初中数学竞赛讲座行程问题

行程问题 行程问题（一） 　　路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下： 路程=时间×速度， 时间=路程÷速度， 速度=路程÷时间。 　　这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解。 　　例1 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。已知每辆车长5米，两车间隔10米。问：这个车队共有多少辆车？ 　　分析与解：求车队有多少辆车，需要先求出车队的长度，而车队的长度等于车队115秒行的路程减去大桥的长度。由“路程=时间×速度”可求出车队115秒行的路程为4×115=460（米）。 　　故车队长度为460-200=260（米）。再由植树问题可得车队共有车（260-5）÷（5+10）+1=18（辆）。 　　例2骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？ 　　分析与解：这道题没有出发时间，没有甲、乙两地的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度。这就需要通过已知条件，求出时间和路程。 　　假设A，B两人同时从甲地出发到乙地，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到。B到乙地时，A距乙地还有10×2=20（千米），这20千米是B从甲地到乙地这段时间B比A多行的路程。因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从甲地到乙地所用的时间是 　　20÷（15-10）=4（时）。 　　由此知，A，B是上午7点出发的，甲、乙两地的距离是 　　15×4=60（千米）。 　　要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，速度应为 　　60÷（12-7）=12（千米/时）。 　　例3 划船比赛前讨论了两个比赛 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。第一个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行比赛时间的一半。这两个方案哪个好？ 　　分析与解：路程一定时，速度越快，所用时间越短。在这两个方案中，速度不是固定的，因此不好直接比较。在第二个方案中，因为两种速度划行的时间相同，所以以3.5米/秒的速度划行的路程比以2.5米/秒的速度划行的路程长。用单线表示以2.5米/秒的速度划行的路程，用双线表示以3.5米/秒的速度划行的路程，可画出下图所示的两个方案的比较图。其中，甲段+乙段=丙段。 　　在甲、丙两段中，两个方案所用时间相同；在乙段，因为路程相同，且第二种方案比第一种方案速度快，所以第二种方案比第一种方案所用时间短。 　　综上所述，在两种方案中，第二种方案所用时间比第一种方案少，即第二种方案好。 　　例4 小明去爬山，上山时每小时行2.5千米，下山时每小时行4千米，往返共用3.9时。问：小明往返一趟共行了多少千米？ 　　分析与解：因为上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一共需要的时间，则可以求出上山及下山的总路程。 　　因为上山、下山各走1千米共需 　　所以上山、下山的总路程为 　　在行程问题中，还有一个平均速度的概念：平均速度=总路程÷总时间。 　　例如，例4中上山与下山的平均速度是 　　例5一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，如果它在三条边上每分钟分别爬行50，20，40厘米，那么蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？ 　　解：设等边三角形的边长为l厘米，则蚂蚁爬行一周需要的时间为 　　　 　　蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行 　　 　　 　　在行程问题中有一类“流水行船”问题，在利用路程、时间、速度三者之间的关系解答这类问题时，应注意各种速度的含义及相互关系： 顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度-水流速度， 静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2， 水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2。 　　此处的静水速度、顺流速度、逆流速度分别指船在静水中、船顺流、船逆流的速度。 　　例6 两个码头相距418千米，汽艇顺流而下行完全程需11时，逆流而上行完全程需19时。求这条河的水流速度。 　　解：水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2 　　=（418÷11-418÷19）÷2 　　=（38-22）÷2 　　=8（千米/时） 　　答：这条河的水流速度为8千米/时。   练习 　　1.小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟。若往返都步行，则全程需要70分钟。求往返都骑车需要多少时间。 　　2.某人要到60千米外的农场去，开始他以5千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总共用了5.5时。问：他步行了多远？ 　　3.已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒。求火车的速度和长度。 　　4.小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟。已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？ 　　5.汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。 　　6.两地相距480千米，一艘轮船在其间航行，顺流需16时，逆流需20时，求水流的速度。 　　7.一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6时，逆流需要8时，水流速度为2.5千米/时，求轮船在静水中的速度。     行程问题（二） 　　本讲重点讲相遇问题和追及问题。在这两个问题中，路程、时间、速度的关系表现为： 　　 　　在实际问题中，总是已知路程、时间、速度中的两个，求另一个。 　　例1甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。 　　分析与解：先画示意图如下： 　　图中C点为相遇地点。因为从C点到B点，甲车行3时，所以C，B两地的距离为40×3=120（千米）。 　　这120千米乙车行了120÷60=2（时），说明相遇时两车已各行驶了2时，所以A，B两地的距离是　（40+60）×2=200（千米）。 　　例2小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇。有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？ 　　