第一章 流体力学基础
1.3 流体流动的基本方程
1.3.4 总能量衡算和机械能衡算方程
运动的流体除了遵循质量守恒定律、动量定理以外，还应满足能量守恒定律，依此，可
以得到十分重要的机械能衡算方程。
一．总能量衡算方程
如图1-23所示为一流动系统或流动系统的一部分。现选取其所占据的空间作为控制体，控
制面由壁面和两个与流体流动方向相垂直的流通截面1-1面、2-2面所组成。
对该控制体中的流体作总能量衡算，得：
(1-92)
运动着的流体涉及多种能量形式，分别有：
(1-93)
通过控制面1-1流入控制体的总能量速率为 ，通过控制面2-2流出控制体的总能
量速率为 。
2．热 当控制体内有加热装置、冷却装置或内热源（由电或化学反应等原因引起）时，流体
通过时便会吸热或放热。单位时间吸收或放出的热量（称为传热速率）用Q表示，J/s，这里
规定，吸热时Q为正，放热时Q为负。
3．功 单位时间内外界与控制体内流体所交换的功，称为功率，它包括有效轴功率和表面力
所作的功率。
（1）有效轴功率 记作We，是指流体通过输送机械轴的传递而与外界交换的功率，例如
泵、风机在输送流体时对流体所加的功率；流体对水轮机、气轮机所作的功率等。这里规
定，外界提供给流体轴功时，We为正，流体传递给外界轴功时，We为负。
1．内能、动能、位能
内能是贮存在流体内部的能量，
它取决于流体温度，压力的影响一般
可忽略；动能是指流体因宏观运动而
具有的能量；位能是指流体因处在重
力场中而具有的能量。内能、动能和
位能是流体本身所具有的能量。
单位质量流体的内能、动能、位能分
别用U 、v2/2、gz表示，三者之和记
为E，称为总能量，单位J/kg，即
（2）表面力对流体所作功率 是指外界通过控制面对控制体内流体所做的功率，可表示
为 （功率=力′速度）。
由式1-65可知，
式中 通常称为流动功率。由于在管侧壁没有流体进出，故此积分仅在流通截面
1-1、2-2上有值，即
式中q1、q2分别为控制面1-1、面2-2的外法线方向与流动速度间的夹角。当流体流入控
制体时，q1=180°，此时流动功率为正，表示外界对抗控制面上的压力将流体压入控制体而
对流体作功；当流体流出控制体时，q2=0°，此时流动功率为负，表示流体对抗控制面上的
压力将流体压出控制体而对外作功。于是
为偏应力所作功率。偏应力为粘性摩擦力，偏应力作功过程就是将流体的能
量转化为热能的过程，该热量或被流体吸收或传递给环境。被流体吸收的那部分热，变为流
体的内能贮存在流体内部，设其大小为F，称为粘性耗散。而传给环境的那部分热量对于流体
来讲是某种能量损失，因此，称其为摩擦损失，用符号-Wf来表示，负号表示能量输出控制
体。于是
所以，对如图1-23所示的控制体而言，表面力对流体所作功率
由以上分析可见：
代入式1-92得：
(1-94)
或写成：
(1-95)
此式即为总能量衡算式，适用于可压缩和不可压缩流体在任何管路流动情况，如稳定、
非稳定；等温、非等温等。
二．机械能衡算方程
式1-95中所包括的能量可分为两类，一类是机械能，包括位能gz、动能v2/2、压力能
p/r，有效轴功也可以归入在内。此类能量可直接用于输送流体，且在流体流动过程中既可以
相互转变，亦可以转变为热或流体的内能。另一类包括内能、热和粘性耗散项，此类能量在
流体流动过程中不能直接转变为用于输送流体的机械能。
可以证明[9]，对不可压缩流体，若将式1-95中的内能、热和粘性耗散项等非机械能项
去掉，而只考虑机械能之间的相互转化关系，该式仍然成立，即为：
(1-96)
此式称为机械能衡算方程，适用于不可压缩流体的稳定、非稳定，等温、非等温流动。
对管道内稳定流动，/t=0，机械能衡算方程简化为：
(1-97)
上式中位能与压力能之和可以用截面中心处的值代替，即
式中z1、p1、r1，z2、p2、r2分别为截面A1、A2中心处的值。
至于动能项，可引入平均动能，其定义如下：
（1-98）
于是式1-97变为：
两边同除以m，得： （1-99）
式中we=We / m，wf= Wf / m，是以单位质量计的有效轴功和摩擦损失，单位为J/kg。
对管内层流，速度侧形见图1-21，速度分布方程为 ，且
（见
式1-86），代入式1-98中解得： 。
可见，无论层流还是湍流，平均动能正比于 ，可统一用 表示。层流
时，取a=0.5；湍流时，a"1。
对管内湍流，由于大量的流体微团
作无规则运动，使速度侧形图变得比
较平坦，如图1-24所示。研究表明管
内湍流速度分布方程近似为
，由此可得
，代入式1-98中解得
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