2008年湖南省高中数学竞赛试题 (A卷)与答案
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1、
2、
3、
5名志愿者随机进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率是( )。
4、
5、
6、(08江西理)(较难) 连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦
、
的长度分别等于
、
，
、
分别为
、
的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦
、
可能相交于点
②弦
、
可能相交于点
③
的最大值为5 ④
的最小值为1
其中真命题的个数为( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①③④正确，②错误。易求得
、
到球心
的距离分别为3、2，若两弦交于
，则
⊥
，
中，有
，矛盾。当
、
、
共线时分别取最大值5最小值1。
7、
8、
二、填空题(本大题是6个小题，每小题8分，共48分，请将正确的答案填在横线上)
9、
10、
11、
12、（08海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
，底面周长为3，那么这个球的体积为 ______
13、将一个4×4棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_________(用数字作答)不同的染法。
解：第一行染2个黑格有
种染法，第一行染好后，有如下三种情况：
(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法，
(2)第二行染的黑格与第一行的黑格不同列，这时第三行有
种染法，第四行的染法随之确定。
(3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定。因此共有染法为6×(1+6+4×2)=90。
14、
三、解答题(本大题共4小题，共62分，要求解答有必要的过程。)
15、(本题满分为14分)
16、(本题满分为14分)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军)，对于局比赛，甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”，试求此项比赛爆出冷门的概率。
17、(本题满分为16分)
18、(本题满分为18分)
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_1294723374.unknown
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_1294727839.unknown
_1294729302.unknown
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_1294727645.unknown
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