MATLAB可视化大学物理学第1到6章\第四章刚体\p4转动惯量表

圆环(转轴沿几何轴)R圆环(转轴沿直径)圆柱细棒圆盘和圆柱圆盘(转轴沿直径)(转轴过中心与几何轴线垂直)(转轴过中心与棒垂直)(转轴过端点与棒垂直)球壳(转轴沿直径)球体(转轴沿直径)RRLLLL2R2RR2R1圆圈和圆筒R2R1R常见物体的转动惯量(转轴沿几何轴)(转轴沿几何轴)细棒LL(转轴过中心与板面垂直)及薄板薄板N试求质量为M,长和宽分别为L和N的匀质矩形的转动惯量,其转轴是L边的中垂线.[解]矩形的面积为S=LN,取一矩形面积元dS=Ndx,矩形元的转动惯量为dJ=x2dm=Nσx2dx,质量的面密度为σ=M/S=M/LN.其质量为dm=σdS=Nσdx,矩形的转动惯量为M讨论:(1)转动惯量与N边的大小无关,当N边很小的时候,矩形就变成细棒,转动惯量不变.LNyodSxdx(2)如果转轴是N边的中垂线,则转动轴量为L试求质量为M,长和宽分别为L和N的匀质矩形的转动惯量,其转轴通过中心且与板面垂线.[解]矩形的面积为S=LN,质量的面密度为σ=M/S=M/LN.在矩形上取一矩形面积元dS=dxdy,质量元的转动惯量为dJ=r2dm=σ(x2+y2)dxdy,其质量为dm=σdS=σdxdy,矩形绕z轴的转动惯量为yoMdSLNxr方法一:质点法.z在矩形上取一质量元dm,绕z轴的转动惯量为dJ=r2dm=(x2+y2)dm=x2dm+y2dm,矩形绕z轴的转动惯量为yoMdmLNxr方法二:正交轴定理.z其中x2dm是dm绕y轴的转动惯量dJy,y2dm是dm绕x轴的转动惯量dJx,所以dJ=dJy+dJx,而矩形绕x轴的转动惯量为Jx=MN2/12,因此J=Jx+Jy,矩形绕y轴的转动惯量为Jy=ML2/12,在矩形上取一长为N,宽为dx的面积元dm,yoMdSLNx方法三:平行轴定理.z根据平行轴定理,面积元绕z轴的转动惯量为矩形绕z轴的转动惯量为绕z'轴的转动惯量为其面积为dS=Ndx,其质量为dm=σdS,z'试求质量为M,半径为R的匀质圆环的转动惯量,其转轴沿着直径.[解]方法一:质点法.圆环的周长为C=2πR,在圆环上取一弧元,长度为ds=Rdθ,弧元的转动惯量为dJ=D2dm=R2cos2θλRdθ质量的线密度为λ=M/C=M/2πR;其质量为dm=λds=λRdθ,整个圆环绕直径的转动惯量为RDoMds弧元到轴线的距离为D=Rcosθ,=λR3cos2θdθ,θ方法二:正交轴定理.由于对称,圆环绕x轴和绕y轴的转动惯量相等,即Jx=Jy,其中x2dm是dm绕y轴的转动惯量dJy,y2dm是dm绕x轴的转动惯量dJx,所以dJz=dJy+dJx,而圆环绕z轴的转动惯量为Jz=MR2,在圆环上取一质量元dm,绕z轴的转动惯量为dJz=R2dm,由于R2=x2+y2,可得dJz=(x2+y2)dm=x2dm+y2dm,所以圆环绕x轴或y轴的转动惯量为这就是圆环绕直径的转动惯量.RoMdmxyz因此Jz=Jx+Jy=2Jx=2Jy,试求质量为M,半径为R的均匀圆盘的转动惯量,其转轴沿着直径.[解]圆盘的面积为S=πR2,方法一:质点法.在圆盘上取一面元,面积为dS=rdθdr,质量元的转动惯量为dJ=D2dm=σcos2θdθr3dr质量的面密度为σ=M/S=M/πR2.其质量为dm=σdS=σrdθdr,整个圆盘绕直径的转动惯量为DoMdS质量元到轴线的距离为D=rcosθ,θr方法二:圆环法.在圆盘上取一细圆环,面积为dS=2πrdr,其质量为dm=σdS=σ2πrdr,圆环的转动惯量为dJ=r2dm/2=σπrdr,圆盘的转动惯量为RoMdSr讨论:在质点法中,质量元的转动惯量可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为对圆括号中的θ从0到2π的积分值为π,方括号中就是圆环的面积dS,这时dJ表示圆环的转动惯量,可见:圆环法的基础仍然是质点法.R方法三:细棒法之一.