分析与解：因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米）， 　　所以小明比平时早出门900÷60=15（分）。 　　例3小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用18秒。已知火车全长342米，求火车的速度。 　　分析与解： 　　在上图中，A是小刚与火车相遇地点，B是小刚与火车离开地点。由题意知，18秒小刚从A走到B，火车头从A走到C，因为C到B正好是火车的长度，所以18秒小刚与火车共行了342米，推知小刚与火车的速度和是342÷18=19（米/秒）， 　　从而求出火车的速度为19-2=17（米/秒）。 　　例4 铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。求火车的全长。 　　分析与解 　　与例3类似，只不过由相向而行的相遇问题变成了同向而行的追及问题。由上图知，37秒火车头从B走到C，拖拉机从B走到A，火车比拖拉机多行一个火车车长的路程。用米作长度单位，用秒作时间单位，求得火车车长为 　　速度差×追及时间 　　= [（56000-20000）÷3600]×37 　　= 370（米）。 　　例5如右图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分走90米，乙每分走70米。问：至少经过多长时间甲才能看到乙？ 　　分析与解：当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。甲追上乙一条边，即追上300米需 300÷（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了90×15÷300=4.5（条边），位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可以看到乙，共需 　 　　例6 猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？ 　　分析与解：这道题条件比较隐蔽，时间、速度都不明显。为了弄清兔子与猎狗的速度的关系，我们将条件都变换到猎狗跑12步的情形（想想为什么这样变换）： 　　（1）猎狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程； 　　（2）猎狗跑12步的时间等于兔子跑16步的时间。 　　由此知，在猎狗跑12步的这段时间里，猎狗能跑12步，相当于兔子跑 　　也就是说，猎狗每跑21米，兔子跑16米，猎狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。   练习 　　1.A，B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，又经过10分钟两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米，小明每分钟步行多少米？ 　　2.甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米。已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。 　　3.小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远？ 　　4.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢长的车长是385米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？ 　　5.甲、乙二人同时从A地到B地去。甲骑车每分钟行250米，每行驶10分钟后必休息20分钟；乙不间歇地步行，每分钟行100米，结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。问：A，B两地相距多远？ 　　6.甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池相对的两个顶点同时出发逆时针行走，两人每分钟分别行50米和46米。出发后多长时间两人第一次在同一边上行走？ 　　7.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子跳4次。兔子跑出多远将被猎狗追上？       行程问题（三） 　　在行程问题中，经常会碰到相遇问题、追及问题、时间路程速度的关系问题等交织在一起的综合问题，这类问题难度较大，往往需要画图帮助搞清各数量之间的关系，并把综合问题分解成几个单一问题，然后逐次求解。 　　例1 两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，两人与十字路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？ 　　分析与解：如左下图所示，出发12分钟后，甲由A点到达B点，乙由O点到达C点，且OB=OC。如果乙改为向南走，那么这个条件相当于“两人相距1800米，12分钟相遇”的相遇问题，所以每分钟两人一共行1800÷12=150（米）。 　　如右上图所示，出发75分钟后，甲由A点到达E点，乙由O点到达F点，且OE=OF。如果乙改为向北走，那么这个条件相当于“两人相距1800米，75分钟后甲追上乙”的追及问题，所以每分钟两人行走的路程差是1800÷75=24（米）。 　　再由和差问题，可求出乙每分钟行（150-24）÷2=63（米）， 　　出发后75分钟距十字路口63×75=4725（米）。 　　例2 小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？ 　　分析与解：如下图所示，面包车与小轿车在A点相遇，此时大客车到达B点，大客车与面包车行BA这段路程共需30分钟。 　　由大客车与面包车的相遇问题知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）； 　　小轿车比大客车多行BA（45千米）需要的时间，由追及问题得到45÷（60-42）=2.5（时）； 　　在这2.5时中，小轿车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地相距（60+48）×2.5=270（千米）。 　　由例1、例2看出，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题，可以达到化难为易的目的。 　　例3 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？ 　　分析与解：这是一道数量关系非常隐蔽的难题，有很多种解法，但大多数解法复杂且不易理解。为了搞清各数量之间的关系，我们对题目条件做适当变形。 　　假设小明在路上向前行走了63分钟后，立即回头再走63分钟，回到原地。这里取63，是由于[7，9]=63。这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车，后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他，那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车，则发车的时间间隔为 　　 　　例4 甲、乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从水池的两端出发，来回共游了11分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们共相遇了多少次？ 　　