高中数学 精编排列组合-拔高难度讲义

排列组合知识讲解一、排列1.排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）2.排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．3.排列数公式：，，并且．4.全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．5.的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示． 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ：．二、组合1.组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合．2.组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．3.组合数公式：，，并且．组合数的两个性质：①；②．（规定）三、排列组合一些常用方法1.特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2.分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3.排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4.捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5.插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6.插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．7.分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！8.错位法：编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．四、实际问题的解题策略1.排列与组合应用题三种解决途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．注意：求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2.具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典型例题一．选择题（共2小题）1．（2018•合肥三模）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（　　）A．24B．48C．96D．120【解答】解：第一类：若A，D相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有一种涂法，共有4×3×2=24种，第二类，若A，D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有1种涂法，当B和D不同时，B，C只有一种涂法，共有4×3×2×（1+1）=48种，根据分类计数原理可得，共有24+48=72种，故选：C．　2．（2018•大荔县模拟）如图所示的五个区域中，要求在每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，现有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为（　　）A．64B．72C．84D．96【解答】解：分两种情况：（1）A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，有4×3×2=24种；（2）A、C同色，先涂A有4种，E有3种，E有2种，B、D各有2种，有4×3×2×2=48种．共有72种，故选：B．　二．解答题（共16小题）3．（2018春•金凤区校级期末）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生；（2）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；（用数字回答）【解答】解：（1）先取后排，女生1人男生4人，女生2人男生3人，共有C31C54+C32C53，再把从中选出5人担任5门不同学科的科代表有A55，故共有（C31C54+C32C53）A55=5400种，（2）先安排这一名男生，再从剩下的7人中选4人安排剩下的4门学科，共有C41A74=3360种．　4．（2018春•历下区校级期中）某学习小组有3个男生和4个女生共7人：（1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？（2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？（3）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种选派方法？（4）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①，将3个男生全排列，有A33种排法，排好后有4个空位，②，将4名女生全排列，安排到4个空位中，有A44种排法，则一共有A33A44=144种排法；（2）根据题意，分2种情况讨论：①，男生甲在最右边，有A66=720，②，男生甲不站最左边也不在最右边，有A51A51A55=3000，则有720+3000﹣3720种排法；（3）根据题意，分2步进行分析：①，在3名男生中选取2名男生，4名女生中选取2名女生，有C32C42种选取方法，②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A44种情况，则有C32C42A44=432种不同的安排方法；（4）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：①，将4名女生全排列，有A44种情况，排好后有5个空位，②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有A52种情况，则有A44A52=480种排法．　5．（2017春•林芝地区期末）4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）（Ⅰ）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（Ⅱ）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（Ⅲ）甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？【解答】解：（Ⅰ）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有A33A55=720种．（Ⅱ）男生排好后，5个空再插女生有A44A53=1440种．（Ⅲ）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最好的2个元素全排列，分步有A22A53A33=720种．　6．（2017春•金台区期末）有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生．（2）某女生一定要担任语文科代表．