资本资产定价（CAPM）与套利定价（APT）

演示文档路漫漫其悠远少壮不努力，老大徒悲伤资本资产定价（CAPM）与套利定价（APT）第一节经典CAPM在资本资产定价模型中，资本资产一般被定义为任何能创造终点财富的资产。资本资产定价模型所要解决的问题是，在资本市场中，当投资者采用马柯维茨资产组合理论选择最优资产组合时，资产的均衡价格是如何在收益与风险的权衡中形成的；或者说，在市场均衡状态下，资产的价格是如何依风险而定的。收益与风险的关系是资本资产定价模型的核心。一、模型的假设资本资产定价模型是在如下理论假设的基础上导出的：1，投资者通过预期收益和方差来描述和评价资产或资产组合，并按照马柯维茨均值方差模型确定其单一期间的有效投资组合；对所有投资者投资起始期间都相同。2，投资者为理性的个体，服从不满足和风险厌恶假定。3，存在无风险利率，投资者可以按该利率进行借贷，并且对所有投资者而言无风险利率都是相同的。4，不存在任何手续费、佣金，也没有所得税及资本利得税。即市场不存在任何交易成本。5，所有投资者都能同时自由迅速地得到有关信息，即资本市场是有效率的。6，所有投资者关于证券的期望收益率、方差和协方差都有一致的预期。这也是符合马柯维茨模型的。依据马柯维茨模型，给定一系列证券的价格和无风险利率，所有投资者对证券的预期收益率和协方差矩阵都相等，从而产生了唯一的有效边界和独一无二的最优资产组合。这一假设也称为“同质期望（homogeneousexpectations）”假设。二、资本资产定价模型的导出我们来考虑这样一种情况，即所有投资者将按照所有可交易资产的市场资产组合（marketportfolio）按比例复制自己的风险资产组合。所谓市场组合，即把所有个人投资者的资产组合加总，此时借和贷互相抵消，加总的风险资产组合价值等于整个经济中全部财富的价值，这就是市场资产组合M。（一）市场组合与资本市场线市场资产组合不仅在有效边界上，而且市场资产组合也是相切于最优资本配置线（CAL）上的资产组合。因此，资本市场线（capitalmarketline，CML）也就是投资者可能达到的最优资本配置线。如图10-1。E(r)CML有效边界rfσ图10-1资本市场线所谓资本市场线，是在以预期收益和 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差为座标的图中， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示风险资产的有效率组合与一种无风险资产再组合的有效率的组合线。资本市场线上任何一点都表示风险资产和无风险资产相结合而得到的风险与期望收益的组合。该组合线（即资本市场线）的方程为：E(rc)=rf+σc（10.1）式中rf为无风险资产的收益率，它是组合线的纵轴截距；E(rp)为风险资产组合的预期收益，σp为风险资产组合的标准差；σc为风险资产和无风险资产的组合标准差；[E(rp)-rf]/σp是组合线的斜率。对一个市场资产组合而言，资本市场线可以变形为：E(ri)=rf+[E(rm-rf)]（10.2）（二）对资本市场线的进一步解释资本市场线描述了在市场均衡时，有效证券组合的期望回报率和风险之间的关系：当风险增加时，对应的期望回报率也增加。非均衡状态下的证券组合都落在这条直线之上或之下。由资本市场线的方程我们可以看到，均衡证券市场的特征可以由两个关键的指标来刻画：其一是CML直线方程的截距，一般也可将其称为时间价值；其二是CML直线方程的斜率，一般也称为风险的价值，它告诉我们，当有效证券组合回报率的标准差增加一个单位时，期望回报率应该增加的数量。（三）Beta系数定理假设在资产组合中包括无风险资产，那么，当市场达到买卖交易均衡时，任意风险资产的风险溢价E(ri)-rf与全市场组合的风险溢价E(rm)-rf成正比，该比例系数即Beta系数，它用来测度某一资产与市场一起变动时证券收益变动的程度。上述β系数定理可以表示为：E(ri)-rf＝βi[E(rM)-rf]（10.3）其中：βi＝cov(ri,rM)/σM2（10.4）（四）资本资产定价模型将公式（10.4）的β系数代入公式（10.2），得到：E(ri)=rf+[E(rm-rf)]β（10.5）该式即是CAPM的经典形式——期望收益－β关系。例题10.1：假设对A、B和C三只股票进行定价分析。其中E(rA)＝0.15;βA=2；残差的方差σeA2=0.1;需确定其方差σA2；σB2=0.0625,βB=0.75，σeB2=0.04,需确定其预期收益E(rB)。