分析与解：甲游一个单程需30÷1=30（秒），乙游一个单程需30÷0.6=50（秒）。甲游5个单程，乙游3个单程，各自到了不同的两端又重新开始，这个过程的时间是150秒，即2.5分钟，其间，两人相遇了5次（见下图），实折线与虚折线的交点表示相遇点。 　 　　以2.5分钟为一个周期，11分钟包含4个周期零1分钟，而在一个周期中的第1分钟内，从图中看出两人相遇2次，故一共相遇了5×4+2=22（次）。 　　例4用画图的方法，直观地看出了一个周期内相遇的次数，由此可见画图的重要性。 　　例5甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时乙距山顶还有400米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。 　　分析与解：本题的难点在于上山与下山的速度不同，如果能在不改变题意的前提下，变成上山与下山的速度相同，那么问题就可能变得容易些。 　　如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，那么题中“甲回到山脚时 　 　　 山顶的距离是 　　     练习 　　1.甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12点甲到达西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。问：东、西两村相距多远？ 　　2.红星 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 组织学生排成队步行去郊游，步行的速度是1米/秒，队尾的王老师以2.5米/秒的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。求队伍的长度。 　　3.甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，两人同向而行，甲26分钟赶上乙；两人相向而行，6分钟可相遇。已知乙每分钟行50米，求A，B两地的距离。 　　4.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？ 　　5.某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/时的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔发车，并以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车发车的时间间隔是多少？ 　　6.铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以30千米/时的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名工人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民。问：工人与农民何时相遇？ 　　7.小红从家到火车站赶乘火车，每小时行4千米，火车开时她还离车站1千米；每小时行5千米，她就早到车站12分钟。小红家离火车站多少千米？       1.30分。 　　提示：骑车比步行单程少用70-50=20（分）。 　　2.15千米。 　　解：设他步行了x千米，则有x÷5+（60-x）÷18=5.5。 　　解得x=15（千米）。 　　3.10米/秒；200米。 　　解：设火车长为x米。根据火车的速度得（1000+x）÷120=（1000-x）÷80。 　　解得x=200（米），火车速度为（1000+200）÷120=10（米/秒）。 　　4.2时15分。 　　解：上山用了60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5……30，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）。因为下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了180÷1.5=120（分）。由120÷30=40知，下山途中休息了3次，所以下山共用120+5×3=135（分）=2时15分。 　　5.57.6千米/时。 　　 　　6.3千米/时。 　　解：（480÷16-480÷20）÷2=3（千米/时）。 　　7.17.5千米/时。 　　解：设两码头之间的距离为x千米。由水流速度得 　　解得x=120（千米）。所以轮船在静水中的速度为120÷6-2.5=17.5（千米/时）。     　1.60米。 　　解：（2800-130×10）÷（10×2+5）=60（米）。 　　2.176千米。 　　 　　3.2196米。 　　解：因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分）， 　　推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）。 　　4.8秒。 　　提示：快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同， （秒）。 　　5.10000米。 　　解：出发后10分钟两人相距（250-100）×10=1500（米）。 米，需要 　　乙从出发共行了100分钟，所以A，B两地相距100×100=10000（米）。 　　6.104分。 　　解：甲追上乙一条边（400米）需400÷（50-46）=100（分）， 　　此时甲走了50×100=5000（米），位于某条边的中点，再走200米到达前面的顶点还需4分，所以出发后100+4=104（分），两人第一次在同一边上行走。 　　7.280米。 　　解：狗跑3×3=9（米）的时间兔子跑2.1×4=8.4（米），狗追上兔子时兔子跑了8.4×[20÷（9-8.4）]=280（米）。 　　     1.60千米。 　　解：两人相遇时甲比乙多走30千米，此时已走了30÷6=5（时），是下午1点。说明甲每小时走15千米，所以东、西两村相距15×（12-8）=60（千米）。 　　2.630米。 　 　　 　　3.780米。 　　解：设甲每分钟走x米。由A，B两地距离可得（x+50）×6=（x-50）×26。 　　解得x=80（米）。所以A，B两地距离为（80+50）×6=780（米）。 　　4.7倍。 　　提示：汽车与自行车的速度差等于自行车与行人的速度和，以行人的速度为1，则自行车的速度为3，汽车的速度为3×2+1=7。 　　5.18千米/时；9分。 　　提示：与例3类似，由[7.2，12]=36，假设此人向前走36分钟，再向回走36分钟，共遇到同方向的车36÷7.2+36÷12=8（辆）， 　　两车间隔（36+36）÷8=9（分）。电车速度为4.5×[7.2÷（9-7.2）]=18（千米/时）。 　　6.8点30分。 　　解：火车每分钟行30×1000÷60=500（米）， 　　 　　 　　8点时工人与农民相距（500+50）×6=3300（米），两人相遇还需3300÷（60+50）=30（分），即8点30分两人相遇。 　　7.9千米。 　　解：设小红出发时离火车开还有x时。由到车站的距离可列方程 　　解得x=2（时）。所以小红家距车站4×2+1=9（千米）。