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第3章 机械能定理 所谓“定理”是在牛顿定律的基础上由数学推演得出的运动规律。 牛顿定律成立，必有动能定理、机械能定理成立，为何还要形成一个定理？ §3.1 动能定理 一、功的计算 质点 m受力 ~F，dt内从A到B点，位移d~`，定义元功 dW = ~F·d~` = Fd` cosϕ = F//d` = Fd`// = Fxdx+Fydy+Fzdz 依据力学问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，择其一，简化数学计算。 从A点运动到B点，力 ~F 的做功量即总功 W = ∫ B A dW = ∫ B A ~F · d~` 惯性系S系中， ~F 指真实力；非惯性系S ′中， ~F为真实力或惯性力。 同一质点各分力作功之和＝合力做功（d~`相同） dW = ~F1 · d~` + ~F2 · d~` = ( ~F1 + ~F2) · d~` 1、重力功：设运动在竖直平面内，建立 xz平面 dW = m~g · d~` = mgdz W = ∫ B A dW = mg(zB − zA) = mgh 特点：重力功与物体初始、终止位置有关，而与其运动路径无关，三维空间曲 线运动亦如此。 2、（胡克）弹力功（变力作功） 元功 dW = ~F · d~` = −kxdx W = ∫ x x0 dW = −1 2 k(x2 − x20) = − 1 2 k(x + x0)(x − x0) 特点：仅跟初、终位置有关，与质点所走路径无关，比 如质点多次往返并不影响W。 3、万有引力：系统 “m + M”，万有引力（内力）做功。 设 m、M都处于运动状态，取随同 M平动的参考系，m相对M的位置~r ~F = −G mM r3 ~r 1 dW = −G mM r3 ~r · d~r = −G mM 2r3 d(~r · ~r) = −G mM r2 dr 从A到B点 W = ∫ B A dW = GMm ( 1 rB − 1 rA ) 特点：与路径无关，仅与初终位置有关。 A B m M ~r 注意：引力作功是在随M平动的参考系中计算的。若在其他参考系S中，m、M都 是运动的，相互间的万有引力所做的功W是否因参考系的不同而发生改变？ 不妨做一般性的讨论：设S ′系相对S系平动~v0 ~v = ~v ′ + ~v0 在S、S ′系中，力 ~F的元功分别为dW、dW ′ dW = ~F · d~` = ~F · ~vdt = ~F · (~v ′ + ~v0)dt = dW ′ + ~F · ~v0dt 若不能时刻刻保持 ~F与~v0相互垂直，则dW , dW ′，做功便与参考系有关。 4、一对内力之和＝0，一对内力作功之和＝0？如爆炸，各质点动能增加。 一对内力作功有何特点？设dt时间内 m1、m2在S系中发生位移d~r1、d~r2 dW = ~F12 · d~r1 + ~F21 · d~r2 = ~F21 · d(~r2 −~r1) = ~F21 · d~r21 (1)相对S系平动的S ′系中，做功之和相同 dW ′ = ~F21 · d~r21 ′ = ~F21 · d~r21 = dW (2)相对S系绕固定点转动的S ′系中，内力 ~F1、 ~F2为径向 力，即沿着两质点的连线，~r21表示质点2相对质点1的位 矢，其变化量d~r21沿着 ~F2 的投影为dr21 dW ′ = ~F21 · d~r21 = F21dr21 = dW 5、功率 P = dW dt = ~F · d~` dt = ~F · ~v dW = p · dt = ~F · ~v dt 6、摩擦力是否做功？ (1)物块在粗糙面上移动； (2)圆柱纯滚动； (3)有滑滚动，条件？ω太大或接触面较光滑。 2 考虑圆柱沿水平面滚动，由运动的相对性，接地点的速度为 ~vM = ~v0 + ~ω × ~R, vM = v0 − ωR 相应地摩擦力的方向？取决于相对于接触点的运动趋势！ [1] v0 > ωR 慢速旋转，整体前进速度（中心速度代表）快，摩擦力向后 [2] v0 < ωR 高速旋转，整体前进速度慢，出现“打滑”，摩擦力向前 [3] v0 = ωR 纯滚动，不受摩擦力 ⊕ Snooker击球，母球平移和旋转，兵乓球发球分上旋和下旋，反弹后仍有旋转。 二、质点动能定理（三种推导 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ） （1）在S系中，质点动量定理 ~Fdt = md~v ⇒ dW = ~F · ~vdt = m~v · d~v = d (1 2 mv2 ) （2）牛II定律 ~F = m d~v dt , ⇒ dW = ~F · d~r = md~v dt · ~vdt = m~v · d~v = d (1 2 mv2 ) （3）自然坐标系分解 切向：Fτ = maτ = mdvdt dW = ~F · d~` = Fτd` = mdvdt · d` = mvdv 质点动能 Ek = 12mv 2 ⇒ 质点动能关系  dW = dEk , 微分式W = ∆Ek , 积分式 描述了力作用产生的空间累积效果，体现了功⇔动能可相互转换，两者有共同属 性，功是一种潜在能量。