E(rC)=0.09,βC=0.5，σeC2=0.17,需确定其σC2。请用CAPM求出各未知数，并进行投资决策分析。根据以上条件，由股票A和C得方程组：0.15=rf+[E(rm)-rf]20.09=rf+[E(rm)-rf]0.5解方程组，得：rf=0.07E(rm)=0.11代入CAPM，求解E(rB)，有：E(rB)=0.07+(0.11-0.07)*0.75=0.1由于σ2A=β2Aσ2m+σ2eA(1)因此先求σ2m：σ2m=(σ2B-σ2eB)/β2B=(0.0625-0.04)/0.752=0.04代入（1）：σ2A＝22×0.04+0.1=0.26再求解σ2C，有：σ2C＝β2Cσ2m+σ2eC=0.18分析：由上述计算，得如下综合结果：E(rA)＝0.15σ2A＝=0.26βA=2E(rB)=0.1σ2B=0.0625βB=0.75E(rC)=0.09σ2C＝0.18βC=0.5其中，β值大小的偏好取决于投资策略和风格，暂不考虑，而先分析第一列和第二列。可见，E(rC)<E(rB)，而σ2C>σ2B，因而可剔除股票C。对A和B而言，则体现了高风险高收益、低风险低收益，可以认定是无差异的。再来考虑收益－风险矩阵的最后一列。虽然股票A和B是无差异的，但考虑投资者的风险偏好，如果投资者是风险厌恶的，则应选择股票B，因为它的贝塔值小于1；而如果投资者是风险爱好者，即应选择股票A，因为它的贝塔值大于1。结论：CAPM可帮助我们确定资产的预期收益和方差，从而利于我们做出投资决策。（五）市场组合的β值CAPM对市场资产组合本身也成立，即：E(rM)=rf+βM[E(rM)-rf]（10.6）由于βM＝1，因此得到：βM=（10.7）即一个市场组合的所有资产的加权平均贝塔值必定为1。如果一个组合的贝塔值大于1，即大于市场组合的贝塔值，意味着其风险大于市场风险，即构建该组合的投资者是风险偏好的；如果一个组合的贝塔值小于1，即小于市场组合的贝塔值，意味着其风险小于市场风险，即构建该组合的投资者是风险厌恶的。三、证券市场线由公式（10.5）这一经典CAPM可见，对任何资产或资产组合而言，风险溢价都被 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 是关于贝塔的函数。具体来看，CAPM认为，证券的风险溢价与贝塔和市场资产组合的风险溢价是成比例的，即证券的风险溢价等于β[E(rm-rf)]。由此我们即可得到证券市场线（securitymarketline，SML）。（一）证券市场线的含义所谓证券市场线，即预期收益－贝塔关系线，将这一关系表示在以预期收益和β值为坐标的平面上，即构成一条以rf为起点的射线，该射线即为证券市场线。如图10-2。E(r)SMLE(rM)SML的斜率＝E(rM)-rfrfβ=1β图10-2证券市场线证券市场线的方程表述为：E(ri)=rf+βiM[E(rM)-rf]（10.8）其中：βiM=（10.9）由公式（10.9）可见，衡量证券风险的准确量是该证券与市场证券组合的协方差而不是其方差。由于市场贝塔值为1，因此证券市场线的斜率为市场资产组合的风险溢价。当横轴的β＝1时，该点即是市场组合的贝塔值，此时其对应的纵轴可得到市场资产组合的预期收益率。（二）证券市场线的均衡含义由SML表示的均衡关系是市场供需共同作用的结果。给定一组证券的价格，投资者先计算其期望回报率和协方差，然后求最优的证券组合。如果对某种证券的总需求量不等于市场上存在的数量，就会使得该证券的价格上涨或者下跌。给定一组新的价格，投资者重新评估期望回报率和协方差。这种调整一直持续到对所有证券的总需求量等于市场上存在的数量，市场达到均衡为止。进一步看，对于个体投资者而言，证券的价格和前景是固定的(价格接受者)，他只能改变持有的证券的数量；而对于整个市场而言，证券的数量是固定的，而价格是变动的。在任何完全竞争市场，均衡使得价格的调整一直持续到对所有证券的总需求量与市场上存在的数量达到一致为止。（三）证券市场线与资本市场线证券市场线与资本市场线的区别是：1，CML用于描述无风险资产与风险资产组合后的有效资产组合的风险溢价，它是资产组合标准差的函数；而SML描述的是任何一种资产或资产组合的收益和风险之间的关系，其测度风险的工具是贝塔值，即单个资产的风险对资产组合方差的贡献度。2，由我们对资本市场线的研究可见，只有有效组合才落在CML上，而非有效组合将偏离CML；但无论是有效组合还是非有效组合，当市场均衡时，所有的证券都落在SML上。证券市场线的一个重要功能是，如果我们确定证券市场线是估计风险资产正常收益率的基准，则可通过将其与投资组合的实际收益进行比较，而对投资绩效进行评估。