（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表．（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．【解答】解：（1）先取后排，有C53C32+C54C31种，后排有A55种，共有（C53C32+C54C31）A55=5400种．…．（3分）（2）除去该女生后先取后排：C74A44=840种．…..（6分）（3）先取后排，但先安排该男生：C74C41A44=3360种．…..（9分）（4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有C63种，再安排该男生有C31种，其余3人全排有A33种，共C63C31A33=360种．…（12分）　7．（2017春•平安县校级期中）五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（用数字作答）（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙两人不相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）甲在乙前，并且乙在丙前．【解答】解：（1）把甲、乙看成一个人来排有A44种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为A44⋅A22=48种，（2）排除甲乙之外的3人，形成4个空，再把甲乙插入空位有A33A42=72，（3）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：A55﹣2A44+A33=78种，（4）因为甲、乙、丙共有3！种顺序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：A55÷3！=20种，　8．（2017春•南岸区校级期中）现由某校高二年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人做中心 发言 中层任职表态发言幼儿园年会园长发言稿在政协会议上的发言在区委务虚会上的发言内部审计座谈会发言稿 ，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【解答】解：（1）根据题意，四个班共34人，要求从34人中，选其中一人为负责人，即有C341=34种选法；（2）根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有7种情况，从二班选一名组长，有8种情况，从三班选一名组长，有9种情况，从四班选一名组长，有10种情况，所以每班选一名组长，共有不同的选法N=7×8×9×10=5040（种）．（3）根据题意，分六种情况讨论，①从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；②从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法，③从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；④从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；⑤从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；⑥从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）．　9．（2017春•诸暨市校级期中）7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；（4）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；（5）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法．【解答】解：（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，故有A22A66=1440种，（2）（捆绑法），先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，故有A52A22A44=960种，（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人，故有C81C91C101=720种，（4）（分步计数法），从7人中任取3人，如a，b，c，则改变原位置站法有2种，b，c，a和c，a，b，固有C73×2=70种，（5）（定序法），先全排列，再除以顺序数，故有A77A33=840种，　10．（2017春•广东期中）用0，1，2，3，4，5，6这七个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比31560大的五位数？【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：①、个位从1，3，5选择一个，有C31种选法，②、千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有C51种选法，③、在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有A52种选法，则C31×C51×A52=300个无重复数字的四位奇数；（2）分2种情况讨论：①、个位数上的数字是0，在其余的4个数字中任选4个，安排在前4个数位，有A64种情况，则此时的五位数有A64个；②、个位数上的数字是5，首位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有C51种选法，在剩下的5个数字中选出3个，安排在中间3个数位，有C51A53种情况，则此时符合条件的五位数有C51A53个．故满足条件的五位数的个数共有A64+C51A53=660个；（3）符合要求的比31560大的五位数可分为四类：第一类：形如4□□□□，5□□□□，6□□□□，共C31A64个；第二类：形如32□□□，34□□□，35□□□，36□□□共有C41A53个；第三类：形如316□□，共有A42个；第四类：形如3156□，共有2个；由分类加法计数原理知，无重复数字且比31560大的四位数共有：C31A64+C41A53+A42+2=1334个．　11．（2017春•吉林期中）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：（1）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（2）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解答】解：（1）根据题意，分三步进行分析：第一步，从4个小球中取两个小球，有C42种方法；第二步，将取出的两个小球放入一个盒内，有C41种方法；第三步，在剩下的三个盒子中选两个放剩下的两个小球，有A32种方法；由分步计数原理，共有C42•C41•A32=144种放法．（2）根据题意，分2种情况讨论：第一类，一个盒子放3个小球，一个盒子放1个小球，两个盒子不放小球有C41•C43•C31=48种方法；第二类，有两个盒子各放2个小球，另两个盒子不放小球有C42•C42=36种方法；由分类计数原理，共有48+36=84种放法．　12．