微积分知识整理

1 第一章 极限与连续 一、函数 1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件） 2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义（以递增为例）： 上严格单调递增。在 改为＜，则上单调递增；将在，则时＜，若 f ff Dxf DxfxfxfxxDxx )( )()()(, 212121  *有界的定义： 上有界。在，则，都有，对于＞ AxfMxfDAxM f )(|)(|0  （f(x)≥m∈R，则 f(x)下有界；反之则上有界。只有既上有界又下有界的函数才是 有界函数。） 3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数 *题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。 *反函数存在的可能情况：①y与 x一一对应；②f(x)是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同） * 。时，；当时，；当 xxffRxxxffDxRD ffff   ))(())(( 111 4、初等函数：包括 6大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。 二、数列的极限 1、数列的定义及 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示方法 2、数列的性质：单调性、有界性 3、数列极限的定义：ε-N语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 N；绝对值不等式与不等式放缩也很重要） 4、极限的四则运算 5、无穷小量的性质 （1） 是无穷小量。，则若 }{lim AaAa nn n   （一种证明极限的方法） （2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。 （3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。 6、收敛数列的性质 （1）收敛数列必然有界 （2）收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。（☆逆否命题：如果一个 数列有发散子列或是有两个极限不同的收敛子列，则该数列发散。） （3）夹逼性（注意夹条件与逼条件） （4）*保号性： .00lim ＞时，＞，当，则必然存在＞若 nn n aNnNAa   （小于 0类似） 7、无穷大量的两个定义： 高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 A知识整理 2 。＞时，＞，当，＞）（ 为无穷大量；为无穷小量，则）若（ KaNnNK a a n n n ||02 }{} 1 {1  8、数列收敛的判定方法与极限的求解 （1）利用极限的定义（先知道极限才能使用，技巧性略强） （2）单调有界数列必收敛（不能同时求出极限，往往用于递推式） （3）利用子列的收敛性（可以直接得出极限，逆否命题常用于判断发散） （4）柯西收敛准则（不能同时求出极限，往往用于求和式） （5）Stolz定理： 。，则，而严格单调递增且若 A b a A bb aa bb n n n nn nn n n n n      limlimlim}{ 1 1 （可以同时 求出极限，常常用于比值形式的式子） （6）递推式求极限：不动点法—— 。，则，且 )(lim)(1 AfAAaafa n n nn   （7）平均值法： 。，则若 A n aaa Aa n n n n   ... limlim 21 （8）利用定积分的定义求极限。需要配凑 Riemann和的形式。 9、几个重要数列的极限 ....) ... (lim},...,,max{) ... (lim5 100lim4 !lim3 1lim2 1lim01 21 11 2 1 1 21 1 21 k k n n k nn n k n n k nn n n k n n n n n n n aaa k aaa aaa k aaa ak a n n n aa           ；）（ 为常数；＞，，其中）（ ；）（ ；）（ ；时，＞）（ 10、数列极限型函数的表达式： 。),(lim)( xngxf n   处理方式：对 x分类讨论，在各种情况下将 x视为常数，对 n求极限。 . 数。最终结果要写成分段函 。时，＜＜③当 ；时，②当 ；时，＞①当 。。求，例如： 1 10 10 12 1 lim)(10 3 2 )(1 2 1 1 2 1 1 lim)(1 )( 12 1 lim)(               n n n n n n n n n x x xfx xfx x xxfx xfRx x x xf 3 三、函数的极限 1、函数极限的定义：ε-δ语言（某点 x0处）、ε-M语言（x→∞时）。 2、数列极限与函数极限的关系：Heine定理 ）可以是。（，有满足对任一数列   aAxfaxxAxf n n n n n ax )(limlim}{)(lim 逆否命题： 。不都存在或者与且 ，，满足存在两个数列不存在 )(lim)(lim)(lim)(lim limlim}{},{)(lim n n n n n n n n n n n n nn ax yfxfyfxf ayxyxxf     3、极限的性质： （1）四则运算、连续函数极限的复合运算； （2）夹逼性； （3）*保号性； （4）（函数）局部有界性： 有界。的一个邻域内，，则在若 )()(lim xfaAxf ax   （5）有序性： 。（反过来未必成立）的一个邻域内成立，则）在（或者＜若 )(lim)(lim)()( xgxfaxgxf axax   4、两个重要极限： 。； ex xx x x x x xx   1 00 )1(lim) 1 1(lim1 sin lim （x也可以是中间变量） （求极限时注意配凑出这两个极限） 5、单侧极限（可以用来判断某点极限是否存在） 四、连续函数 1、连续的定义： 。)()(lim 0 0 xfxf xx   （左连续、右连续） 2、连续的三个必要条件： 。存在，处有定义，在 )()(lim)(lim)( 00 00 xfxfxfxxf xxxx   3、连续性在四则运算、复合运算、反函数中的保持。 4、间断点（可去、跳跃间断点为第一类，其余为第二类） （1）无穷间断点：f(x)在此点无定义并且趋向于∞。 （2）*振荡间断点：函数值在此点附近无限快地振荡， 处。在如 0 1 sin)(  x x xf （3）可去间断点：对这一个点的函数值进行补充定义或调整，可以使函数在此 点连续，即 不存在。，或存在但不等于 )()()(lim 00 0 xfxfxf xx （4）跳跃间断点： 存在但不相等。与 )(lim)(lim 00 xfxf xxxx   5、一切初等函数在其定义域内均连续。 6、闭区间上连续函数的性质 （1）有界；（2）存在最大值和最小值；（3）介值定理；（4）零点存在性定理。 7、连续型无穷小的比较 4 （1）x→0时， ；，则＜＜若 )(0   xx  （2）x→+∞时， 。，则＜＜＜若 )(10 xx baba  （3） ). ln 1 ( 1 0 ln lim0 xx x x x p ppx   时有，即，有对任意 （4）等价无穷小替换： 。，，，，时， xxxxe n x x x xxxxxxx xn arctan~~arcsin,~1~11 2 ~cos1~)1ln(tan~~sin0 2  注：等价无穷小替换只有在乘除运算中才可以随意使用，同号无穷小相减，可能 会产生 x的高阶无穷小。 8、函数图像的渐近线：垂直渐近线 x=x0。斜（水平）渐近线 y=ax+b。其中 。， ])([lim )( lim axxfb x xf a xx   注意 x→+∞与 x→-∞的情况可能不一样。 第二章 导数与微分 一、导数 1、导数的定义（不能忽视，也是求导的常用方法）： . )()( lim )()( lim)(' 0x x afxaf ax afxf af ax     （如果 f(a)=0或者 a=0，注意分子分 母可能需要补 0） （注意左导数、右导数的概念） 2、可导必定连续，连续未必可导。 3、导数的四则运算（略） 注意 '.......'......')'...( 21212121 nnnn ffffffffffff  4、复合函数的导数：[f(g(x))]’=f’(g(x))g’(x)。（链式法则） 5、 . )(' 1 )]'([0)(')(),( 0 0 1 000 xf yfxfxfyyx  ，则可导且处，反函数的导数：若在点 6、初等函数的导数公式 5 . 