双等边三角形 2

B O C E 图8 一、 双等边三角形模型 1.如图,点C 在线段BD 上,△ABD 与 △ACE 都为等边三角形,求∠BDE 的度数. 2.如图,已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形, 连接CD 、BE .求证:CD=BE . 1. (1)如图7,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边 三角形OAB 和等边三角形OCD ,连结AC 和BD ,相交于点E ,连结BC .求∠AEB 的大小; (2)如图8,ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 旋转(ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠),求∠AEB 的大小. C B O D 图7 A E 3.如图,分别以△ABC 的边AB ,AC 向外 作等边三角形ABD 和等边三角形ACE , 线段BE 与CD 相交于点O ,连接OA . (1)求证:BE=DC ; (2)求∠BOD 的度数; (3)求证:OA 平分∠DOE . 2. 已知:点C 为线段AB 上一点,△ACM,△CBN 都是等边三角形,且AN 、BM 相交于O. ① 求证:AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ,BM 、NC 交于点Q ,求证:PQ ∥AB 。(湘潭·中考题) 4.如图,△ABC 是等边三角形,D 是 AB 边上的一点,以CD 为边作等边三 角形CDE ,使点E 、A 在直线DC 的同侧, 连接AE .求证:AE ∥BC . 同类变式: 如图a ,△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C ,连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论; (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度,得到图b ,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由; (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形c(草图即可),(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. A B C M N O P Q 3. 如图9,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,,M N 分别为,EB CD 的中点,易证: CD BE =,△AMN 是等边三角形. (1)当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时,CD BE =是否仍然成立?若成立,请证 明;若不成立,请说明理由; (2)当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时,△AMN 是否还是等边三角形?若是,请 给出证明,若不是,请说明理由. 同类变式:已知,如图①所示,在ABC △和ADE △中,AB AC =,AD AE =, BAC DAE ∠=∠,且点B A D ,,在一条直线上,连接BE CD M N ,,,分别为BE CD ,的中点. (1)求证:①BE CD =;②AN AM =; (2)在图①的基础上,将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180 ,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立. 24.如图,线段BE 上有一点C ,以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形ABC 、DCE ,连结AE 、BD ,分别交CD 、CA 于Q 、P . (1)找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外),并说明你的理由. (2)取AE 的中点M 、BD 的中点N ,连结MN ,问△CMN 是否是等边三角形?若是请你说明理由;若不是,请给出你的正确结论,不必证明. 图9 图10 图11 图① E 图② 24.如图,等边三角形ABD 和等边三角形CBD 的长均为a ,现把它们拼合起来,E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点,F 是CD 上一动点,满足AE+CF =a . (1)E 、F 移动时,△BEF 的形状如何? (2)E 点在何处时,△BEF 面积的最小值. 16.如图,已知等边三角形ABC ,在AB 上取点D ,在AC 上取点E ,使得AD=AE ,作等边三角形PCD ,QAE 和RAB ,求证:P 、Q 、R 是等边三角形的三个顶点. 4、 如图甲,点C 为线段AB 上一点,△ACM 、△CBN 是等边三角形,直线AN 、MC 交于点E ,直线BM 、CN 交于点F . (1)求证:AN=BM ; (2)求证:△CEF 是等边三角形; (3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°,其他条件不变,在图乙中补出符合要求的图形,并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明). 8、如图所示,△ABC 和△CDE 是等边三角形, E 是AC 延长线上一点,M 是AD 的中点,N 是BE 的中点,试说明:△CMN 是等边三角形。 1.如图,已知等边△ABC ,P 在AC 延长线上一点,以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ,连接AM,求证:(1)BP=CE ; (2)试证明:EM-PM=AM. 2、点C 为线段AB 上一点,△ACM, △CBN 都是等边三角形,线段AN,MC 交于点E ,BM,CN 交于点F 。求证: (1)AN=MB.(2)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度,如图②所示,其他条件不变,( 1)中的结论是否依然成立? (3)AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化。 ① 图② 5.已知,如图①所示,在ABC △和ADE △中,AB AC =,AD AE =,BAC DAE ∠=∠,且点B A D ,,在一条直线上,连接BE CD M N ,,,分别为BE CD ,的中点. (1)求证:①BE CD =;②AN AM =; (2)在图①的基础上,将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180 ,其他条件不变,得到 6.如图,C 为线段AE 上一动点(不与点A ,E 重合),在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ,AD 与BE 交于点O ,AD 与BC 交于点P ,BE 与CD 交于点Q ,连结PQ .以下五个结论: ① AD=BE ; ② PQ ∥AE ; ③ AP=BQ ; B E B A B 图① E 图② ④ DE=DP ; ⑤ ∠AOB=60° ⑥CP=CQ ⑦△CPQ 为等边三角形. ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO 平分∠AOP ⑩CO 平分∠BCD 恒成立的结论有______________(把你认为正确的序号都填上). 10.已知:如图,ABC △是等边三角形,过AB 边上的点D 作DG BC ∥,交AC 于点G ,在GD 的延长线上取点E ,使DE DB =,连接AE CD ,. (1)求证:AGE DAC △≌△; (2)过点E 作EF DC ∥,交BC 于点F ,请你连接AF ,并判断AEF △是怎样的三角形,试证明你的结论. 11、如图1,以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ,连结EG ,试判断ABC △与AEG △面积之间的关系,并说明理由. 9如图,C 为线段AE 上一动点(不与点A ,E 重合),在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ,AD 与BE 交于点O ,AD 与BC 交于点P ,BE 与CD 交于点Q ,连结PQ .以下五个结论: ① AD=BE ; ② PQ ∥AE ; ③ AP=BQ ; ④ DE=DP ; ⑤ ∠AOB=60°. 恒成立的结论有______________(把你认为正确的序号都填上). 如图所示,已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形,且A 、B 、D 三点共线.下列结论:①AE=CD ;②BF=BG ;③HB 平分∠AHD ;④∠AHC=60°,⑤△BFG 是等边三角形;⑥FG ∥AD .其中正确的有( ) A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 1、在ABC △中,2120AB BC ABC ==∠=,°,将ABC △绕点B 顺时针旋转 角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△,交AC 于点E ,11AC 分别交AC BC 、于 D F 、两点.如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段1EA 与FC 有怎样的数量关系?并 证明你的结论; B D (图1) A B C E D O P Q C G A E D B F A B C E D O P Q 2. 如图所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB =90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证:∠ADC =∠BDE . 3.如图1,四边形ABCD 是正方形,M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D ,且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A ,B 重合),另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F. ? 如图14―1,当点E 在AB 边的中点位置时: ① 通过测量DE ,EF 的长度,猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ; ② 连接点E 与AD 边的中点N ,猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ; ③ 请证明你的上述两猜想. ? 如图14―2,当点E 在AB 边上的任意位置时,请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ,进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明 已知Rt ABC △中,90AC BC C D ==?,∠,为AB 边的中点,90EDF ∠=°, EDF ∠绕D 点旋转,它的两边分别交AC 、CB (或它们的延长线)于E 、F . 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时(如图1),易证1 2 DEF CEF ABC S S S += △△△. 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明. 1.已知AC//BD,∠CAB 和∠DBA 的平分线EA 、EB 与CD 相交于点E. 求证:AB=AC+BD. A D B E C F 1A 1C A D B E C F 1A 1C A B C D E F A E C F B D 图1 图3 A D F E C B A D B C E 图2 F 2.等边△ABC,D为△ABC外一点,∠BDC=120°,BD=DC.∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M,射线DN与直线AC相交于点N, ①当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,直接写出BM、NC、MN之间的数量关系. ②当点M、N在边AB、AC上,且DM≠DN时,猜想①中的结论还成立吗?若成立,请证明. ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时,请画出图形,并写出BM、NC、MN之间的数量关系.