2010-2011学年高中数学 第2章数列 2.3 等差数列的前n项和(二)同步精品学案 新人教A版必修5§2.3 等差数列前n项和(二)对点讲练一、已知前n项和Sn，求an例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－3n，求通项公式an.分析 利用数列的通项an与前n项和Sn的关系an＝.解 当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.又∵a1＝－1，适合an＝4n－5，∴an＝4n－5(n∈N*)．总结 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．►变式训练1...
§2.3 等差数列前n项和(二)对点讲练一、已知前n项和Sn，求an例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－3n，求通项公式an.分析 利用数列的通项an与前n项和Sn的关系an＝.解 当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.又∵a1＝－1，适合an＝4n－5，∴an＝4n－5(n∈N*)．总结 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．►变式训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求an.解 当n＝1时，a1＝S1＝3＋b.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1因此，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1.当b≠－1时，a1＝3＋b不适合an＝2·3n－1，∴an＝.综上可知，当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝.二、等差数列前n项和最值问题例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．解 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，所以Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.方法二 先求出d＝－2，因为a1＝25>0，由 得 所以当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.总结 在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．►变式训练2 等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？解 方法一 由S9＝S12，得d＝－a1，由，得，解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二 由S9＝S12，得d＝－a1，由Sn＝na1＋d＝n2＋n，得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1(a1<0)，由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．三、已知{an}为等差数列，求{|an|}的前n项和例3 已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解 由S2＝16，S4＝24，得 即 解得所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝总结 等差数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．►变式训练3 数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝2·(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.∴Sn＝.课堂小结：1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．课时作业一、选择题1．设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则( )A．S9na1>nanB．Sn>nan>na1C．na1>Sn>nanD．nan>Sn>na1答案 C解析 由an＝，解得an＝5－4n.∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，∴nan＝5n－4n2，∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.∴na1>Sn>nan.5．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为Sn的最大值答案 C解析 由S50.又S6＝S7⇒a7＝0.由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.二、填空题6．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n(n∈N*)，则通项an＝________.答案 2n－27．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．答案 5或6解析 d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．8．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.答案 10解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.由Sn＝＝＝155，得n＝10.三、解答题9．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}，求{bn}的前n项和．(1)证明 f(x)＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，∴an＝3n－8，∵an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．(2)解 bn＝|3n－8|.当1≤n≤2时，bn＝8－3n，b1＝5.Sn＝＝.当n≥3时，bn＝3n－8，Sn＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n－8)＝7＋＝.∴Sn＝10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)根据题意，有： 整理得：解之得：－a2>a3>…>a12>a13>…，而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，∴a6>0.∴数列{an}的前6项和S6最大．PAGE1用心爱心专心
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