全国初中数学竞赛初赛试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
汇编
（1998-2018）
目录
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60
73
77
85
94
103
105
1998年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题：（每小题6分，共30分）
1、已知a、b、c都是实数，并且，那么下列式子中正确的是（ ）
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
2、如果方程的两根之差是1，那么p的值为（ ）
（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ）
3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）
（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18
4、已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限
（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四
5、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有（ ）
（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个
二、填空题：（每小题6分，共30分）
6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。
9、已知方程（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。
10、B船在A船的西偏北450处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。
三、解答题：（每小题20分，共60分）
11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。
12、设抛物线的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求的值。
13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。
（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。
解 答
1．根据不等式性质，选B．．
2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由
(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，
3．如图3－271，连ED，则
又因为DE是△ABC两边中点连线，所以
故选C．
4．由条件得
三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．
当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．
y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，
的可以区间，如图3－272．
+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．
6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所
7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以
8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为
当圆环为50个时，链长为
9．因为a≠0，解得
故a可取1，3或5．
10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，
A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，
所以
11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为
∠ABE＋∠AEB=90°，
∠CED＋∠AEB=90°，
所以 ∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以
所以
解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为
∠ABE＋∠AEB＝90°，
∠FEH+∠AEB=90°，
所以 ∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为
所以
12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程
有两个相等的实根，于是
(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得
a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，
a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，
a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169
＝987a＋610，
a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610
=2584a＋1597．
又
因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即
(8a+5)(8a-13)=-1．
所以
a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．
13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是
W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)
=-800x＋17200．
W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．
由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．
(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，10-y，x＋y-10．于是
W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)
=-500x-300y+17200．
W=-500x-300y+17200，
且
W=-200x-300(x+y)+17200
≥-200×10-300×18＋17200=9800．
当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又
W=-200x-300(x＋y)＋17200
≤-200×0-300×10+17200=14200，
当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．
1999年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，
C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）
1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）．
A．11 B．12 C．13 D．14
2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）．
A．60元 B．66元 C．75元 D．78元
3．已知，那么代数式的值为（ ）．
A． B．－ C．－ D．
4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（ ）．
A．30 B．36 C．72 D．125
5．如果抛物线与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）
7．已知，那么x2 + y2的值为 ．
8．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是 （0＜x＜10）．
9．已知ab≠0，a2 + ab－2b2 = 0，那么的值为 ．
10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是 ．
11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是 ．
12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两
台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台．
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13．设实数s，t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．
14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．
15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：
．
（1）（10分）证明：可以得到22；
（2）（10分）证明：可以得到2100 + 297－2．
1999年全国初中数学竞赛答案
一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D
二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10． 11． 12．6
三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：
．
又∵st≠1，
∴，t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有
．
即st + 1 =－99s，t = 19s．
∴．
14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．
∵AB=BD，O是圆心，
∴BH⊥AD．
又∵∠ADC=90°，
∴BH∥CD．
从而△OPB∽△CPD．
，
∴CD=1．
于是AD=．
又OH=CD=，于是
AB=，
BC=．
所以，四边形ABCD的周长为．
15．证明：
（1）
．
也可以倒过来考虑：
．
（或者．）
（2）
．
或倒过来考虑：
．
注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．
2000年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题（只有一个结论正确）
1、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（ ）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，
∵a＞b＞c，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b﹤a），再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。
答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线y=平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x＝－1＋4N，y＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝a+c，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1则S与S1的大小关系一定是（ ）。
（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。
答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然，即S＞S1；②设，则，S＝10，，则S1＝×100＞10，即S＜S1；③设，则，S＝10，，则，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。
二、填空题
7、已知：，那么＝________。
答：1。∵，即。∴
。
8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等于________。
答：66＋6（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14＋2，∴。
9、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。
答：5。①当时，；②当时，易知是方程的一个整数根，再由且是整数，知，∴；由①、②得符合条件的整数有5个。
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。
答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，得及，两式相加得，由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）
11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么＝________。
答：。直线通过点D（15，5），故BD＝1。当时，直线通过，两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。
12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。
（注：×100％）
答：17％。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为×100％，依题意得：
×100％＋8％＝×100％，解得＝1.17，故这种商品原来的利润率为×100％＝17％。
三、解答题
13、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。
（1）若，求的值。
（2）求的最大值。
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以
，∴。根据题设，有。
（1）因为
，即。
由于，故。
（2）
。
设上是递减的，所以当时，取最大值10。故的最大值为10。
14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四边形ABCD的面积。
解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝。
∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。
∴，∵E是AC的中点，∴，
，∴，∴。
15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）
解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。
对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：
设电梯停在第层。
①当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。
②当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。
③当时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
④当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
⑤当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：
当x＝27，y＝6时，s＝316。
所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。
2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷
选择题（30分）
1、化简，得（ ）
（A） (B) (C) (D)
2、如果是三个任意整数，那么 （ ）
（A）都不是整数 （B）至少有两个整数 （C）至少有一个整数 （D）都是整数
3、如果是质数，且那么的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如图，若将正方形分成个全等的矩形，其中上、 1 2
下各横排两个，中间竖排若干个，则的值为（ ） ……
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
3 4
5、如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB
交于点D,且PB=4，PD=3，则ADDC等于（ ） P
（A）6 （B）7 （C）12 （D）16
D C
A B
6、若是正数，且满足，则之间的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）不能确定
填空题（30分）
7、已知：。那么
8、若则的值为
9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于
10、销售某种商品，如果单价上涨％，则售出的数量就将减少。为了使该商品的销售总金额最大，那么的值应该确定为
11、在直角坐标系中，轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标
12、已知实数满足，那么t的取值范围是
解答题（60分）
13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）
14、如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A,B两点，并交ST于点C。
求证：. P
S A
C
O T
15、已知：关于x的方程
有实根。
求取值范围；
若原方程的两个实数根为，且，求的值。
,
2002年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则的值为
A、 B、 C、2 D、3
2、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为
A、0 B、1 C、2 D、3
3、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于
A、 B、
C、 D、
4、设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值
A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0
5、设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是
A、＜a＜ B、a＞
C、a＜ D、＜a＜0
6、A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于
A、 B、
C、 D、a＋b
二、填空题（每小题5分，共30分）
7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，
则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。
8、已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则的值为 。
9、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。
10、如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OA为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，
这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。
11、满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有 ___________个。
12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。
三、解答题（每小题20分，共60分）
13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？
14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。
求证：
（2）求证：
15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。
证明：（1）2a、2b、c都是整数；
（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？
2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）
1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则的值等于 ( ).
(A) (B) (C) (D)
2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ).
(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元
3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）.
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°
4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）.
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个
5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).
(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知，那么 .
7．若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为 .
8．观察下列图形：
① ② ③ ④
根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .
（第
9
题图）9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60º CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为_______m.
10．已知二次函数（其中a是正整数）的图象经 过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 .
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.
解：
(
第
11
题图
)
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？
解：
(
第
12
题图
)
13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
(
第
13 B
题图
)
14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求的最小值.
注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。
13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求的值.
解：
(
第
13A
题图
)
14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明理由.
解：（1）
（2）
2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题
参考答案与评分
标准
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一、选择题（每小题6分，满分30分）
1．D
由 解得 代入即得.
2．D
因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.
3．C
如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，
而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
(
第
3
题图
)
(
第
4
题图
)
4．D
显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。
（1）若AB=9，当CD=x时，，；
当CD=5时，，；
当CD=1时，，.
（2）若AB=x，当CD=9时，，；
当CD=5时，，；
当CD=1时，，.
故x可取值的个数为6个.
5．B
设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知，即.
因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n=5或n=8. 当n=5时，k=18；当n=8时，k=9. 共有两种不同方案.
6．.
＝。
7．1.
因为，
所以 ，
解得 .
从而 ，.
于是 .
8．161.
根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为
1+4+3×4++=1+4+12+36+108=161（个）.
9．.
如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.
(
第
9
题图
)因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以CF=DF=m， EF=DFtan60°=（m）.
因为，所以（m）.
10.－4.
由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以
解得
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以，
，即，由于a是正整数，故，
所以≥2. 又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足
题意，故b+c的最大值为－4.
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.
解：DP=PE. 证明如下：
因为AB是⊙O的直径，BC是切线，
所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得
(
第
11
题图
) . ① ……（6分）
又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.
故 ② ……（12分）
由①，②得 ED=2EP.
所以 DP=PE. ……（15分）
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？
解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类：
（1）从A城出发到达B城，经过O城. 因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）. ……（5分）
（2）从A城出发到达B城，不经过O城. 这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小时. ……（10分）
综上，从A城到达B城所需的最短时间为48 小时，所走的路线为：
A→F→O→E→B. ……（12分）
所需的费用最少为：
80×48×1.2=4608（元）…（14分）
答：此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B，所需的费用最少为4608元 ……（15分）
(
第
12
题图
)
13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
解：（1）作DE⊥BC，垂足为E. 由勾股定理得
所以 .
因为DE∥AC，所以 .
