2021高考数学考点测试57坐标系与参数方程（含解析）

考点测试57　坐标系与参数方程高考概览考纲研读1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3．能在极坐标系中给出简单图形 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的极坐标方程4．了解参数方程，了解参数的意义5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程一、基础小题1．参数方程为(0≤t≤5)的曲线为(　　)A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线答案　A解析　化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2，77]，故曲线为线段．故选A．2．直线(t为参数)的倾斜角为(　　)A．30°B．60°C．90°D．135°答案　D解析　将直线参数方程化为普通方程为x＋y－1＝0，其斜率k＝－1，故倾斜角为135°．故选D．3．在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是(　　)A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2C．ρsin＝2D．ρcos＝2答案　B解析　ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，而点化为直角坐标是(2，2)，过(2，2)作圆的切线，其方程为x＝2，即ρcosθ＝2．故选B．4．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．答案　ρcosθ＝3解析　把ρ＝6cosθ两边同乘ρ，得ρ2＝6ρcosθ，所以圆的普通方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，圆心为(3，0)，故所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝3．5．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________．答案　4解析　分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x＋y－2＝0，x2＋y2＝16，则圆心O到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，半弦长为＝2，所以弦长为4．6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．答案　(2，－4)解析　曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．二、高考小题7．在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a(a>0)与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝________．答案　1＋解析　由可将直线ρcosθ＋ρsinθ＝a化为x＋y－a＝0，将ρ＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ化为x2＋y2＝2x，整理成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为(x－1)2＋y2＝1．又∵直线与圆相切，∴圆心(1，0)到直线x＋y－a＝0的距离d＝＝1，解得a＝1±，∵a>0，∴a＝1＋．8．已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为________．答案　解析　由题意可得圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0，则圆心到直线的距离d＝＝，由弦长公式可得|AB|＝2×＝，则S△ABC＝××＝．9．在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为________．答案　1解析　由ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为C(1，2)，半径长为1．∵点P的坐标为(1，0)，∴点P在圆C外．又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1．10．在极坐标系中，直线4ρcos＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为________．答案　2解析　由4ρcos＋1＝0得2ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为2x＋2y＋1＝0．由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1．圆心为(0，1)，半径为1．∵圆心到直线2x＋2y＋1＝0的距离d＝＝＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点．三、模拟小题11．下面直线中，平行于极轴且与圆ρ＝2cosθ相切的是(　　)A．ρcosθ＝1B．ρsinθ＝1C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2答案　B解析　由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1．与x轴平行且与圆相切的直线方程为y＝1或y＝－1，则极坐标方程为ρsinθ＝1或ρsinθ＝－1，所以选B．12．已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)A．B．C．－D．－答案　D解析　⊙C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C(－1，1)，又直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，∵kCA＝－5，∴－k＝，∴k＝－．选D．一、高考大题1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0．(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4．(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y＝记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0．经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝．经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2．2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1．当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1．(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0．又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2．3．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1．当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－．l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈，或α∈，．综上，α的取值范围是，．(2)l的参数方程为t为参数，<α<．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0．于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα．又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是α为参数，<α<．4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a．解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1．当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0．由解得或从而C与l的交点坐标为(3，0)，－，．(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝．当a≥－4时，d的最大值为．由题设得＝，所以a＝8；当a＜－4时，d的最大值为．由题设得＝，所以a＝－16．综上，a＝8或a＝－16．5．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝．由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋．当α＝－时，S取得最大值2＋．所以△OAB面积的最大值为2＋．二、模拟大题6．在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝5．(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标．解　(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0．因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsinθ，即ρ＝2sinθ．ρ(cosθ＋sinθ)＝5即ρcosθ＋ρsinθ＝5，因为ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以直线l的直角坐标方程为y＝－x＋5．(2)曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆．设圆上点A(x0，y0)到直线l：y＝－x＋5的距离最短，所以圆C在点A处的切线与直线l：y＝－x＋5平行．即直线CA与l的斜率的乘积等于－1，即×(－)＝－1．①因为点A在圆上，所以x＋(y0－1)2＝1，②联立①②可解得x0＝－，y0＝或x0＝，y0＝．所以点A的坐标为－，或，．又由于圆上点A到直线l：y＝－x＋5的距离最小，所以点A的坐标为，，点A的极径为＝，极角θ满足tanθ＝且θ为第一象限角，则可取θ＝．所以点A的极坐标为，．7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋．解　(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，∴＋＝＝＝．8．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，，直线l的极坐标方程为ρcosθ－＝a，且l过点A，曲线C1的参数方程为(α为参数)．(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；(2)过点B(－1，1)与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|·|BN|的值．解　(1)由直线l过点A可得cos－＝a，故a＝，∴易得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0．根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点(2cosθ，sinθ)到直线l的距离d＝＝，其中sinφ＝，cosφ＝，∴dmax＝＝．(2)由(1)知直线l的倾斜角为，∴直线l1的参数方程为y＝(t为参数)．又易知曲线C1的普通方程为＋＝1，把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得t2＋7t－5＝0，设M，N两点对应的参数为t1，t2，∴t1t2＝－，依据参数t的几何意义可知|BM|·|BN|＝|t1t2|＝．9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．解　(1)C1的参数方程为消参得普通方程为x－y－a＋1＝0，C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x．所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，得t2－t＋1－4a＝0，由Δ＝(－)2－4××(1－4a)>0，得a>0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，当t1＝2t2时，解得a＝；当t1＝－2t2时，解得a＝，综上，a＝或．10．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．解　(1)∵C1的极坐标方程是ρ＝，∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，∴4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0．∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2＝1，故C2的普通方程为x2＋y2＝1．(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(α为参数)．设N(2cosα，2sinα)，则点N到曲线C1的距离d＝＝＝其中φ满足tanφ＝．当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值，所以|MN|的最小值为．PAGE1