四、资本资产定价模型与指数模型根据第九章的研究，指数模型回归线斜率的贝塔值公式为：βi=Cov(Ri,RM)/σM2（10.10）与公式（10.4）所示的CAPM的贝塔值表达式相比较，我们看到，二者是相同的。进一步分析，经典CAPM所给出的期望收益－贝塔关系为：对任意资产i和理论上的市场资产组合，有下式成立：E(ri)-rf=βi[E(rM)-rf]（10.11）如果表达超额收益的公式（10.11）中的指数M代表了真实市场资产组合，我们即可对该式两边取期望，从而以指数模型来表达期望收益－贝塔关系：E(ri)-rf=αi+βi[E(rM)-rf]（10.12）比较公式（10.11）和（10.12）我们看到，两者最大的差别在于指数模型对期望收益－贝塔关系的表达中比CAPM多了αi项。换言之，一个资产的阿尔法值是它超过或低于通过CAPM预测的可能预期收益的部分。如果资产被公平定价，则其阿尔法值必定为零。指数模型对期望收益－贝塔关系的表达式表明，它认为阿尔法的平均值为零，即一些证券会有正的α，另一些证券则有负的α，也就是说，任何单独资产都可能没有被公平定价，但总体平均而言其定价是公平的。第二节经典CAPM的应用与实证检验一、CAPM在资本市场中的应用从理论上看，经典CAPM在资本市场中的应用主要体现在资产估值和资产配置两个方面。（一）资产估值由经典CAPM所导出的证券市场线SML，该线上的各点即是资产的市场均衡价格。然而，证券实际的预期收益和风险的组合可能位于SML之上或之下，由此可作为我们进行资产估值和投资决策的指导。如图10.3。如图所示，如果某证券的预期收益和方差的组合位于SML之下(c点)，同等风险（β1）下它比SML线上的b点的预期收益E(r0)更低（为E(r2)），这将导致投资者不愿购买该证券，则该证券价格将下降，从而使预期收益上升，回到SML；反之如果某证券的预期收益和方差的组合位于a点，则价格将上升使预期收益下降，回到SML。E(r)SMLE(r1)aE(r0)E(r2)brfcβ1β（二）资产配置资本市场线也就是投资者可能达到的最优资本配置线。关于资产配置，我们可以从消极的组合管理和积极的组合管理两个角度来看。对消极的组合管理而言，投资者可根据CAPM，按照自己的风险偏好，选择无风险资产和风险资产的组合进行资产配置；只要投资偏好不变，资产组合就可不变。对积极的组合管理而言，可利用CAPM预测市场走势、计算资产β值。当预测市场价格将上升时，由于预期的资本利得收益将增加，根据风险与收益相匹配的原则，可增加高β值资产持有量；反之增加低β值证券的持有量。二、CAPM在企业投资中的应用经典CAPM在企业投资中的重要应用之一，即是用于对投资项目的选择。（一）CAPM视角下的投资项目选择如果我们已知某资产的购买价格为p，其未来的出售价格为q，且q是一个随机变量，那么，该资产的预期收益率为：==rf+β(-rf]（10.13）因此，p=（10.14）根据贝塔值的定义：（10.15）则：（10.16）即：（10.17）因此得到：（10.18）公式（10.18）中方括号中的部分即为q的确定性等价（certaintyequivalence），它是一个确定量（无风险），用无风险利率贴现。例题10.2：某项目未来期望收益为1000万元，假设该项目与市场相关性较小，即β=0.6，如果无风险收益率为10％，市场组合的期望收益率为17％，则该项目最大可接受的投资成本是多少？解：根据公式（7.16），p===876（万元）（二）基于CAPM的NPV评估法由以上的分析可见，以CAPM进行项目选择的步骤是：1，计算项目的确定性等价；2，将确定性等价以无风险利率贴现后与投资额p比较，得到净现值（NPV），即（10.19）该式即是基于CAPM的NPV评估法。其评估原则就是在所有NPV>0的项目中，选择NPV最大的项目。这也就引出了所谓一致性定理：公司采用CAPM来作为项目评估的目标与投资者采用CAPM进行投资组合选择的目标是一致的——即公司收益最大将导致投资者对该公司的投资收益最大三、对CAPM的实证检验由经典CAPM的公式（10.5）可见，资产的预期收益由无风险收益率（纵轴的截距）、市场收益率和无风险收益率的差，以及β值等因素共同决定。假设无风险收益率既定，则资产收益率取决于市场收益率和β值。上述结论属于理论性结论，理论本身是否正确需要实证检验；而且理论能否应用于实践，也需要给予检验和证明。（一）检验的方法对CAPM进行实证检验通常分为两大类方法，即基于CAPM本身的检验，以及扩展性检验。