在圆盘上取一平行于轴的细棒,其长度为l=2Rsinθ,RloMdSθyx由于x=Rcosθ,其宽度为|dx|=Rsinθdθ,其质量为dm=σdS=σ2R2sin2θdθ,细棒的转动惯量为圆盘绕直径的转动惯量为其面积为dS=l|dx|=2R2sin2θdθ,方法四:细棒法之二.在圆盘上取一垂直于轴的细棒,其长度为l=2Rcosθ,其质量为dm=σdS=σ2R2cos2θdθ,细棒的转动惯量为圆盘绕直径的转动惯量为RloMdSθ由于y=Rsinθ,其宽度为dy=Rcosθdθ,y其面积为dS=ldy=2R2cos2θdθ,根据公式可得xn为偶数.方法五:正交轴定理.圆盘绕x轴和绕y轴的转动惯量相等Jx=Jy,可得dJz=(x2+y2)dm=dJy+dJx,因此得Jz=Jy+Jx=2Jx=2Jy,而圆盘绕z轴的转动惯量为在圆盘上取一质量元dm,绕z轴的转动惯量为dJz=r2dm,y由于r2=x2+y2,xRoMrz所以圆盘绕x轴或y轴的转动惯量为这就是圆盘绕直径的转动惯量.dm试求质量为M,半径为R的均匀球壳的转动惯量,其转轴沿着直径.[解]球壳的面积为S=4πR2,方法一:质点法.在球壳上取一面积元,其大小为质量的面密度为σ=M/S=M/4πR2.oMdSθzyRxφ转动惯量为dJ=D2dm=σR4dφsin3θdθ,到转动轴z的距离为D=Rsinθ,球壳绕z轴的的转动惯量为dS=R2sinθdθdφ,其质量为dm=σdS=σR2sinθdθdφ,D方法二:圆环法之一.在球壳上取一细圆环,其轴线是球壳的转动轴.细环的转动惯量为dJ=r2dm=2πσR4sin3θdθ,其质量为dm=σdS=2πσR2sinθdθ,球壳绕直径的转动惯量为RroMdSdθ其弧宽为ds=Rdθ,其面积为dS=2πrds=2πR2sinθdθ,细环半径为r=Rsinθ,dsθ方法三:圆环法之二.在球壳上取一细圆环,其轴线与转动轴垂直.RroMdSθD细环绕过半径的转动惯量为dJc=r2dm/2,根据平行轴定理得dJ=dJc+D2dm由于左右对称,球壳绕直径的转动惯量为其质量为dm=σdS=2πσR2cosθdθ,其弧长为ds=Rdθ,其面积为dS=2πrds=2πR2cosθdθ,细环半径为r=Rcosθ,细环到轴线的距离为D=Rsinθ,=πσR4cos3θdθ+2πσR4sin2θcosθdθ=πσR4(1+sin2θ)cosθdθ,方法四:正交轴定理.在球壳上取一质量元dm,绕过z轴的转动惯量为dJz=D2dm=(x2+y2)dm,即dJo=[dJz+dJy+dJx]/2,所以Jo=(Jx+Jy+Jz)/2.由于dJo=(x2+y2+z2)dmoMdmzyRxD同理,绕过y轴的转动惯量为dJy=(z2+x2)dm,绕过x轴的转动惯量为dJx=(y2+z2)dm.该质量元绕o点的转动惯量为dJo=R2dm,积分得球壳绕o点的转动惯量为Jo=MR2.=[(x2+y2)dm+(y2+z2)dm+(z2+x2)dm]/2,由对称可得Jx=Jy=Jz,所以Jo=3Jz/2.因此Jz=2Jo/3,即这种方法避免了积分运算.试求质量为M,半径为R的均匀球体的转动惯量,其转轴沿着直径.[解]球体的体积为V=4πR2/3,方法一:质点法.在球体中取一体积元,其体积为转动惯量为dJ=D2dm=ρdφsin3θdθr4dr,质量的体密度为ρ=M/V.到转动轴z的距离为D=rsinθ,球体的转动惯量为oMdvθdv=r2sinθdθdrdφ,rzyRx其质量为dm=ρdv=ρr2sinθdθdrdφ,φD方法二:圆盘法之一.在球体上取一薄圆盘,其轴线是球体的转动轴.圆盘的转动惯量为dJ=y2dm/2=πρR5sin5θdθ/2,其质量为dm=ρdv=πρR3sin3θdθ,球体的转动惯量为oMdvθ由于z=Rcosθ,其厚度为|dz|=Rsinθdθ,其体积为dv=πy2|dz|=πR3sin3θdθ,圆盘的半径为y=Rsinθ,yRzy设u=cosθ,则du=-sinθdθ,可得转动惯量注:利用积分公式可以直接计算转动惯量:n是奇数.