马尔可夫随机模型回归模型4

第10章：统计回归模型（ ） 一、引言。 在分析、解决实际问题时，如果我们对于实际问题中存在的各因素之间的机理分析不很明确时，在大量的统计数据面前，可以利用数理统计中的分析方法，寻找各因素之间的联系及相互之间的依存关系，为此先回顾一下数理统计中的相关理论和方法。 二、数理统计中的相关知识。 1、样本。 如果我们面对的总体 中有 个因素，可将总体 设为 维随机变量 。 将来自总体 的 组实测数据 称为一个容量是 的随机样本。该样本带来了大量总体 的信息及其规律性，能在一定程度上反应出总体 中的 个因素 、 、……、 之间的关系及其规律性。 2、各因素间关系的判断。 对于 维总体 中的样本值 ，在 维（ ）空间中找 、 、……、 之间的关系及其规律性是不可能的。而在 的条件下，分析两个变量间的关系及其规律性是比较容易的。所以我们应当从 个因素 、 、……、 中每次选取两个因素进行初步分析，最后归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出 个因素 、 、……、 之间很可能存在的一个关系。 （1）分析两个因素间关系的具体方法： <1>通过平面直角坐标系中的散点图，频率直方图，累加频率直方图，观察、判断两个因素间可能存在的关系。 <2>通过平面茎叶图，箱线图，观察、判断两个因素间可能存在的关系。 <3>通过中位数，四分位数及其 分位数的特征，观察、判断两个因素间可能存在的关系。 <4>通过次序统计量和它的极差等存在的规律性，观察、判断两个因素间可能存在的关系。 <5>利用相关系数 判断两个因素间可能存在的线性关系。 （2）构想模型。 通过对 个因素 、 、……、 中的两个、两个因素间的分析，一定可以发现 个因素 、 、……、 之间的联系，将这种联系用一个近似的多元 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来，即 原函数 可称为是一个初步数学模型。 3、模型的确定及调整。 （1）回归模型。 一般情况下，回归模型是一个含有一个因变量 与至少一个自变量又称为回归变量的数学模型。 <1>一元回归模型。 称含有一个因变量 与一个回归变量（自变量） 的数学模型 为一元回归模型。 <2>二元回归模型。 称含有一个因变量 与两个回归变量（自变量） 、 的数学模型 为二元回归模型。 <3> 元回归模型。 称含有一个因变量 与 个回归变量（自变量） 、 、……、 的数学模型 为 元回归模型。 （2）回归模型的确定。 <1>首先根据对样本的分析和观察，给出 元回归模型的雏形表达式 <2>利用最小二乘法，确定回归变量的待定系数。即令 成立，解出定待定系数。 <3>检验确定的回归模型，即 是否具有应用价值，如果没有放弃该模型，如果有应用价值可以作为初期模型。 （3）回归模型的调整。 <1>当前期的回归模型 确定之后，可以考虑扩大建立模型的范围或增加建立模型的条件来调整回归模型。 <2>经过对前期回归模型 中各个回归变量对因变量 的贡献大小进行分析，进一步修改回归模型，使建立的回归模型，越来越接近客观实际。 4、常见的几个回归模型。 （1）一元线性回归模型。 <1>一元线性回归模型，即为 其中： 为因变量，是一个随机变量。 为回归变量，是一个常变量。 称为回归常数， 称为回归系数，统称为回归参数。 <2>求一元线性回归参数的估计量 与 。 当来自总体 的样本为 时，回归系数的估计量 与 可以通过下面的方程组解出 也可以通过下面的公式解出 <3>求样本相关系数 。 样本相关系数 的值满足 ，当 时称变量 与变量 之间不存在线性回归关系；当 时称变量 与变量 之间存在线性回归关系；当 时称变量 与变量 之间存在正线性回归关系，即随着变量 的增大，变量 也增大；当 时称变量 与变量 之间存在负线性回归关系，即随着变量 的增大，变量 减小；当 时称变量 与变量 之间存在完全的线性回归关系；当 时称变量 与变量 之间的线性回归关系紧密；当 时称变量 与变量 之间的线性回归关系疏远。 <4>一元线性回归参数的估计量 与 的分布。 当一元线性回归方程的随机误差 ，（ ）且相互独立的条件下，得 ~ ~ <5>随机误差 的方差 的无偏估计量。 随机误差 的方差 的无偏估计量为 其中 为剩余离差平方和。 <6>一元线性回归参数 与 的置信区间。 在给定置信概率 后，可以根据 枢轴量（服从标准正态分布的随机变量）确定出 的双侧分位数（临界值） ，则得 回归系数 的 置信区间为 。 回归常数 的 置信区间为 。 <7>剩余标准差。即为 。 剩余标准差 的大小，反应回归方程的好坏，当剩余标准差 越小时，说明回归方程的作用越大。反之当剩余标准差 越大时，说明回归方程的作用越小。 <8>决定系数 。称 EMBED Equation.3 是回归方程的决定系数，其中 称为总离差平方和， 称为回归离差平方和。决定系数 的含义为，当回归方程的决定系数 的值越接近1时，建立的回归方程越好，而且可以认为回归方程解决了实际问题中的100 %。