其具体的检验步骤一般包括：1，测算所研究的每一股票在5年持有期内的收益率和β值。其中收益率为月收益率。2，将股票按β值由大到小排列，并构成N个组合。其中N通常取10，12或20。3，组合的构建应尽可能分散非系统性风险，即证券间的协方差较小。4，上述步骤完成后再测算下一个5年持有期证券组合的收益率和β值。5，最后，将若干时间序列数据进行线性回归分析。（二）检验结果1，基于CAPM本身的检验即以CAPM为指导建立回归模型进行检验。其结果是：1，已实现的收益率和用β值衡量的系统性风险之间存在明显的正相关关系。即正如CAPM所表明的，β值是影响证券预期收益率的重要因素之一。2，系统性风险和非系统性风险都与证券收益率正相关，即非系统性风险不为0。也就是说，CAPM本身所没有包括的企业微观因素（风险）也在影响证券预期收益的决定。上述结果表明，实证检验结果没有完全支持CAPM。2，扩展性检验即在CAPM中加入其他因素，如公司规模、股利政策等，检验这些因素对资产定价（收益率）的影响。根据经典CAPM，这些因素不应有影响，但实证检验发现了如下结果：1，规模效应，也称小公司效应。即小公司的收益超过大公司的收益。2，一月效应。即每年一月份股票收益率远高于其他月份的股票收益率。3，周末效应。即一周中周五的收益率最高。上述结果至少表明CAPM所揭示的影响资产定价的因素不全面。第三节对CAPM的扩展与评价我们这里所说的CAPM的扩展形式，即主要是针对CAPM的前提假设所做的修改，以及加入了CAPM所没有考虑到的因素。这样，就产生了基于经典CAPM的扩展形式。一、零贝塔模型CAPM的假设条件3指出，存在无风险利率，投资者可以按该利率进行借贷，并且对所有投资者而言无风险利率都是相同的。正是由这一假设，我们得到所有投资者都会选择市场资产组合作为其最优的切线资产组合。但是，当借入受到限制时，或者说当投资者无法以一个共同的无风险利率借入资金时，市场资产组合即不再是投资者共同的理想资产组合，即不再是最小方差有效组合了。此时CAPM所导出的预期收益－贝塔关系也就不再反映市场均衡。这样，我们通过加入限制性借款的条件，即将经典CAPM扩展为了零贝塔模型。有效资产组合的方差－均值存在如下三个性质：1，任何有效资产组合组成的资产组合仍然是有效资产组合；2，有效边界上的任一资产组合在最小方差资产组合集合的下半部分(无效部分，见图10.4)均有相应的“伴随性”或对应性资产组合存在，由于这些伴随性资产组合与有效组合是不相关的，因此这些组合可视为是有效资产组合中的零贝塔资产组合（zero-betaportfolio）。3，任何资产的预期收益都可由任意两个边界资产组合的预期收益的线性函数表示。以上3个性质即是资产组合零贝塔模型建立的基础。零贝塔伴随性资产组合的预期收益和标准差如图10.4所示。图中，假设任意有效资产组合P，过P点做有效组合边界的切线，该切线与纵轴的交点即为资产组合P的零贝塔伴随性资产组合，记为Z(P)；从该交点做横轴平行线，使其与最小方差资产组合集合线相交，这一交点即是零贝塔伴随性资产组合的标准差。由图可见，不同的有效组合（如P和Q），有不同的零贝塔伴随性资产组合。E(r)QPE(rZ(Q))E(rZ(P))σZ(P)σ图10.4有效组合及其零贝塔伴随组合根据性质3，考虑有两个最小方差边界资产组合P和Q，任意资产i的预期收益的表达式为：E(ri)=E(rQ)+[E(rP)-E(rQ)](10.20)根据性质2，市场资产组合M同样存在一个最小方差边界上的零贝塔伴随性资产组合Z(M)。再根据性质3和公式（10.20），即可用市场资产组合M及其Z(M)来表示任何证券的收益。这里，由于cov[rM,rZ(M)]＝0，因此有：E(ri)=E[rZ(M)]+E[rM-rZ(M)](10.21)该式即是零贝塔资产组合模型，其中的E[rZ(M)]取代了rf。三、流动性CAPM经典CAPM的第四个假定是市场不存在任何交易成本。换言之，所有资产都是可交易的，且所有交易都是免费的，即任何证券都具有完全的流动性（liquidity）。所谓流动性，是指资产转换为现金时，也就是将资产出售时所需的费用，以及资产出售的便捷程度。实际投资中，投资者更愿意选择那些流动性高且交易费用低的资产，由此也就导致了流动性高的资产预期收益也高，而流动性低的资产将低价交易，即流动性溢价（illiquiditypremium）会体现在资产价格中。换言之，流动性是影响资产定价的重要因素。（一）流动性对投资者资产选择的影响假定有大量互不相关的证券，因此充分分散化的证券组合的标准差接近于0，此时市场资产组合的安全性也就与无风险资产基本相同；同时，由于互不相关性，任何一对证券的协方差也是0，根据公式（10.4），则任一证券对市场组合的β值也为0。因此，根据经典CAPM，所有资产的预期收益率等于无风险资产收益率。进一步，我们假定上述大量互不相关的证券都可分为两种类型：可流动的股票（L类型）和不可流动的股票（I类型），并假定L类股票的流动费用为cL，I类股票的流动费用为cI，且cL<cI。因此对于持有h期的投资者而言，L类股票的流动费用以每期cL/h%的速度递减；I类股票的流动费用高于L类，从而减少了每期的收益cI/h%。这样，如果某投资者打算持有L类股票h期，则其净预期收益率为E(rL)-cL/h。根据经典CAPM，均衡时所有证券的预期收益率为r，则L类股票的毛预期收益率为r+xcL，I类股票的毛预期收益率为r+ycI。其中x和y都小于1。由此，L类股票对持有期为h的投资者而言，其净收益率为（r+xcL）-cL/h=r+cL(x-1/h)；I类股票的净收益率为r+cI(y-1/h)；而无风险资产的净收益率为r。根据上面对流动费用的分析，持有期越短，两类股票的流动费用越高，从而其净收益率就越低。当持有期短到一定程度，两类股票的收益率都低于无风险资产，投资者将选择完全持有无风险资产；随着持有期的延长，股票的毛收益率（从而其净收益率）将超过无风险资产，投资者就会选择放弃无风险资产。（二）均衡（非）流动溢价的决定首先我们来看I类股票的非流动溢价。当持有期在某一时刻，比如为hLI时，I类股票和L类股票的收益率从边际上是相等的，即：r+cL(x-1/hLI)＝r+cI(y-1/hLI)（10.22）求解y，得到：y=（10.23）非流动股票的预期毛收益率为：rI＝r+cIy（10.24）将公式（10.23）代入公式（10.24）：rI＝r+＝r+cLx+(cI-cL)（10.25）已知rL=r+cLx，因此I类股票对L类股票的非流动溢价为：rI-rL=(cI-cL)（10.26）其次我们来确定L类股票的非流动性溢价。当持有期位于某一时点，比如hrL时点时，边际投资者投资于L类股票所得到的收益率与无风险资产收益率相等，即：r+cL(x-1/hrL)＝r（10.27）L类股票的流动性溢价为：xcL=cL/hrL（10.28）从而得到L类股票对于无风险资产的非流动性溢价：rL-r=cL（10.29）公式（10.26）和（10.29）即是（非）流动性溢价的确定公式。由这两个公式我们得到的结论是：1，均衡预期收益率应足以弥补交易费用。2，（非）流动性溢价是交易费用的非线性函数，且两者呈负相关关系。3，公式（10.26）显示，I类股票的非流动溢价高于L类股票的非流动溢价1/hLI；公式（10.29）则显示L类股票的非流动性溢价高于无风险资产的非流动性溢价1/hrL。（三）流动性CAPM上述的分析和推导过程我们假定所有资产都是不相关的。现在引入存在系统性风险且彼此相关的资产。这里我们假定，对每一水平的贝塔，在该风险等级中都存在大量证券，且这些证券都有不同的交易费用。由此，我们以上的分析就可应用于每一风险等级，其结果即是将非流动溢价加到系统性风险溢价——CAPM风险溢价——之中，这样，我们即得到包括流动性效应的CAPM：E(ri)-rf=βi[E(rM)-rf]+f(ci)（10.30）式中，f(ci)是在i证券交易费用确定的条件下，测度非流动溢价效应的交易费用的函数；并且f(ci)是关于ci的一阶单调递增函数，其二阶导数为负。四、对CAPM的评价从理论上看，CAPM本身存在着逻辑矛盾。在CAPM的分析中，形成最优风险资产组合时，投资者要买入一些资产，并卖出另外一些资产。但根据该模型的假设（见本章第一节的有关内容）,由于投资者决策目标一致，持有的资产结构完全一致，而市场中交易双方都是这些投资者，这就意味着交易双方都想同时买入或同时卖出某项资产，而这样的交易显然不可能发生。从实际中看，受中央银行货币政策影响，在投资组合持有期间内,无风险利率是不断变化的，这意味着最优投资组合的内部资产价值构成比例会发生调整，而这种调整又会遇到前面提到的无法交易这个问题。或者说，在无风险利率发生调整时，原有均衡仍将得以维持，投资者之间不会发生实质性的资产交易活动，均衡点仍然在原处，但该点已经不是最优组合点。从成因上看，造成上述悖论的关键原因是模型假设中认为投资者对资产特性的完全一致认同，加上模型认为投资者会追求任何最优组合，而这一最优组合又是所有投资者一致认同的，因此，所有投资者都会选择同一最优组合，即一致决策，一致做出买入某项资产或卖出某项资产的决定，由此导致无法满足资产交易所需的条件。从后果上看，CAPM悖论造成的对投资决策的影响是，投资者无法决定是采取消极投资法还是采取积极投资法。