高斯定理的数学证明

　文章编号:100021670(2004)0320013204高斯定理的数学证明籍延坤(大连交通大学数理系,辽宁大连116028)Ξ摘　要:根据数学中的高斯公式给出了静电场、涡旋电场和静磁场高斯定理的严格证明,得到了力线数密度与电场强度大小以及磁感应强度大小的定量关系,指出了用力线法证明高斯定理的方法是不合理的.关键词:静电场;涡旋电场;磁感应强度;高斯公式.中图分类号:O441.3　　　文献标识码:AMathematicalVerificationofGauss′LawJIYan2kun(SchoolofBasicSciene,DalianJiaotongUniversity,Dalian116028,China)Abstract:Throughthedeductionofstaticelectricfield,vortexelectricfieldandstaticmagnetocfield,thequantitativerela2tionsofnumericaldensityofforcelinewiththeintensitiesofelectricfieldandmagneticfieldareobtained.Itisalsoindicat2edtheverificationofGauss′lawbyforcelineisnotreasonable.Keywords:Staticelectricfield;vortexelecteicfield;magneticinduction;Gauss′formula.电场和磁场的高斯定理是电磁学中很重要的基本定理之一,而现在很多物理专著均用力线的概念证明高斯定理,即引入力线的数密度的定义为n=dNdS,并规定电力线的数密度和磁力线的数密度分别等于电场强度大小与磁感应强度大小,即n=E、n=B,这种关系显然是不成立的.原因之一:因为二者单位不同,不可能相等;原因之二:若此关系式成立,必有在dS面上的电通量与磁通量应分别为d<c=E·dS=±dN,d<m=B·dB=±dN,两个关系式的左边和右边的单位以及值域均不同,也不可能相等;原因之三:n和E、B均是有确切定义的物理量,不能硬性规定二者相等.针对这个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,本文从数学角度给出比较严格的证明方法,并讨论了力线的数密度与电场强度大小以及磁感应强度大小的关系.1　严格的数学证明方法1.1　静电场的高斯定理(1)点电荷在球面中心点电荷q的电场强度为E=14πε0qr3r(1)　　球面的电通量为ιSE·dS=ιS14πε0qr3r·dS=q4πε0r2ιSdS=q4πε0r24πr2=qε0(2)Ξ收稿日期:2004202228作者简介:籍延坤(1958-),男,副教授,硕士.第25卷　第3期2004年9月大连铁道学院学报JOURNAL　OF　DALIAN　RAILWAY　INSTITUTEVol.25　No.3　Sep.　2004　　(2)点电荷在任意闭曲面外闭曲面S的电通量为ιSE·dS=ιSq4πε0r3r·dS=q4πε0ιS1r3(xdydz+ydxdz+zdxdy)=q4πε0ιS1r3xdzdy+1r3ydxdz+1r3dxdy(3)　　根据高等数学中的高斯公式ιSPdydz+Qdxdz+Rdxdy=µV(5P5x+5Q5y+5R5z)dxdydz(4)　　并考虑到P=xr3,Q=yr3,R=zr3在S内有连续一阶的偏导数,故式(3)可以用高斯公式计算.将式(3)代入式(4)中得ιSE·dS=ιSq4πε0r3r·dS=q4πε0ιS1r3(xdydz+ydxdz+zdxdy)=q4πε0ιS1r3xdzdy+1r3ydzdx+1r3dxdy=q4πε0µV5(xr3)5x+5(yr3)5y+5(zr3)5zdxdydz=0(5)　　(3)点电荷在任闭曲面内在任意闭曲面S内以点电荷q为球心作一辐助球面S1,其法向朝内,根据(2)可知点电荷q在闭曲面S+S1上的电通量为零,即ιSE·dS+ιS1E·dS=0ιSE·dS=-ιS1E·dS=-ιS2E·dS=qε0(6)　　其中式(6)中S1和S2的大小相等,法向相反.　　(4)点电荷系在闭曲面内外设闭曲面内的点电荷为q1,q2,q3⋯⋯qn;闭曲面外的点电荷为qn+1⋯⋯则根据上述讨论可得ιSE·dS=ιS∑Ei·dS=∑ιSEi·dS=∑ni=1qiε0(7)　　这就是静电场的高斯定理.1.2　静磁场的高斯定理(1)电流元Idl在球面中心由磁通量的定义和毕奥2萨法尔定律可得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为ιSdB·dS=ιSμ04πIdl×rr3·dS=μ0I4πιSr×dSr3·dl因为r∥dS,所以ιSdB·dS=0(8)　　(2)电流元Idl在任意闭曲面外电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为ιSdB·dS=ιSμ04πIdl×rr3·dS　　因为r=xi+yj+zk,并设dl=dlk,则dl×r=-ydli+xdlj代入原式得14　　　大连铁道学院学报第25卷ιSdB·dS=ιSμ04πIdl×rr3·dS=μ0Idl4πιS-yr3dydz+xr3dxdz　　同理根据高斯公式可得ιSdB·dS=0(9)　　(3)电流元在任意闭曲面内以此类推,在闭曲面S内,以电流元为球心作一辅助球面S1,因为ιSdB·dS+ιS1dB·dS=0　　所以,ιSdBdS=-ιS1dB·dS=0(10)(4)电流在闭曲面内外所有的电流元在闭曲面上的磁通量为ιSB·ds=ιS(ιLdB·dS=ιL(ιSdB·ds)=0(11)　　这正是静磁场的高斯定理.1.3　涡旋电场的高斯定理(1)变化的磁场元5B5tdV产生的电场涡旋电场的环路定理为ιLE·dl=-∫S5B5t·dS,而磁场的环路定理为ιLH·dl=∫Sδc·dS两者比较,显然δc与-5B5t是对应的.又因为dH=14πIdl×rr3=14πδcdsdl×rr3=14πdVδc×dlr3(12)　　所以,与式(12)比较可知,变化的磁场元产生的涡旋电场强度为dE=14π-dV5B5t×rr3(13)　　(2)高斯定理根据式(13),仿照静磁场高斯定理的证明可得涡旋电场的高斯定理 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式为ιSE·dS=0(14)2　力线的数密度与电场强度大小以及磁感应强度大小的关系2.1　电力线的数密度与电场强度大小的关系设在无电荷的区域内取一闭合柱面,电力线只穿过其两个底面dS1,dS2且与其垂直,其侧面积为dS3.应用电场的高斯定理ιdS1+dS2+dS3E·dS=0可得:∫dS1E·dS+∫dS2E·dS=0|d<1|=|d<2|E1dS1=E2dS2(15)　第3期籍延坤:高斯定理的数学证明15　　　又根据电力线得连续性得dN1=dN2即n1dS1=n2dS2(16)由式(15)和(16)得E1n1=E2n2(17)亦即E=kn(18)2.2　磁力线数密度与磁感强度大小的关系同理可证,磁力线数密度与磁感强度大小的关系为B=kn(19)3　结　语　　根据上述分析可知,电场强度的大小以及磁感强度的大小与力线的数密度成正比是高斯定理的一个推论,而不能作为一个规定,更不能令其相等来作为证明高斯定理的依据,这显然是不合理的.参考文献:[1]陆果.基础物理学[M].北京:高等教育出版社,1997.[2]赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].北京:人民教育出版社,1978.[3]王雪君.电动力学[M].北京:北京师范大学出版社,1986.16　　　大连铁道学院学报第25卷