+(29/8—4.15625)2+(5/1—4.15625)2+(28/7—4.15625)2]=106.46976.5设总体N=3,zi=1/2,1/3,1/6，Yi=10,8,5,采取的n=2的πPS抽样，求πi,πij(i,j=1,2,3)。解：(1)所有可能样本为：（10，8），（10，5），（8，10），（8，5），（5，10），（5，8），其概率分别为：所以：6.6解(1)简单随机抽样简单估计Y=2+3+6+8+11+14=44S2=(N—1)-1Σi=1N(Yi—Y)2=[(2*3—22)2+(3*3—22)2+(6*3—22)2+(8*3—22)2+(11*3—22)2+(14*3—22)2]/(5*9)=322/15=21.4667总值估计的方差估计V(Ysrs)=N2[(1—f)/n]S2=36[(1—2/6)/2][322/15]=1288/5=257.66.6解(2)简单随机抽样比率估计X=1+2+4+7+9+13=36，Y=2+3+6+8+11+14=44，R=44/36=11/9，f=2/6=1/3总值估计的方差估计V(YR)≈N2[(1—f)/n]Σi=1N(Yi—RXi)2/(N—1)=36[(1—2/6)/10][(2—1*11/9)2+(3—2*11/9)2+(6—4*11/9)2+(8—7*11/9)2+(11—9*11/9)2+(14—13*11/9)2]=(12/5)*(488/81)=14.466.6解(3)PPS抽样汉森—赫维茨估计X=1+2+4+7+9+13=36，Y=2+3+6+8+11+14=44，取Zi=Xi/X,(i=1,2,…,6)总值估计的方差估计V(YHH)=(1/n)Σi=1NZi(Yi/Zi—Y)2=(1/nX)Σi=1NXi(XYi/Xi—Y)2=(1/72)[1*(36*2/1—44)2+2*(36*3/2—44)2+4*(36*6/4—44)2+7*(36*8/7—44)2+9*(36*11/9—44)2+13*(36*14/13—44)2]=24.96 7.1（略） 7.3第七章整群抽样解：不是的无偏估计，此因类似于有因为对群进行简单随机抽样，故，，从而，若取则7.2 样本 耐用时数 1 1036 1075 1125 995 1088 1065 1023 988 1002 994 2 1047 1126 1183 1058 1142 1098 945 968 1036 987 3 1046 1153 1087 984 1224 998 1032 976 1103 958 4 1153 1078 1039 1006 1214 1076 986 994 1048 1126 5 1216 1094 1096 1035 1004 1053 1004 1122 1080 1152 6 964 1136 1185 1021 1007 948 1024 975 1083 994 7 1113 1093 1005 1088 997 1034 985 997 1005 1120 8 1047 1097 1136 989 1073 1102 976 984 1004 1082 样本 耐用时数 均值 标准差 1 1036 1075 1125 995 1088 1065 1023 988 1002 994 1039.1 47.09907 2 1047 1126 1183 1058 1142 1098 945 968 1036 987 1059 78.46443 3 1046 1153 1087 984 1224 998 1032 976 1103 958 1056.1 85.65493 4 1153 1078 1039 1006 1214 1076 986 994 1048 1126 1072 73.9324 5 1216 1094 1096 1035 1004 1053 1004 1122 1080 1152 1085.6 66.5736 6 964 1136 1185 1021 1007 948 1024 975 1083 994 1033.7 77.44539 7 1113 1093 1005 1088 997 1034 985 997 1005 1120 1043.7 53.65952 8 1047 1097 1136 989 1073 1102 976 984 1004 1082 1049 57.28098y=(1/80)Σijyij=1054.78,sb2=(10/7)Σi(yi—y)2=3017.65V(y)=[(1—f)/(aM)]sb2=[(1—8/2000)/(8*10)]*3017.65=37.5697Se(y)=6.1294(1)以每盒灯泡为群实施整群抽样y=(1/80)Σijyij=1054.78,s2=(1/79)Σij(yij—y)2=4628.667V(y)=[(1—f)/(aM)]s2=[(1—80/20000)/(8*10)]*4628.667=57.6269Se(y)=7.5912(2)以从20000个灯泡中按简单随机抽样y=(1/80)Σijyij=1054.78,Sw2=(1/a)Σisi2=[1/(a(M—1))]Σij(yij—yi)2=4721.0056r=(sb2—sw2)/[sb2+(M—1)sw2]=-0.04723Deff=V(y)/V(y)=1+(M—1)r=0.66947.4对7.2题群内相关系数进行估计7.5解：由于农户是调查单位，故以村为抽样单位的抽样是整群抽样，村即是群。对于村既有生猪存栏数，也有户数，因此在村大小不等的整群抽样下，既可使用简单估计量估计生猪存栏数，也可以户数为辅助指标构造比率估计和回归估计来估计生猪存栏数。（1）简单估计量 （2）以户数为辅助变量的比率估计量＝314.452，＝98880，＝365.718，＝133750＝0.934 （3）以户数为辅助变量的回归估计量＝108000＋0.803×（100000－200×475）＝112015显然以户数为辅助变量构造回归估计量效果最好。此因各村生猪存栏数与村的规模（户数）有高度相关性，r＝0.934，故采用回归估计量精度最高。7.6 企业 已婚女职工人数/人Mi 平均理想婚龄/岁yi 1 495 24.1 2 1020 22.8 3 844 25.5 4 1518 24.6 5 635 25.8 6 394 23.7 7 2346 24.57.6(1)按简单随机抽样抽取,简单估计量估计y=(1/7)ΣiMiyi=25321.1571M=35680/35=1019.4286Y=y/M=24.8386v(y)=[(1—f)/(a(a—1)M2)]Σi(yi—y)2=[(1—7/35)/(42*1019.42862)]*1711911436=31.3768Se(y)=5.6015^7.6(2)按简单随机抽样抽取,采用比率估计量估计YR=Σiyi/ΣiMi=177248.1/7252=24.4413v(y)=[(1—f)/(a(a—1)m2)]Σi(yi—Ymi)2=[(1—7/35)/(42*1019.42862)]*4536349.45=0.0831445Se(y)=0.2883^^7.6(3)按PPS抽样抽取,抽样概率与企业女职工人数成比例YHH=Σiyi/a=24.4286v(Y)=[1/(a(a—1))]Σi(yi—y)2=(1/42)*6.3542857=0.15129se(Y)=0.38896^^^ 7.7证明分别以记整群抽样、简单随机抽样的估计量：7.8 市县编号 社会从业人员数/万人mi 第三产业从业人员数/万人ti 18 37.60 7.00 32 41.30 7.39 43 34.40 6.30 65 28.90 4.97 87 57.60 11.23pR=Σiti/Σimi=36.89/199.8=0.1846,7.8v(pR)=[(1—f)/(a(a—1)m2)]Σi(ti—pRmi)2=[(1—5/110)/(20*39.962)]*0.549388=0.00001642se(pR)=0.004052