CAPM意味着，投资者应采取消极投资法，即将无风险资产与某一指数基金组合，或者说，投资者采取积极投资法去试图战胜市场是徒劳的。然而，如果投资者都不去试图“战胜”市场，那么市场就是可以“战胜”的。如此，对一个具体的投资者而言，他是认为市场是可以“战胜”的，还是不可以“战胜”呢？投资者陷入了两难境地。问题在于，如果修改投资者预期一致性的条件，即加入现实中投资者非一致性预期的因素，则CAPM将无法满足，并进而导致无法对CAPM进行实证检验。第四节套利定价理论在一个均衡的资本市场中，所有的资产将遵循“一价法则”，即同一个资产既便在不同的市场上也只有一个均衡价格。当“一价法则”被违反时，即出现了套利（arbitrage）机会。套利定价理论（arbitragepricingtheory,APT）即通过对套利条件和行为的研究，揭示出套利定价模型及其对市场均衡的影响。套利定价理论本质上是一个多因素定价模型。一、多因素定价模型（一）多因素模型的提出指数模型将收益分解为系统的和公司特有的两部分，但宏观因素其本身又受到多种因素的影响，如经济周期、利率和通货膨胀等；第六章我们在对经典CAPM进行实证检验中也指出，CAPM所揭示的影响资产定价的因素并不全面。正是这些理论考虑，构成了多因素模型的定义基础。此外，单指数模型的一个隐含假定是，每个证券对每个风险因素具有相同的敏感度。但实际上不同的证券对不同的宏观经济因素有不同的贝塔值。假设经济周期的不确定性和利率的变动是宏观经济风险的来源，前者我们用GDP来测度，后者用IR表示。考虑两家公司，一家是公用事业公司，一家是航空公司。由于公用事业公司的收益受到政府管制，一般它对GDP的敏感性较弱，即有一个“低GDP贝塔值”；但可能对利率的敏感度较高，即有一个“负的高利率贝塔值”。相反，航空公司的业绩对经济活动非常敏感，而对利率的敏感度较低，即它有一个高的GDP贝塔值和低的IR贝塔值。很明显，这种情况下，单指数模型很难对风险因素进行精确处理。对上述情况，我们可以把单指数模型扩展成为一个双因素模型，即：Ri=α+βGDPGDPt+βIRIRt+et（1）这样，我们即可精确描述不同宏观风险对不同证券的影响。这即是多因素模型（multifactormodels）优于单指数模型的原因所在。在应用多因素模型时，一个重要的工作是对因素的选择与确定，也就是说，我们在众多的宏观经济因素中，应选择哪些因素作为对证券收益产生影响的宏观风险？一般而言，对因素的选择应遵循两个原则，其一是仅考虑与证券收益直接有关的宏观因素；其二是选择那些投资者最关心的因素。（二）多因素模型的理论基础当风险对期望收益有影响时，这一风险即是“可定价”的。单因素模型认为，只有市场因素可定价。默顿（RobertC.Merton，1973）则推导出了多因素的CAPM，并证明，其他风险来源因素也可定价，这些因素包括劳动收入、重要消费品价格（如能源价格）等。也就是说，对其他风险来源可否定价的研究，构成了多因素模型的理论基础。（三）多因素模型对于与n种证券的收益相关的m（m<n)个因素，证券i的收益可以表示为：ri=α+βijfj+ei（2）其中i=1,…,n；j=1,…,m。且E(ei)=0，cov(ei,fj)=0；cov(ei,ek)=0，ij。公式（2）即是多因素模型的表达式。二、套利定价理论概述当一项资产以不同的价格在两个市场进行交易时，投资者可以将该资产在低价市场买入的同时，在高价市场卖出，从而获得了净价格差。这个投资行为所获得的收益一定是正的，而且由于多头与空头头寸的互相抵消而不存在风险。这即是一个典型的套利行为。（一）套利举例假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，则有套利机会。套利过程是：第一步，投资者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元），签订一份远期利率协议，该协议规定该交易者可以按11%的价格于6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。第二步，该投资者按12%的利率贷出一笔1年期的款项，金额为1000万元。第三步，1年后投资者收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.12×1），并用1110万元（等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。