运动物体产生力。 功⇔动能的实例：建筑打地桩，钉钉子，飞机与小鸟相撞 非惯性系S ′中，真实力做功dW = ~F · d~` 惯性力做功dW惯 = ~F惯 · d ~` 3 ⇒  dW惯 + dW = dEk 微分式 W惯 + W = ∆Ek 积分式 三、质点系动能定理 S中，质点mi的动能Eki = 12miv 2 i 质点系的总动能Ek = ∑ Eki 各个质点所受内力、外力产生的功⇒ dW内、dW外 对每一个质点应用质点动能定理，可推得 dW内 + dW外 = dEk 微分式 W内 + W外 = ∆Ek 积分式  质点系动能定理 在S ′系中  dW内 + dW外 + dW惯 = dEk微分式 W内 + W外 + W惯 = ∆Ek积分式 特例，刚体运动：各质点无相对运动，W内 = 0 例1，光滑定滑轮很小，轻绳端点A匀速v0向右沿直线运动，提升重物m，求绳 长 `时变力 ~F的功率 P ∼ `？ 解I：该运动过程中，距离 h不变，绳中张力＝F。 功率 P = ~F · ~v0 = Fv0 cosϕ (1) 对于m, F − mg = ma = md 2` dt2 (2) 对单个质点来说，动能定理、动量定理的微分形式与牛II相同，所以从中不会 得出新的动力学方程，此时只能考虑如何构建运动状态量之关系。 以点O为原点建极坐标系，A点匀速直线运动， ~aA = 0 ar = 0 = d2` dt2 − v 2 0 sin 2 ϕ ` (3) (1)(2)(3)联立： P = m(g + v20 sin 2 ϕ ` )v0 cosϕ = mv0(g`3 + v20h 2) √ `2 − h2 `4 解II：系统“m+绳”的功能关系 P − mg v = d dt ( 1 2 mv2) 4 运动关联 x2 = `2 − h2 x dx dt = ` d` dt ⇒ v = d` dt = x ` dx dt = xv0 ` = √ `2 − h2 ` v0 本题目要求“很小的滑轮”，若是大滑轮，上述推演过程是否可行？ 例2，顶部放置小物块，静止，受小扰动后沿光滑球面自由下滑，求速率 v ∼ θ，能否到达C点？ 分析：到C点前，水平动量px必然将减少，~N要有向左分量！可能吗？ 解：地面参考系，N不作功，物块的功能关系 mgR(1 − cos θ) = 1 2 mv2 (1) 脱离球面前物块沿圆周运动 mg cos θ − N = mv 2 R (2) mg N v θ C R 联立(1)(2)式，令N = 0，此时水平动量 px达到极大，脱离球面，由此确定脱离球 面时的 θ。 引入“稳定性”的概念：平衡态与微扰动 例3，惯性系S系中，相距为 ` 的两个质点m1、m2静止，相互间受万有引力作 用，求相距为 ` 2 时两者之间的相对速度u？ 解：m1、m2沿直线运动！原因？ 将m1、m2 组成一系统，由质点系动能定理 Fg Fg m1 m2` W内+W外 = ∆Ek = 1 2 m1v21+ 1 2 m2v22 (1) 系统不受外力, W外 = 0, W内 = Gm1m2 ( 1 `/2 − 1 ` ) (2) 相对速度： u = v1 + v2 (3) 动量定理 ~I外 = 0, m1v1 − m2v2 = 0 (4) 由(4)式得v2 = m1m2 v1，代入(3)(1): v1 = m2u m1 + m2 , v2 = m1u m1 + m2 Gm1m2 ` = 1 2 m1m22 + m2m 2 1 (m1 + m2)2 u2 = m1m2 2(m1 + m2) u2 5 例4、质量 M 的卡车运载着一质量 m 的木箱，以速度 v 沿平直路面行驶。 因故紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行了距离 L 后静止，木箱在卡车上 相对卡车滑行了距离 `。设木箱与卡车、轮胎与地面的摩擦系数分别为 µ1, µ2， 求 L和 `。 解：木箱能在卡车上滑动一段距离，因而不可将“卡车＋木箱”处理成一个质 点。但卡车自身各受力点的位移和速度一致，木箱各点亦如此。在计算功和动能 时，各自均可质点化。 （1）用质点动能定理求解 本题中摩擦力 f = f ′ = µ1mg, F = µ2(M + m)g作功，考 虑在摩擦力作用下受力质点的位移，导得功能关系 对卡车，[µ1mg−µ2(M+m)g]L = 0− 12 Mv2 (1) 对木箱， − µ1mg(L + `) = 0 − 12mv 2 (2) L = Mv2 2g [ µ2(M + m) − µ1m] , ` = v 2 2µ1g − L （2）用质点系动能定理求解 将卡车与木箱组成一质点系。外力有 Mg,mg,N, F，内力有 f , f ′。 