2012高中数学 1.3 三角函数的诱导公式(一) 学案 新人教A版必修4

www.shuxue1618.com §1.3 三角函数的诱导MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714226440902_0(一) 自主学习 1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系. 相关角 终边之间的对称关系 π＋α与α 关于____对称； －α与α 关于____对称； π－α与α 关于____对称. 2.诱导公式一～四 (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z. (2)公式二：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝________. (3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________. (4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝__________. 你能否利用π＋α与α终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？ 对点讲练 给角求值问题 例1　求下列各三角函数值． (1)sin(－1 200°)；(2)cos eq \f(47π,6)；(3)tan 945°. 回顾归纳　此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值． 变式训练1　求sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan(－495°)的值． 给值求值问题 例2　已知eq \f(sin3π－α,cos3π－α)＝2，求eq \f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值． 回顾归纳　(1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角．(2)弦切互化是本题的一个重要技巧，值得关注． 变式训练2　已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值． 化简三角函数式 例3　化简：eq \f(sin－2π－θcos6π－θtan2π－θ,cosθ－πsin5π＋θ). 回顾归纳　解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k(k为整数)一般需按k的奇、偶性分类讨论． 变式训练3　化简：eq \f(sin[k＋1π＋θ]·cos[k＋1π－θ],sinkπ－θ·coskπ＋θ)(其中k∈Z)． 课时作业 一、选择题 1．sin 585°的值为(　　) A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2) 2．若n为整数，则代数式eq \f(sinnπ＋α,cosnπ＋α)的化简结果是(　　) A．tan nα B．－tan nα C．tan α D．－tan α 3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　) A.eq \f(\r(1－k2),k) B．－eq \f(\r(1－k2),k) C.eq \f(k,\r(1－k2)) D．－eq \f(k,\r(1－k2)) 4．tan(5π＋α)＝m，则eq \f(sinα－5π,cosπ＋α)的值为(　　) A．m B．－m C．－1 D．1 5．若sin(π－α)＝log8 eq \f(1,4)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则cos(π＋α)的值为(　　) A.eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(\r(5),3) C．±eq \f(\r(5),3) D．以上都不对 题号 1 2 3 4 5 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 二、填空题 6．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sin eq \f(5π,3)＋3sin eq \f(2π,3)＝______. 7．代数式eq \f(\r(1＋2sin 290°cos 430°),sin 250°＋cos 790°)的化简结果是________． 8．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝________. 三、解答题 9．若cos(α－π)＝－eq \f(2,3)，求eq \f(sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π,cosπ－α－cos－π－αcosα－4π)的值． 10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. §1.3　三角函数的诱导公式(一)参考答案 知识梳理 1. 相关角 终边之间的对称关系 π＋α与α 关于原点对称； －α与α 关于x轴对称； π－α与α 关于y轴对称. 2.(1)sin α　cos α　tan α (2)－sin α　－cos α　tan α (3)－sin α　cos α　－tan α (4)sin α　－cos α　－tan α 自主探究 解　设P(x，y)为角α终边上任一点， ∵角α与π＋α终边关于原点对称． ∴P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)位于角π＋α的终边上． ∴|OP′|＝|OP|＝eq \r(x2＋y2)＝r. 由任意角三角函数的定义知： sin(π＋α)＝eq \f(－y,r)＝－sin α， cos (π＋α)＝eq \f(－x,r)＝－cos α， tan(π＋α)＝eq \f(－y,－x)＝eq \f(y,x)＝tan α. 借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四． 对点讲练 例1　解　(1)sin(－1 200°)＝sin(－4×360°＋240°) ＝sin 240° ＝sin(180°＋60°) ＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2)； (2)cos eq \f(47π,6)＝cos(eq \f(11π,6)＋6π)＝cos eq \f(11π,6) ＝cos(2π－eq \f(π,6))＝coseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)； (3)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225° ＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. 变式训练1　解　原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)－tan(360°＋135°) ＝sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)－tan(180°－45°) ＝－sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋1＝eq \f(1,2). 