故 . ……（10分）
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有
AD=0，CD=AC，BD=AB.
所以 ，
.
从而第（1）小题中的等式成立. ……（13分）
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.
作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则
而,
所以 . ……（15分）
〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清
者不扣分）.
14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求的最小值.
解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，
且b+c=2-a，.
于是b，c是一元二次方程的两实根，
≥0，
≥0，≥0. 所以a≥4. ……（8分）
又当a=4，b=c=-1时，满足题意.
故a，b，c中最大者的最小值为4. ……（10分）
（2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.
若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.
2）若a，b，c为或一正二负，设a>0，b<0，c<0，则
，
由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故的最小值为6. ……（15分）
13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求 的值.
解：设方程的两个根
为，，≤.由根与系数的关系得
(
第
13A
图
)， ①
. ②
由题设及①知，，都是整数. 从①，②消去k，得
，
.
由上式知，，且当k=0时，，故最大的整数根为4.
于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.
因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4. ……（6分）
连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，
。
故 ③ ……（10分）
（1）当BC=1时，由③得，，于是
，矛盾！
（2）当BC=2时，由③得，，于是
，矛盾！
（3）当BC=3时，由③得，，于是
，
由于PB不是合数，结合，故只可能
解得
此时 .
（4）当BC=4，由③得，，于是
，矛盾.
综上所述
. ……（15分）
14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明理由.
解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下：
……（5分）
（2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……（7分）
开始时，=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式>0，即ab+cd>ac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为，有
.
所以，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有≤0. …
2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题
参考答案和评分标准
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1. 已知实数，且满足，.则的值为（ ）.
（A）23 （B） （C） （D）
答：选（B）
∵ a、b是关于x的方程
的两个根，整理此方程，得
，
∵ ，
∴ ，.
故a、b均为负数. 因此
.
2. 若直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，斜边上的高为，则有 （ ）.
（A） （B） （C） （D）
答：选（C）
∵ ，，
∴ ，；
因此，结论（A）、（D）显然不正确.
设斜边为c，则有，，即有
，
因此，结论（B）也不正确.
由化简整理后，得，
因此结论（C）是正确的.
3．一条抛物线的顶点为（4，），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）.
（A）只有 （B）只有 （C）只有 （D）只有和
答：选（A）
由顶点为（4，），抛物线交x轴于两点，知a>0.
设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为，，即为方程
的两个根.
由题设，知，所以.
根据对称轴x=4，即有，知b<0.
故知结论（A）是正确的.
4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于 （ ）.
（A）6 （B）8
（C）10 （D）12
（第
4
题图）答：选（B）
由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以
，
又由题设知，所以
，
，
故，于是
，.
因此，结论（B）是正确的.
5．如果x和y是非零实数，使得
和，
那么x+y等于（ ）.
（A）3 （B） （C） （D）
答：选（D）
将代入，得.
（1）当x>0时，，方程无实根；
（2）当x<0时，，得方程
解得，正根舍去，从而.
于是.
故.
因此，结论（D）是在正确的.
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6． 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，，则 （度）.
答：°
解：设，由AB=AC知
，
（第
6
题图），
由AD=AE知，，
所以.
7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有的关系(k为常数) . 现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t表示）.
答：
解：据题意，有，
∴.
（第
7
题图）因此，B、C两个城市间每天的电话通话次数为
.
8．已知实数a、b、x、y满足，，则 .
答：
解：由，得，
∵ ，
∴ .
因而，.
9． 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD)，，BC=CD=12, ，若AE=10，则CE的长为 .
答：4或6
（第
9
题图）解：延长DA至M，使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 所以BC=BG. 又，
∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.
∴ BM=BE，，
∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.
设CE=x，则AG=，AD=，DE=.
在Rt△ADE中，，
∴ ，
即，
解之，得，.
故CE的长为4或6.
10．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是 .
答：
解：∵ ，，
∴ x、y是关于t的一元二次方程
的两实根.
∵ ，即
，.
∴ ，当时，.
故z的最大值为.
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段.
（1）当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
解：（1）当时，设抛物线的函数关系式为，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以
（第
11
（
A
）题图）解得，，，.
所以
，. …………………（5分）
（2）当时，.
所以，当时，令y=36，得，
解得x=4，（舍去）；
当时，令 y=36，得，解得
. ……………………（10分）
因为，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题. ……………………（15分）
12．已知a，b是实数，关于x，y的方程组
有整数解，求a，b满足的关系式.
解：将代入，消去a、b，得
， ………………………（5分）
.
若x+1=0，即，则上式左边为0，右边为不可能. 所以x+1≠0，于是
.
因为x、y都是整数，所以，即或0，进而y=8或0. 故
或 ………………………（10分）
当时，代入得，；
当时，代入得，.
综上所述，a、b满足关系式是，或者，a是任意实数.
………………………（15分）
13．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得，求的值.
解：连结AP，则，
所以，△APB∽△ADP， …………………………（5分）
∴，
所以，
∴， …………………………（10分）
（第
13
（
A
）题图）所以. …………………………（15分）
14．已知，，，且，求的最小值.
（第
14
（
A
）题图）解：令，由，，，判别式，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点，，因为，不妨设，则，对称轴，于是
， ………………（5分）
所以， …………………（10分）
故，
当，b=0，c=1时，等号成立.
所以，的最小值为4. ………………………（15分）
2005年全国初中数学竞赛试卷
题号
一
二
三
总分
1~5
6~10
11
12
13
14
得分
一、选择题(满分30分)
1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：⑴将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是实数)，则M的值一定是( )
A.正数 B.负数 C.零 D.整数
3.已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.设，则与A最接近的正整数是( )
A.18 B.20 C.24 D.25
5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数的函数值中整数的个数是( )
A.59 B.120 C.118 D.60
二、填空题(满分30分)
6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB的面积第一次达到最大。
7.在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B的两点。若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m=_____.
8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_________
9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们交于点P。过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的面积的比是________
10.已知x1,x2,x3,…x19都是正整数，且x1+x2+x3+…+x19=59，x12+x22+x32+…+x192的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于_________。
三、解答题、(满分60分)
11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。
12.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是弧BC和弧BD的中点。求证：(1) (2) ①△KPM∽△NQK
13. .已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0
至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q).
14.从1，2….，205个共205 个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (a,
2
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
（第
5
题图）
A
B
C
D
O
Q
P5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）
（第
7
题图）
A
B
C
D
G
F
E6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a2
答：B．
解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为
（－a，a2），由勾股定理，得，
，
所以 ．
由于，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h= a2－c2=1
故选B．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
答：B．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．
因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33) ×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．
当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58=2005（刀）．
故选B．
（第
5
题图）
A
B
C
D
O
Q
P5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答：D．
（第
5
题图）
A
B
C
D
O
Q
P解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m，
QA=r－m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．
即 (r－m)(r＋m)=m·QD ，所以 QD=．
连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，
即 ， 解得
所以，
故选D．
二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a400，
所以，12.5≤x<13.5． 故x=13，此时．
9．已知0－1．
当a>－1时， =．………………10分
又当时，由①，②得 ， ③
④
将④两边平方，结合③得
化简得 ， 故 ，
解得，或．
所以，a的取值范围为a>－1且，．………………………15分
解法二：因为，，所以
，
所以 ． 又，所以，为一元二次方程
⑤
的两个不相等实数根，故，所以a>－1．
当a>－1时， =．………………10分
另外，当时，由⑤式有 ，
即 或 ，解得，或．
当时，同理可得或．
所以，a的取值范围为a>－1且，．………………………15分
（第
13
题）
A
B
C
O
P
E
K13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．
证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，
所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是
△KPE∽△KAP，
所以 ， 即 ．
由切割线定理得
所以 ． …………………………10分
因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是
故 ，
即 PE·AC=CE·KB． ………………………………15分
14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．
解：设10个学生为，，…，，n个课外小组，，…，．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． ………………………………5分
若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加，，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组，，…，的人数之和不小于3×10=30．
另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组，，…，的人数不超过5n， 故 5n≥30， 所以n≥6． ……………………………10分
下面构造一个例子说明n=6是可以的．
，，，
，，．
容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．
所以，n的最小值为6． ……………………………15分
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2007年全国初中数学竞赛试题
参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1．方程组的解的个数为（ ）．
（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4
答：（A）．
解：若≥0，则于是，显然不可能．
若，则
于是，解得，进而求得．
所以，原方程组的解为只有1个解．
故选（A）．
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．
（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20
答：（B）．
解：用枚举法：
红球个数 白球个数 黑球个数 种 数
5 2，3，4，5 3，2，1，0 4
4 3，4，5，6 3，2，1，0 4
3 4，5，6，7 3，2，1，0 4
2 5，6，7，8 3，2，1，0 4
所以，共16种．
故选（B）．
3．已知△为锐角三角形，⊙经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E． 若⊙的半径与△的外接圆的半径相等，则⊙一定经过△的（ ）．
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
答：（B）．
解： 如图，连接BE，因为△为锐角三角形，所以，均为锐角．又因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等，且为两圆的公共弦，所以．于是，．
（第
3
题答案图）若△的外心为，则，所以，⊙一定过△的外心．
故选（B）．
4．已知三个关于x的一元二次方程
，，
恰有一个公共实数根，则的值为（ ）．
（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3
答：（D）．
解：设是它们的一个公共实数根，则
，，．
把上面三个式子相加，并整理得
．
因为，所以．
于是
．
故选（D）．
5．方程的整数解（x，y）的个数是（ ）．
（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多
答：（A）．
解：原方程可化为
，
因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．
故选(A).