方法三:圆盘法之二.在球体上取一薄圆盘,其轴线与球体的转动轴垂直.其质量为dm=ρdv=πρR3cos3θdθ,由于对称,可得球体的转动惯量为oMdvθ由于y=Rsinθ,其厚度为dy=Rcosθdθ,其体积为dv=πz2dy=πR3cos3θdθ,圆盘的半径为z=Rcosθ,zRzyy圆盘绕半径的转动惯量为dJc=z2dm/4,根据平行轴定理得圆盘的转动惯量dJ=dJc+y2dm,即:方法四:球壳法.在球体上取一半径为r,厚度为dr薄球壳,其质量为dm=ρdv=4πρr2dr,球体的转动惯量为oMdvRzy球壳绕半径的转动惯量为其体积为dv=4πr2dr,r由此可见:用球壳法求球体的转动惯量最简单.方法五:正交轴定理.在球体内取一体积元dv,绕过z轴的转动惯量为dJz=d2dm=(x2+y2)dm,即dJo=[dJz+dJy+dJx]/2,所以Jo=(Jx+Jy+Jz)/2.由于dJo=(x2+y2+z2)dm=[(x2+y2)dm+(y2+z2)dm+(z2+x2)dm]/2,同理,绕过y轴的转动惯量为dJy=(z2+x2)dm,绕过x轴的转动惯量为dJx=(y2+z2)dm.该质量元绕o点的转动惯量为dJo=r2dm,积分得球壳绕o点的转动惯量为由对称可得Jx=Jy=Jz,所以Jo=3Jz/2.因此Jz=2Jo/3,即这种方法避免了繁杂的积分运算.oMdvθrzyRxφD即dJo=ρr4sinθdθdrdφ,其质量为dm=ρdv=ρr2sinθdθdrdφ,试求质量为M,半径为R,长为L的匀质圆柱体的转动惯量,其转轴垂直轴线.[解]圆柱体的体积为V=πR2L,质量的体密度为ρ=M/V=M/πR2L.方法一:质点法.在圆柱体内取一厚度为dx的体积元,到y轴的距离为r,则r2=x2+z2;到x轴的距离为r',则z=r'cosθ.绕y轴的转动惯量为其质量为dm=ρdv=ρr'dθdr'dx,整个圆柱体绕y轴的转动惯量为其体积为dv=r'dθdr'dx,dJ=r2dm=ρ(x2+z2)dmRMLxrzyr'θo=ρ(x2+r'2cos2θ)r'dθdr'dx,方法二:平板法.在圆柱上取一垂直于y轴的薄板,其长为L,宽为2z,厚为dy,其体积为dv=2Lzdy.绕y轴的转动惯量为其质量为dm=ρdv=2ρLR2cos2θdθ,整个圆柱体绕y轴的转动惯量为利用积分公式RMLxzyo由于y=Rsinθ,所以dy=Rcosθdθ;又由于z=Rcosθ,可得dv=2LR2cos2θdθ.yzoθn为偶数.R过板的中心且垂直y轴有一轴,过此轴的转动惯量为dJc=L2dm/12,整个圆柱体绕y轴的转动惯量为根据平行轴定理,薄板绕y轴的转动惯量为方法三:平行轴定理之一.在圆柱上取一垂直于z轴的薄板,其长为L,宽为2y,厚为dz,其体积为dv=2Lydz.其质量为dm=ρdv=2ρLR2sin2θdθ,由于z=Rcosθ,所以dz=-Rsinθdθ;又由于y=Rsinθ,可得dv=2LR2sin2θdθ.RMLxzyoyzoθRdJc方法四:平行轴定理之二.在圆柱上取一圆盘,其体积为dv=πR2dx,绕半径的转动惯量为其质量为dm=ρdv=πρR2dx,整个圆柱体绕y轴的转动惯量为R根据平行轴定理,圆盘绕y轴的转动惯量为MLxdxydJc方法五:正交轴定理.在圆柱体内取一厚度为dx的体积元,到y轴的距离为r,则r2=x2+z2;绕y轴的转动惯量为dJy=r2dm=(x2+z2)dm,其质量为dm=ρdv=ρr'dθdr'dx,其体积为dv=r'dθdr'dx,同理可得绕z轴的转动惯量为dJz=(x2+y2)dm,RMLxrzyr'θo到x轴的距离为r',则r'2=y2+z2.两式相加得dJy+dJz=(y2+z2)dm+2x2dm,其中,积分得Jy+Jz=Jx+2Jyz,Jx是圆柱体绕x轴的转动惯量,Jyz是圆柱体绕yz平面的转动惯量.由对称性可知:Jy=Jz,所以圆柱体绕y轴的转动惯量为: