常微分方程教程（丁同仁、李承治第二版）习题解答第6章6-2习题答案

习题6—2 1． 求出常系数齐次性微分方程组 的通解，其中的矩阵A分别为 1） 2） 3） 4） 5） 解：1） 特征方程 即 矩阵A有特征根， 对应于 所有的特征向量 满足 即 。取 ，则 那么对应的实值解为 ； 对应 的特征向量 满足 即 ，取 ，则 ，那么对应的实值解为 。于是该方程组的通解为 2）特征方程为 即 矩阵A有特征根 对应 的特征向量 应满足 取 ，则 即么对应的特解为 由此得 所对应的两个特解为（对2X2的方程组取一个特解的实部和虚部就可，因为虚根都是成对出现的。） 它们在 上线性无关，故得方程组的通解： 3） 即 矩阵A有特征根 ， 。 对应于 ，特征向量应满足 又 （只能进行行变换） 因此与 相应的特征向量可取为 ， 对于二重特征根 ，可以算出 因此，方程 有二个线性无关的解为 ， 注意到 ，就可得到 从而可行基解矩阵 因此所求通解为 ，即 4）特征方程 即 矩阵A有特征根： ， ， 对应 的特征向量 应满足 解之得 取 则 故相应的解为 相应于 的特征向量 应满足 取 ， ， 那么对应的复解为 分别取实部，部可得方程组的两个实解 , 易知它们在 上是线性无关的，于是方程组的通解为 5）特征方程为 矩阵A的特征根为 ， 对应于 ，相应的特征向量 应满足 可以算出 解之得 ， 则 那么相应的解为 对应于三重特征根 ，可以算出 因此，方程 有三个线性无关解为 ， ， 注意到 ，可得 由以上结果，可得方程组的一个基解矩阵 因此所求方程组的通解为 或 2．求出常系数非齐次线性方程组 ，的通解，其中： 3） ， ； 4） ， ； 5） ， 。 3）解先求对应齐次方程组的通解 特征方程 ，特征根为 对于二重特征根 ，可以算出 因此方程 有二个线性无关的解 由此可得齐次线性方程组的一个基解矩阵 故非齐次方程组的通解为 容易求出 故 于是非齐次方程组的通解为 4）先求对应齐次方程组的通解 特征方程为 特征根为 ， ， 对应于 的特征向量为 对应于 的特征向量为 应满足 解之得 ，令 ，则 其相应的复值解为： 分别取实部和虚部，可得齐次方程组的两个线性无关的实解, 从而可得齐次方程组的一个基解矩阵 容易求得 这个矩阵的逆的算法： 这里是只能通过行变换将矩阵先变成下三角，再变成对角阵即可。自己认真算，我都能算对，大家一定可以的，复习高等代数了。 我仔细算了一下，要是将齐次方程的通解写出来，再用常数变易法求出特解方程组的阶数高的时候比求矩阵的逆还复杂，所以还是建议大家用求矩阵的逆的方法来算吧。 故 则 所以非齐次线性方程组的通解为 (5)先求对应齐次方程组的通解 特征方程 特征方程根为 。对于三重特重根 ，可以算出 因此方程 有三个线性无关的解 ， ， ， ， 由此可得齐次线性方程的一个基解矩阵 从而容易求得 又 故 故非齐次线性方程组的通解为 由于特征向量取的不同，结果肯能也不一样。但是课本答案出现 肯定是不正确的。 3．求出微分方程组 满足初值条件 的解，其中： （1） ， ， ； （2） ， ， ； （3） ， ， 解 （1）齐次方程组的特征方程为 特征根 ： 对于二重特征根 ，可以算出 同此方程 EMBED Equation.3 有二个线性无关解 ， 由此可得齐次方程组的一个基解矩阵 从而可求得 故 所以 故非齐次线性方程组的通解为 由初始条件 解之得 ， 故初值问题的解为 （2）齐次方程组的特征方程为 特征根为 EMBED Equation.3 ， 对应 的特征向量应满足 取 ，则 故 从而可得齐次方程组的一个基解矩阵 容易求得 而 又 故非齐次线性方程的通解为 由初始条 有 解之得 故初值问题的解为 或 (3) 齐次方程组的特征方程为 特征根 对应 的特征向量应满足 取 ,则 那么相应的解为 对应 的特征向量应满足 , 取 ,则 那么相应的解为 从而得齐次线性方程组的基解矩阵为 容易求得 由于 又 故非齐线性方程组通解为 由初值条件 ，得 解之得 因此值问题解为 或 4.证明:常系数齐次方程组 的任何解当 时都趋于零,当仅当它的系数矩阵A的所有特征根都具有负的实部. 证 必要性:设特征根为 ,与之对应的方程组的解可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 为 。 1）当 即 为实数时， 的每一分量或者为一常向量，或者为 的多项式的向量函数。此时总有当 时, 或者是常向量。那么只有当 时, ,故 必为负实数. 2）当 时, 为复数, 则此时 其中 的向量多项式,当 时, ,那么,若使当 时,有 成立,只有 ,于是, 必为负实数。 充分性：若系数矩阵A的所有特征根都具有负的实部，设特征根为 ，与之对应的解为 （1）当 时， 为负数，由解的结构知， 是关于 的一个多项式的向量函数，而已知 ，其中 为任意自然数，故形如（1）的解当 时， 。 （3）当 时， 是复数，由解的结构，此时（1）中的 ，其中 是 的多项式向量函数，又由于 故形如（1）的解，当 时， 。 _1205936945.unknown _1289037524.unknown _1289044915.unknown _1289049073.unknown _1289050468.unknown _1289050774.unknown _1289051399.unknown _1289051487.unknown _1289051608.unknown _1289051673.unknown _1289051786.unknown _1289051785.unknown _1289051655.unknown _1289051590.unknown _1289051448.unknown _1289051461.unknown _1289051422.unknown _1289051200.unknown _1289051269.unknown _1289051377.unknown _1289051215.unknown _1289050884.unknown _1289051155.unknown _1289050799.unknown _1289050567.unknown _1289050729.unknown _1289050751.unknown _1289050621.unknown _1289050537.unknown _1289050557.unknown _1289050525.unknown _1289049955.unknown _1289050329.unknown _1289050414.unknown _1289050438.unknown _1289050372.unknown _1289050078.unknown _1289050308.unknown _1289049979.unknown _1289049719.unknown _1289049887.unknown _1289049921.unknown _1289049853.unknown _1289049640.unknown 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