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．如图，在直角三角形ABC中，，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．
答：4．
解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而
（第
6
题答案图）．
因此，这两部分面积之差的绝对值是4．
7．如图, 点A，C都在函数的图象上，点B，D都在轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．
答：（，0）．
（第
7
题答案图）解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b， 则AE＝，CF＝，所以，点A，C的坐标为
（，），（2＋b，），
所以
解得
因此，点D的坐标为（，0）．
8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数的图象与线段AB恰有一个交点，则的取值范围是 ．
答：≤，或者．
解：分两种情况：
（Ⅰ）因为二次函数的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），所以
，
得．
由，得，此时，，符合题意；
由，得，此时，，不符合题意．
（Ⅱ）令，由判别式，得．
当时，，不合题意；当时，，符合题意．
综上所述，的取值范围是≤，或者．
9．如图，，则n＝ ．
答：6．
解：如图，设AF与BG相交于点Q，则
，
于是
（第
9
题答案图）．
所以，n＝6．
10．已知对于任意正整数n，都有
，
则 ．
答：．
解：当≥2时，有
，
，
两式相减，得 ，
所以
因此
．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11（A）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点．
（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的位置关系；
（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：．
解：（1）设点P的坐标为，则
PM＝;
又因为点P到直线的距离为，
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切．
…………5分
（第
11A
题答案图）（2）如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PH∥MN∥QR，于是
，
所以 ，
因此，Rt△∽Rt△．
于是，从而．
…………15分
12（A）．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是
否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.
解：不妨设≤b，且方程的两个整数根为(≤)，则有
所以 ，
.
…………5分
因为,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以
或
（1）当时，由于a,b都是正整数，且≤b，可得
a＝1，b＝3，
此时，一元二次方程为，它的两个根为，．
（2）当时，可得
a＝1，b＝1，
此时，一元二次方程为，它无整数解.
综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为，． ……………15分
13（A）．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．
（第
13A
题答案图）证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为，则CE∥DF．
因为AB是⊙O的直径，所以
．
在Rt△和Rt△中，由射影定理得
，
．
……………5分
两式相减可得
，
又 ，
于是有 ，
即 ，
所以，也就是说，点P是线段EF的中点．
因此，MP是直角梯形的中位线，于是有，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．
……………15分
14（A）．（1）是否存在正整数m，n，使得？
（2）设(≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得
？
解：（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使得，则
，
显然，于是
，
所以，不是平方数，矛盾． ……………5分
（2）当时，若存在正整数m，n，满足，则
，
，
，
，
而，故上式不可能成立．
………………10分
当≥4时，若（t是不小于2的整数）为偶数，取
，
则 ，
，
因此这样的（m，n）满足条件．
若＋1（t是不小于2的整数）为奇数，取
，
则 ，
，
因此这样的（m，n）满足条件．
综上所述，当时，答案是否定的；当≥4时，答案是肯定的．
……………15分
注：当≥4时，构造的例子不是唯一的．
11（B）．已知抛物线：和抛物线：相交
于A，B两点. 点P在抛物线上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线上，也位于点A和点B之间.
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．
解：（1）解方程组
得
所以，点A，B的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．
于是
．
…………5分
（2）如图，当PQ∥y轴时，设点P，Q的坐标分别为
， ， ，
因此 PQ≤8，
当时等号成立，所以，PQ的长的最大值8．
（第
11B
题答案图） ……………15分
12（B）．实数a，b，c满足a≤b≤c，且，abc＝1．求最大的实数k，使得不等式
≥
恒成立．
解：当，时，实数a，b，c满足题设条件，此时≤4．
……………5分
下面证明：不等式≥对满足题设条件的实数a，b，c恒成立．
由已知条件知，a，b，c都不等于0，且．因为
，
所以≤．
由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是一元二次方程
的两个实数根，于是
≥0，
所以 ≤．
……………10分
因此
≥．
……………15分
13（B）．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若，的延长线相交于点，△的外接圆与△的外接圆的另一个交点为点，连接PA，PB，PC，PD．求证：
（1）；
（2）△∽△．
证明：（1）连接PE，PF，PG，因为，所以．
又因为，所以
△∽△，
于是有 ，
从而 △∽△，
所以 ．
（第
13B
题答案图）又已知，所以，．
………………10分
（2）由于，结合（1）知，△∽△，从而有
，
所以，因此
△∽△． ………………15分
14（B）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足
1≤．
证明：设任意△ABC的三边长为a，b，c，不妨设．若结论不成立，则必有
≥，
≥．
………………5分
记，显然，代入得
≥，
≥，
令，则
≥．
由，得，即，于是．
由得
≥，
由，得
≥≥，
此式与矛盾．从而命题得证．
………………15分
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2008年全国初中数学竞赛试题
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）
1．已知实数x，y满足：－＝3，y4＋y2＝3，则＋y4的值为 （ ）
（A）7 （B） （C） （D）5
2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有 （ ）
（A）6条 （B）8条 （C）10条 （D）12
4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 （ ）
（A）a （B）1 （C） （D）a
5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 （ ）
（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*（a*x）＝－有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是_______．
7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟．
8．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为______．
9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______．
10．关于x，y的方程x2＋y2＝208(x－y)的所有正整数解为________．
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．
12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？
13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．
14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．
简答：
选择题 ACBBD；
填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9. ； 10. x＝48， x ＝160，
y＝32； y＝32．
三．解答题：11. （1）k＝，b ＞ 2； （2）当 b＝2＋， k＝－1时，△OAB面积的最小值为7＋2； 12. 存在满足题设条件的质数p，q. 当p＝2，q＝5时，方程2x2－5x＋ 2＝0 的两根为 x1＝， x2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC的边 a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．
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2009年全国初中数学竞赛试题
参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足 ，则等于（ ）．
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．
（第
2
题）（A） （B） （C）1 （D）2
【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以，即
，
所以， ．
由，解得．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答】D．
解：当时，方程组无解．
当时，方程组的解为
由已知，得即或
由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10种情况；或共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，. 动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32
（第
4
题）
图
2
图
1
【答】B．
解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝×8×4＝16.
5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（ ）．
（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组
【答】C．
解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为
．
由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．
由 ≥，
解得 ≤．于是
0
1
4
9
16
116
109
88
53
4
显然，只有时，是完全平方数，符合要求．
当时，原方程为，此时；
当y＝－4时，原方程为，此时．
所以，原方程的整数解为
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加，得 ，
则 ．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 ．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．
由题设知，，在△FHA和△EFA中，
，
所以 Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
（第
7
题）而，所以.
8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为 ．
【答】 10．
解：因为，且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数．
又因为，所以
．
由，可得．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
【答】．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以
，
（第
9
题）即 ，
解得．所以．
（第
10
题）10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的
规则
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是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
【答】．
解：设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是．
于是报7的人心里想的数是 ，报9的人心里想的数是 ，报1的人心里想的数是 ，报3的人心里想的数是．所以
，
解得．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线与动直线有公共点，，
且.
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：（1）联立与，消去y得二次方程
①
有实数根，，则．所以
=＝． ②
………………5分
把②式代入方程①得
． ③
………………10分
t的取值应满足
≥0， ④
且使方程③有实数根，即
＝≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或≥1，解不等式⑤得 ≤≤.
所以，t的取值范围为
≤≤. ⑥
………………15分
(2) 由②式知.
由于在≤≤时是递增的，所以，当
时,. ………………20分
12．已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和．
解：由可得．，且
．
………………5分
因为是奇数，所以等价于，又因为，所以等价于．因此有，于是可得．
………………15分
又，所以．因此，满足条件的所有可能的正整数的和为
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分
13．如图，给定锐角三角形ABC，，AD，BE是它的两条高，过点作△ABC的外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是．下面给出证明． ………………5分
因为，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得 ．
（第
13A
题） ………………10分
又因为，所以有，于是可得
． ………………20分
解法2：结论是．下面给出证明．
……………… 5分
（第
13A
题）连接DE，因为，所以A，B，D，E四点共圆，故
． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以． ………………15分
所以，，于是DE∥FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数满足如下条件：；
且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设中去掉后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数，．即 ．
于是，对于任意的1≤≤n，都有
，
从而 ． ………………5分
由于 是正整数，故
． ………………10分
由于
≥，
所以，≤2008，于是n ≤45.