1 1 ln 2 1 arth),1ln(arch),1ln(arsh ,th, 2 ch, 2 sh 22 x x xxxxxxx ee ee x ee x ee x xx xxxxxx       其中， 7、对数求导法 )].(' )( )( )(ln)('[)()(' )(' )( )( )(ln)(' )( )(' )(ln)()(ln)()( )( )( xu xu xv xuxvxuxf xu xu xv xuxv xf xf xuxvxfxuxf xv xv    8、几个重要的高阶导数 )( .1,0 ,)1)...(1( )( ! )1() 1 ( )!1()1()(ln ) 2 cos()(cos ) 2 sin()(sin {)( 1 )( 1)( )( )(           Nk kn knxnkkk x x n x xnx n xx n xx nk nk n nn nnn n n   9、高阶导数的莱布尼茨公式： ).()()]()([ )()( 0 )( xgxfCxgxf ini n i i n n    二、微分 1、微分的实质： ).(d)(')('d 000 xyxxfxxfyx  处，在可微的 2、对于一元函数，可微等价于可导。 3、微分的四则运算（略） 4、复合函数的微分——一阶微分形式不变性（Pfaff form）： . d d d d d d x u u y x y  5、参数方程的微分： . d d ) d d ( d d d d d d d d d d 2 2 t x x y t x y t x t y x y  ， 6、近似计算： .)(')()( 000 xxfxfxxf  *7、误差估计： ，，相对误差，则绝对误差，近似值精确值 || || 0 00 x x xxxxx   6 .| )( )(' ||)('|)( || * 0 00* 0 0 * xyxy x xx xf xfx xfxfy x x   ，，则。若，相对误差限上界为绝对误差限 三、微分学中值定理及其应用 1、一切的大前提：f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。（证明时要给出这 两个条件！） 2、Fermat引理：可导极值点处导数等于 0。 3、Rolle中值定理： .0)('),()()(   fbabfaf 使得存在 4、Lagrange中值定理： . )()( )('),( ab afbf fba    使得存在 →推论：（1）f ’(x)=0，则 f(x)=C。 （2）f ’(x)=g’(x)，则 f(x)=g(x)+C。 5、Cauchy中值定理： . )(' )(' )()( )()( ),(   g f agbg afbf ba   使得存在 6、使用中值定理的注意点： （1）要有运用中值定理的意识，将其当成做题时考虑的对象之一； （2）学会在高阶导数情况下多次运用中值定理； 中值定理求解。），运用（如的式子时要构造）在遇到例如（ Cauchy)( 2 )(' 3 2xxg f   （4）补 0是常用方法； ☆（5）构造函数很重要，要熟悉一些常见的变形： 做积分）造，实质是对这些式子要有意识地尝试这些构（在看到相关的式子时 ）（ ；）（ ；）（ ）（ ；）（ . ))]'(')(([ )('')(')(')()('')(5 |]')(|[ln )( )(' 4 ]' )( [)()('3 ; )]'([ )(')(2 )]'([ )()('1 1 x x x x x x n n e xfxfe xfxfxfxfxfxf xf xf xf e xf exfxf e xfe xfxf x xfx xnfxxf       7、 。或归到等情况，但最终都应回，，，，法则：用于     0 0 0,1- 0 0 Hospital L' 00 而且，此法则不是万能的。 8、 余项）（公式： Peano].)[()( ! )( )(Taylor 00 0 0 )( nk n k k xxxx k xf xf    7 （只需知道前几项）。)( 15 2 3 tan );0)(( )1( ... 32 )1ln( );( ! )1)...(1( ... !2 )1( 1)1( 55 3 132 2 xx x xx x n xxx xx xx n n xxx n nn nn        *Taylor展开对一切中间变量 u都成立，即对于在 a处连续的函数 g(x)，有 ].))()([())()(( ! ))(( ))(( 0 )( ni n i i agxgagxg i agf xgf    *Taylor展开的应用：近似计算、求极限、证明一些与高阶导数有关的结论…… ★在此总结一下求函数极限的一些方法： 型式子时几乎万能）量的项都出现。在处理开到所有能产生该阶小 ，一定要展（在确定式子阶数之后开的项数以配凑次数。展开：可以自行选择展）（ 能使用；，注意不是不定型的不简单或可以计算时使用法则：求导之后会变得）（ 的情况）；必须转化为某变量趋向，再用取整函数夹逼（）先证明相关数列收敛（ 求对应数列的极限；定理：可以用函数极限）（ 更高阶的无穷小）；减法中慎用，避免产生）等价无穷小替换（加（ 等；，补，， ，，，）代数变形，如（ 用）；语言（较繁琐，极少使）（ 0 0 Taylor7 Hospital L'6 5 Heine4 3 0)( )( )( ...1 1 2 -1 )(ln)()(ln 121      xfxgxgaxx nnn nn n n exfx x xf xfea bbaa bbaa ba bax x x  四、函数的单调性与凸性 1、用一阶导数的符号判断函数的单调性：注意，可导函数在某区间单调递增（递 减）的充要条件是 f’(x)≥0（≤0），等号不能少。另外，极值点是 x的值而不是一 个点。 8 的重要性）。（再次提醒补 ，且存在，则，若连续可导函数一个有趣的结论：对于 0)(' )( lim 0)( )( lim)(* af ax xf af ax xf xf ax ax     2、几个概念 （1）极值点：使得 f(x)在 x附近的一个邻域内取得最值的 x的值。函数在极值点 处不一定可导，但只要可导，则其导数等于 0。 （2）临界点（驻点）：在该点处可导且导数为 0的 x的值。临界点不一定是极 值点，可能只是函数变化过程中在此点的瞬时变化率为 0，其两侧的单调性可以 相同。 3、函数取极值的充分条件：极值点的左右邻域内导数值异号（一边≥0，另一边 ≤0）。 4、用一阶、二阶导数判断极值点：若 f ’(x0)=0且 f ’’(x0)≠0，则 x0是 f(x)的极值点。 （f ’’(x0)>0为极小值点，f ’’(x0)<0为极大值点） *通过 Taylor展开做出的推广：若存在正整数 n使得 f(x)在 x0处的前(2n-1)阶导数 都等于 0，而 2n阶导数不等于 0，则 x0是 f(x)的极值点。 5、求函数在闭区间上最值的步骤：求极值→求端点值→比较以上各值。 . )(...)()( ) ... (],[...],[)(* ],[)( 2 )()( ) 2 ( ],[)(],[6 2121 21 2121 21 n xfxfxf n xxx fbaxxxbaxf baxf xfxfxx f baxxxfba nn n    ，，，，上下凸在推论： 。上下凸。反之则为上凸在 ，，与上的连续函数、凸性的定义：对于 7、用二阶导数判断凸性：仍然注意≥与≤的等号不能少。另外，拐点是点而不是 x的值。 8、拐点的实质：两侧邻域内凸性相反的点。可以二阶不可导，但一旦二阶可导 则二阶导数等于 0。 9、函数草图的描画步骤 （1）确定函数 f(x)的定义域。如果有奇偶性、周期性，也需指出； （2）计算 f ’(x)，找出所有驻点与不可导点，确定 f(x)的单调区间与极值（ 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 ）； （3）计算 f ’’(x)，确定 f(x)的凸性区间与拐点（表格）； （4）讨论曲线的渐近线； （5）将极值点、拐点处的函数值求出，如需要增加图像的准确性，可以再取几 个特殊点。 （6）最终图像效果的衡量：单调性、凸性是否正确，渐近线是否正确并画全， 关键点处函数值是否正确。 *五、用 Newton切线法求方程的近似解 1、基本原理：在 f(x)零点ξ所在小区间[a,b]的端点处作切线，此切线与 x轴交于 (x1,0)；再作(x1,f(x1))处的切线，此切线与 x轴交于(x2,0)；以此类推，数列{xn}将 收敛于ξ。 2、数列{xn}的递推式： .)(' )( 1 n n nn xf xf xx  9 3、误差估计： ， 2 1 ||2 ||   nn xm M x 其中 M是|f ’’(x)|在[a,b]上的最大值，m是 |f ’(x)|在[a,b]上的最小值。 第三章 一元函数积分学 （本章重难点在于不定积分和非初等定积分，其余的部分稍微简略一些） 一、定积分的概念 1、Riemann和：对闭区间[a,b]做分割 a=x00） 。）