（2017秋•鄱阳县校级期中）现有10个教师其中男教师6名，女教师4名；（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？（2）现要从中选出男教师、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解答】解：（1）根据题意，要求从10人中任选2人，则不同的选取方法有C102=45种，（2）根据题意，分2步分析：①、先在6名男教师中任选2人，有C62=15种取法，②、再在4名女教师中任选2人，有C42=6种取法，则不同的选取方法有15×6=90种．　13．（2017春•集宁区校级期中）袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球．（1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？（2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？（3）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取4球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？【解答】（12分）（每小问4分）解：（1）分三类：3红1白，2红2白，1红3白这三类，由分类加法计数原理有：C43C61+C42C62+C41C63=194（种）．（2）分三类：4红，3红1白，2红2白，由分类加法计数原理共有：C44+C43C61+C42C62=115（种）．（3）由题意知，取4球的总分不低于5，只要取出的4个球中至少一个红球即可．因此共有取法：C41C63+C42C62+C43C61+C44=195（种）．　14．（2017春•玉田县期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①、甲、戊不在两端，在中间的三个位置任选2个，安排甲、戊2人，有A32=6种排法，②、将乙、丙、丁三人安排在剩下的三个位置，有A33=6种排法，则甲、戊不在两端有A32×A33=36种排法；（2）分3步进行分析：①、将甲乙看成一个整体，考虑甲乙之间的顺序，有A22=2种情况，②、将这个整体与戊2人全排列，有A22=2种顺序，排好后，有3个空位，③、在3个空位中任选2个，安排丙丁，有A32=6种情况，则共有2×2×6=24种不同的排列方法；（3）分2步进行分析：①、将5个同学分成3组，若分成1、1、3的三组，有C51C41C33A22=10种分法，若分成1、2、2的三组，有C51C42C22A22=15种分法，则一共有10+15=25种分组方法；②、将分好的三组对应三个班，有A33=6种情况，则一共有25×6=150种不同的分配方法．　15．（2017春•大丰市校级期中）现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排．（用数字作答）（1）若2位男生相邻且3位女生相邻，则共有多少种不同的排法？（2）若男女相间，则共有多少种不同的排法？（3）若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则共有多少种不同的排法？【解答】解：（1）利用捆绑法，可得共有A22A22A33=24种不同的排法；（2）利用插空法，可得共有A22A33=12种不同的排法；（3）利用间接法，可得共有A55﹣3A44+C21A33=60种不同的排法．　16．（2017春•新市区校级月考）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（结果用数字表示）（1）女生甲不在排头，女生乙不在排尾，有多少种不同的站法？（2）女生不相邻，有多少种不同的站法？（3）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？【解答】解：（1）根据题意，分2种情况讨论：①、女生甲排在队尾，女生乙有6个位置可选，剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55种情况，此时有6×A55=720种站法；②女生甲排不在队尾，女生甲有5个位置可选，女生乙不在排尾，女生乙有5个位置可选，剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55种情况，此时有5×5×A55=3000种站法；则一共有720+3000=3720（2）根据题意，分2步进行分析：①、将4名男生全排列，有A44=24种顺序，排好后包括两端，有5个空位，②、在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53=60种情况，则此时有24×60=1440种站法；（3）根据题意，将7人全排列，有A77=5040种顺序，女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，则女生甲要在女生乙的右方的排法有12×A77=2520种情况．　17．（2017春•江西月考）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数：（1）选其中5人排成一排（2）全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾（3）全体排成一排，男生互不相邻（4）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．【解答】解：（1）选其中5人排成一排，有A75=2520种方法，不同的排列方法共有2520种；（2）先安排排头与排尾，有A62=30种顺序，将剩余5名学生进行全排列，有A55=120种方法，甲不站在排头也不站在排尾的排法有30×120=3600种；（3）将4名女生进行全排列，有A44=24种顺序，排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名男生，有A53=60种情况，则男生互不相邻的排法有24×60=1440种；（4）先安排甲乙2人，有A22=2种方法，在剩余的5人中任选3人，排在甲乙2人之间，有A53=60种情况，将5人看成一个元素，与剩余的2人进行全排列，有A33=6种排法；则全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人有2×60×6=720种排法．　18．（2017秋•西陵区校级月考）4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？（1）教师必须坐在正中间；（2）教师不能坐在两端，但要坐在一起；（3）教师不能坐在两端，且不能相邻．【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①、教师先坐中间的两个位置，有A22种方法；②、将4名学生全排列，再坐其余位置，有A44种方法．则共有A22•A44=48种坐法．（2）根据题意，分2步进行分析：①、教师不能坐在两端，且要相邻，在中间的4个位置中相邻的情况有3种，在其中任选1个来安排2名教师，有C31A22种方法；②、将4名学生全排列，再坐其余位置，有A44种方法．则共有C31A22•A44=144种坐法．（3）根据题意，分2步进行分析：①、先将4名学生排成一列，有A44种方法，排好后除去2端，有3个空位可用，②、在3个空位中，任选2个，安排两名老师，有A32种方法，则共有A44A32=144种坐法．