（二）有关套利的概念所谓套利，即对同一个金融产品进行使净投资为零且能赚取正值收益的投资方式或行为。套利通常有两种类型：一种是空间套利，另一种为时间套利。前者是指同一资产在同一时间不同市场具有不同的收益率时，投资者利用这一状态所进行的套利行为。比如投资者在相对高价的市场卖出资产，而在相对低价的市场买入资产。在高价市场出售资产所得资金用于在低价市场购买资产，利用这种高低价市场的价格联系，获取套利。这种套利无需增加净投资额，由于交易的双方都是同时发生的，因而套利也是无风险的。时间套利是指同一资产在不同时间具有不同的收益率时，投资者利用此状态所进行的套利投资行为。比如投资者在当前购买（或卖出）一种资产，同时承诺在将来某个时间卖出（或买进）该项资产。它是在两个不同的时间同时进行的买卖一种资产的行为。套利机会的大量和持续性出现，意味着市场处于非均衡状态，此时投资者的套利行为将最终消除套利机会，使市场恢复均衡。这一状态下的市场称为无套利均衡，它是指即使很少的投资者能发现套利机会,并动用大笔资金获利,也能通过价格变动,很快恢复均衡的结果。（三）套利定价理论的假设套利定价理论主要建立在如下三个假设的基础上：1，与CAPM假定市场或市场组合一定是有效的相反，套利定价理论假设市场不一定是有效的。在一个有效的市场中将不存在任何套利机会。2，与投资组合理论和CAPM不同，套利定价理论假定投资者不一定是风险规避者。否则就不会有人去承担风险而实施套利行为。3，修改了CAPM关于投资者具有相同的预期这一关键性假设，套利定价理论假定投资者无需有相同的预期，否则同一资产不会形成不同的价格。由套利定价理论的以上假设我们看到，它实际上是从理论前提上对CAPM所做的修改。（四）套利定价理论的主要观点1，所谓套利行为，是指利用同一资产的不同价格赚取无风险利润的行为；在一个高度竞争的、流动性强的市场中，套利行为将导致差价的消失，最终使市场趋于均衡。2，APT理论认为，套利行为是市场效率（市场均衡）的决定因素之一。如果市场未达到均衡，市场上即存在套利机会，投资者即会利用差价买入或卖出，直至套利机会消失，市场恢复或达到均衡。3，套利机会主要表现于差价的存在，因此凡是影响价格的因素都会影响套利机会是否存在。4，根据无套利均衡原则，在因素模型下，具有相同因素敏感性的资产（组合）应提供相同的期望收益率。（五）构造有效套利组合需满足的条件一个有效的套利组合必须同时满足如下三个条件1，应是一个不需要投资者增加额外资金的组合。以△xi表示投资者对证券i的持有量的改变量，则该条件要求：△x1+△x2+…△xn=0（3）即组合中各证券之间的持有量具有替代性（有增加即有减少），但组合中所有证券持有量的总体变化为0（增减抵消）。这一条件表明投资者一方面要大量购入头寸，另一方面还要大量卖出头寸；而且买卖行为是同时进行的。2，该组合对任何因素都没有敏感性，即组合不存在额外风险。即：βpj=0（4）这正是所谓无风险套利的原因。3，组合的预期收益必须为正，即：x1E(r1)+x2E(r2)+…xnE(rn)>0（5）否则构建组合无意义。可见，有效的套利组合是有吸引力的：不需要额外资金、无额外风险、收益为正。三、套利定价模型套利定价模型也可以分为单因素模型和多因素模型。（一）单因素套利定价模型假设只有单个系统性因素影响证券的收益，即考察一个单因素的情况。在这一模型中，证券收益的不确定性来自两个方面：系统性因素和公司特有的因素。如果我们用F代表系统性因素的影响，βi表示公司i对该因素的敏感性，ei表示公司i特定因素的扰动，则该单因素模型可以表述为：ri=E(ri)+βiF+ei（6）上式即是单因素套利定价模型。公式（6）中，所有非系统性收益ei之间均相互独立，同时与F相互独立。为了理解F在单因素套利定价模型中的作用，我们假设宏观因素F代表GDP的意外变化比例。如果投资者一致认为今年GDP增长率为8％，而实际增长率为7％，则F值为－1％，表明在与期望增长率相比较时，实际增长率有1％的失望。如果我们进一步假定某股票的贝塔值为1.2，即可将该股票的收益较之前的预测降低1.2％。这即是F因素对证券收益的影响所在。例题：假设一个充分分散化的投资组合A，其βA＝1，预期收益为10％，则该投资组合的收益为：E(rA)+βAF=10%+1×F（7）如果宏观因素发生积极的变化，即F为正值，投资组合的收益将超过预期收益，反之如果F为负值，则收益将低于平均值。进一步，假设存在另一投资组合B，其预期收益为8％，βB＝1。那么，组合A和组合B如果同时存在，将导致套利机会的出现。以数字为例表述即是，如果我们做100万元的组合B的空头，同时买入100万元组合A，即实施一项净投资为零的策略，我们将获利2万元。