结合，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令，…，，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ………………20分
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”
2010年全国初中数学竞赛试题
参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若，则的值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
解： 由题设得．
代数式变形，同除b
2．若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）．
（A）a （B）a4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4
解．C
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程
的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4．
方程思想，未达定理；要解一元二次不等式
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（ ）．
（A） （B）
（第
3
题）（C） （D）
解：D
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
（第
3
题）BE=AE=，CF＝，DF＝2，
于是 EF＝4＋．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD＝．
勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法
4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，
（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解：B
由和可得
，，，，
，，，，
……
因为2010=4×502+2，所以=2．
高斯函数；找规律。
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）．
（第
5
题）（A）（2010，2） （B）（2010，）
（C）（2012，） （D）（0，2）
解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．
记，其中．
根据对称关系，依次可以求得：
，，，．
令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），
由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．
二、填空题
6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
解：0
由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．
解：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
， ①
， ② ． ③
由①②，得，所以，x=30． 故 （分）．
（第
8
题8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．
（第
8
题）
解：
如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则
解得 ,故所求直线的函数表达式为．
（第
9
题）9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 ．
解：
见题图，设．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ．
又因为 FC＝DC＝AB，所以 即 ，
解得，或（舍去）．
又Rt△∽Rt△，所以， 即=．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为 ．
解： 因为为的倍数，所以的最小值满足
，
其中表示的最小公倍数．
由于
，
因此满足的正整数的最小值为．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证：
（第
12A
题）．
（第
12B
题）
（第
11
题）
（第
12B
题）证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC， FD⊥BC，
因此D，E，F三点共线. …………（5分）
连接AE，AF，则
（第
11
题），
所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
，
从而 ，
所以 . …………（20分）
12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
（第
12
题）解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.
设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有
解得，.
于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故
，整理得，
解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．
因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以 解得 …………（10分）
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.
（第
12
题）设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.
（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.
（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（2，）. …………（20分）
13．求满足的所有素数p和正整数m.
．解：由题设得，
所以，由于p是素数，故，或. ……（5分）
（1）若，令，k是正整数，于是，
，
故，从而.
所以解得 …………（10分）
（2）若，令，k是正整数.
当时，有，
，
故，从而，或2.
由于是奇数，所以，从而.
于是
这不可能.
当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解.
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分）
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，，，…，（即1991）满足题设条件. …………（5分）
另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为
， ，
所以 .
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）
设，i=1，2，3，…，n.
由，得，
所以，，即≥11. …………（15分）
≤，
故≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为61. …………（20分）
2011年全国初中数学竞赛试题
及答案
题 号
一
二
三
总 分
1～5
6～10
11
12
13
14
得 分
评卷人
复查人
答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答；
2．解答书写时不要超过装订线；
3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设，则代数式的值为( ).
（A）-6 （B）24 （C） （D）
2．在同一直角坐标系中，函数（）与（）的图象大致是
（A） （B） （C） （D）
3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（ ）
（A）1 （B）7 （C）10 （D）15
4．若，，且满足，则的值为( ).
（A）1 （B）2 （C） （D）
5．设，则的整数部分等于( ).
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是 . 。
7．若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可
以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是 .
8．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .
9．如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点. 若，则 的值为 .
（第9题）
（第
10
题）
10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。
12.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.
13．如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.
（1）求证：∠=∠；
（2）若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式.
（第
13
题）
14如图，△ABC中，，．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积．
（第
14
题）
2011年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．A. 2 . C. 3. C. 4. C. 5. A
二、填空题
6. 7．3＜m≤4. 8．. 9．6. 10．84
三、解答题
11. 解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a
要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有
解之得 ，
12．解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得
，
两式相加得 ，
即 ，
所以 或
解得 或
又因为 所以
；或者，
故，或29.
13．解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.
设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.
设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为 ,.由
（第
13
题）得 ，
于是 ，即 .
于是
又因为，所以.
因为∠∠，所以△∽△，
故∠=∠.
（2） 设，，不妨设≥>0，由（1）可知
∠=∠，=，=，
所以 =，=.
因为∥，所以△∽△.
于是，即，
所以．
由（1）中，即，所以
于是可求得
将代入，得到点的坐标（，）.
再将点的坐标代入，求得
所以直线的函数解析式为.
根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或.
14．解：如图，作△ABQ，使得
则△ABQ∽△ACP .
由于，所以相似比为2.
于是
（第
14
题）．
.
由知，，于是．
所以 ，从而．
于是
.
故 ．
2012年全国初中数学竞赛试题
（正题）
题 号
一
二
三
总 分
1～5
6～10
11
12
13
14
得 分
评卷人
复查人
答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答；
2．解答书写时不要超过装订线；
3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）．
（第1（甲）题）
（A）2ca （B）2a2b （C）a （D）a
1（乙）．如果，那么的值为（ ）．
（A） （B） （C）2 （D）
2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．
（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）
2（乙）． 在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）．
（A）10 （B）9 （C）7 （D）5
3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）．
（A）1 （B） （C） （D）
3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为
（ ）．
（第3（乙）题）
（A） （B）4 （C） （D）4.5
4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4（乙）．如果关于x的方程 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．
（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8
5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．
（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .
（第6（甲）题）
6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为 ．
7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .
（第7（甲）题） （第7（乙）题）
7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于 ．
8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么 的值为 ．
8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .
9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .
9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 .
10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与
EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .
（第10（甲）题）
10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．
11（乙）． 如图，在平面直角坐标系xOy中， AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．
CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.
（第11（乙）题）
12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．
（第12（甲）题）
12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线， AC的中点I是△ABD的内心. 求证：
（1）OI是△IBD的外接圆的切线；
（2）AB+AD = 2BD.
（第12（乙）题）
13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.
13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由
14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.
14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．
2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案
一、选择题
1（甲）．C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
，且，
所以 ．
1（乙）．B
解：．
2（甲）．D
解：由题设知，，，所以.
解方程组得
所以另一个交点的坐标为（3，2）.
注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
2（乙）．B
解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2.
因为均为整数，所以有
解得
以上共计9对.
3（甲）．D
解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为
，
中位数为 ，
于是 .
3（乙）．B
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.
（第3（乙）题）
由于AC = BC，CD = CE，
∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，
所以△BCD≌△ACE， BD = AE.
又因为，所以.
在Rt△中，
于是DE=，所以CD = DE = 4.
4（甲）．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得
消去x得 (2y－7)n = y+4，
2n =.
因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
4（乙）．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即 . 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．
5（甲）．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．
5（乙）．C
解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．
设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则
，
解得 ，．
二、填空题
6（甲）．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.
由已知得 27x－26≤487，
81x－80＞487.
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是
7＜x≤19．
6（乙）．7
解：由已知可得
．
7（甲）．8
解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以
，
由此得，所以.
（第7（甲）题）
在Rt△ABF中，因为，所以
，
于是 .
由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ，
.
于是 ，
，
.
又，所以.
因为，所以.
7（乙）．
解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以
，
．
（第7（乙）题）
所以 .
8（甲）．
解：根据题意，关于x的方程有
=k2－4≥0，
由此得 (k－3)2≤0．
又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.
故==．
8（乙）．1610
解：因为==.
当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；
当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；
当被5除余数是0时， 不能被5整除.
所以符合题设要求的所有的个数为．
9（甲）．8
解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知
，
由此得0≤b≤43.
又 ，所以. 于是
0≤≤43，
87≤≤130，
由此得 ，或.
当时，；当时，，，不合题设.
故．
9（乙）． ≤1
解：由题设得
所以 ，
即 .
整理得
，
由二次函数的图象及其性质，得.
又因为 ≤1，所以≤1.
10（甲）．
解：如图，连接AC，BD，OD.
（第10（甲）题）
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.
依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O
的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 .
因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，
于是 . 因此
.
由△∽△，知．因为，
所以 ，BA=AD ，故
.
10（乙）. 12
解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．
（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．
（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．
（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．
因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．
三、解答题
11（甲）．解： 因为当时，恒有，所以
，
即，所以．
…………（5分）
当时，≤；当时，≤，即
≤，
且 ≤，
解得≤．
…………（10分）
设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得
．
因为，所以
，
解得，或．
因此．
…………（20分）
11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以
AB = 10．
由勾股定理，得 BO=.
（第11（乙）题）
易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6.
于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.
设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以
，
，
解得n=－4.
因此D为AB的中点，点 D的坐标为（3，－4）.
…………（10分）
因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为.
设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =.
故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为
.
…………（20分）
12（甲）． 证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．
（第12（甲）题）
…………（5分）
设与交于点，连接OM，则．又因为，所以
．
…………（15分）
又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以
△BOC∽△．
…………（20分）
12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知
（第12（乙）题）
所以 CI = CD．
同理， CI = CB.
故点C是△IBD的外心.
连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，
所以OI⊥AC，即OI⊥CI.
故OI是△IBD外接圆的切线.
…………（10分）
（2） 如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.
由，知OC⊥BD.
因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以
Rt△BCF≌Rt△AIE，
所以BF = AE.
又因为I是△ABD的内心，所以
AB+AD－BD = 2AE = BD.