外力作功 −µ2(M + m)gL，内力作功与参考系无关，W内 = −µ1mg` −µ1mg` − µ2(M + m)gL = −12(M + m)v 2 (3) 联立(2)(3)式可求得 L, `。 本题可表明：一对内力作功并不一定等值反号。 例5，接触面均光滑。小木块m在大木块M斜面上自由下滑，下落高度 h时M后 退速度＝？ 解：地面惯性系，“m+M ”系统 • 动量定理 • 运动关联 • 动能定理 6 §3.2 保守力与势能 一、保守力 一、保守力 保守力：做功只与初始、终止位置有关，而做功量与路径无关的力。如重力，万 有引力。 非保守力：做功与路径有关的力。如空气阻力、摩擦力 保守力的判据： 设质点沿不同路径如~`1、~`2 均从起点A点到达终点B∫ B A ~F · d~`1 − ∫ B A ~F · d~`2 = 0∮ ~F · d~` = ∫ B A ~F · d~`1 + ∫ A B ~F · d~`2 ≡ 0 ⇒ ∮ ~F · d~` ≡ 0⇔ ∇ × ~F = 0 哈密顿算子可作用于标量物理量 f，也可作用于矢量物理量 ~F，如 ∇ f = (~i ∂ ∂x + ~j ∂ ∂y + ~k ∂ ∂z ) f = ∂ f ∂x ~i + ∂ f ∂y ~j + ∂ f ∂z ~k ∇ × ~F = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z Fx Fy Fz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ( ∂Fz ∂y − ∂Fy ∂z )~i + ( ∂Fx ∂z − ∂Fz ∂x )~j + ( ∂Fy ∂x − ∂Fx ∂y )~k 区分保守力与非保守力，引申到非惯性系，在形式上惯性力  保守性非保守性 二、势能 设质点仅受保守力，保守力做功量＝动能增加量。 设想空间分布着一种由位置确定的做功能力，称为势能。它通过保守力做功显露 出来。 按守恒理念认为：保守力做功量＝动能增量＝势能减少量。 质点发生微小位移 d~`，相应地势能减少量即势能差为 −dEp(~r) = dW = ~F · d~` 两空间点的势能差 Ep(~rB) − Ep(~rA) = − ∫ B A ~F · d~` = ∫ A B ~F · d~` 势能的零点，可任意选取，若规定Ep(~rA) = 0，则 Ep(~rB) = ∫ A B ~F · d~` 习惯上若存在 ~F = 0的点，常规定其为势能零点。 7 • 弹性势能：弹性力 F = −kx, F ∣∣∣∣ x=0 = 0，对应于一个点 Ep(x) = ∫ 0 x (−kx)dx = 1 2 kx2 • 引力势能，|~r| → ∞，对应于无穷大球面，不再是个点， ~F(r)→ 0 Ep(~r) = ∫ ∞ ~r ( −G mM r3 ~r ) · d~r = −G mM r 与方向无关 球面上势能： Ep(r) = Ep(~r) = −G mMr • 重力势能：不存在 ~F = 0的点，视方便选定某一水平面oxy势能为零 Ep(z) = ∫ 0 z (−mg)dz = mgz 有心力：方向始终指向或背向固定中心的力，力的延长线相交于或总通过同一 点。设坐标原点为该中心点或交点，则 ~F = f (~r)~er = f (r, θ)~er 假如 f (~r) = f (r)，则有 ~F = f (r)~er∫ B A ~F · d~r = ∫ B A f (r)~er · (dr~er + rdθ~eθ) = ∫ B A f (r)dr 三、动能为运动物体所拥有，而势能归谁所有？ 势能通过做功表现出来，定其为施力物体或受力物体所有，均有不妥。 作用力、反作用力总是成对出现，两者都做功。一对保守性内力作功之和，取 决于施力物体与受力物体的相对位置的改变，在不同参考系中都相等。 启示：势能是两个物体构成的系统所有。但仍遇麻烦：彼此各占有多少，势能 按什么机制和法则来分配？ 科学认识：为场物质所有。势能是场能的组成部分，如重力势能，分布在重物 与地面之间的场物质所有。 经典力学简单地处理为：势能为系统所有，甚至简便地归属为某一物体。 势能函数：某物体的势能空间分布 Ep = Ep(x, y, z) = Ep(~r) ~F ⇒ Ep, Ep(~r) = ∫ (0) (~r) ~F · d~` = ∫ (0) (~r) Fxdx + Fydy + Fzdz Ep ⇒ ~F, ~F = −∂Ep ∂x ~i − ∂Ep ∂y ~j − ∂Ep ∂z ~k = −∇Ep 8 特例，对于一维运动 dEp = −F(x)dx, F(x) = −dEpdx 势能曲线：一维势能分布函数 Ep ∼ x 对应的曲线 例，粗糙水平面，劲度系数k的橡皮绳原长a，用力拉物块m，在位置b处由静 止释放m，求m撞墙速度 v？ 解：弹性力是保守力，其弹性势能 Ep(x) = ∫ a x [−k(x − a)]dx = 1 2 k(x − a)2 功能关系 1 2 mv2 − 0 = Ep(b) − µmg · b 9