即：[(0.1+1×F)×100万元]-[(0.8+1×F)×100万元]=2万元资产组合A做多头资产组合B做空头即我们获得了净收益2万元的无风险利润。这种情况下，投资者的套利行为必将使利差消失。（二）多因素套利定价模型以上的研究中，我们将系统性风险因素概括为一个抽象的F，这即是单因素套利定价模型的实质。而实际上，系统性风险是由多种因素构成的，如利率的变动、通货膨胀的变动等。考察这些因素的变动对预期收益的影响，即是所谓多因素套利定价模型（multi-factorsAPTmodel）。假设证券i的收益受k个系统性因素的影响：ri=E(ri)+βi1F1+βi2F2+…βikFn+ei（8）其中ri为证券i的收益率，E(ri)为证券i的预期收益率，βik是证券i对第k个因素的敏感度，ei为非系统性因素，且E(ei)=0。对于一个高度分散化的资产组合，由于非系统性风险将被分散掉，因此只有系统性因素需要给以风险补偿。证券i预期收益与这些系统性因素的关系为：E(ri)=λ0+βi1λ1+βi2λ2+…+βikλk（9）式中λ0为无风险因素所得到的补偿额，即无风险收益率（rf）；λk（其中k=1,2…k）为投资者承担第k个风险因素所得到的补偿额；βik为风险的衡量。当证券i对所有k个因素都不敏感时，该证券或证券组合即是零β或零风险组合。假设资产组合p1只与因素1有一个单位的敏感度，即βi1＝1，而：βi2＝βi3=…βik=0则：E(rp)=λ0+λ1βi1（10）由于βi1＝1，因此有：E(rp1)=λ0+λ1（11）从而λ1＝E(rp1)－λ0（12）即风险补偿额为预期收益率超过无风险收益率的部分。以上述方法类推其他λ值后，得到多因素APT模型：E(rp1)=λ0+βi1[E(rp1)-λ0]+βi2[E(rp2)-λ0]+…βik[E(rpk)-λ0]（13）例题：假设某股票的收益受到行业状态I、市场利率R和经济增长率G三种因素的影响，并假设E(rI)＝12％，E(rR)＝8％，E(rG)＝10％，且βI＝1，βR＝0.5，βG＝0.75。给定无风险收益率为6％。请用套利定价模型确定该股票的无套利均衡收益率。解：根据多因素套利定价模型，我们有：E(r)=λ0+βI[E(rI)-λ0]+βR[E(rR)-λ0]+βG[E(rG)-λ0]=6%+1(12％-6%)+0.5(8％-6%)+0.75(10％-6%)=16％即该股票的无套利均衡收益率为16％。（三）套利定价模型的应用这里我们以单因素套利定价理论为例，观察套利定价理论在投资决策中的应用。单因素套利定价模型为：ri=E(ri)+βiF+ei假设投资者持有A、B、C三种股票，△xA为第I种股票的改变量，则根据公式（3）、（4）和（5），构建套利组合必须同时满的三个条件可以表述为：△xA+△xB+△xC=0①βA△xA+βB△xB+βC△xC=0E(rA)△xA+E(rB)△xB+E(rC)△xC>0即净投资为0、风险为0且收益为正。根据方程组①中的前两个公式，可以得出无穷多组解，因此可以任取△xA＝m，则方程组①中的前两个条件为：m+△xB+△xC=0②ΒAm+βB△xB+βC△xC=0解方程组②可得：△xB=(βA-βC)m/βC-βB,△xC=(βA-βB)m/βB-βC将△xA、△xB和△xC的值代入方程组①中的第三个条件，得：E(rA)m+E(rB)[(βA-βC)m/βC-βB]+E(rC)[(βA-βB)m/βB-βC]>0(14) 只要式（14）成立，即就意味着存在套利机会。投资者只要对变动量为负的股票做空头，而对变动量为正的股票做多头，就可达到无需追加资金，而且又不冒任何风险的情况下获利（若ei十分小）。为了说明这一结果，假设βA＝0.8，βB＝1.8，βC＝3；并假设E(rA)＝0.16，E(rB)＝0.1，E(rC)＝0.24。将这些已知数代入方程组①，得到：△xA+△xB+△xC=0③0.8△xA+1.8△xB+3△xC=00.16△xA+0.1△xB+0.24△xC>0任意设△xA=6万元，代入方程组③的前两个条件，得到：△xB=-11万元，△xC=5万元将△xA=6、△xB=-11、△xC=5代入方程组③的第三个条件，得：0.16×6－0.1×110.24×5=1.06>0即存在套利机会。投资者通过减持股票B而获取的11万元的资金用于购买6万元的股票A和5万元的股票C，股票变动量的净额为0，而投资者的股票总市值保持不变。最终的结果是投资者既不增加投资，又不承担风险，只要预期收益率能够实现，就可以套取1.06万元的现金收益。