故AB+AD = 2BD．
…………（20分）
13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.
因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2，
所以 (2a－m)2－4n2 = m2，
(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.
…………（5分）
因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以
2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.
解得 a，.
于是 = a－m.
…………（10分）
又a≥2012，即≥2012.
又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.
当时，，，.
因此，a的最小值为2025.
…………（20分）
13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．
（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；
…………（5分）
（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．
当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．
…………（10分）
（3）若，且≤≤．
当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．
由≤可得；由≥8可得，且．
…………（15分）
（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．
综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；
当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．
…………（20分）
14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以
≥1，≥2，…，≥2012．
于是 ≤．
…………（10分）
当时，令，则
.
…………（15分）
当时，其中≤≤，令
，则
．
综上，满足条件的所有正整数n为．
…………（20分）
14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：
和 ．
在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．
在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．
所以，≥．
…………（10分）
下面证明当时，满足题设条件．
不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．
此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．
综上，满足题设条件．
所以，的最小值为．
…………（20分）
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2013年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设非零实数a，b，c，满足则的值为（ ）
（A）— （B）0 （C） （D）1
2．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ）
（A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0 （B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0
（C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=0
3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）
（A）OD （B）OE （C）DE （D）AC
4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
（A）3 （B）4 （C）6 （D）8
5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：=，
且，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．设a=，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____________．
7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是____________．
8．已知正整数a，b，c满足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，则abc的最大值为__________．
9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为___________________________________．
A
B
C
E
D
（第
7
题
)
A
B
C
F
D
E
（第
4
题
)10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________支圆珠笔．
A
B
C
O
D
E
（第
3
题
)
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
A
D
B
C
O
y
x
E11．如图，抛物线y=ax2+bx—3，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=—x2+1与轴交于点D，求∠DBC－∠CBE．
12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度数．
13．设a，b，c是素数，记x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，当z2=y，－=2时，，，能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为的魔术数．
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．【答案】A
【解答】由已知得，故．于是，所以．
2．【答案】B
【解答】由于是关于的一元二次方程，则．因为，，且，所以，且 ，，
于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即．
（第
3
题）3．【答案】D
【解答】
（第
3
题答题）因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．
由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理数，而AC＝不一定是有理数．
（第
4
题）4．【答案】C
【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC．
（第
4
题答题）连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC，
因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．
连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF．
因为，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6．
5．【答案】C
【解答】设，则
，
于是．
二、填空题
6．【答案】
【解答】由于，故，因此．
7．【答案】
【解答】如图，连接AF，则有：
（第
7
题答题），
，
解得，．
所以，四边形AEFD的面积是．
8．【答案】
【解答】由已知，消去c，并整理得
．由a为正整数及≤66，可得1≤a≤3．
若，则，无正整数解；
若，则，无正整数解；
若，则，于是可解得，．
（i）若，则，从而可得；
（ii）若，则，从而可得．
综上知的最大值为．
9． 【答案】，（为任意实数）
【解答】由韦达定理得
由上式，可知．
若，则，，进而．
若，则，有（为任意实数）．
经检验，数组与（为任意实数）满足条件．
10．【答案】207
【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则
所以，
于是是整数．又，
所以，故y的最小值为207，此时．
三、解答题
（第
11
题）11．如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线与轴交于点D．
求∠DBC∠CBE．
【解答】将分别代入，知，D(0，1)，C(0，)，
所以B(3，0)，A(，0)．直线过点B．
（第
11
题答题）将点C(0，)的坐标代入，得．
抛物线的顶点为(1，)．于是由勾股定理得
BC＝，CE＝，BE＝．
因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，．
因此tan==．又tan∠DBO=，则∠DBO＝．
所以，．
12．设△的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的△，求所有可能的度数．
【解答】分三种情况讨论．
（i）若△为锐角三角形．
因为，
所以由，可得，于是．
（第
12
题答题（
ii
））
（第
12
题答题（
i
））
（ii）若△为钝角三角形．
当时，因为，
所以由，可得，于是。
当时，不妨假设，因为，
所以由，可得，于是．
（iii）若△为直角三角形．
当时，因为为边的中点，不可能共圆，
所以不可能等于；
当时，不妨假设，此时点B与H重合，于是总有共圆，因此可以是满足的所有角．
综上可得，所有可能取到的度数为所有锐角及．
13．设，，是素数，记，当时，，，能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
【解答】不能．
依题意，得．
因为，所以．
又由于为整数，为素数，所以或，．
当时，．进而，，，与，是素数矛盾；
当时，，所以，，不能构成三角形的三边长．
14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数．
【解答】若n≤6，取1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有中的一个正整数M是≤＜≤7的公共的魔术数，即7|()，7|()．则有7|()，但0＜≤6，矛盾．
故n≥7．
又当为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为位数（为正整数）．则（…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数，≤＜≤7，满足7|[(，即，从而7|，矛盾．
故必存在一个正整数≤≤7，使得7|(，即为m的魔术数．
所以，n的最小值为7．
2014年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为【 】
（A）2013 （B）2014 （C）2015 （D）0
【答】D．
解：最大的负整数是－1，∴=－1；
绝对值最小的有理数是0，∴=0；
倒数等于它本身的自然数是1，∴=1.
∴= =0.
2. 已知实数满足则代数式的值是 【 】
（A） （B）3 （C） （D）7
【答】A．
解：两式相减得
3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1
中的线段MN在图2中的对应线段是【 】
（A） （B） （C） （D）
【答】C．
解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合.
4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7个代数式，，，，，，中，其值为正的式子的个数为 【 】
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）4个以上
【答】C．
解：由图象可得：，，，∴，，.
抛物线与轴有两个交点，∴.当=1时，，即.
当=时，，即.从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即，∴.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.
5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在反比例函数 （x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【 】
（A） （x<0） （B）（x<0）
（C） （x<0） （D）（x<0）
【答】B．
解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么∽，则，故.
6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）6
【答】B．
解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，
∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,
∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为=2.
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
7．已知，化简得 .
【答】．
解：∵，∴，，
原式=.
8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 .
【答】．
解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所以P（摸出一个红色玻璃球）=.
9. 若，则= .
【答】8．
解：∵，∴.
则，即.∴
10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为 .
【答】．
解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，
∴AO=CO=，BO=DO=4，
∴阴影部分面积==
==.
11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1= .
【答】．
解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x，
在Rt△A1BM中，
，
∴=，∴x =A1M=，
∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=.
12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为 .
【答】20．
解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，
∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.
又∵a+b+c+d =5，∴m =20.
三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）
13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，
则有，.
易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34, ……………………………………4分
∴，，即.
∵x，y，z均为正整数，≥0，即0＜z≤14
∴z只能取14，9和4. …………………………………………………8分
①当z为14时， =2，=28. .
②当z为9时， =26，=18. .
③当z为4时， =50，=8. .
综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. ……………………………………………………………………14分
如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6.
（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；
（2）若AE=2EB.
①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；
②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）
14、解：（1）在Rt中，
…………………………………………………………5分
（2）①
∽.
………………………7分
若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的左侧，过点作于，则可设
. 解得…………………10分
若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的右侧，过点作于，则可设
解得
即满足条件的圆的半径为或6.…………………………………………13分
②6个.………………………………………………………………………………………16分
15. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA = AB =BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.
（1）连接PA、PE，求证：PA=PE；
（2）连接PC，若PC+PE=，试求AB的最大值；
（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.
解：（1）证明：如图1，连接AE.
…………………………………………………………5分
(2)∵PC+PE=，∴PC+PA=.
显然有OB=AC≤PC+PA=.……………7分
在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=，
∴≤，∴≤2.
即AB的最大值为2. …………………………10分
(3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.
分三种情况讨论：
①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形.
过N作NF⊥x轴，垂足为F，
∵A点坐标为（1，），∴ 可设N点坐标为（，），则DF=a－m，NF=，FC=4－a. ∵△OMD∽△FND∽△FCN， ∴.
解得，，即当0<<时，△MNC为钝角三角形；…14分
②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；………………15分
③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△MNC为钝角三角形.
∴当<<4时，△MNC为钝角三角形.
综上所述，当0<<或<<4时，△MNC为钝角三角形. …1
2015年全国初中数学竞赛预赛
2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
(3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则 （ ）
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）
种 种 种 种
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）
3(B）.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， （ ）
4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为 （ ）
5.如图，在四边形中，，,,对角线的交点为，则 ( )
6.设实数满足 则的最大值为 ( )
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B）】 已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,,轴，点在点的上方，且则点的坐标为 .
1(B).已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则 .
2(A).在四边形中，∥,平分,为对角线的交点，则 .
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .
3(B).若质数、满足：则的最大值为 .
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的
表格
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内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为 .
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知为正整数，求能取到的最小正整数值.
二、（本题满分25分）
(A).如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:.
(B).已知：
求的值.
三、（本题满分25分）
(A).已知正实数满足： ,且
.
求的值.
证明:.
(B).如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值.
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
(3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则 （ ）
【答案】.
【解析】 即
又 故选A.