当回归方程的决定系数 的值越接近0时，建立的回归方程越不好，甚至建立的回归方程没有任何作用，即该回归方程不能解决任何实际问题。 <9>回归方程的 检验统计量。 使用回归方程的 检验统计量，即 EMBED Equation.3 在给定检验水平 的条件下，根据第一自由度为 ，第一自由度为 ，查 分布中检验水平 的上侧分位数 ，当检验统计量 EMBED Equation.3 时，可以认为一元线性回归方程存在，可以建立一元线性回归模型来应用。 （2）多元线性回归模型。 <1> 元线性回归模型。 称回归模型 为 元线性回归模型。其中： 为因变量，是一个随机变量。 都为回归变量，都是常变量。 称为回归常数， 、 、……、 称为回归系数，统称为回归参数。 <2>求 元线性回归参数的估计量 、 、……、 。 当来自总体 的样本为 ， ， ……， 时，回归参数的估计量 、 、……、 可以通过下面的方程组解出 <3>决定系数 。称 EMBED Equation.3 是回归方程的决定系数，其中 称为总离差平方和， 称为回归剩余离差平方和。决定系数 的含义为，当回归方程的决定系数 的值越接近1时，建立的回归方程越好。当回归方程的决定系数 的值越接近0时，建立的回归方程越不好，甚至建立的回归方程没有任何作用。 <4>剩余标准差。即为 。 其中： 是样本的容量， 是回归方程中自变量的个数。 剩余标准差 的大小，反应回归方程的好坏，当剩余标准差 越小时，说明回归方程的作用越大。反之当剩余标准差 越大时，说明回归方程的作用越小。 <5>回归方程的 检验统计量。 使用回归方程的 检验统计量，即 EMBED Equation.3 在给定检验水平 的条件下，根据第一自由度为 ，第一自由度为 ，查 分布中检验水平 的上侧分位数 ，当检验统计量 EMBED Equation.3 时，可以认为 元线性回归方程存在，可以建立 元线性回归模型来应用。 （3）非线性回归模型。 <1>一元非线性回归模型。 称型如 的非线性方程为一元非线性回归模型。 <2>一元非线性回归模型的确定。 方法1：对一元非线性回归模型 使用变量代换，将一元非线性回归模型 转化为一元线性回归模型，使用确定一元线性回归模型的方法间接解决一元非线性回归模型的确定。 方法2：直接使用最小二乘法确定一元非线性回归模型。 <3>多元非线性回归模型。 称型如 的非线性方程为多元非线性回归模型。 <4>多元非线性回归模型的确定。 方法1：对多元非线性回归模型 使用变量代换，将多元非线性回归模型 转化为多元线性回归模型，使用确定多元线性回归模型的方法间接解决多元非线性回归模型的确定。 方法2：直接使用最小二乘法确定多元非线性回归模型。 （4）量化回归模型。 如果来自总体 的指标中，存在非数量指标，那么利用这些非数量指标建立回归模型，首先应将这些非数量指标进行量化，将量化后建立的回归模型成为量化回归模型。 （5）逻辑斯蒂(logistic)回归模型。 <1>逻辑斯蒂回归方程。 当遇到的因变量（反应变量） 是具有两个（或多个）属性（定性）的变量，而自变量也有属性的、也有定量的，用 表示。则建立的因变量 与自变量 之间的相依关系，就是逻辑斯蒂(logistic)回归方程。 <2>逻辑斯蒂回归方程适用的问题。 如果了解某种药品服用后，对于相应群体的反应情况。如果设 =“正常情况”， 而设 =“不同用药后的反应”， 显然， 的取值与用药量 、性别 、年龄 、体重 、血压 等等因素有关，则因变量 与自变量 之间可以建立逻辑斯蒂回归方程。 <3>逻辑斯蒂回归方程的变换。 因为因变量 取值时是一个随机事件，如 时，是要考虑 这种反应发生的可能性，即 的大小，而 。所以应对概率 作一个变换 ，其目的是将 的范围 区间，变到范围 即整个数轴。这时 就可以表示为 、 、……、 的线性函数了。而一个常用的变换为 则得到 等价于 称它为逻辑斯蒂(logistic)回归模型。 当因变量 只取两个值时，则 可以认为是成功的概率，故用逻辑斯蒂(logistic)回归方程可以求出成功的概率值 。 三、统计回归模型。 10．1牙膏的销售量。（ ） 1、问题的提出。 某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效的管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1。 试根据这些数据建立一个数学模型。分析牙膏销售量与其他因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据。 