例2　解　∵eq \f(sin3π－α,cos3π－α)＝2， ∴tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2. ∵eq \f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α) ＝eq \f(－sin α－cos α,－sin α＋cos α)＝eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α) ＝eq \f(1＋tan α,tan α－1) ∴eq \f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)＝eq \f(1－2,－2－1)＝eq \f(1,3). 变式训练2　解　coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))) ＝－coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝－eq \f(\r(3),3)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)) ＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(3),3). 例3　解　原式＝eq \f(－sin2π＋θ·cos θ·－tan θ,cosπ－θ·sinπ＋θ) ＝eq \f(sin θ·cos θ·tan θ,－cos θ·－sin θ) ＝eq \f(sin θ·cos θ·tan θ,sin θ·cos θ) ＝tan θ 变式训练3　解　当k为偶数时， 不妨设k＝2n，n∈Z，则 原式＝eq \f(sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ],sin2nπ－θ·cos2nπ＋θ) ＝eq \f(sinπ＋θ·cosπ－θ,－sin θ·cos θ) ＝eq \f(－sin θ·－cos θ,－sin θ·cos θ) ＝－1. 当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则 原式＝eq \f(sin[2n＋2π＋θ]·cos[2n＋2π－θ],sin[2n＋1π－θ]·cos[2n＋1π＋θ]) ＝eq \f(sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ],sinπ－θ·cosπ＋θ) ＝eq \f(sin θ·cos θ,sin θ·－cos θ) ＝－1. ∴上式的值为－1. 课时作业 1．A　[sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－eq \f(\r(2),2).] 2．C　[若n为偶数，则原式＝eq \f(sin α,cos α)＝tan α； 若n为奇数，则原式＝eq \f(sinπ＋α,cosπ＋α)＝tan α.] 3．B　[∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k， ∴sin 80°＝eq \r(1－k2).∴tan 80°＝eq \f(\r(1－k2),k). ∴tan 100°＝－tan 80°＝－eq \f(\r(1－k2),k).] 4．A　[∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，∴tan α＝m. 原式＝eq \f(－sin α,－cos α)＝tan α＝m.] 5．B　[∵sin(π－α)＝sin α＝log2 2－eq \f(2,3)＝－eq \f(2,3)， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－eq \r(1－sin2α) ＝－eq \r(1－\f(4,9))＝－eq \f(\r(5),3).] 6．0 解析　原式＝－sin eq \f(π,3)＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3)))＋3sin eq \f(2π,3) ＝－eq \f(\r(3),2)－2×eq \f(\r(3),2)＋3×eq \f(\r(3),2)＝0. 7．－1 解析　原式 ＝eq \f(\r(1＋2sin180°＋110°·cos360°＋70°),sin180°＋70°＋cos2×360°＋70°) ＝eq \f(\r(1－2sin 110°cos 70°),cos 70°－sin 70°) ＝eq \f(\r(1－2sin 70°cos 70°),cos 70°－sin 70°) ＝eq \f(|sin 70°－cos 70°|,cos 70°－sin 70°) ＝－1. 8．3 解析　f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2 ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2 ＝2－(asin α＋bcos β)＝1. ∴asin α＋bcos β＝1. f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2 ＝asin α＋bcos β＋2＝3. 9．解　原式＝eq \f(－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α,－cos α－－cos αcos α) ＝eq \f(sin α－sin αcos α,－cos α＋cos2α) ＝eq \f(sin α1－cos α,－cos α1－cos α) ＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－eq \f(2,3)， ∴cos α＝eq \f(2,3).∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝eq \f(2,3)， sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(\r(5),3)， ∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(\r(5),2)，则原式＝－eq \f(\r(5),2). 当α为第四象限角时，cos α＝eq \f(2,3)， sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(\r(5),3)， ∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(\r(5),2)，则原式＝eq \f(\r(5),2). 10．证明　∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2kπ＋eq \f(π,2) (k∈Z)， ∴α＝2kπ＋eq \f(π,2)－β (k∈Z)． tan(2α＋β)＋tan β ＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)－β))＋β))＋tan β ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立． PAGE 分享 互助 传播