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）
种 种 种 种
【答案】C.
【解析】设购买三种图书的数量分别为则，
即，解得 依题意得，为自然数（非负整数），
故有种可能的取值（分别为，对于每一个值，和都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C.
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）
【答案】B.
【解析】
（其中为非负整数），由得，
，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为
故选B.
3(B）.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， （ ）
【答案】B.
【解析】依题意知 故 且，
，于是
又为整数， 故，故选B.
4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为（ ）
【解析】设则
于
在中，
即解得，即 （第4题答案图）
为的中位线， 是的直径，
故选A.
5.如图，在四边形中，，,,对角线的交点为，则 ( )
（第5题答案图）
【答案】D.
【解析】过点作于点则～ 设 则
在中， 则
显然，化简整理得
解得（不符合题意，舍去），故
在中，,故选D.
6.设实数满足 则的最大值为 ( )
【答案】C.
【解析】
当且仅当时，取等号，故，故选C.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B）】 已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,,轴，点在点的上方，且则点的坐标为 .
【答案】.
【解析】如图，过点作于点.
在中，
在中， （第1题答案图）
,设，
依题意知故，于是
解得，故点的坐标为.
1(B).已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则 .
【答案】.
【解析】
（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）
依题意得, 故.
(1)若时，如答案图1所示，≌
又平分 在中，即
从而.
在中，
在中，.
(2)若时，如答案图2所示.同理可得.综上所述，.
2(A).在四边形中，∥,平分,为对角线的交点，则 .
【答案】.
【解析】设,
平分,,
∥,, (第2题答案图)
,,,
,,
解得，,
故.
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .
【答案】.
【解析】设两个三位数分别为，则，①
故是的正整数倍，不妨设（为正整数），代入①得是三位数，，解得
为正整数，的可能取值为验证可知，只有符合，此时
故所求的六位数为.
3(B).若质数、满足：则的最大值为 .
【答案】.
【解析】由得，
因为质数，故的值随着质数的增大而增大，当且仅当取得最大值时，取得最大值.
又，，因为质数，故的可能取值为
，但时，不是质数，舍去.
当时,恰为质数.故.
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为 .
【答案】
【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故
,故;
(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故
,故;
(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.
综上所述，
另一方面，如下表的例子说明可以取到10.故的最大值为
1
1
1
4
5
1
1
2
4
5
2
2
2
4
5
3
3
2
4
5
3
3
3
4
5
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知为正整数，求能取到的最小正整数值.
【解析】解：因为正整数，要使得的值为正整数，则有.
当时，只能为1，此时故能取到的最小正整数值不超过4.
当时，只能为1或2.若;若，则.
当时，只能为1或2或3.若;若;若则.
(下面考虑：的值能否为1？)
（反证法）假设，则，即，
①
因为正整数，故为奇数，从而为奇数，为偶数，
不妨设，其中均为正整数，则
即被除所得余数为3，而被4除所得余数为1，
故①式不可能成立，故.因此，能取到的最小正整数值为2.
二、（本题满分25分）
(A).如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:.
(第2(A)题答案图)
【证明】：连接、为的直径，于点
由四边形是正方形及于点可知:
点在上，
以点为圆心、为半径作与直线交于另一点,则与切于点,即是的切线，直线是的割线，故由切割线定理得
,即点与点重合，点在上，.
(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)
(B).已知：
求的值.
【解析】由已知得
由恒等式得，
又
同理可得
∴原式=
【注：恒等式】
三、（本题满分25分）
(A).已知正实数满足： ,且
.
求的值.
证明:.
【解析】（1）解：由等式，
去分母得，
，
，，
，原式=
（2）证明：由（1）得计算过程知，又为正实数,
∴.
【注：
】
(B).如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值.
（第3（B）题答案图）
【解析】如图，连接,则
点关于直线的对称点为点,
四点共圆,(同弧所对得圆周角相等)
,四点共圆，
（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）
2017年全国初中数学联赛初赛试卷
选择题（本题满分42分，每小题7分）
设实数满足，则的值为（ ）
﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
若实数为常数，关于的不等式组的整数解只有8个，则的值为（ ）
﹣1 B.0 C.1 D.2
在菱形中，为的中点，若在线段上取一点，则的最小值是（ ）
B.4 C. D.
对任意三个实数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，若，则（ ）
﹣4 B.﹣2 C.2 D.4
如图，的斜边与圆相切与点，直角顶点在圆上，若，则圆的半径是（ ）
A.3 B. C.4 D.
不超过的最大整数是（ ）
A.1142 B.1145 C.1148 D.1151
填空题（本大题满分28分，每小题7分）
若，则的值为 .
在正方形中，点分别在线段上，且，则 .
小丽与小明一起用两个骰子玩游戏，以小丽掷的骰子朝上的数字为，小明掷的骰子朝上的数字为，来确定点.那么，他们各掷一次所确定的点落在已知抛物线上的概率为 .
如图，设点在函数的图象上，轴于点，交函数的图象于点，轴于点，交函数的图象于点，则四边形的面积为 .
（本大题满分20分）
已知关于的一元二次方程与只有一个公共的实根，求关于的方程所有的实根之和.
四、（本大题满分25分）
如图，已知圆的直径与互相垂直，为的中点，的延长线交圆于，交于，求的值.
（本大题满分25分）
已知是互不相等的非零实数，
且.求的值.
2018 年初中数学联赛试题
参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试(A)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）
a2
1. 设二次函数 y x2 2ax
2
的图象的顶点为 A ，与 x 轴的交点为 B, C .当△ ABC 为等边三角
形时，其边长为 （ ）
6
2
3
2A. ． B. 2 ． C. 2 ． D. 3 ．
【答】C.
由题设知 A(a,
a 2
2 ) .设 B(x1,0) ， C(x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则
(
x
1
x
2
)
2
4
x
1
x
2BC | x1 x2 |
3a 2
.
4
a
4
2
a
2
2
2
a
2
3
2
a
22 2
又 AD
BC ，则| |
2 2 2
，解得a
6 或a
0 （舍去）.
2
a
2
3所以，△ ABC 的边长 BC 2 .
2.
2如图，在矩形 ABCD 中，BAD 的平分线交 BD 于点 E ，AB 1，CAE 15 ，则 BE （ ）
3
A. ． B.
3
【答】D.
2
． C.
2
1． D. 3 1． A D
延长 AE 交 BC 于点 F ，过点 E 作 BC 的垂线，垂足为 H .
E由已知得BAF FAD AFB HEF 45 ， BF AB 1， B H F C
EBH ACB 30 .
3
xx
设 BE x ，则 HF HE
， BH .
3
32 2
因为 BF BH HF ，所以1
3x x ，解得 x
1.所以
BE
1 .
2 2
3. 设 p, q 均为大于 3 的素数，则使 p2 5 pq 4q2 为完全平方数的素数对( p, q) 的个数为（ B）
A.1． B.2． C.3． D.4．
设 p2 5 pq 4q2 m2 （ m 为自然数），则( p 2q)2 pq m2 ，即
(m p 2q)(m p 2q) pq .
由于 p, q 为素数，且m p 2q p, m p 2q q ，所以m p 2q 1， m p 2q pq ，从而 pq 2 p 4q 1 0 ，即( p 4)(q 2) 9 ，所以( p, q) (5,11) 或(7,5) .
所以，满足条件的素数对( p, q) 的个数为 2.
4. 若实数a, b 满足a b 2，
(1 a)2
b
(1 b)2
a
4 ，则a5
b5 （ ）
A.46． B.64． C.82． D.128．
【答】C.
由条件
(1 a)2
b
(1 b)2
a
4 得a b 2a2
2b2
· 4ab a3
· b3
0 ，
即 (a b) 2[(a b)2 4ab] (a b)[(a b)2 3ab] 0 ，
又 a b 2，所以2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得ab 1.所以a2 b2 (a b)2 2ab 6 ，
a3 b3 (a b)[(a b)2 3ab] 14 ， a5 b5 (a2 b2 )(a3 b3 ) a2b2 (a b) 82 .
5. 对任意的整数 x, y ，定义 x @ y x y xy ，则使得(x @ y)@ z (y @ z)@ x (z @ x)@ y
0 的整数组(x, y, z) 的个数为 （ ）
A.1． B.2． C.3． D.4．
【答】D.
(x @ y)@ z (x y xy)@ z (x y xy) z (x y xy)z x y z xy yz zx xyz ， 由对称性，同样可得
( y @ z)@ x x y z xy yz zx xyz ， (z @ x)@ y x y z xy yz zx xyz .
所以，由已知可得
x y z xy yz zx xyz 0 ，即(x 1)( y 1)(z 1) 1.
所以， x, y, z 为整数时，只能有以下几种情况：
x 1 1,
x 1 1, x 1 1,
x 1 1,
y 1 1,
或 y 1 1, 或 y 1 1,
或 y 1 1,
z 1 1,
z 1 1,
z 1 1,
z 1 1,
所以， (x, y, z) (2,2,0) 或(2,0,2) 或(0,2,2) 或(0,0,0)，故共有 4 个符合要求的整数组.