销售 周期 公司销售 价格（元） 其他厂家平 均价格（元） 广告费用 （百万元） 价格差 （元） 销售量 （百万支） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3.85 3.75 3.70 3.70 3.60 3.60 3.60 3.80 3.80 3.85 3.90 3.90 3.70 3.75 3.75 3.80 3.70 3.80 3.70 3.80 3.80 3.75 3.70 3.55 3.60 3.65 3.70 3.75 3.80 3.70 3.80 4.00 4.30 3.70 3.85 3.80 3.75 3.85 3.65 4.00 4.10 4.00 4.10 4.20 4.10 4.10 4.20 4.30 4.10 3.75 3.75 3.65 3.90 3.65 4.10 4.25 3.65 3.75 3.85 4.25 5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80 .05 0.25 0.60 0.00 0.25 0.20 0.15 0.05 .15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 .05 .05 .10 0.20 0.10 0.50 0.60 .05 0.00 0.05 0.55 7.38 8.51 9.25 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26 表1 牙膏销售量与牙膏价格、广告费用等数据 （其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差） 2、变量的规定。 （1）用 表示“牙膏的销售量”。 （2）用 表示“其它厂家所产牙膏的平均价格与公司所产牙膏的销售价格之差（价格差）”。 （3）用 表示“公司投入的广告费用”。 （4）用 表示“其它厂家所产牙膏的平均价格”。 （5）用 表示“公司所产牙膏的销售价格”。 3、问题分析。 （1）市场的影响。 由于牙膏销售量 受到众多因素（广告费用、销售价格、价格差等）的影响，所以牙膏销售量 是一个随机变量。 另一方面，牙膏是一种生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌之间的价格差异 。而不是它们的价格（ 、 ）本身，因此，在研究各个因素对销售量 的影响时，用价格差代替公司销售价格 和其它厂家的平均价格 更为合适。 （2）变量间的关系。 因为其它厂家所产牙膏的平均价格 与公司所产牙膏的销售价格 之差为 ，即 = EMBED Equation.3 成立。所以，影响销售量 的因素可以认为是 与 。 （3）用散点图判断 与 间的关系。 将其它厂家所产牙膏的平均价格 与公司所产牙膏的销售价格 之差 视为横坐标轴，将销售量 视为纵坐标轴。根据表1中的30组数据，在直角坐标系 中绘出30个点 ，如图 从这些点的排列规律来看，这些点几乎排列在一条直线的附近，所以我们可以认为牙膏的销售量 关于销售价格之差 之间存在线性相关关系。 （4）用散点图判断 与 间的关系。 将公司投入的广告费用 视为横坐标轴，将销售量 视为纵坐标轴。根据表1中的30组数据，在直角坐标系 中绘出30个点 ，如图 从这些点的排列规律来看，这些点几乎排列在一条曲线的附近，由曲线的形状，近似抛物线的形状。所以我们可以认为牙膏的销售量 关于投入的广告费用 之间二次多项式的函数关系。 4、构造基本回归模型。 （1）销售量 关于价格之差 的回归模型。 由于销售量 关于价格之差 之间存在线性相关关系，则 关于 的回归模型可设为 EMBED Equation.3 （2）销售量 关于广告费用 的回归模型。 由于销售量 关于广告费用 之间存在抛物线关系，则 关于 的回归模型可设为 EMBED Equation.3 （3）销售量 关于价格之差 和广告费用 的回归模型。 将销售量 关于价格之差 的回归模型与销售量 关于广告费用 的回归模型叠加形成的二元二次多项式的回归模型，即 EMBED Equation.3 销售量 关于价格之差 和广告费用 的初期回归模型。 其中的 称为随即误差，即除去价格之差 和广告费用 对销售量 的影响之外，则 为其她所有因素影响销售量 的综合作用，是人为不能控制的。如果我们的回归模型选择的好时，随即误差 应大致服从均值为0的正态分布。 5、回归模型求解。 利用表1中的统计数据，使用选择的数学软件，可以确定出回归模型 EMBED Equation.3 中的回归参数 、 、 、 的估计量 、 、 、 。 （1）用SPSS统计软件。 将表1中的统计数据转入SPSS统计软件，利用SPSS软件的功能，求出回归参数 、 、 、 的估计量 、 、 、 及其相关的结论数值。 （2）用SAS统计软件。 将表1中的统计数据转入SAS统计软件，利用SAS软件的功能，求出回归参数 、 、 、 的估计量 、 、 、 及其相关的结论数值。 （3）用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解。 将表1中的统计数据转入MATLAB软件，利用MATLAB软件中的命令regress，求出回归参数 、 、 、 的估计量 、 、 、 及其相关决定系数 ， 检验统计量的值及在置信水平（检验水平） 的条件下 统计量对应的置信概率。