（ ；）（ ；）（ ；）（ ；）（ ；）（ ；）（ ；）（ ；）（ ；）（ ；）（ ）；（）（ ）；（）（ ；）（ ；）（ ；）（ ；）（ ；），，（）（ ；）（ ）；（）（ C a xa xa x xxa Caxx a ax x xax Caxxx ax Cxxx Cxxx Cxxxx Cxxxx C x Cxxxx C x x Cxxxx Cxxx Cxxx aC a x a x xa aC a x x xa Cxxxx x Cxxxx x Cxxx Cxxx CexeaaC a a xa Cxx x C x xx xx x x                                              arcsin 22 d20 ||ln 22 d19 ||lnd 1 18 sinhdcosh17 coshdsinh16 cscdcotcsc15 secdtansec14 | 2 tan|ln|cotcsc|lndcsc13 | 2 tan1 2 tan1 |ln|tansec|lndsec12 |sin|lndcot11 |sec|lndtan10 0arctan 1 d 1 9 0arcsind 1 8 cotdcscd sin 1 7 tandsecd cos 1 6 sindcos5 cosdsin4 d10 ln d3 ||lnd 1 2 1 1 d1 2 2222 22 2 2222 22 22 22 22 2 2 2 2 1    注意：最后三个公式都可以用分部积分公式推导，其中只有（18）可以直接使用。 11 三、积分方法 ）。（根号中为）和（根号中为 的式子，分别可以令者使用。遇到）双曲换元：建议熟练（ 理式。均可以换元，转化为有，）根式换元：（ 。）通通转化为，再利用平方关系把分 的积分，然后凑微化成只含数有理式，可以尝试转平方关系，对于三角函 既有导数关系又有与。（注意令；④出现令 ；③出现令换；②出现）三角换元：①万能代（ ）。，的形式（ 可分解为次多项式基本定理，即任意 以上分解运用了代数）。的形式（ 分解为分解，将真分式）有理式：运用（ 22 22 2 22 2222 22 11 2 1 1 1 2 2 1 1 cosh sinh4 3 tansec)(tanddsec sec tansecsectan sin2 104)...()()...()( )( 04 )()( )( )( кийОстроградс1 11 atxa txax fex dcx bax xxxxx x xxtxaxtx axtaxxa qixxxxxxxx xPn xx CxB xx A xP xP n n ii l qq lk p k n q j l i iii jj jiji p j k i i j ji n m qp jj                 （4）凑微分法：通过代数变形巧妙凑出 g’(x)dx的形式，将其化为 dg(x)。 常见的变形：分离常数（有理式），加上再减去，乘上再除去，裂项（因式分解的积 累）， ... )( )( )( xf xf xf  （5）分部积分：①凑 dv(x)微分的推荐顺序：三角→指数→幂函数→对数→反三角。 的方程。时相当于解关于且无法与左边抵消，此可能会再次出现 。注意等号右边容易求的情况下较好用在②    )(d)()(d)( )(d)().(d)()()()(d)( xvxuxvxu xuxvxuxvxvxuxvxu 备注：不定积分换元求完以后要从其他变量回到关于 x的表达式；定积分换元以后要 注意积分上下限的变化。 （6）其他的常用公式 ）（ ；⑤ 连续，则④设 ；上连续，则在③若 ；为周期的连续函数，则是以②若 为偶函数时。，当 为奇函数时，，当 上连续，则在①若 0. !)!12( !)!2( dcosdsin 2!)!2( !)!12( dcosdsin .d)(cosd)(sind)(sin 2 d)(sin)( d)(d)(],[)( d)(d)()( )(d)(2 )(0 d)]()([d)(],[)( 2 0 122 0 12 2 0 22 0 2 2 0 2 000 0 0 0                  n n n xxxx n n xxxx xxfxxfxxfxxxfxf xxbafxxfbaxf xxfxxfTxf xfxxf xf xxfxfxxfllxf nn nn b a b a TTa a l ll l      12 四、定积分的应用 （1）弧微分： .d)(')()( .d)(')(')()( .d)('1],[ .d)('1)d()d(d 22 22 2 0 222 0              rrsrr ttytxsttyytxx xxfsba xxfyxsx b a ，有，对于极坐标系中的曲线 ，有，，对于参数方程 上的弧长可以用此公式计算 长点附近一小段曲线的弧 为曲率。，其中曲线的曲率半径 K y ys K | '' )'1( | d d1 2 3 2  （2）平面图形的面积 .d)( 2 1 )( .d))()((dddd )}()(|),{( 2 )( )(            rA rr xxfxgyxyxA xgyxfbxayxD b a b a xg xf D 围而成，则图形的面积 ）包（，和直线图形由曲线②在极坐标系中，若一 则该图形的面积 ，，对应点集一图形①在直角坐标系中，若 （3）立体图形的体积 .d)( ),( .d)( )( 2     b a b a xxfV xbxaxfy xxAVbxa xAxx  何体的体积为轴旋转一周所形成的几绕②旋转体：由曲线 ，则几何体的体积 ，的函数轴方向的截面积是，若一几何体在垂直①在空间直角坐标系中 （4）旋转曲面的面积 .d)('1)(2 )( 2   b a xxfxfA xbxaxfy  面的面积为轴旋转一周所形成的曲绕，由曲线 （5）平均值：函数在区间[a,b]上的平均值 。可用于等效计算。 ab xxf y b a   d)( 13 五、反常积分（广义积分、瑕积分） 1、定义 .d)(limd)(],[)( d)(d)(d)(d)(limd)( 0           b c b c a aA a A a xxfxxfcbaxf xxfxxfxxfxxfxxf  ，有上的无界点在对于 ；； 2、反常积分敛散性的判别 （1）直接利用定义。注意： 才收敛。均收敛时，与当     xxfxxfxxf a a d)(d)(d)( （2）比较判别法：①若在[A,+∞)上有|f(x)|≤g(x)，则对于 ajl的数 对(k,l)的个数称为 j1,j2,...,jn的逆序数，记作τ(j1,j2,...,jn)。 （2）n阶行列式的本质计算式： 列所得的行列式。行与第即行列式中去掉第为余子式。 为代数余子式，，其中 ）余子式算法：（ ji AAa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa ijij ij ji ij n j ijij nnnn n n jjj njjj jjj nnnn n n n n n        )1( ... ... ... ... 3 ....)1( ... ... ... ... 1 21 22221 11211 ,...,, 21 ),...,,( 21 22221 11211 21 21 21 2、行列式的性质 （1）|A|=|AT|； （2）互换行列式的两行（列），行列式的值变号； （3）若行列式有两行（列）成比例，则行列式的值为 0； （4）两个仅有一行（列）不同的行列式的和，等于将该行（列）相加，其余行 （列）不变的行列式； （5）★将行列式的某一行（列）乘以一个数加到另一行（列），行列式的值不 变。 （6）三角形行列式的值等于主对角元素的乘积。 注：①在计算阶数已知的行列式时，先看是否有成比例的行（列），如果没有， 则不断用其他性质进行化简，如果实在化不成对角行列式，应适时放弃变换，在 某一行 0元素较多时即可直接展开，然后对余子式进行转化，层层递进； ②对于阶数 n未知的行列式，往往有一定规律（否则难以计算），一般来说需要 所有行（列）参与变换，而不是仅仅变换其中某些部分，如将下面的所有行加到 第一行，或是将第一行加到下面所有行等等。 （7）      .,0 ,|,| ||Laplace 1 ji ji Aa ij n k jkik A A 定理）（ （8）|AB|=|A|·|B|； （9） .||, BA BO OA ||BA ，有对于方阵 16 三、逆矩阵 1、逆矩阵的定义：A-1满足 AA-1=A-1A=I。 2、逆矩阵存在的充要条件：|A|≠0。 3、逆矩阵的求解 （1）直接计算： 矩阵；的代数余子式）是伴随是（，其中 jijinnji aA   )(* || *1 AA A A A （2） ；T11T )()(   AA （3） ；111)(   AΒAB （4）初等变换法： （换行，倍乘某一行，，对其进行初等行变换构造矩阵 )( IA 将某一行乘以一个数加到另一行），直至左边变为 I，此时右边的矩阵就是 A-1。 