概率统计讲义（2013,8---2)

【例3.1.3】设随机变量 有分布列： ，试求 的（概率）分布函数； 【例3.1.4】设 的 为 ,试求 的 分布（列、律）； 【例3.1.5】设 具有密度 ，试求 的分布函数； 【例3.1.6】若 的分布函数为 ，试求 的 ； 【例3.1.7】一个使用了 小时的热敏电阻，在 内失效的概率 为 ，设其使用寿命是连续型随机变量 ，求 的分布； 【例3.1.8】设 的 为： ，试 求事件 和 的概率； 【例3.1.9】设 的分布函数为 ,则 ， ， ， 哪些可作为随机变量的分布函数？ 【例3.1.10】设 的 和 分别为 和 ，当 时， ；当 时， ，试求 ； 【例3.1.11】设 （几乎必然）， 为 ，则 的 分布函数为连续函数； 【例3.1.12】在 中任取一点 ，设 为点 到底边 的距离，又已知 上的高为 ，求 的分布； 【例3.1.13】设 ，试证明：1） 是 分布函数；2） 既不是离散型，也不是连续型，但却可以表示为两类分布函数的线性组合！ 【例3.1.14】假设 的绝对值不大于 ， ，在事件 出现的条件下， 在 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比，试求 的分布函数； 【本例的注】例中的 是混合型的随机变量；它有离散部分，因为它取 与 的概率均大于 ；它又有连续部分，它的可能取值充满 ；于是其分布函数可以分解。易验证：以上的分布函数 满足： ， ，其中： ， 。 【例3.1.15】若 是一分布函数，试证： 也是一分布函数； 【注3】（补充）设 是概率空间，则任意F-可测随机变 量的全体是线性空间；不仅如此，随机变量对于通常的运算都是封闭的！（课堂推导） §2 连续型随机变量的数学期望 已经知道离散型随机变量的数学期望即是其所有可能取值的概率平均值；对于连续型随机变量，其密度 与 的作用相当于离散型随机变量的分布列 ，受此启发：利用微元法的思想，用 替代 ，用积分号替代求和号来定义连续型随机变量的数学期望。 【分析】设连续型随机变量 的值域 为有限区间 在此 区间任意插入 个分点 ，使得 EMBED Equation.DSMT4 ， 将 分割成 个子区间，其中第 个子区间为 ， ；相应有： ；若 充分小，则有 ， ；此时可将随机变量 近似视作离散型随机变量，且有分布列： EMBED Equation.DSMT4 ， 其中： ；故有： ；注意到， 越大，和式作为期望的近似值精确度就越高；从而，可定义： ；去掉最初关于随机变量值域的局限，即有： 。 【数学期望】设 是一个连续型随机变量，且有密度 ，如 果 ，则称 为 的（数学）期望（均值），记之为： 或 ；若 ，则称 的数学期望不存在。 【例3.2.1】（柯西分布）设 ，判断 是否 存在？ 【例3.2.2】设随机变量 具有概率密度 ； 试求 ； 【例3.2.3】设 ，试求 （结论加以推广）； 【例3.2.4】设 为曲线 与 轴所围区域，在区域 内任 取一点，该点到 轴的距离为 ，求 ； 下面讨论几类重要的连续型分布。 【均匀分布（Uniform distribution）】若随机变量 具有概率密度 ，则称 服从 上的均匀分布，记作： ；讨论均匀分布的概率背景：几何概型， ：向 上随机地投掷一点，记点的位置（坐标）为 ；易见， ， 且 ，有： ，进一步有： 的概率密度为 ；反之，若 ，则有： ，也即 取值于 的任一子区间的概率与该区间的长度成正比而与其位置无关，即为几何概型的情形！ 【例3.2.5】设 ,求“方程 有实根”的概率； 【例3.2.6】设 , 求：1） ；2） 的分布； 【例3.2.7】（1）设 在 内取值，其 为 ，且 ， 与 成正比，试求 ；（2）设 在 内取值，且 ， 只依赖于 ，试求 的分布； 【例3.2.8】设 是定义于概率空间 上的一列独立同 分布的随机变量，且 ，定义： ；则 为定义于 上的服从 分布的随机变量； 【例3.2.9】设随机变量 ，令 ；求：（1） 的分布列；（2） 的分布列；（3） 给定的条件下， 的条件分布列； 【指数分布（Exponential distribution）】若随机变量 具有概率密度 ， 为常数，则称 服从参数为 的指数分布，记作： （或 ）； 【复习伽玛函数及其性质】 【例3.2.10】设 ， ，试求 的分布及 ；（正误辨析－顺便介绍Stieltjes[斯蒂尔杰斯]积分） 【无记忆性】可验证以下命题的等价性：设 为非负连续型随机变量，则（1） 服从指数分布； （2） ， ； 【例3.2.11】设在时间 内经搜索发现沉船的概率为 ， ，求发现沉船所需的平均时间； 【例3.2.12】设 ， ，试求 的联合 （边缘）分布； 【正态分布（Normal distribution）】（又称高斯[Gauss]分布） 若连续型随机变量 有概率密度为： ，其中 为常数，则称 服从参数为 的正态分布，记作： ～ ；若 ，则称 服从标准正态分布。 易见，密度 具有如下性质：1）关于直线 对称，此即表明： ；2） 的图像呈倒立的钟形，且在 处取得最大值，曲线以 轴为水平渐近线；对于同样长度的区间，其离 越远， 落于其上的概率就越小；3） 在 处有拐点，且存在任意阶导数；且 越大（小），曲线越平坦（陡峭）； 可以验证： （Poisson积分）。 【注1】 正态分布是自然界中最常见的一种分布，如：测量 的误差，炮弹的落点等诸多现象都服从或近似服从正态分布。一般地，若影响某一数量的指标很多，且每种影响都相互独立，作用很小，即可认为这个数量服从或近似服从正态分布；许多分布都以正态分布来逼近；许多重要的分布，如三大抽样分布： （卡方）分布， （学生氏）分布和 （费歇尔）分布都是由正态分布所导出的；同时，正态分布还有许多优良的性质也使其无论是在理论上，还是在应用上都有重要的作用！ 常将标准正态分布的分布函数和密度函数即为： 和 ； 1）若 ，则 ；特别地，若 ，则有： ， ； 2）若 ，令 ， 则有： ，此即说明 服从标准正态分布（任何正态分布的概率计算均可转化与标准正态分布有关的概率计算）！ 【例3.2.13】设 ，试求 和 ； 【例3.2.14】已知 ，试求 ； 【例3.2.15】假设数学的考试成绩近似服从正态分布 ，按考分从高到低排第 名的成绩恰为 分（其余的不及格），问：按考分从高到低排第 名的成绩约为多少？ 【例3.2.16】设某电子元件在工作中其两端电压 ， 当 ，失效的概率为 ；当 ，失效的概率为 ；当 ，失效的概率为 ；求： （1）“此元件失效”的概率； （2）“当元件失效时，电压超过 ”的概率； 【例3.2.17】设 ， ，试求 在 发生的条件下的条件概率分布函数 和条件概率密度函数 ； 【例3.2.18】设随机变量 ，则有： ； 【例3.2.19】国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变 量 （单位：吨），且 ～ ；已知每售出一吨，可挣得外汇 千元，但若售不出去，则每吨需支付存储费及其他损失 千元，问：需组织多少货源，才能使国家期望收益最大？ 【例3.2.20】报童每天卖报量 是一个随机变量，且 （单位：份）；设每份报纸的购进价为 元，卖出价为 元。如果当天卖不完，可退还报社，每份可得退回费 元；试问：该报童每天应取多少份报纸才能使平均收益最大？ 【例3.2.21】医院对某地区的人进行验血，该地区一个人化验 结果为阳性的概率为 ，原方法需每人化验一次；现采用把 个人的血样合在一起化验的方法，若为阴性，则每个人的结果皆为阴性；若为阳性，再把这 个人的血样逐个化验； 1）试求 个人一组中，一个人化验次数的分布列； 2）若 ， ，医院的工作量平均会减少百分之几？ 【例3.2.22】某分布的分布函数为 ， 试由 积分的双线性性质求该分布的数学期望； 【例3.2.23】在可靠性与生存分析中，所研究的寿命现象是非 负随机变量，记作 ，其分布函数为 ，密度函数为 ，称 为生存函数，这时常引入失效率函数 ，其定义为： ； 1） 给出失效率函数 的直观解释，并推导用 表示 的 公式； 2） 某放射性物质在初始时刻的质量为 ，在单位时间内每个 原子产生分裂核的概率为常数 ，试求经过时间 后该放射性物质质量的期望； §3 连续型随机变量的独立性 以下介绍二维连续型随机向量， 维的情形依此类推！ 【连续型随机向量】设 是定义于同一概率空间 上的随机变量，称二维随机向量 是连续型的（联合连续的），若存在非负可积函数 ， ,使得对于任意的二维矩形域 ，都有 ，并称 为 的联合（概率）密度（函数）。 【注1】1）可以验证联合密度 满足： a) 非负可积； b) ；（反常或广义二重积分） 2）若 在 点连续，则有 ，由该式求联合密度的方法称为“微元法”； 3)事实上，若 （二维Borel域）是 平面上任一区域， 则以 为横，纵坐标的随机点落入区域 的概率为： ；并且也可由该式作为上述定义中的条件式。 【注2】 若 具有联合密度 ，易知： ， ；由 的任意性，可知 的分量 的概率密度函数为 ，常称之为 关于 的边缘（边际）密度（函数）；记之为： 。同理，可给出 关于 的边缘（边际）密度函数： 。总之，边缘密度可由联合密度唯一确定！ 【例3.3.1】函数 为二元密度函数的 充要条件是： ， ， ， 。 【例3.3.2】设 ，试求： ； 【例3.3.3】设 ；求：1)常数 ； 2) “ 至少有一个小于 ”的概率； 【例3.3.4】利用概率思想来证明： ； 【例3.3.5】试举出反例说明 是连续型随机变量，但 却不是连续型随机向量；且该情形不适用于离散型随机变量； 【例3.3.6】设 ，试求： （1） ；（2） ；（3） ； 【例3.3.7】（二维均匀分布）(a)设 ，试 求 的 ;(b)向区域 内随机地投掷一点，记之为 ，求 的 和 的 ； 【注3】（二维）均匀分布的边缘分布不一定是（一维）均匀分布； 【注4】掌握由联合密度求边缘密度的两种作法！ 【例3.3.8】设 ，试求： 1） 的边缘密度函数；2） ； 以下将要介绍的联合（概率）分布函数是统一刻划各类随机向量（包括联合离散，联合连续等情形）取（向量）值的概率规律一个重要、有效工具！ 【联合（概率）分布函数】设 为二维随机向量， ，称 为 的联合（概率）分布函数；更高维的情形依此！（讨论其几何意义） 若 是联合离散的，且有： 则有： ， ； 【例3.3.9】设 的联合分布为： ；求 的联 合分布函数； 若 是联合连续的，且有： , 则有： ； 【例3.3.10】设 ，试求 的联合分 布函数； 【例3.3.11】问： 是否为一随机向量的联合分布函数？ 【例3.3.12】设 的联合分布函数为 ，试求 ； 联合分布函数具有如下一些性质： 设 的联合分布函数为： ， （1） 是关于 的单调递增函数；（简证） （2） 且 ， ； ； ； ；而且，我们还有： ； ；称由此得到的 为 关于 的边缘分布函数！其即是 的分布函数。需要说明的是这里由联合分布函数得到边缘分布函数的公式常称为分布函数族 的相容性条件－边缘分布函数只能反映各分量单个变化的概率规律，而联合分布函数却能反映随机向量整体变化的概率规律，且还能反映分量之间的相互关系，这是边缘分布所不能反映出的；另外，我们还能看到边缘分布相同而联合分布不同的例子！ （3） , 是 的右连续函数； ， 是 的右连续函数; （4） ； （简证）； 若二维随机向量 有联合分布函数 和联合密度函数 ，则应有： （几乎处处成立）。 【例3.3.13】用 的联合分布函数 来表示如下事件的概率： ， 1） ；2） ；3） ； 4） ；5） ；6） ； 7） ；8） ；（详细讲解） （二维联合分布函数完全刻划了二维随机向量取“值”的概率规律） 【独立性】设 是定义于同一概率空间 的两个随机变量，且 的联合分布函数为 ， 的边缘分布函数分别为 ，若 ， (a)，则称 与 是（相互）独立的。 （1）若 是联合离散的，则有(b)式： （简证(a)与(b)等价）先证：(a) (b) 由(a)式，即有： ，1)先证 ；2) ,任取数列 使得 ，从而 ，即有： ，也即有： ；于是， ；1）－2），即得： ，重复以上的作法，即 可得(b)式！再证：(b) (a) , ;即得(a)式！ （2）若 是联合连续的，则有(c)式： ； 【例3.3.14】设 ,试证: 与 不独立； 【例3.3.15】设 ；试证： 与 不独立，但 与 独立； 【例3.3.16】设 的 为： ；问： 是否独立？ 【例3.3.17】设 ，则 与任一随机变量 必独立！ 【例3.3.18】设 独立同 分布，试求脱靶量 的 概率密度； 【本例的注】这里之所以称 为脱靶量，是因为若将 视为弹落点，则 是弹落点到目标 的距离。易知这里的 服从瑞利（Rayleigh）分布；且瑞利概率密度 EMBED Equation.DSMT4 在 取最大值；如果画出以原点为圆心，若干宽度为 的圆环，则子弹落在圆环 内的概率较大；这也解释了为什么优秀射击运动员在比赛时打出 或 环的机会较多，打出 环或 环的机会较少。 【例3.3.19】（正态分布的推导）在打靶问题中，设靶心位于所 在平面的原点；由于各因素的影响，子弹落在点A的坐标 是一个二维随机向量，若它同时满足：1. 分别具有连续密度函数 和 ，且 ；2. 相互独立；3. 的密度函数在 的值只依赖于该点到靶心的距离；试求 与 的分布； 【例3.3.20】（随机变量的随机加权平均）设 是定义于同 一概率空间 上的 个相互独立的随机变量，设 的分布函数分别是 ，而 ～ ，令 ，称之为 与 的随机加权平均，即： ， 试求 的分布； 【例3.3.21】设 ， 令 ，试求 的联合密度函数； 【顺（次）序统计量】（补充）设 独立同分布且有分布函数 ，对每个 ，将 从小到大排序： ；这样，即可得到 个新的随机变量 ，称它们为 的顺（次）序统计量；其中， （ ）称为最小（大）顺（次）序统计量， 称为第i个顺（次）序统计量。（举例说明） 易见， ， ，且有： ；下面考虑： （1） 的分布（ ）； 分布函数法： ； 微元密度法： ，考虑 ： 充分小， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ；再由 即可得到密度函数！（这里暂略过程，课堂详述） （2） 和 的联合分布（微元密度法，部分结合分布函数法）――【课堂论证】 【例3.3.22】在长为 的线段上任取 个点，则相距最远的两点之间距离的数学期望为 ； 【例3.3.23】设 有连续可微的分布函数 ，将 的 次独 立观察所得的样本按从小到大的顺序排列得到： ；试求 的概率密度； §4 条件分布与条件数学期望 【第一类条件分布】设 ， 若 ，且 ，则可定义给定 时关于 的条件概率： ， ；若 ，存在非负可积函数 ，使得 ，则称 为给定 时 的条件概率密度；若 ， ，则称 为给定 时 的条件分布函数。 【例3.4.1】设 ，试求在 发生的条件下， 的条件分布函数和条件密度函数； 【例3.4.2】设随机变量 ， ，求 和 ； 【例3.4.3】设某元件的寿命 （单位：小时），设已知 时，求它的平均余寿；（两种方法） 【第二类条件分布】设 即有： 从而 ，无法直接定义 ；自然会想到： ； 设 ， 则有： ＝ ； 【条件密度函数】设 ，称 为给定 时 的条件密度函数；同理， ，称 为给定 时 的条件密度函数。 【注1】（1）以上两个条件密度函数分别记为： 和 ；即有： 和 ；常称之为密度的贝叶斯公式； （2）由定义， ， ，常称之为密度的乘法公式； （3）设 ， (a)；事实上，类似可得到： (b)；更一般地，若 且与某连续型随机变量 有关，则有： (c)；上述三式均可称作连续型（广义）全概率公式，其实质是离散型全概率公式的连续版本！ （4）在联合密度 中， 与 的地位是“对等”的，它们都是变量，故 与 的变化范围等都并列地标注在 表达式后面；而在条件密度 中， 与 的地位就不对等了： 是 的范围，它是 存在的“前提条件”，必须标在前面， 只是 的函数，故后面只能标注 的变化范围，此时的 只能视作“常数”。 【例3.4.4】设 独立同 分布，(a)在 条件下，试求 的概率密度；(b)试求 的联合密度； 【例3.4.5】设 独立，且 ～ 试求： ； 【例3.4.6】设随机变量 与 相互独立， 的密度函数为 ， 服从 上的均匀分布，又函数 满足条件： （1） ，且 ； （2）存在 ，使得 （当 时），令 （当 时，规定 ）；又记 ，试证明： ，即 在 发生的条件下的条件密度函数恰是 ； 【例3.4.7】设 ，当观察到 时， 是 上的均匀分布，求： (1) 的 ； (2) 的 ； 【例3.4.8】设 ，试求： （1） ；（2） ；（3） ； 【例3.4.9】设 相互独立，且 ， ，试求 的分布；（分别使用离散型和连续型全概率公式求解） 【例3.4.10】设 ，其中 ，试求 的分布； 【例3.4.11】设 ，且 ，试求 ； 【例3.4.12】设 ， ，当 时， ，试 求 ； 【例3.4.13】设 ，试求： （1） ；（2） ，并由此求 ； 【例3.4.14】在圆周上任取三点 ，试求 的 概率； 【例3.4.15】假设甲，乙两个产品的寿命为 ，分别服从参数 为 的指数分布，假定 是独立的，试求 ； 【例3.4.16】设随机变量 相互独立，且 有分布函数 和 概率密度 ；如果 ， 是正常数，试求 ； 【条件数学期望1】设 为二维连续型随机向量， 为 的概率密度， 为给定 时 的条件概率密度；若 ，则称 为给定 时 的条件数学期望。 【例3.4.17】从 开始，一部手机等待第一个短信到达的时间 服从参数为 的指数分布；已知 的条件下，第二个短信的到达时间 有概率密度 ， ；(a)计算 的联合密度；(b)试求 的概率密度；(c)已知 时，计算 的概率分布和数学期望； 【例3.4.18】保险公司一项理赔损失 具有分布密度 ， ，假定处理损失为 的一项理赔需要花费的时间 （单位：月）服从 ，则“处理一项理赔的时间需 个月以上”的概率是多少？ 【条件数学期望2】若 ，则给定 时 的条件分布函数为： ；若 ，存在非负可积函数 ，满足： ， 则称 为给定 时 的条件密度函数； 若再有: ,则称 为给定 时 的条件数学期望，记作： ；即有： 。 【例3.4.19】设 ，求 在 下的条件数学期望； 【例3.4.20】设 独立同 分布，令 ，试求 ； 【例3.4.21】设随机变量 独立同 分布，令 ，试求 的分布及 ； 【例3.4.22】设 独立，且 ，试求 ； 【注2】指数分布有一个有趣性质： ；这个性质甚至可推广为：若 独立，且 ；则 ；学生试做： 设 独立， ；试求 ； 由上述定义，条件数学期望 是 局限于 上的局部加权平均，它是 的“函数”，不妨记之为 ，即有： ；类似于离散情形的条件数学期望，定义一个新的随机变量 ，使其在 时取值为 ，不妨记之为： ，称之为 关于 （或给定 时 ）的条件数学期望！ 