即为 从而可得，牙膏的销售量 关于差价 、广告投入 的二元二次回归模型为 又由于决定系数 ，既可以说销售量 中的90.54%是由的回归模型确定的，即销售量 的90.54%是由差价 、广告投入 决定的，故可以认为该回归模型是具有应用价值的回归模型。 对于检验统计量 ，在置信水平（检验水平） 的条件下，根据第一自由度 ，第二自由度 ，可得相应 的上侧分位数 ，显然 成立，即回归模型 为具有应用价值的回归模型。 6、回归模型的分析。 对于已经建立的回归模型，如 经过决定系数 的判断，以及严格的 检验，从整体上认为该回归模型是一个具有应用价值的回归模型。而对于该回归模型内部的因素，即每个回归变量对于因变量 贡献大小的程度应作进一步分析。应将对因变量 贡献太小的回归变量去除，建立一个只含对因变量 贡献较大地若干个回归变量的回归模型。 （1）用逐步回归分析方法精炼模型。 逐步回归的基本思想是按照回归变量对因变量 贡献的大小，即利用偏回归离差平方和来衡量，由大到小地逐个将回归变量引入回归方程，对以被引入回归方程中的回归变量，从中选出一个对因变量 贡献最小的回归变量，即偏回归离差平方和最小的回归变量，在预定的检验水平 下进行 检验，以决定其是否要从回归方程中剔除出去，在剔除了所有不显著的回归变量之后，对那些不在回归方程中的回归变量仍根据其偏回归离差平方和的大小引入方程，即挑选那个引入回归方程后能使偏回归离差平方和有最大增加的回归变量。在新回归变量引入回归方程后有可能因该回归变量变成对因变量 的贡献不显著，而随时从方程中剔除出去，而已经剔除的回归变量在新回归变量引入后还可以重新放回方程中，以便获得具有某种最优性质的回归方程。当所有不再回归方程中的变量，被引入回归方程后，所增加的偏回归离差平方和均未能达到显著性水平，这时可以认为逐步回归结束。 （2）用置信区间的方法精炼模型。 利用回归方程中回归参数的置信区间，可以判断回归参数相应的回归变量对因变量 的影响程度，即 <1>当回归参数的置信区间不包含坐标原点0时，认为回归参数相应的回归变量对因变量 的影响程度较明显，即该回归变量对因变量 的贡献较大，应将此回归变量保留在回归方程中。 <2>当回归参数的置信区间包含坐标原点0时，认为回归参数相应的回归变量对因变量 的影响程度较差，即该回归变量对因变量 的贡献较小，一般情况下，可以将此回归变量从回归方程中剔除出去。 <3>当回归参数的置信区间包含坐标原点0并且坐标原点0与置信区间的端点很接近（置信区间明显是一个不对称的区间）时，认为回归参数相应的回归变量对因变量 的影响程度略较差，即该回归变量对因变量 的贡献略较小，一般情况下，可以将此回归变量保留在回归方程中。如根据表1中的数据，求回归模型 EMBED Equation.3 中的回归参数的置信度为 的置信区间为 回归常数 的置信区间为（5.7282，28.9206）， 回归参数 的置信区间为（0.6829，1.9311）， 回归参数 的置信区间为（ .4989，0.1077）， 回归参数 的置信区间为（0.0379，0.6594）。 显然回归常数 ，回归参数 ，回归参数 的置信区间都不包含坐标原点0，从而可知，回归变量差价 与回归变量广告投入 的平方 对牙膏的销售量 有明显的影响，即贡献较大，应将它们保留在回归方程中。 回归参数 的置信区间包含坐标原点0，但它的置信区间右端点值0.1077与坐标原点0很接近，而它的置信区间左端点值 .4989与坐标原点0较远。所以回归变量广告投入 对牙膏的销售量 有一定程度的影响，所以也可将它保留在回归方程中。 7、回归预测。 （1）用回归模型进行预测。 当回归模型 EMBED Equation.3 利用表1中的数据确定为 之后，可以使用该回归模型，对公司未来某个销售周期内牙膏的销售量 进行预测。 如：公司计划在未来某个销售周期中，维持产品的差价 元，并将投入广告费 百万元。则该周期内牙膏销售量 地估计值应为 （百万支）。 而置信度是95%的置信区间为（7.8230，8.7636）。 注：对于回归变量 ，即差价 ，公司是无法直接确定的一个随机变量，它的值可以通过对其它厂家的平均价格 的预测、分析、再计算出 。这时只需调整本公司牙膏的售价 ，以满足差价 的要求即可以对某个周期内牙膏的销售量进行预测。 （2）置信限的作用。 <1>预测区间的置信上限的作用。 对于预测区间的置信上限，可以作为库存管理的目标值。即公司可以生产（或库存）8.7636百万支牙膏，用来满足该销售周期内顾客的需求。 <2>预测区间的置信下限的作用。 对于预测区间的置信下限，可以用来较好地把握（或控制）公司的现金流。即公司在该周期内销售7.832百万支牙膏的信心十足，如果在该销售周期中，公司将牙膏的售价定为3.70元，且估计其它厂家的平均售价为3.90元，则公司将有充分地把握认为本周期内公司的牙膏销售额应在7.832 3.70 29百万元以上。 8、回归模型的改进。 （1）引入交互作用改进回归模型。 因为建立的回归模型 EMBED Equation.3 中的变量 与 对于因变量 都是独立的回归变量，即回归变量 的改变不影响回归变量 的改变，反之亦成立。 