数学分析华东师范大学编第三章： 函数极限zong

总练习 1、 求下列极限: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) , 为正整数 解: (1)当 时, ,于是 . (2) 当 时, ,于是 EMBED Equation.3 . (3) EMBED Equation.3 (4) EMBED Equation.3 . (5) EMBED Equation.3 . (6) EMBED Equation.3 . (7)当 时, ; 当 时,不妨设 ,且 , 此时 EMBED Equation.3 于是 EMBED Equation.3 . 故不论 为任何自然数,都有 . 2. 分别求出满足下属条件的常数 与 : (1) ; (2) ; (3) . 解: (1)因 , 所以,只有当 且 时,有 . (2)因为当 时, EMBED Equation.3 所以只有当 , , , 即 时,有 . (3)类似于(2)可知,只有当 , 才有 . 3. 试分别举出符合下列要求的函数 : (1) ; (2) 不存在. 解: (1)令 ,则 ,但 .故 . (2)设 ,此时 不存在. 4. 试举一个函数,使 恒成立,但在某一点 处有 .这同极限的局部保号性有矛盾吗? 解: 例如 在整个实数轴上有 恒成立,但在 处有 ,这与局部保号性不矛盾,在局部保号性定理中要求 , ,而不是 . 5. 设 , ,在何种条件下能由此推出 ? 解: 当 在 处连续时,结论成立.下证之: 因 在 处连续,则 , ,当 时: , 又 ,从而对上述 , ,使得 时 , 故当 时, ,从而 . 6. 设 .试作数列 (1) 使得 ( ), ( ); (2) 使得 ( ), ( ); (3) 使得 ( ), ( ). 解: (1)令 ,此时 ,于是当 时,便有 ,且 . (2)令 ,此时 ,于是当 时,便有 ,且 . (3)令 ,此时 ,于是当 时,便有 ,且 . 7. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :若数列 满足下列条件之一,则 是无穷大数列: (1) (2) ( ) , 证: (1)由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 设 ,于是存在 ,使 , 由保号性可知存在 ,当 时,有 ,即 , 由于 ,故 ,即对任给正数 ,存在 ,当 时,有 . 现取 ,当 时,有 .故 是无穷大数列. (2) 由题设 ,于是存在 ,使 , 由保号性可知存在 ,当 时,便有 , 从而当 时,便有 而当 时, 是无穷大数列,于是对任给正数 ,存在 ,当 时,有 .现取 ,当 时,有 .故 是无穷大数列. 8. 利用上题(1)的结论求极限: (1) ; (2) . 解: (1)由于 由题7(1)可知 . (2) 由于 ,故 由题8(2) 可知 , 由定理3.13(2)可得 . 9. 设 ,证明: (1) ; (2)若 ( ),则 . 证: (1)由于 ,对任给正数 ,存在 ,当 时,便有 . 记 ,当 时, 由于 ( ),从而由保号性可知:存在 ,当 时,有 . 于是取 ,当 时,有 ,故 . (2)由于 ,( ),且 ,于是 , 由(1)知 . 而 ,可见 , 故 . 10. 利用上题结果求极限: (1) ; (2) . 解: (1)由于 ,故由题8(2)可得 . (2) 由于 ,由(1)可得 . 11. 设 为 内的递增函数.证明:若存在数列 EMBED Equation.3 且 ( ),使得 ,则有 . 证: (1)先证 , EMBED Equation.3 ,假设存在 EMBED Equation.3 ,使 记 ,由于 ( ),故存在 ,当 时,有 , 于是 ,又 在 内递增,故 , 而 ,于是 ( ), 这与 矛盾 (2)下证 . 由题设 之:对任给正数 ,存在 ,当 时,有 . 而 ,故 . 记 ,当 时有 ,从而 , 由于对任何 ,都有 ,于是 . 故 . 12. 设函数 在 上满足方程 且 . 证明: , . 证: (反证法) 假设 在 上不恒为 ,则必存在一点 , 使得 ,又因 满足方程 , 于是 得到数列{ },满足 . 又因 ,及 ( ), 从而由归结原则就有 .这与 相矛盾,故 , . 13. 设函数 在 上满足方程 ,且 . 证明: , . 证: (反证法) 假设 在 上不恒为 ,则必存在一点 ,使得 .由方程 可得 , 得到数列 . (Ⅰ)若 ,则 且 . (1) 又因为 ,故由归结原则可得 . (2) 由(1)(2)可得 (Ⅱ) 若 ,则 且 . ( ) 又因为 ,故由归结原则可得 . ( ) 由( )( )可得 由(Ⅰ) (Ⅱ)可得,不论 还是 ,都有 ,这与 相矛盾,故 , . 14. 设函数 定义在 上, 在每一个有限区间 内有界,并满足 .证明: . 证: 由题设 ,对任给正数 ,必存在正数 ,使当 时, 有 现设 ,于是存在正整数 (依赖于 ),满足 , 令 ,则 且 , 于是有 . 显然 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 由题设知 在 上有界,故存在正数 ,使当 时,便有 , ( ). 又显然存在正数 ,使当 时,便有 ,( ). 令 ,于是当 时,便有 , 故 . _1182323686.unknown _1182324383.unknown _1182325900.unknown _1182326689.unknown _1182327976.unknown _1182328966.unknown _1182338491.unknown _1182339147.unknown _1182340216.unknown _1182341506.unknown _1182342505.unknown _1182342710.unknown _1182343351.unknown _1182343407.unknown _1182343515.unknown _1182343565.unknown _1182343622.unknown _1182343729.unknown _1182343584.unknown _1182343531.unknown _1182343461.unknown _1182343494.unknown _1182343423.unknown _1182343365.unknown _1182343395.unknown _1182343360.unknown _1182343007.unknown _1182343174.unknown _1182343184.unknown _1182343022.unknown _1182342771.unknown _1182342835.unknown _1182342734.unknown _1182342624.unknown _1182342691.unknown _1182342699.unknown _1182342659.unknown _1182342580.unknown _1182342597.unknown _1182342562.unknown _1182342055.unknown _1182342399.unknown _1182342423.unknown _1182342467.unknown _1182342400.unknown _1182342270.unknown _1182342332.unknown _1182342243.unknown _1182342222.unknown _1182342230.unknown _1182341728.unknown _1182341887.unknown _1182341961.unknown _1182342016.unknown _1182341933.unknown _1182341845.unknown _1182341863.unknown _1182341782.unknown _1182341679.unknown _1182341564.unknown _1182341656.unknown _1182341189.unknown _1182341424.unknown _1182341452.unknown _1182341349.unknown _1182341370.unknown _1182341291.unknown _1182341213.unknown _1182341270.unknown _1182340757.unknown _1182340840.unknown _1182340853.unknown _1182340810.unknown _1182340282.unknown _1182340360.unknown _1182340245.unknown _1182339710.unknown _1182340092.unknown _1182340209.unknown _1182340155.unknown _1182340193.unknown _1182340134.unknown _1182339910.unknown _1182340072.unknown _1182340078.unknown _1182339973.unknown _1182339946.unknown _1182339828.unknown _1182339860.unknown _1182339761.unknown _1182339467.unknown _1182339623.unknown _1182339668.unknown _1182339691.unknown _1182339640.unknown _1182339599.unknown _1182339610.unknown _1182339535.unknown _1182339254.unknown _1182339363.unknown _1182339417.unknown _1182339318.unknown _1182339205.unknown _1182339228.unknown _1182339156.unknown _1182338730.unknown _1182338832.unknown _1182338983.unknown _1182339038.unknown _1182339064.unknown _1182338988.unknown _1182338966.unknown _1182338764.unknown _1182338821.unknown _1182338739.unknown _1182338579.unknown _1182338669.unknown _1182338675.unknown _1182338618.unknown _1182338492.unknown _1182329362.unknown _1182329744.unknown _1182338363.unknown _1182338403.unknown _1182329745.unknown _1182329519.unknown _1182329550.unknown _1182329423.unknown _1182329204.unknown _1182329297.unknown _1182329324.unknown _1182329232.unknown _1182329129.unknown _1182329156.unknown _1182329005.unknown _1182328414.unknown _1182328748.unknown _1182328851.unknown _1182328881.unknown _1182328759.unknown _1182328792.unknown _1182328523.unknown _1182328603.unknown _1182328654.unknown _1182328473.unknown _1182328209.unknown _1182328284.unknown _1182328321.unknown _1182328260.unknown _1182328120.unknown _1182328170.unknown _1182328021.unknown _1182327346.unknown _1182327630.unknown _1182327676.unknown _1182327918.unknown _1182327939.unknown _1182327900.unknown _1182327641.unknown _1182327650.unknown _1182327460.unknown _1182327537.unknown _1182327557.unknown _1182327500.unknown _1182327431.unknown _1182327439.unknown _1182327410.unknown _1182327369.unknown _1182327099.unknown _1182327216.unknown _1182327239.unknown _1182327276.unknown _1182327134.unknown _1182327156.unknown _1182327198.unknown _1182327119.unknown _1182327021.unknown _1182327044.unknown _1182326755.unknown _1182326828.unknown _1182327009.unknown _1182326802.unknown _1182326733.unknown _1182326097.unknown _1182326382.unknown _1182326426.unknown 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