四、解线性方程组的两种简单方法 1、Cramer法则：对于 n元线性方程组 Ax=b，如果|A|≠0，则方程组有唯一解 x=A-1b，且 x的分量 后的行列式。列换成的第是将，其中 bAA A A ix i i i |||||| || （计 算量略大） 2、Gauss消元法：构造增广矩阵 )( bA ，对其进行初等行变换，直至： （1）A的部分变为三角形矩阵，则可一步步迭代得到结果； （2）A的部分变为单位矩阵，则 b的部分变为解向量。 第五章 线性变换、特征值和二次型（略） 第六章 空间解析几何 一、三维向量的更多运算 1、外积（叉积，矢量积）： . 321 321 bbb aaa kji ba  性质：（1） 的夹角。与为，其中 bababa sin （2） 构成右手系。，， baba  （3）反交换性 （4）满足分配律与线性性 2、混合积： .)(),,( 321 321 321 zzz yyy xxx  zyxzyx 性质：（1）轮换性 （2）反对换性 （3）混合积的几何意义是三个向量张成的平行六面体的体积。 （4）三个三维向量共面的充要条件是它们的混合积等于 0。 二、平面与直线 1、平面的方程 （1）点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。其中法向量为(A,B,C)，(x0,y0,z0)为 平面上一点。 17 （2）三点式方程： .0 332211 332211 321     zyzyzy zxzxzx zzzyzx （3）截距式方程： .1 c z b y a x （4）一般式方程：Ax+By+Cz+D=0. 2、直线的方程 （1）点向式（对称式）方程： 为直线方向向量。，其中 ),,(000 lnm l zz n yy m xx  （2）参数方程： )( . , , 0 0 0 Rt ltzz ntyy mtxx        （3）两点式方程： . 01 0 01 0 01 0 zz zz yy yy xx xx     （4）一般式方程（转化为两个平面的交线）：     .0'''' ,0 DzCyBxA DCzByAx （在此，直线的方向向量可以选为两平面法向量的外积） 3、距离与夹角公式 . 6 .arcsin5 .arccos4 .arccos3 . 2 . *** *)*,*,(0. 1 21 21 21 21 0 0 222 0 0 n n n ln ln ll ll nn nn l l l n n n                PQ dml mQlPml PP LP LPLLP CBA DCzByAx d zyxPDCzByAx PP d PPP 的距离与则 与两直线都垂直，，向量，异面，与直线）异面直线的距离：设（ ）直线与平面的夹角：（ ）两直线的夹角：（ ）两平面的夹角；（ 的距离为到则 ，的方向向量为，上有一点的距离：设直线到直线）点（ ，则，的方程为若 的距离到，则的法向量为，上有一点的距离：设到平面）点（      18 三、空间曲面与曲线 1、曲面一般方程：F(x,y,z)=0。 2、曲面方程的推导 （1）用定义求方程（如球面方程的推导）； （2）旋转曲面方程：先选择原曲线上一点，再研究它绕某轴旋转时坐标发生 的变化。基本原理——绕着某坐标轴旋转，则点的该坐标保持不变；又点离 该轴的距离不变，所以另两个坐标的平方和也不变。例如， .0),(0),( 22  zxyfzzyfOyz 是轴旋转产生的曲面方程绕上的曲线平面 3、柱面 （1）定义：给定一条曲线 C与一条直线 l，则由平行于 l的直线沿 C运动得 到的曲面叫做柱面，C称为准线，l称为母线。 （2）方程中只含两个坐标的曲面是柱面。例如方程 x2+y2=a2在三维空间内表 示圆柱面， 柱面。在三维空间内表示椭圆方程 1 2 2 2 2  b z a x （3）当准线 C是直线时，柱面退化为平面。 4、空间曲线方程：（1）看作两个曲面的交线     .0),,( ,0),,( zyxG zyxF （2）参数方程       ).( ),( ),( tzz tyy txx 5、几种重要的二次曲面 （1）球面：(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2； （2）椭球面： 为椭圆（或圆）；，用坐标平面截得的均1 2 2 2 2 2 2  c z b y a x ）截得抛物线。（马鞍面或截得两条直线，用平面 面截得的是双曲线，用平，用平面）双曲抛物面：（ 截得的是抛物线。 截得的是椭圆，用平面，用平面）椭圆抛物面：（ 。）锥面：（ 截得的是双曲线。平面 ）截得的是椭圆，用（，用平面）双叶双曲面：（ 截得的是两条直线。平面）截得的是双曲线，用（ 截得的是椭圆，用平面，用平面）单叶双曲面：（ 00 02 2 2 2 002 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 002 2 2 2 2 2 0 002 2 2 2 2 2 007 06 05 ||14 || 13 yyxx zzz b y a x z yyzz b y a x z c z b y a x yy czzz c z b y a x byby yyzz c z b y a x         19 第七章 多元函数微分学 一、n维空间中与点有关的基本概念 1、n维空间中的点与 n维向量一一对应。 2、空间点的邻域与去心邻域。 3、内点、外点、边界点、内部（  S）、边界（∂S）、开集、闭集、补集（余 集）、闭包 4、线段、折线、连通、开区域、闭区域、有界与无界点集 二、多元函数的基本概念 1、多元函数的定义域、值域：前者是 n维向量的集合，后者是数集。 2、等高线：曲线     kz yxfz ),,( 是函数 z=f(x,y)的一条等高线，它位于空间中， 不同的等高线一般不共面。将其投影至 xOy平面中的曲线 f(x,y)=k为对应的 等位线，所有等位线均共面。（等位线只能取出函数值相同的点，不能体现 函数值的大小关系，更不能表示函数的图象） 三、多元函数的极限 1、定义：ε-r语言。 2、多元函数中，自变量可以从任何方向趋向某点，只有在任意方向均取得同 一极限时才有极限存在。（类似于一元函数的 Heine定理 3、） 4、多元函数连续的充要条件： ).()(lim)( 00 0 xxxx xx fff 存在且等于处有定义，在  5、多元函数连续性的性质：多元连续函数在四则运算后仍连续；一元连续函 数与多元函数复合后的函数仍连续。 )).(())(lim()(lim 0 00 xxx xxxx fgfgfg    6、n元初等函数：n维向量 x的 n个分量的初等函数经过四则运算和与一元 初等函数复合之后所得的函数是 n元初等函数。 7、有界闭区域上连续函数的性质：①有界；②有最大值与最小值；③介值定 理。 8、向量值函数 （1）定义：对于 f：Rn→Rm，x y，即 y=f(x)，它表示将 n维向量与 m维 向量建立关系。其本质是由 m个 n元函数组成的函数组。 （2）向量值函数的极限： .0||)(||lim)(lim 00   axfaxf xxxx （3）向量值函数的连续性： ).()(lim 0 0 xfxf xx   （4）向量值函数连续的充要条件：f=(f1,f2,...,fm)连续，等价于 f1,f2,...,fm均连续。 （5）连续向量值函数的复合仍连续。 20 四、全微分与偏导数 1、全微分的实质：存在线性函数 k使得 f(x0+Δx)-f(x0)=k(Δx)+ο(||Δx||)，也即存在向 量 a=(a1,a2,...,an)使得 df=a·Δx=k(Δx). .d...dd...)(d2 22112211 nnnn xaxaxaxaxaxakf  x、全微分的定义式： 3、偏导数： . ),...,,...,,(),...,,...,,( lim)(' 000 2 0 1 000 2 0 1 0 0 0 i ninii x x i x xxxxfxxxxxf f x f i i     x x （使 其中一个变量变化，其余变量可以看作常数，然后对那一个变量求导数） 4、连续不一定可微，也不一定可偏导。多元函数中可偏导不一定连续（不能保证别 的任意方向都连续），也就不一定可微。可微一定在任意方向连续并且可偏导。 *全微分与偏导数的关系： .dd 1     n i i i x x f f *f(x)在某点处可偏导且偏导数都连续，等价于 f(x)在该点处可微。 4、近似计算： ).)(,('))(,('),(),(),( 0000000000 yyyxfxxyxfyxfyxfyx yx 附近，在点 5、高阶偏导数： 的顺序）与（注意几种写法中 jixx ijij xxf xx f x f x ji ).('' 2 x         *Schwarz定理： ).,(''),(''),('''' 000000 yxfyxfyxff yxxyyxxy 处连续在与 6、向量值函数的微分与偏导数 . ... ... ... ... 