6. 设 M
1
2018
1
2019
1
2020
1
，则
2050
1
的整数部分是 （ ）
M
A.60． B.61． C.62． D.63．
【答】B.
因为 M
1
2018
1
33 ，所以 1
M
1
2018
33
1
61 5 .
33
1 1 1
又 M (
2018
2019
2030
) (
2031
2032
)
2050
1
2030
13
1
2050
20
1345
，
83230
所 以 1
M
83230
1345
61
1185 1
，故
1345 M
的整数部分为 61.
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BC 2AB ，CE AB 于 E ，F 为 AD 的中点，若AEF则B ．
48 ，
【答】84 .
设 BC 的中点为G ，连结 FG 交CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形. 由 AB // FG // DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为CE 的中点.
A F D
又CE AB ，所以CE FG ，所以 FH 垂直平分CE ，故 E H
DFC GFC EFG AEF
48 . B C
G
所以B FGC 180 2 48 84 .
2. 若实数 x, y 满足 x3 y3 1 (x y) 15 ，则 x y 的最大值为 ．
4 2
【答】3.
由 x3 y3 1 (x y) 15 可得(x y)(x2 xy y2 ) 1 (x y) 15 ，即
4 2 4 2
(x y)(x2 xy y2 1) 15 . ①
4 2
令 x y k ，注意到 x2 xy y2 1 (x y )2 3 y2 1 0 ，故 x y k 0 .
4 2 4 4
又因为 x2 xy y2 1 (x y)2 3xy 1 ，故由①式可得k3 3xyk 1 k 15 ，所以
4 4
k 3 1 k 15
xy 4 2 .
3k
4 2
k 3 1 k 15
于是， x, y 可看作关于t 的一元二次方程t 2 kt 4 2 0 的两根，所以
3k
k3 1 k 15
(k)2 4 4 2 0 ，
3k
化简得
k 3 k 30 0 ，即(k 3)(k 2 3k 10) 0 ，所以0 k 3.
故 x y 的最大值为 3.
3. 没有重复数字且不为 5 的倍数的五位数的个数为 ．
【答】21504.
显然首位数字不能为 0，末位不能为 0 和 5.
当首位数字不为 5 时，则首位只能选 0,5 之外的 8 个数.相应地个位数只能选除 0,5 及万位数之外的 7
个数，千位上只能选万位和个位之外的 8 个数，百位上只能选剩下的 7 个数，十位上只能选剩下的 6 个数. 所以，此时满足条件的五位数的个数为8 7 8 7 6 18816 个.
当首位数字为 5 时，则个位有 8 个数可选，依次千位有 8 个数可选，百位有 7 个数可选, 十位有 6 个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为88 7 6 2688 个.
所以，满足条件的五位数的个数为18816 2688 21504 （个）.
2 2 2
a5 b5 c5
4. 已知实数a,b,c 满足a b c 0 ， a
5
b c
1，则 ．
abc
【答】 .
2
由已知条件可得ab bc ca 1 [(a b c)2 (a2 b2 c2)] 1 ，a3 b3 c3 3abc ，所以
2 2
a5 b5 c5 (a2 b2 c2 )(a3 b3 c3 ) [a2 (b3 c3 ) b2 (a3 c3 ) c2 (a3 b3 )]
3abc [a2b2 (a b) a2c2 (a c) b2c2 (b c)] 3abc (a2b2c a2c2b b2c2a)
3abc abc(ab bc ca) 3abc 1 abc 5 abc .
a5 b5 c5
所以
abc
2 2
5 .
2
第一试(B)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1. 满足(x2 x 1) x2 1的整数 x 的个数为 （ ） A.1． B.2． C.3． D.4．
【答】C.
当 x 2 0 且 x2 x 1 0 时， x 2 .
当 x2 x 1 1时， x 2 或 x 1.
当 x2 x 1 1且 x 2 为偶数时， x 0 .
所以，满足条件的整数 x 有 3 个.
2. 已知 x1, x2 , x3 (x1 x2 x3 ) 为关于 x 的方程 x3 3x2 (a 2)x a 0 的三个实数根，则
4x x2 x2 x2 （ ）
1 1 2 3
A.5． B.6． C.7． D.8．
【答】A.
方程即(x 1)(x2 2x a) 0 ，它的一个实数根为 1，另外两个实数根之和为 2，其中必有一根小于 1，另一根大于 1，于是 x2 1, x1 x3 2 ，故
4x x2 x2 x2 (x x )(x x ) 4x 1 2(x x ) 4x 1 2(x x ) 1 5 .
1 1 2 3 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1
3. 已知点 E ， F 分别在正方形 ABCD 的边CD ， AD 上， CD 4CE ， EFB FBC ，则
tanABF （ ）
2
31 3
A. ． B.
2 5
． C.
2
． D. ．
2
【答】B.
x
2
9不妨设CD 4 ，则CE 1, DE 3.设 DF x ，则 AF 4 x ， EF .
作 BH EF 于点 H .因为EFB FBC AFB ， BAF 90 BHF ， BF 公共，所以
△ BAF ≌△ BHF ，所以 BH
BA 4 .
由 S四边形ABCD SABF SBEF SDEF SBCE 得
HA F D
x
2
942 1 4 (4 x) 1 4 1 3 x 1 4 1，
2 2
解得 x 8 .
5
12
2 2
E
AF 3
所以 AF 4 x
， tanABF . B C
5 AB 5
4. 方程
的实数根的个数为 （ ）
3
9
x
3
xA.0． B.1． C.2． D.3．
3
y
3
y
2
9【答】B.
令 y
9 x ，则 y 0 ，且 x y2 9 ，原方程变为
，解得 y 1或 y 6 ，从而
可得 x 8或 x 27 .
检验可知： x 8 是增根，舍去； x 27 是原方程的实数根. 所以，原方程只有 1 个实数根.
5. 设a,b, c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的 2017 倍都等于 2018，则这样的三元数组(a,b, c) 的个数为 （ ）
A.4． B.5． C.6． D.7．
【答】B.
由已知得，
a 2017bc 2018 ， b 2017ac 2018 ， c 2017ab 2018 ，两两作差，可得
(a b)(1 2017c) 0 ， (b c)(1 2017a) 0 ， (c a)(1 2017b) 0 .
由(a b)(1 2017c) 0 ，可得
a b 或c
1 .
2017
（1）当a b c 时，有2017a2 a 2018 0 ，解得a 1 或a 2018 .
2017
（2） 当a b c 时，解得a b
1
，
2017
c 2018
1 .
2017
（3） 当
a b 时，c
1
2017
，此时有：a
1
2017
,b 2018
1
，或
2017
a 2018
1
2017
,b
1 .
2017
故这样的三元数组(a,b, c) 共有 5 个.
6．已知实数a, b 满足a3 3a2 5a 1， b3 3b2 5b 5，则a b （ ） A.2． B.3． C.4． D.5．
【答】A.
有已知条件可得
(a 1)3 2(a 1) 2 ， (b 1)3 2(b 1) 2 ，两式相加得
(a 1)3 2(a 1) (b 1)3 2(b 1) 0 ，
因式分解得(a b 2)[(a 1)2 (a 1)(b 1) (b 1)2 2] 0 .
因为
(a 1)2 (a 1)(b 1) (b 1)2 2 [(a 1) 1 (b 1)]2 3 (b 1)2 2 0 ，
2 4
所以 a b 2 0 ，因此 a b 2 .
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1. 已知 p, q, r 为素数，且 pqr 整除 pq qr rp 1，则 p q r ．
【答】10 .
pq qr rp 1 1 1 1 1 3
设 k ，由题意知 k 是正整数，又 p, q, r 2 ，所以k ，从
pqr p q r pqr 2
而 k 1 ，即有 pq qr rp 1 pqr ，于是可知 p, q, r 互不相等.
当2 p q r 时， pqr pq qr rp 1 3qr ，所以q 3 ，故q 2 .于是2qr qr 2q 2r
1，故(q 2)(r 2) 3，所以q 2 1, r 2 3 ，即q 3, r 5 ，所以， ( p, q, r) (2,3,5) .
再由 p, q, r 的对称性知，所有可能的数组( p, q, r) 共有 6 组，即(2,3,5) ，(2,5,3) ，(3,2,5) ，(3,5,2) ，
(5,2,3) ， (5,3,2) .
于是 p q r 10 .
2. 已知两个正整数的和比它们的积小 1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 ．
【答】8.
设这两个数为m2 , n (m2 n) ，则 m2 n m2n 1000 ，即(m2 1)(n 1) 1001 .
又1001 10011 1437 9111 7713 ，所以 (m2 1, n 1) ＝ (1001,1) 或(143, 7) 或(91,11)
或(77,13) ，验证可知只有(m2 1, n 1) (143,7) 满足条件，此时m2 144, n 8 .
3 ． 已知 D 是△ ABC 内一点， E 是 AC 的中点， AB 6 ， BC 10 ， BAD BCD ，
F
A
D
E
BEDC ABD ，则 DE ．
【答】4.
延长CD 至 F ，使 DF DC ，则 DE // AF 且 DE
1 AF ，
2
所以 AFD EDC ABD ，故 A, F, B, D 四点共圆， 于是
BFD BAD BCD，所以 BF BC 10 ，且 BD FC ，
10
2
6
2故FAB FDB 90 . C
又 AB 6 ，故 AF
8 ，所以 DE 1 AF 4 .
2
4．已知二次函数 y x2 2(m 2n 1)x (m2 4n2 50) 的图象在 x 轴的上方，则满足条件的正整数对(m, n) 的个数为 ．
【答】15.
因为二次函数的图象在 x 轴的上方，所以 [2(m 2n 1)]2 4(m2 4n2 50) 0 ，整理得
4mn 2m 4n 49 ，即(m 1)(2n 1) 51 .因为m, n 为正整数，所以(m 1)(2n 1) 25 .
2
又 m 1 2 ，所以2n 1 25 ，故n 5 .
2
当 n 1时， m 1 25 ，故m 22 ，符合条件的正整数对(m, n) 有 7 个；
3 3
当 n 2 时， m 1 5 ，故m 4 ，符合条件的正整数对(m, n) 有 4 个；
当 n 3 时， m 1 25 ，故m 18 ，符合条件的正整数对(m, n) 有 2 个；
7 7
当 n 4 时， m 1 25 ，故m 17 ，符合条件的正整数对(m, n) 有 1 个；
9 9
当 n 5 时， m 1 25 ，故m 14 ，符合条件的正整数对(m, n) 有 1 个.
11 11
综合可知：符合条件的正整数对(m, n) 有 7＋4＋2＋1＋1＝15 个.
第二试 （A）
一、（本题满分 20 分）设a,b, c, d 为四个不同的实数，若a, b 为方程 x2 10cx 11d 0 的根，c, d
为方程 x2 10ax 11b 0 的根，求a b c d 的值.
解 由韦达定理得a b 10c ， c d 10a ，两式相加得a b c d 10(a c) .
……………………5 分因为a 是方程 x2 10cx 11d 0 的根，所以a2 10ac 11d 0 ，又 d 10a c ，所以
a2 110a 11c 10ac 0 . ① 10 分
类似可得
①－②得
c2 110c 11a 10ac 0 . ② 15 分
(a c)(a c 121) 0 .
因为a c ，所以a c 121，所以a b c d 10(a c) 1210 20 分
二、（本题满分 25 分）如图，在扇形OAB 中， AOB 90 ， OA 12 ，点C 在OA 上， AC 4 ， 点 D 为OB 的中点，点 E 为弧 AB 上的动点， OE 与CD 的交点为 F .
（1） 当四边形ODEC 的面积 S 最大时，求 EF ；
（2） 求CE 2DE 的最小值. A
解 (1)分别过O, E 作CD 的垂线，垂足为 M , N . C
E
由OD 6,OC 8 ，得CD 10 .所以 M F
1 N
S SOCD SECD 2 CD (OM EN )
O D B G
1 CD OE 1 10 12 60 ， 5 分
2 2
当OE DC 时， S 取得最大值 60.
此时， EF OE OF 12 6 8 36 10 分
10 5
（2）延长OB 至点G ，使 BG OB 12 ，连结GC,GE .
因为 OD OE 1 ，DOE EOG ，所以△ ODE ∽△ OEG ，所以 DE 1 ，故 EG 2DE .
OE OG 2 EG 2
所以CE 2DE CE EG CG
……………………20 分
24
2
8
2
10 8 ，当C, E,G 三点共线时等号成立.
10故CE 2DE 的最小值为8 25 分
三、（本题满分 25 分）求所有的正整数m, n ，使得
m3 n3 m2n2
解 记 S ，则
(m n)2
m3 n3 m2 n2
(m n)2
是非负整数.
(m n)[(m n)2 3mn] m2n2
3mn mn 2
S
(m n)2
(m n) ( ) .
m n m n
因为m, n 为正整数，故可令
mn
m n
q ， p, q 为正整数，且( p, q) 1.
p
3q q2 3 pq q 2
于是 S (m n)
p p2
(m n) .
p2
因为 S 为非负整数，所以 p | q 2 ，又( p, q) 1，故 p 1，即(m n) | mn . ①
……………………10 分
n2
所以
m n
n
mn m n
是整数，所以(m n) | n2
，故n2
m n ，即 n2
· m n .
又由 S 0 ，知m3 n3 m2n2 0 . ②
所以n3 m2n2 m3 m2 (n2 m) m2n ，所以n m .
由对称性，同理可得m n ，故m n 20 分
把 m n 代入①，得2 | m ，则m 2 .把m n 代入②，得2m3 m4 0 ，即m 2 .
故 m 2 .
所以，满足条件的正整数m, n 为 m 2 ， n 2 25 分
第二试 （B）
一、（本题满分 20 分）若实数a,b, c 满足(a b c)( (a b c)( 1 1 1) 的值.
1
a b 5c
1
b c 5a
1
c a 5b
) 9 ，求
5
a b c
解 记a b c x ， ab bc ca y ， abc z ，则
(a b c)(
1
a b 5c
1
b c 5a
1
c a 5b
) x(
1
x 6a
1
x 6b
1 )
x 6c
x[3x2 12(a b c)x 36(ab bc ca)]
x3 6(a b c)x2 36(ab bc ca)x 216abc
x(9x2 36 y)
5x3 36xy 216z ，
……………………10 分
结合已知条件可得
x(9x2 36 y) 9
，整理得 xy
27 z .所以
5x3 36xy 216z 5 2
(a b c)( 1 1 1) xy 27 20 分
a b c z 2
二、（本题满分 25 分）如图，点 E 在四边形 ABCD 的边 AB 上，△ ABC 和△ CDE 都是等腰直角三角形， AB AC ， DE DC .
（1） 证明： AD // BC ；（2）设 AC 与 DE 交于点 P ，如果ACE 30 ，求 DP .
PE
解 （1）由题意知ACB DCE 45 ，BC
AC DC
2AC ，EC
2DC ， A D
所以DCA ECB ，
，所以△ ADC ∽△ BEC ，故DAC
BC EC
EBC 45 ，所以DAC ACB ，所以 AD // BC .
……………………10 分 B C
（2）
P
E设 AE x ，因为ACE 30 ，可得 AC 3x ， CE 2x ， DE DC 2x .
1
因为EAP CDP 90 ，EPA CPD ，所以△ APE ∽△ DPC ，故可得 SAPE 2 SDPC .
……………………15 分
又 SEPC SAPE SACE
3 x2 ， SEPC SDPC SCDE x2 ，于是可得
32
SDPC (2
3)x2 ， SEPC (
1)x2 20 分
所 以 DP SDPC
3 1
2
3
3
125 分
PE SEPC 2
三、（本题满分 25 分）设 x 是一个四位数， x 的各位数字之和为m ， x 1的各位数字之和为n ，并且 m 与n 的最大公约数是一个大于 2 的素数.求 x .
解 设 x abcd ，由题设知m 与n 的最大公约数(m, n) 为大于 2 的素数.
若 d 9 ，则n m 1，所以(m, n) 1，矛盾，故d 9 5 分
若c 9 ，则n m 1 9 m 8 ，故(m, n) (m,8) ，它不可能是大于 2 的素数，矛盾，故c 9 .
……………………10 分若b 9 ，显然 a 9 ，所以 n m 1 9 9 9 m 26 ，故(m, n) (m, 26) 13 ，但此时可得
n 13 ， m n 26 39 36，矛盾 15 分
若b 9 ，则n m 1 9 9 m 17 ，故(m, n) (m,17) 17 ，只可能n 17, m 34 .
……………………20 分
于是可得 x 8899 或9799 25 分
O
C
D
A
B
_
N
_
M
_
A
_
B
_
C
_
D
_
E
_
F
_
G
E
A
D
B
C
9
18
12
17
6
14
15
7
11
10
13
5
O
B
C
D
E
A
F
G
H
P
D
O
C
A
B
E
_
B
_
A
_
C
_
D
B
O
P
A
C
6
5
3
4
2
1
_
N
_
M
_
A
_
B
_
C
_
D
_
E
_
F
_
G
O
C
D
A
B
_
A
_
B
_
E
_
C
_
D
_
F
P
D
O
C
A
B
E
9
18
12
17
6
14
15
7
11
10
13
5
O
B
C
D
E
A
F
G
H
_
C
_
A
_
B
_
D
_
E
_
A
_
B
_
C
_
D
_
E
_
B
_
O
_
C
_
P
_
A
_
1
_
3
_
2
_
4
_
5
_
6
_
1
_
3
_
2
_
4
_
5
_
6
_
1
_
3
_
2
_
4
_
5
_
6
_
1
_
3
_
2
_
4
_
5
_
6
_
1
_
3
_
2
_
4
_
5
_
6
浙公网安备 33021202002483