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绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理工农医类)
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数
等于( )
A.8
B.－8
C.8i
D.－8i
【
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
】D
【解析】由
,易知D正确.
2．“
成立”是“
成立”的( )
A．充分不必要条件
B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由
得
，由
得
，所以易知选B.
3.已知变量x、y满足条件
则
的最大值是( )
A.2
B.5
C.6
D.8
【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点
分别为
代入验证知在点
时,
最大值是
故选C.
4.设随机变量
服从正态分布
,若
,则c= ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】
EMBED Equation.DSMT4
解得
=2, 所以选B.
5.设有直线m、n和平面
、
.下列四个命题中，正确的是( )
A.若m∥
,n∥
,则m∥n
B.若m
EMBED Equation.DSMT4 ,n
EMBED Equation.DSMT4 ,m∥
,n∥
,则
∥
C.若
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ，m
EMBED Equation.DSMT4 ,则m
EMBED Equation.DSMT4
D.若
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ，m
EMBED Equation.DSMT4 ，m
EMBED Equation.DSMT4 ,则m∥
【答案】D
【解析】由立几知识,易知D正确.
6.函数
在区间
上的最大值是( )
A.1
B.
C.
D.1+
【答案】C
【解析】由
,
EMBED Equation.DSMT4 故选C.
7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
EMBED Equation.DSMT4
则
与
( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
【答案】A
【解析】由定比分点的向量式得:
EMBED Equation.DSMT4 以上三式相加得
所以选A.
8.若双曲线
（a＞0,b＞0）上横坐标为
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2)
B.(2,+
)
C.(1,5)
D. (5,+
)
【答案】B
【解析】
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 或
(舍去),
故选B.
9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=
,AA1=1,
则顶点A、B间的球面距离是( )
A.2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
EMBED Equation.DSMT4 设
则
EMBED Equation.DSMT4 故选C.
10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［
］=1）,对于给定的n
N*,
定义
x
EMBED Equation.DSMT4 ,则当x
EMBED Equation.DSMT4 时，函数
的值域是( )
A.
B.
C.
EMBED Equation.DSMT4
D.
【答案】D
【解析】当x
EMBED Equation.DSMT4 时，
当
时，
所以
;
当
时，
当
时，
故函数
的值域是
.选D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。
11.
.
【答案】
【解析】
12.已知椭圆
（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为
,离心率e=
过顶点A(0,b)作AM
EMBED Equation.DSMT4 ,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
【答案】
【解析】
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
13.设函数
存在反函数
,且函数
的图象过点(1,2),
则函数
的图象一定过点 .
【答案】(-1,2)
【解析】由函数
的图象过点(1,2)得:
即函数
过点
则其反函数过点
所以函数
的图象一定过点
14.已知函数
（1）若a＞0,则
的定义域是 ;
(2) 若
在区间
上是减函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
,
【解析】（1）当a＞0时，由
得
,所以
的定义域是
;
(2) 当a＞1时，由题意知
;当0
样本
保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载
.用
表示元素i和j同时出现在样
本中的概率，则
= ; 所有
(1≤i＜j≤
的和等于 .
【答案】
, 6
【解析】
第二空可分:
①当
时,
;
②当
时,
;
③当
时,
;
所以
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是
，且面试是否合格互不影响.求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数
的分布列和数学期望.
解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
且P（A）＝P（B）＝P（C）＝
.
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
（Ⅱ）
的可能取值为0，1，2，3.
＝
＝
=
=
所以，
的分布列是
0
1
2
3
P
的期望
17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,
所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，
平面ABCD，所以
PA⊥BE.而
AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又
平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知
平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
解法二: 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关
各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
EMBED Equation.DSMT4 P（0，0，2）,
（Ⅰ）因为
，
平面PAB的一个法向量是
，
所以
共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为
平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知
设
是平面PBE的一个法向量，则由
得
所以
设
是平面PAD的一个法向量，则由
得
所以
故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
18.（本小题满分12分）
数列
(Ⅰ)求
并求数列
的通项公式；
(Ⅱ)设
证明：当
解: (Ⅰ)因为
所以
一般地，当
时，
＝
，即
所以数列
是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当
时，
所以数列
是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列
的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
EMBED Equation.DSMT4 ①
②
①-②得，
所以
要证明当
时，
成立，只需证明当
时，
成立.
证法一
(1)当n = 6时，
成立.
(2)假设当
时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由(1)、(2)所述，当n≥6时，
.即当n≥6时，
证法二
令
，则
所以当
时，
.因此当
时，
于是当
时，
综上所述，当
时，
19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东
且与点A相距40
海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
+
(其中sin
=
，
)且与点A相距10
海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，AB=40
，AC=10
，
由于
,所以cos
=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为
（海里/小时）.
（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1=
AB=40,
x2=ACcos
,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=
,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
=
=
.
从而
在
中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP
BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt
中，PE=QE·sin
=
所以船会进入警戒水域.
20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线
上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当
时，点
存在无穷多条“相关弦”.给定
.
（I）证明：点
的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(II) 试问：点
的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.
解: （I）设AB为点
的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
,则
,
两式相减得
.因为x1
x2,所以y1+y2
0.
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是
,则
k=
.从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P（x0,0）在直线
上，所以
而
于是
故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是
，代入
中，
整理得
（·）
则
是方程（·）的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
因为
,于是设t=
,则t
(0,4x0-8).
记
.
若
,则
,所以当
,即
=2(x0-3)时,
l有最大值
.
若
,则
,
在区间
上是减函数，
所以
,l不存在最大值.
综上所述，当x0>3时，点
的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
为2（x0-1）；当2< x0
3时，点
的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
21.（本小题满分13分）
已知函数
.
(I) 求函数
的单调区间;
（Ⅱ）若不等式
对任意的
都成立（其中e是自然对数的底数）.
求
的最大值.
解: （Ⅰ）函数
的定义域是
，
设
则
令
则
当
时，
在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，
EMBED Equation.DSMT4 在
上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以
，
函数g(x)在
上为减函数.
于是当
时，
当x＞0时，
所以，当
时，
EMBED Equation.DSMT4 在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时，
EMBED Equation.DSMT4 在
上为减函数.
故函数
的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为
.
（Ⅱ）不等式
等价于不等式
由
知，
设
则
由（Ⅰ）知，
即
所以
EMBED Equation.DSMT4 于是G(x)在
上为减函数.
故函数G（x）在
上的最小值为
所以a的最大值为
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浙公网安备 33021202002483