2 )( )()('ddJacobi )()()()(Δ1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 0 00 00                                   n mmm n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f Dnm m Jff xJ xfxfJxJxJuJ xxxJxfxxfu 的每一个分量均可微。可微等价于）向量值函数（ 。为此向量值函数的导数 。可记矩阵）；微分矩阵（为维向量， 是，其中：）函数值变化量与微分（  ).(')(')()'(8 .dd . )(')(')()'()(),(7 111 1 xgyfxgf xgyxgxgyy                      、复合映射的求导： 变性：从而有全微分的形式不 即 ，，则链式法则：、多元复合函数求导的 n i i j m j j j m j j i j m j ji x y y u y y u u x y y u x u fffu 21 .sin sin 1 sin 11 ,cos ,sinsin ,sincos . 11 , ,sin ,cos . 11 1 e.g. 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 222                                                                           u r u rr u r rrz u y u x u rz ry rx z uu rr u r rrz u y u x u zz ry rx u rr u r u ry u x u u rr u y u x u 则转化：若空间直角坐标与球坐标 则转化：若空间直角坐标与柱坐标 ，转化：平面直角坐标与极坐标 五、隐函数微分法 ，，的性质：）隐函数组（ 行列式各偏导数连续，且，在其邻域上 有同一零点元函数个）隐函数存在的条件：（ 在定理、多元函数组隐函数存 ；；的性质：）隐函数（ 导数连续，且 各偏，在其邻域上有零点元函数）隐函数存在的条件：（ 、多元隐函数存在定理 对应的函数。 附近可解，从而有程在的导数存在，则微分方对）定理的实质：只要（ ；；的性质：）隐函数（ ）（有零点，显含续，且 连与，在其邻域上有零点二元函数）隐函数存在的条件：（ 一元隐函数—能否由二元方程得到—、一元隐函数存在定理 ),...,2,1)(,...,,(0)(}{2 .0 ... ... ... ... det ),...,,( ),...,,( Jacobi),...,2,1( ),...,,,,...,,(1 3 ).,...,2,1( ' ' ),...,,(0)(2 .0)(' ),,...,,(11 2 ),(3 . ' ' )(')(0))(,(2 .0),(' ''),(),(1 1 00 2 0 1 0 01 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 21 21 0 2121 0 00 2 0 10 0 021 00 00 00 00 mixxxfyFf y F y F y F y F y F y F y F y F y F yyyD FFFD Fmi yyyxxxFmnm ni F F x f yxxxfFf F FyxxxFn yxxy F F xfyxfxfxFf yyxF FFyxyxF nii n ii m mmm m m m m i mni y x i n y n y x y yx i                                           x x x x x 22 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1                                                                                             n mmm n n m mmm m m n mmm n n x F x F x F x F x F x F x F x F x F y F y F y F y F y F y F y F y F y F x f x f x f x f x f x f x f x f x f 4、逆映射定理 . ... ... ... ... ... ... ),...,,(),...,2,1(2 .0 ),...,,( ),...,,( Jacobi),...,2,1(),...,,( ),...,2,1(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 00 2 0 1 0 21 21 0 00 2 0 1 0 0 0                                          n nn n n nn n niii n n inii i x f x f x f x f y g y g y g y g yyygxnig xxxD fffD nifxxxfy nifn ，的性质：）逆映射（ 行列式处可偏导，在， 使得，存在点元函数对于）逆映射存在的条件：（ x x x 六、方向导数与梯度 1、向量的方向余弦： ).cos,...,cos,(cos 210 n l l l 2、方向导数：多元函数沿某一向量 l方向的变化率。 . )()( lim)(1 0 0 0 0 0 PP PfPf P f PP   l ）定义式：（ .cos2 1      n i i ix ff  l ）偏导数表达：（ 3、梯度：位于多元函数变化最快的方向。在梯度方向，多元函数的方向导数取最大值。 .grad4 ).),((grad)(3 .||)(grad||2 grad,...,,1 000 1 2 21 n n n n l l x g                       f f PfP f x f f f x f x f x f n i i n 与该处梯度向量共线。向量）等值面任一点处的法（ 系：）梯度与方向导数的关（ ）梯度大小：（ 。梯度同向。此向量就被称为向量）梯度对应的方向：与（ 4、势量场 （1）数量场：在 n维空间某一区域内每一个点对应一个函数值，这一仅和位置有关的关系 即成为一个数量场。 （2）势量场：处处存在梯度的数量场。其梯度称为势函数。 23 七、多元函数的 Taylor公式 1、二元函数 Taylor公式： .10),( )!1( 1 LagrangePeano]))()([( ].))()([(),( ! 1 ),( 00 1 22 22 0 0000                      ， 余项为余项。对应为 其中 yyxxf y y x x n yx yxyxf y y x x i yyxxf n n n n i i 算与误差估计。 进行近似计不等式得来）由此可以（最后一步由 ，则余项的绝对值若 Cauchy.])()[( )!1( 2 |)||(| )!1( ||)1,...,2,1,0(* 2 1 22 2 1 1 1 1         n n n nini n yx n M yx n M RniM yx f 矩阵。为其中 余项可写为时，上一行的当 另一写法： ，其中余项为 公式：元函数、 Hesse ''...'''' ... ''...'''' ''...'''' .)( 2 1 ),...,( 2 1 Lagrange1 ).(, )!1( 1 )(, ! 1 )( .10),...,( )!1( 1 Lagrange ).)(...)((),...,( ! 1 ),...,( Taylor2 21 22212 12111 0 T 0 1 0 1 1, 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 22 1 1 00 1 1 0 1 0 1                                                nnnn n n xxxxxx xxxxxx xxxxxx jinn n ji ji mkm k nn m n i i i n m k n k n i i inn fff fff fff xxθΔxxθΔxxf xx m f xm f xk f xxxxf x x m xxxxf x x k xxxxf n HxHx xxxxxxx xx    八、多元函数的极值与最值 1、无条件极值 （1）多元函数极值的定义：函数值不小于或不大于邻域内其他函数值的点为多元 函数的极值点。 （2）多元函数极值点的必要条件：极值点处各个偏导数均为 0。 （与一元函数类似，多元函数也有驻点/临界点的概念。） （3）多元函数极值点的充分条件：Hesse矩阵非奇异且正定或负定的驻点为极值 点。正定则为极小值点，负定则为极大值点。 （4）用主子式推极值点 24 不是极值点。，则且上述两条件均不满足 为极大值点。 为极小值点。 设 0 0 0 0 ),...,2,1(0)1( ),...,2,1(0 . ''...'' ... ''...'' 0 1 111 xH xH xH H x             n k k k xxxx xxxx k nk nk ff ff kkk k （5）用判别式推极值点 .)](''[)('')('' 2000 xxx xyyyxx fff 判别式 ①Δ>0，则 x0是极值点。此时，若 f ’’xx(x0)>0，则 x0为极小值点；若 f ’’xx(x0)<0， 则 x0为极大值点。 ②Δ<0，则 x0不是极值点。 2、多元函数在定义域上无附加条件的最值：先求极值，再将其与定义域边界 处的各函数值比较，得出最大与最小值（假如存在）。 *3、最小二乘法——线性回归方程最优解的计算 . )( , )( 2 .0)]([),( 1 2 11 2 1111 2 2 11 2 111 1 2                     n i i n i i n i ii n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i ii n i ii xxn yxxyx b xxn yxyxn a ba baxyba baxy ）最优解表达式：（ 最小。因此， 使得总体偏差的条件：直线）线性回归方程最优解（ 4、条件极值——对自变量有适当约束的极值问题                                  ).,...,2,1(0),...,,( ),,...,2,1( ),...,2,1( .0),...,,( ),,...,2,1(0 ).,...,,(),...,,(),,...,,(Lagrange ).0(LagrangeLagrange3 2 .0),...,,( max),...,,(min 1 21 1 1 21 212121 21 21 mixxxG L nj x G x F x L GFLmiG xxxG L ni x G x F x L FL xxxGxxxFxxxL x G x G x F G xxxG xxxF ni i m i j i i jj m i iii n iii nnn nnn n n        ，且，对于多个约束条件 取极值，故取极值等价于显然 函数 乘数乘数法：令）（ 。转化为无条件极值问题的约束减少变量个数，）基本思想：通过（ ）（或 ）条件极值简略记法：（ 25 （4）条件极值的实质：函数的定义域由于约束条件而发生维数上的退化。Lagrange 乘数法则是用 L的非条件极值恰好取得 F的条件极值（并且做好约束）。 九、多元函数微分学在空间解析几何中的应用 1、空间曲线的切平面与法线 （1）切平面的定义：任取空间曲面 z=f(x,y)上一点 P(x0,y0,z0)，则曲线     0 ),,( xx yxfz 和曲 线 处的切平面。为曲面在处的切线构成的平面即在 PP yy yxfz     0 ),,( . ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),,( ),,( . ),,('),,('),,(' 0),,( . 1),('),(' ),( 3 . ),( ),( ),( ),( ),( ),( .0)( ),( ),( )( ),( ),( )( ),( ),( ),( ),,( ),,( * .)'''( ' 1 .0))(,,('))(,,('))(,,(' 0),,(* .),('),(' ),('10 ),('01 .0)),(())(,('))(,('2 000 000 0 000 0 000 0 0 00 0 00 0 000 000000000000 0000 00 00 00000000 PPP zyx yx PPP PPP P zyx z zyx yx y x yx vuD yxD zz vuD xzD yy vuD zyD xx vuzz vuyy vuxx zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyxF zz yxf yy yxf xx yxfz PPP vuD yxD vuD xzD vuD zyD zz vuD yxD yy vuD xzD xx vuD zyD vuzz vuyy vuxx FFF F zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxF yxfyxf yxf yxf yxfzyyyxfxxyxf                        法线方程为曲面方程为 法线方程为曲面方程为 法线方程为曲面方程为 处的法线。曲面在处切平面垂直的直线为且与上一点）曲面的法线：过曲面（ 法向量 时，切平面方程为当曲面方程为 法向量 时，切平面方程为当曲面方程为隐函数 其法向量 ）切平面的方程：（ kjin kjin kji kji n 2、空间曲线的切线与法平面 （1）光滑曲线：x,y,z都可以用参数 t统一表示且关于 t均有一阶连续导数，而三者的 导数不全为 0。 （2）光滑曲线的切线方程：设空间曲线上一点 P对应的参数为 t0，则 P处的切线方 26 . ),( ),( ),( ),( ),( ),( ,0),,( ,0),,( . )(' )( )(' )( )(' )( 000 0 0 0 0 0 0 PPP yxD GFD zz xzD GFD yy zyD GFD xx zyxG zyxF tz tzz ty tyy tx txx      程为 则切线方形式如果曲线的方程为交线程为 （3）法平面：过曲线上一点 P且与 P处切线垂直的平面为曲线在 P处的法平面。 .0)( ),( ),( )( ),( ),( )( ),( ),( .0))()(('))()(('))()((' 000 000000   zz yxD GFD yy xzD GFD xx zyD GFD tzztztyytytxxtx 其方程为曲线为交线形式 其方程为曲线为参数方程形式 垂直。与，，故，可知由 从而，流数记法： ，将曲线上的点唯一确定基点，以有向弧长）可以以曲线上一点为（ ，则该段曲线的弧长程决定，参数）若一段曲线由参数方（ 、空间曲线弧微分 ③ ；② ；）性质：①（ ，则定义）基本法则：若（ 、向量导数 )()(0)()(1)()(1)( d d )('d)(' d d .d)('. d d d d .)()()()( d)(')(2 .d)('d)(')(')(' ),(1 4 '.')'( '')'( '')'(2 .)()()( d d )()()()()(1 3 0 0 2 2 222 212121 212121 2121 )()()()( 0 sssssss s s s s ss szsysxs ts ttttztytxs t tztytx t ttztytxt s s t t nnn n n                 rrrrrrrr r r r r r kjir r r rrrrrr rrrrrr rrrr kji r rkjir          5、空间曲线的曲率与挠率 率圆所在平面垂直。它也是单位向量，与曲副（从）法向量： 率圆的圆心。它是单位向量，指向曲主法向量： 。它沿着曲线的切线方向）单位切向量：（ 曲率半径： 。）曲率向量：即（ 映了曲线的弯曲程度。为曲线的转角。曲率反）曲率：（ ).()()( ).( )( 1 )( ).()(3 . )( 1 )( )(2 . d d )()(1 sss s s s ss s xR s s ss NTB TN rT r r             27 . )]('1[ |)(''| )](')('[ |)(')('')('')('| )( . )('')(' )(''')]('')('[ )( )(' )('')(' )()()()( )('')(' )('')(' )( )(' )(' )( 7 ).()()( ),()()()()( ),()()( Frenet6 ).()()(5 Frenet 2 3 22 3 22 2 3 xy xy tytx tytxtytx t tt ttt t t tt tttt tt tt t t t t t sss sssss sss sss                           程：写成直角坐标的参数方 ，，，， 下的表达式：）以上各量在任意参数（ 本公式）：标架的关系（曲线论基）曲率、挠率与（ 平面内扭出的程度。挠率反映了曲线从密切）挠率：（ 线的平面为从切平面。法平面；过切线、副法法线、副法线的平面为 密切平面；过主切线、主法线的平面为、主法线、副法线。过三个向量分别对应切线 标架。构成的右手系称为，， rr rrr r rr TBN rr rr B r r T NB BΤN NΤ NB BNT 6、曲面的两大基本形式 （1）第一基本形式：用弧微分刻画曲面的度量性质。 .''''''''''' '''''''.ddd2dI 222 22222 vvvvvvuvuvu vuuuuuu zyxGzzyyxx FzyxEvGvuFuE   rr rrrr ， ，其中表达式： （2）第二基本形式：用 Taylor公式量度某点附近的点到该点处切平面的距离，体现曲 线的弯曲程度。         双曲点。 抛物点 椭圆点 上点的分类：②根据弯曲程度对曲面 为曲线的法向量。。， ，其中①表达式： 0 0 0 '''''''' ''''''.ddd2dII 2 2 2 22 MLN MLN MLN N MLvNvuMuL vvvvuvvu uvuuuu nnrnrnrnr nrnrnr 7、对曲面弯曲程度的进一步刻画 对值。处的曲率具有相同的绝 在方向的法曲率与法截线处沿面的交线。曲面在法截线：法截面与原曲 选取有关。 。其方向与切向量的处的切平面垂直的平面且与曲面在法截面：过曲面上一点 表示。。切向量可以用处的切平面在切向量的全体构成曲面 处的切向量。这些处的切向量都是曲面在点的任一曲线在切向量：曲面上过 ）法曲率：（ PvuP PP vuTP PPP vGvuFuE vNvuMuL s vuP s n )d,d( d'd' . ddd2d ddd2d I II )(1 22 22 0 rr nr      28 . .Gauss . )(2 2 2 3 .0)2()( 2 2 2,1 2 2 21 2 21 222 21 KHHKH FEG MLN K FEG FMENGL H MLNFMENGLFEG P            表示主曲率：与用 曲率： ）平均曲率：（ 的方程满足关于与个主曲率的方向称为主方向。两 ）。取得最值（既有最大，也有最小处各个法曲率中的最值）主曲率：曲面在（ 第八章 多元函数积分学 一、重积分的概念 1、多元函数的 Riemann和：将高维（至少二维）空间内的有界闭区域Ω分割成 n 个小区域ΔΩi(i=1,2,...,n)，对应面积Δσi。在每个ΔΩi中取一个点 Pi。作和： .)( 1    n i iiPf  2、重积分的定义：在λ=max{Δσi}→0（即 n→∞）时 Riemann和的极限。 .ddd),,(d),,( dd),(d),( )(limd)( 1 0          zyxzyxfVzyxf yxyxfyxf Pff n i ii 为三重积分为三维空间时，此积分 。为二重积分为二维空间时，此积分   x 3、重积分的几何意义：二重积分表示曲顶柱体的体积，该曲顶柱体底面为Ω，侧 面为以Ω边界为准线，母线平行于 z轴的柱面，顶面为曲面 z=f(x,y)。 类似地，n重积分表示对应 n+1维几何体的 n+1维测度。 二、二重、三重积分的计算 1、直接转化为一元函数定积分的计算 ，）三重积分：若（ 二次积分积得体积。）各处的平行截面积，第（思路：第一次积分算 。再积，则先积若 。再积，则先积）二重积分：若（ )},(),(),()(,|),,{(2 .d),(ddd),( )}()(,|),{( .d),(ddd),( )}()(,|),{(1 2121 )( )( 21 )( )( 21 2 1 2 1 yxzzyxzxyyxybxazyx xyxfyyxyxf yxyxydycyx yyxfxyxyxf xyxyxbxayx d c y y b a x x                  29 .dd)sin,cos(dd),( e.g. .dd ),( ),( )),(),,((dd),( '),( ),,( ),,( 1 2 .d),,(ddddd),,( ' ' )( )( ),( ),( 2 1 2 1                  rrrrfyxyxf vu vuD yxD vuyvuxfyxyxf vu vuyy vuxx zzyxfyxzyxzyxf b a xy xy yxz yxz 的变换：二维直角坐标与极坐标 ，则：令）二重积分变量代换法（ 、变量代换法 则 .dddsinddd .dddddd.g.e .ddd ),,( ),,( )),,(),,,(),,,((ddd),,( '),,( ),,,( ),,,( ),,,( 2 2 '   rrzyx zrrzyx wvu wvuD zyxD wvuzwvuywvuxfzyxzyxf wvu wvuzz wvuyy wvuxx             球坐标变换： 柱坐标变换： ，则：令）三重积分变量代换法（ 3、重积分的性质 ).()(d5 ).(d)( )(4 d||d.dd3 ddd2 ddd)(1 21 21 2121 21                 mPffPf mMfmM mMfM ffgfgf fff gfgf      使得，存在上的连续函数于）重积分中值定理：对（ 积），则 面积，三维时为体的同维测度（二维时为为，上）若在（ ；）保序性（单调性）：（ ；，则，）可加性：若（ ；）线性性：（  4、重积分的应用：计算转动惯量，质心位置，引力大小…… 三、反常重积分 1、反常重积分的定义： 的直积。与为记 直积记法： 。上的点原点的最小距离为的子区域，分割出的用封闭曲线 是其中，积分：对于无界区域）无界区域上的反常重（ ],[],[]},[],,[|),{(],[],[ * )( .dlimd1 )( dcbadcybaxyxdcba d ff d         30 积分。上无界的函数的反常重曲线类似地可以定义在一条 的最大距离。的点到 中为，包围的区域为的封闭曲线，内过为其中 ，处无界的函数上在分：对于有界区域）无界函数的反常重积（ 反常重积分类似。 ，其余，可记由             0 0 \ 0)( 0 ),[],(],[],[ )(.dlimd 2 dd),(dd),(dd),(dd),( P DDPff fP yxyxfyxyxfyxyxfyxyxf D a bba b a d cdcba   2、反常二重积分敛散性的判别（以无界区域为例） （1）子区域列定理（类似于一元函数 Heine定理）： 均取同一极限）（任意满足条件的 收敛，且数列收敛，则且满足 的有界子区域，它们分割出的，若任给一列封闭曲线对于无界区域 }{.dlimd }d{d)(lim... }{}{ 21 n n n nn n n ff ffd          （2）比较判别法              发散。发散 收敛；收敛 ，则：②如果 可积。可积等价于上的二重积分，①对于无界区域    dd dd 0 d||d gf fg gf ff （3）Cauchy判别法 发散。，则上有，使得在与② 收敛；，则上有，使得在与① 令        yxyxf r m yxfmp yxyxf r M yxfMp yxr p p dd),(|),(|02 dd),(|),(|02 .22 四、曲线积分与曲面积分 1、第一类曲线积分：积分区域为一条平面或空间曲线。 以转化第一类曲线积分一定可只有一个自由度，所以）计算方法：由于曲线（ 组成，则与由曲线—若—可加性 ——）性质：线性（ 其中则 ，个点，在每个小段上任取一个小段任意分割成）定义：将光滑曲线（ 3 .ddd .ddd)(2 }.max{.)(limd),,( 1 21 21 1 0         LLL LLL i n i ii L ii sfsfsfLLL sgsfsgf ssPfszyxf PsnL   31 .d)('1))(,(d)(')('))(),((d),( ],[],[ ),( ),( .d)(')(')('))(),(),((d),,( ],[ ),( ),( ),( 222 222                 b a L L xxyxyxfttytxtytxfsyxf baxt tyy txx L ttztytxtztytxfszyxf t tzz tyy txx L       ，则，且：对于平面曲线 ，则且：曲线对于三维空间内的光滑 为一元函数定积分。 2、第二类曲线积分：在一条曲线上的向量值函数的“积分”。 .d)]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([d ],[ ),( ),( ),( 3 .dd .ddd .ddd)(2 * .dddd* .dddd),,(* .)(limd ) ,...,2,1,0(,1 21 21 1 0 11 0                            b a L LL LLL LLL LL LL n i ii L iiiiiin i ttztztytxRtytztytxQtxtztytxP bat tzz tyy txx LL LLL zRyQxPL zRyQxPRQP Q QPPPPBP APniPnBAL rF rFrF rFrFrF rGrFrGF rF rFF rFrFF r ，有且方程）计算方法：利用参数（ 反向，则与—若—有向性 组成，则与由两条同向曲线—若—可加性 ——）性质：线性性（ 向有关。 