2.3一元二次方程根的判别式1．我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的________________，记作____，即____＝b2－4ac.2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)当Δ____0时，方程有两个不相等的实数根，其根为x1＝_____________，x2＝_______________；(2)当Δ____0时，方程有两个相等的实数根，其根为x1＝x2＝____________；(3)当Δ____0时，方程没有实数根．根的判别式ΔΔ＞＝＜eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)－eq\f(b,2a)知识点1利用判别式判断一元二次方程根的情况1．(3分)(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac满足的条件是()A．b2－4ac＝0B．b2－4ac＞0C．b2－4ac＜0D．b2－4ac≥02．(3分)(2014·自贡)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根BD3．(3分)(2014·苏州)下列关于x的方程有实数根的是()A．x2－x＋1＝0B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0D．(x－1)2＋1＝04．(3分)一元二次方程x2－5x＋3＝0的判别式Δ＝____，此方程的根的情况是_________________________．C13有两个不相等的实数根5．(8分)不解方程，判别下列一元二次方程根的情况．(1)x2－x＋1＝0；解：∵Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，∴此方程没有实数根；(2)2x2＋5x＝4；解：∵Δ＝52－4×2×(－4)＝57>0，∴此方程有两个不相等的实数根；解：∵Δ＝0，∴此方程有两个相等的实数根；(3)4x2－2x＋eq\f(1,4)＝0；(4)－eq\f(1,2)x2－x－1＝0.解：∵Δ＝(－1)2－4×(－eq\f(1,2))×(－1)＝－1，∴此方程没有实数根．知识点2一元二次方程根的判别式的应用BD6．(3分)(2014·汕头)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为()A．m＞eq\f(9,4)B．m＜eq\f(9,4)C．m＝eq\f(9,4)D．m＜－eq\f(9,4)7．(3分)若关于x的方程式x2－x＋a＝0有实数根，则a的值可以是()A．2B．1C．0.5D．0.258．(3分)(2014·镇江)若关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝_____________．9．(3分)若一元二次方程x2＋2x＋m＝0无实数解，则m的取值范围是__________．m＞1eq\f(1,4)10．(8分)已知关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．解：(1)依题意得：Δ＝64－36(a－6)≥0，且a－6≠0，解得：a≤eq\f(70,9)，且a≠6，即a的最大整数值为7；(2)当a＝7时，x2－8x＋9＝0，解得x1＝4＋eq\r(7)，x2＝4－eq\r(7).11．(2014·益阳)一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是()A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤112．关于x的一元二次方程x2－2ax－1＝0(其中a为常数)的根情况是()A．有两个不相等的实数根B．可能有实数根，也可能没有C．有两个相等的实数根D．没有实数根DA13．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋a＋b＝0的根的情况是()A．没有实数根B．有且只有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根A14．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋1＝0的根的判别式的值为5，则k的值为_____________．15．关于x的一元二次方程(a＋1)x2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________________．16．(2015·山西模拟)定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn＝_________．－5或1a＞－5且a≠－1－217．(8分)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求eq\f(ab2,（a－2）2＋b2－4)的值．解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4a＝0，∴b2＝4a.∴eq\f(ab2,（a－2）2＋b2－4)＝eq\f(ab2,a2＋b2－4a)＝eq\f(ab2,a2)＝eq\f(b2,a)＝eq\f(4a,a)＝4.18．(10分)已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)求证：x＝－1不可能是此方程的实数根．(2)证明：若x＝－1是方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0的实数根，则有(－1)2＋2(k＋1)＋k2＝0，即k2＋2k＋3＝0.∵Δ＝b2－4ac＝－8<0，故此方程无实数根，k值不存在，∴x＝－1不可能此方程的实数根．解：(1)∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(k＋1)2－4k2＞0，∴k＞－eq\f(1,2)；【综合运用】19．(12分)(2014·北京)已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．解：(1)证明：∵m≠0，Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2－4m＋4＝(m－2)2，而(m－2)2≥0，即Δ≥0，∴方程总有两个实数根；(2)解：将方程因式分解为(x－1)·(mx－2)＝0，x－1＝0或mx－2＝0，∴x1＝1，x2＝eq\f(2,m)，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2.
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