根据经验判断，回归变量 与 的交互作用，即变量 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 会对因变量 产生一定的影响，所以应将变量 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 引入回归模型，建立一个含有回归变量间具有交互作用的回归模型，即为 EMBED Equation.3 （2）回归模型求解。 利用表1中的数据，使用MATLAB的统计工具，得表2 回归参数 回归参数估计量 回归参数致信区间 29.1133 11.1342 .6080 0.6712 .4777 （13.7013，44.5252） （1.9778，20.2906） （ 2.6932， 5228） （0.2538，1.0887） （ .8518， 1037） 表2 改进回归模型的回归参数的估计量与置信区间 及其： <1>决定系数 0.9209。 显然改进回归模型的决定系数 0.9209大于没有改进前的回归模型的决定系数 0.9054，这说明引入交互作用的回归变量后，回归模型的作用有所提高。 <2> 检验统计量 =72.7771。 对于检验统计量 72.7771，在置信水平（检验水平） 的条件下，根据第一自由度 ，第二自由度 ，可得相应 的上侧分位数 ，显然 成立，即本周期内牙膏销售量 关于差价 、广告费用 和它们的交互作用下的回归模型 为更具有应用价值的回归模型。 （3）回归变量的贡献的判断。 根据计算出的回归参数的置信区间与坐标原点0的关系，可以看出，所有置信区间都不包含坐标原点0，因此回归变量 、 、 及 EMBED Equation.3 都是对牙膏的销售量 有重要贡献的回归变量，所以回归模型 应为更具有应用价值，更优秀的回归模型。 （4）牙膏的销售量 的预测。 如：公司计划在未来某个销售周期中，维持产品的差价 元，并将投入广告费 百万元。则该周期内牙膏销售量 地估计值应为 （百万支）。 而置信度是95%的置信区间为（7.8953，8.7592）。 显然， <1>将两个回归模型的预测值8.2933与8.3272比较可知，改进后的回归模型的预测值较改进前的回归模型的预测值略有提高。 <2>从置信度是95%的两个置信区间（7.8230，8.7636）与（7.8953，8.7592）比较来看，前者置信区间长度是0.9406，后者置信区间长度是0.8639，即后者置信区间长度小于前者置信区间长度。这说明改进后的回归模型提高了预测精度，这是我们最关心的指标之一。 9、改进后的回归模型的讨论。 对于改进后的回归模型 可以计算出： （1）当价格差 时的回归模型为 是关于广告投入 抛物线型回归模型。 （2）当价格差 时的回归模型为 也是关于广告投入 抛物线型回归模型。 （3）当价格差 时的回归模型为 还是关于广告投入 抛物线型回归模型。 如果计算 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 当令差值等于零时，即 时，解得 （百万元） 时，价格差分别为 与 时公司的牙膏销售量相等，并且当 时，总有 EMBED Equation.3 成立，即广告费用不超过大约7.5百万元时，价格差定在0.3元时的销售量，比价格差定在0.1元时的销售量大。也就是说，此时的价格优势会使销售量增加。 （4）价格差的作用。 <1>当价格差较大时，许多消费者是受价格的驱动来购买公司的产品的。所以，此时可以较少地依赖广告的投入的增加来提高销售量。 <2>当价格差较小时，用广告投入的增加来提高销售量的速率会大一些，此时更需要靠广告来吸引更多的顾客。 10、完全二次多项式模型。 （1）完全二次多项式模型的形式。 对于因变量为 ，回归变量为 及 的二次多项式模型的形式为 EMBED Equation.3 此回归模型也可以使用表1中的数据求解。 （2）求解完全二次多项式模型的方法。 <1>使用MATLAB软件。 <2>使用SPSS软件。 <3>使用SAS软件。 （3）牙膏销售量 的完全二次多项式模型。 利用表1中的数据，使用MATLAB软件，可以建立牙膏销售量 关于价格差 、广告投入 的完全二次多项式模型为 EMBED Equation.3 （4）牙膏销售量 的预测。 将价格差 =0.2，广告投入 =6.5代入完全二次多项式模型可得牙膏销售量的预测值 =8.3029，置信度为95%的置信区间为8.3029 0.2558即为（8.0471，8.5587）。 _1176440863.unknown _1176444551.unknown _1176563282.unknown _1176571098.unknown _1176575173.unknown _1176575909.unknown _1176576575.unknown _1176581296.unknown _1176582266.unknown _1177359246.unknown _1176582738.unknown _1176582257.unknown _1176581160.unknown _1176581183.unknown _1176581119.unknown _1176576140.unknown _1176576511.unknown _1176576055.unknown _1176575833.unknown _1176575865.unknown _1176575887.unknown _1176575840.unknown _1176575448.unknown _1176575541.unknown _1176575378.unknown _1176571865.unknown _1176575039.unknown _1176575107.unknown _1176575164.unknown _1176572338.unknown _1176572443.unknown _1176574782.unknown _1176571936.unknown _1176571784.unknown _1176571827.unknown _1176571856.unknown _1176571807.unknown _1176571129.unknown _1176571220.unknown _1176571123.unknown _1176564213.unknown _1176564523.unknown _1176564627.unknown _1176565016.unknown _1176571068.unknown _1176570276.unknown _1176564985.unknown _1176564579.unknown _1176564354.unknown _1176564395.unknown _1176564242.unknown _1176563966.unknown _1176564080.unknown _1176564115.unknown _1176563988.unknown _1176563959.unknown _1176563963.unknown _1176563941.unknown _1176559807.unknown _1176560706.unknown _1176560762.unknown _1176562573.unknown 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_1176413686.unknown _1176413763.unknown _1176413166.unknown _1176412634.unknown _1176412672.unknown _1176412401.unknown _1176412170.unknown _1176411670.unknown _1176411848.unknown _1176411995.unknown _1176411794.unknown _1176411332.unknown _1176411627.unknown _1176409907.unknown _1176410710.unknown _1176410818.unknown _1176411171.unknown _1176411178.unknown _1176410890.unknown _1176410783.unknown _1176410269.unknown _1176410376.unknown _1176410034.unknown _1176409337.unknown _1176409860.unknown _1176409039.unknown _1176409267.unknown _1176409088.unknown _1176409246.unknown _1176390569.unknown _1176390738.unknown _1176391488.unknown _1176408699.unknown _1176408780.unknown _1176408316.unknown _1176408396.unknown _1176406725.unknown _1176390748.unknown _1176390643.unknown _1176390644.unknown _1176390591.unknown _1176387227.unknown _1176388827.unknown _1176390314.unknown _1176389598.unknown _1176390103.unknown _1176388325.unknown _1176385653.unknown _1176386900.unknown _1176385801.unknown 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