积分方积分，所以积分的值与积分本质是向量内积的注：因为第二类曲线的 可记为是封闭曲线，则该积分若 ，则若 意的）（分割与取点方式是任，有数 ，则对于同维向量值函上取一点。在每个小弧段，向量 ，，个点为端点）上取（以）定义：在有向曲线段（   3、两类曲线积分的关系 .d)coscoscos(dddd .dd)cos,cos,(cos    LLL sRQPzRyQxP sL   rF τrτ 从而 ，则在某点的切向量曲线若用方向余弦表示有向 4、第一类曲面积分 32 上两点间的最大距离。的直径，是指 ，其中，则积分的面积为。若点 ，并在每一块上任取一小块任意分割成义：将曲面）第一类曲面积分的定（ 转化成直角坐标： 形式。的意义同曲面第一基本，其中 ，则曲面面积为维空间内的曲面）曲面的面积：对于三（ iii i n i iiiii i DD DD vu D d dSPfSzyxfSP n yxyzxzS GFEvuFEGvuS Dvu vuzz vuyy vuxx                 )( )}.(max{)(limd),,( 2 .dd)(')('1d ,,dddd''d ),( ),,( ),,( ),,( 1 1 0 22 2  rr .dd)(')('1)),(,,(d'),( dd)),(),,(),,((d ),( ),,( ),,( ),,( 4 .ddd .ddd)(3 ' 22 2 2121 21                     D D yxyzxzyxzyxfSfDyx vuFEGvuzvuyvuxfSf Dvu vuzz vuyy vuxx SfSfSf SgSfSgf ，则若 。 ，则且的方程为）计算方法：若（ ，则，—若—可加性 ——）性质：线性性（   5、第二类曲面积分 二类曲面积分。 曲面的第带）。在此只考虑双侧单侧曲面（如莫比乌斯一次涂完），反之则为 反面无法色类比，双侧曲面的正曲面为双侧曲面（与涂时法向量朝向不变，则 初位置在曲面内运动一圈回到向量的统一朝向后，点）曲面的侧：若选定法（1 （2）曲面的 6种侧 法向量方向余弦 符号 名称 cos(n,x) + 前侧 - 后侧 cos(n,y) + 右侧 - 左侧 cos(n,z) + 上侧 - 下侧 个分成。将数，在其上定义向量值函上的有向光滑曲面对于 值函数的“积分”。—在曲面上进行的向量—义）第二类曲面积分的定（ 在某点的法向量）曲面（ nRQP ff ff yxfz yx yx   ),,( 4 ).1,','( ''1 1 ),(3 3 22 FR n 33 .1 .dd))],(,,()(')),(,,()(')),(,,([d . ),( ),( )),(),,(),,(( ),( ),( )),(),,(),,(( ),( ),( )),(),,(),,(( .dd)(d '),(),( ),,( ),,( ),,( .dd6 .dd .ddd , .ddd)(5 .d* )}.(max{)(limd ' 212121 1 0 21                                         下侧，则上式右边乘以选择 的上侧，则选择转化成直角坐标：如果 ，， 其中 ，则，且的方程为转化成二重积分：若 ——）计算方法：基本原理（ 反向，则与—若—有向性 同侧，则和，且，—若—可加性 ——）性质：线性性（ 为封闭曲面时，记指定侧的通量。当通过为称 ，其中，则积分上任取一点 ，并在每个。记有向面积，单位法向量，对应面积同侧小块 D D i n i iiii iiiiii yxyxzyxRyzyxzyxQxzyxzyxP vuD yxD vuzvuyvuxRRC vuD xzD vuzvuyvuxQQB vuD zyD vuzvuyvuxPPA vuRCQBPA DyxDvu vuzz vuyy vuxx S dPP SS SF SF nFSF SFSF SFSFSF SGSFSGF SFF SFSF nSn    6、线积分与面积分的联系——两个重要公式 积分，有的曲面与诱导方向上的②公式内容：对于以上 导方向。的法向，则此方向为诱指向 的某方向弯曲时拇指，若右手四指按的封闭边界①诱导定向：对于曲面 公式）（ ，其面积推论：对于以上闭区域 二重积分。当的分割用线积分计算积分互化，可以通过适意义：将线积分与二重 通）（概念：单连通，复连 取正向，则为封闭光滑曲线，且的边界公式：若平面区域）（            Stokes2 .dd 2 1 dd* * .dd)(dd Green1 DDD DD xyyxxyyxAD yx y P x Q yQxP DDD 34 .d ),cos(),cos(),cos( ddd )d,cos(dd)d,cos(dd)d,cos(dd .)]d,cos()(),cos()(),cos()[( dd)(dd)(dd)(ddd                            S RQP zyx zyx zRyQxP SzyxSyxzSxzy Sz y P x Q y x R z P x z Q y R yx y P x Q xz x R z P zy z Q y R zRyQxP nnn nnn nnn 简写： 的面积微元。 ，是带有符号，，其中 五、向量场的性质 1、环量、旋度                                                     . , , d * 04 )( )( d lim3 .)( .)(* .ddStokes* .)()()( ),,(2 .dd)(dd)(dd)(d ),,(1 z P x R y R z Q x Q y P UUBA MMM m MM RQP zyxy P x Q x R z P z Q y R zyxM yx y P x Q xz x R z P zy z Q y R LRQP AB M L 即使存在势函数有关和只与 场是等价的：无旋场、保守场、势量在一维单连通区域中， 上是一致的。 旋场本质的向量场。保守场与无位置有关，与路径无关保守场：积分只与初末 的向量场。）无旋场：旋度为（ 强弱。的变化率，反映环量的意义：表示环量随面积 点收缩。向表示，其中 处的环量面密度在，上一点面）环量面密度：对于曲（ ——的结合与数值函数 ——性旋度的运算性质：线性 的通量）通过的环量等于沿（公式的变形： 处的旋度在场中一点）旋度：向量值函数（ ）的环量（内部为曲面沿有向封闭曲线）环量：向量值函数（ 0rotgrad rot gradrotrot rotrotrot rotrot rot FFrF nF rF F FFF GFGF FFSFrF kji kjiF F rF F    35 （5）原函数：若 dU=Pdx+Qdy+Rdz，即 Pdx+Qdy+Rdz是 U的全微分，则 U 是 Pdx+Qdy+Rdz的原函数。 可以用原函数计算对应积分的值： ).()(ddd AUBUzRyQxP B A  2、散度 .ddd)( d)],cos(),cos(),cos([dddddd ,, Gauss1           zyx z R y Q x P SzRyQxPyxRxzQzyP RQP nnn ，有 数为封闭曲面，则对于函，若其边界区域公式：对于三维有界闭）（ .0)(div* .0d0div5 0div 0div 0div 4 .ddivdGauss* .div)(div .divdiv)div(3 .div),,(2 .dddddd 3 1 ddddddddd* ）的旋度场（无源场必为某一向量场 中的无源场为闭区域）无源场：（ 流体净流入（汇） 总体不流出也不流入 流体净流出（源） 对于流体流速）在流速场中的应用：（ 公式的变形： 结合：与数值函数 ——性性）散度的运算性质：线（ ，则定义散度）散度：若向量值函数（ 积推论：空间闭区域的体                          F nFFF v v v v FSF FFF GFGF FF rot grad S V z R y Q x P RQP yxzxzyzyx yxzxzyzyxzyxV   3、数量场、向量场性质的算符表示 .Laplace2 .div )()()( .Hamilton1 2 2 2 2 2 2 zyx z R y Q x P y P x Q x R z P z Q y R z f y f x f ff zyx                        算符：）（ ③向量场的散度 ；②向量场的旋度 ；①数量场的梯度 算符：）（ FF kjiFF kji kji rot grad 36 .d)(d)(Green4 * .03 ).(div 2 2 2 2 2 2             S f g g fVfggf uu ff f z f y f x f fff nn 恒等式：）（ 上取到。的边界与最小值只能在常数函数时，其最大值 非则在上连续且为调和函数，在有界闭区域函数调和函数极值原理：若 的函数）调和函数：满足（ ，对于数量场 grad