高中数学竞赛赛题精选(带答案)

高中数学竞赛赛 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 精选一、选择题（共12题）1．定义在R上的 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的值域为［m,n］,则的值域为（）A．［m,n］B．［m-1,n-1］C．［］D．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{}满足，且为其前n项之和，则中最大的是()　　A.　　B.　　　C.　　　D.解：设等差数列的公差为d,由题意知3(+7d)=5(+12d),即d=-EMBEDEquation.3,∴=+(n-1)d=-EMBEDEquation.3(n-1)=(-n),欲使最大，只须≥0，即n≤20.故应选C.3．方程log2x=3cosx共有（）组解．A．1B．2C．3D．4解：画出函数y=log2x和y=3cosx的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C．4．已知关于x的一元二次方程的一个根比1大，另一个根比1小，则（）　　Ａ．Ｂ．或　　Ｃ．Ｄ．或解：令f(x)=，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即＜0，整理得，解之得，应选C．5．已知为锐角，EMBEDEquation.3，则y与x的函数关系为（　　）A．B．C．D．　而　，得.故应选A.6．函数的定义域为，值域为，则的最大值是（）A.B.C.D.解：如右图，要使函数在定义域上，值域为，则的最大值是.故应选C.7．设锐角(使关于x的方程x2+4xcos(+cot(=0有重根，则(的弧度数为()A．解：由方程有重根，故∵0<(<8．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N((，则b的取值范围是()A．[－解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上，(2b2≤3，(b∈[－9．不等式A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4]解：令log2x=t≥1时，10．设点O在(ABC的内部，且有+2+3=，则(ABC的面积与(AOC的面积的比为()A．2B．解：如图，设(AOC=S，则(OC1D=3S，(OB1D=(OB1C1=3S，(AOB=(OBD=1.5S．(OBC=0.5S，((ABC=3S．选C．11．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有()A．45个B．81个C．165个D．216个解：⑴等边三角形共9个；⑵等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b<a<2b．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C．12．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为()A．解：AB⊥OB，(PB⊥AB，(AB⊥面POB，(面PAB⊥面POB．OH⊥PB，(OH⊥面PAB，(OH⊥HC，OH⊥PC，又，PC⊥OC，(PC⊥面OCH．(PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．而(OCH的面积在OH=HC=当OH=又解：连线如图，由C为PA中点，故VO－PBC=而VO－PHC∶VO－PBC=记PO=OA=2VP—AOB=∴令y=∴OB=二、填空题（共10题）13.设为等差数列的前项和，若，，则公差为解：设等差数列的首项为，公差为.由题设得即解之得.14.设EMBEDEquation.DSMT4且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于.解：由题设知化简得解之得（舍去）.故等于4.15．已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为​​​​​．解：因为，所以.于是，由图象可知，，即，解得.故x的取值范围为．16．圆锥曲线的离心率是．解：原式变形为，即．所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为．故此动点轨迹为双曲线，离心率为．17．在中，已知，，，则的面积为．解：在中，由得．由正弦定理得．因为，所以角可取锐角或钝角，从而．．故．18.设命题:，命题:对任何R，都有.命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是或.解：由得．由对于任何R成立，得，即．因为命题、有且仅有一个成立，故实数的取值范围是或．19.的值是．解：=cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15°=1+=20.定义在上的函数满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为．解：令g﹙x﹚=2f﹙x﹚－x，由()<1/2得，2()-1<0，即﹙x﹚<0，g(x)在R上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2.21.圆的方程为，，在圆上取一个动点，设点满足且．则点的轨迹方程为．解：设P(x,y),=λ(λϵR)得B(k(x—1)，ky)，（λ=）。将坐标代入.=1可得k=①又点B在圆x2+y2=1上，则k2(x-1)2+k2y2=1②由①②消去k得y2=2x-122.为100条共面且不同的直线，若其中编号为的直线互相平行，编号为的直线都过定点．则这100条直线的交点个数最多为．解：100条直线任意两条的组合有C2100，其中编号为4k（kϵN*）的直线互相平行，编号为4k—1的直线都过定点A，所以这100条直线的交点个数最多为C2100—C225—C225+1=435123.过正四面体的四个顶点分别作四个相互平行的平面，若每相邻两个平面间的距离都为1，则该四面体的体积为．解：如图：将四面体补成一个正方体，E1,F1分别是A1B1,C1D1的中点，面EF1D1D和面BB1F1F是两个平行平面，它们的距离是1.设正方体的棱长为a,A1M=MN=1,则A1E1=，D1E1==a.由A1D1*A1E1=A1M1*D1E1得a=.所以，四面体的体积为V=a3—4×a3=.三、解答题（共3题）24．在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．解：∵BC=25，BD=20，BE=7，∴CE=24，CD=15．∵AC·BD=CE·AB，(AC=∵BD⊥AC，CE⊥AB，(B、E、D、C共圆，(AC(AC－15)=AB(AB－7)，(∴AB=25，AC=30．(AE=18，AD=15．∴DE=延长AH交BC于P，则AP⊥BC．∴AP·BC=AC·BD，(AP=24．连DF，则DF⊥AB，∵AE=DE，DF⊥AB．(AF=∵D、E、F、G共圆，(∠AFG=∠ADE=∠ABC，((AFG∽(ABC，∴25．在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=⑴ 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 an>an+1>4，n∈N*；⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有解：⑴点An(0，∴0<bn<∴0<n由截距式方程知，∴an=且由于tn单调减，知an单调减，即an>an+1>4成立．亦可由∴由bn递减知an递减，且an>0+2+⑵即证1－≥∴只要n足够大，就有26．对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．解：⑴当n≥4时，对集合M(m，n)={m，m+1，…，m+n－1}，当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)≤n．①取集合Tn={t|2|t或3|t，t≤n+1}，则T为M(2，n)={2，3，…，n+1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f(n)≥card(T)+1．但card(T)=[由①与②得，f(4)=4，f(5)=5．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9．现计算f(6)，取M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k，k+2，k+4(k(0(mod2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f(6)=5．而M(m，n+1)=M(m，n)∪{m+n}，故f(n+1)≤f(n)+1．③∴f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8．∴对于4≤n≤9，f(n)=[设对于n≤k，④成立，当n=k+1时，由于M(m，k+1)=M(m，k－5)∪{m+k－5，m+k－4，…，m+k}．在{m+k－5，m+k－4，…，m+k}中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M(m，k－5)中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数．于是当n≥4时，f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．故f(k+1)≤f(k－5)+f(6)－1=[比较②，知对于n=k+1，命题成立．∴对于任意n∈N*，n≥4，f(n)=[又可分段写出结果：f(n)=_1594632004.unknown_1594632005.unknown_1594632006.unknown_1594632007.unknown_1594632008.unknown_1594632009.unknown_1594632010.unknown_1594632011.unknown_1594632012.unknown_1594632013.unknown_1594632014.unknown_1594632015.unknown_1594632016.unknown_1594632017.unknown_1594632018.unknown_1594632019.unknown_1594632020.unknown_1594632021.unknown_1594632022.unknown_1594632023.unknown_1594632024.unknown_1594632025.unknown_1594632026.unknown_1594632027.unknown_1594632028.unknown_1594632029.unknown_1594632030.unknown_1594632031.unknown_1594632032.unknown_1594632033.unknown_1594632034.unknown_1594632035.unknown_1594632036.unknown_1594632037.unknown_1594632038.unknown_1594632039.unknown_1594632040.unknown_1594632041.unknown_1594632042.unknown_1594632043.unknown_1594632044.unknown_1594632045.unknown_1594632046.unknown_1594632047.unknown_1594632048.unknown_1594632049.unknown_1594632050.unknown_1594632051.unknown_1594632052.unknown_1594632053.unknown_1594632054.unknown_1594632055.unknown_1594632056.unknown_1594632057.unknown_1594632058.unknown_1594632059.unknown_1594632060.unknown_1594632061.unknown_1594632062.unknown_1594632063.unknown_1594632064.unknown_1594632065.unknown_1594632066.unknown_1594632067.unknown_1594632068.unknown_1594632069.unknown_1594632070.unknown_1594632071.unknown_1594632072.unknown_1594632073.unknown_1594632074.unknown_1594632075.unknown_1594632076.unknown_1594632077.unknown_1594632078.unknown_1594632079.unknown_1594632080.unknown_1594632081.unknown_1594632082.unknown_1594632083.unknown_1594632084.unknown_1594632085.unknown_1594632086.unknown_1594632087.unknown_1594632088.unknown_1594632089.unknown_1594632090.unknown_1594632091.unknown_1594632092.unknown_1594632093.unknown_1594632094.unknown_1594632095.unknown_1594632096.unknown_1594632097.unknown_1594632098.unknown_1594632099.unknown_1594632100.unknown_1594632101.unknown_1594632102.unknown_1594632103.unknown_1594632104.unknown_1594632105.unknown_1594632106.unknown_1594632107.unknown_1594632108.unknown_1594632109.unknown_1594632110.unknown_1594632111.unknown_1594632112.unknown_1594632113.unknown_1594632114.unknown_1594632115.unknown_1594632116.unknown_1594632117.unknown_1594632118.unknown_1594632119.unknown_1594632120.unknown_1594632121.unknown_1594632122.unknown_1594632123.unknown_1594632124.unknown_1594632125.unknown_1594632126.unknown_1594632127.unknown_1594632128.unknown_1594632129.unknown_1594632130.unknown_1594632131.unknown_1594632132.unknown_1594632133.unknown_1594632134.unknown_1594632135.unknown_1594632136.unknown_1594632137.unknown_1594632138.unknown_1594632139.unknown_1594632140.unknown_1594632141.unknown_1594632142.unknown_1594632143.unknown_1594632144.unknown_1594632145.unknown_1594632146.unknown_1594632147.unknown_1594632148.unknown_1594632149.unknown_1594632150.unknown_1594632151.unknown_1594632152.unknown_1594632153.unknown_1594632154.unknown_1594632155.unknown_1594632156.unknown_1594632157.unknown_1594632158.unknown_1594632159.unknown_1594632160.unknown_1594632161.unknown_1594632162.unknown_1594632163.unknown_1594632164.unknown_1594632165.unknown_1594632166.unknown_1594632167.unknown_1594632168.unknown_1594632169.unknown_1594632170.unknown_1594632171.unknown_1594632172.unknown_1594632173.unknown_1594632174.unknown_1594632175.unknown_1594632176.unknown_1594632177.unknown_1594632178.unknown_1594632179.unknown_1594632180.unknown_1594632181.unknown_1594632182.unknown_1594632183.unknown