【注3】上述条件期望为一随机变量，故可取期望： ；即为连续情形的全（数学）期望公式！事实上，上述公式中的 可以是任意类型的随机变量，只须 的期望存在即可（条件期望存在的充分条件）！由上述公式也可导出连续型（广义）全概率公式，这里不再累述。 【例3.4.23】设 ，且 ，试求 ； 【例3.4.24】从一个含有 只黑球和 只白球的袋中任取 只球，（ ）再从这 只球中任取 球，求“该球是黑球”的概率； 【例3.4.25】设 ，则 ； 【例3.4.26】设供电公司每月可供应某工厂的电力服从 （单位：万度）上的均匀分布，该工厂每月实际生产所需电力服从 上的均匀分布。若工厂能从供电公司得到充足的电力，每 万度电可创造 万元的利润；若得不到足够的电力，不足部分通过其他途径解决，此时每 万度电产生 万元的利润；求工厂每月的平均利润。（三种方法） 【例3.4.27】若随机变量 满足： ， 则 ； 【例3.4.28】若 服从 分布， ，试求 ； 【例3.4.29】设随机序列 独立同 分布，令 ，则有 ； 【例3.4.30】（1）设 独立同分布， ， 如果 ，则 ；（2）设 独立同分布， ， ，如果 存在，试求 ； 以下，我们通过例题来讨论“基于条件期望的直观定义”来计算条件期望的方法！ 【例3.4.31】1）设 独立同 分布，试求 ； 2）设 ， ，试求 ；3）设 ， ，求 、 、 ； 4）设 独立同 分布，试求 ；5）设 独立同 分布，试求 ；6）设 独立同 分布，且 ，试求 。 【例3.4.32】设随机向量 以概率 取（向量）值 ， 以概率 均匀取（向量）值于 ；试求 ，并由此求 ； §5 随机向量的函数、随机变量的函数和随机向量的向量值函数的分布 【随机向量函数的分布】设 ， 为二元Borel函数， ，考虑 的分布； ， ＝ ；以下，仅讨论一些简单情形： （1） ；（3） ； （2） ；（4） ； 一．求 的分布；设 ，则， 法１） EMBED Equation.DSMT4 ；由 的任意性，可知：　 　　；　 法２） 　　　　　　　 ，后略！ 法３） ，后类似略！ 至此，我们有： ，则有， ；特别地，若 相互独立，则有， ； 【例3.5.1】设 独立同 分布，试求 的分布； 【例3.5.2】设 ；试求： （１） 　；（２） 的概率密度　 　　； 【例3.5.3】设 独立同 分布，试求 的 分布； 【例3.5.4】设 且 ，记 　，试求 的分布； 二.求 的分布；设 ，则有， 　， 　　 　　；从而有， 　 ；特别地，若 独立，则有， 　　　； 【例3.5.5】设 ；试求 的概率密度函数； 【例3.5.6】设 ， 与 独立，试求 的概率密度函数； 三．求 的分布；设 ，则有， ， ； 从而有， ；特别地，若 独立，则有， 　； 的情形类似！ 【例3.5.7】设 独立同 分布，试求 的分布； 四．求 的分布；设 ，则有， 　， ＝ 　　； 从而有， ；特别地，若 独立，则有， 　 　　； 【例3.5.8】设 独立，且 ，试求 的分布； 【随机变量函数的分布】设 　， 为一元Borel函数，则 ， 　　；即得 的分布； 【引例】设 ， 是 的反函数，试求 的分布； 以下介绍两个重要定理； 【定理１】设 　，若 是严格单调函数且可导，则 是一个连续型随机变量，且有概率密度函数为： ，其中： 是 的反函数， 　　，　　 ， ；（课堂论证） 【定理２】设 ，如果： １） ，即： ； 2）每个 都是 到某区域 的可逆映射（函数），且在 内有连续的导数； 3） 互不相交；则 有如下的概率密度函数： ；（课堂证明） 【例3.5.9】设 ～ ，求 的概率密度函数； 【例3.5.10】设 与 独立同 分布，试求 的密度函数； 【例3.5.11】设 ，求一单调增函数 ，使 得 ； 【例3.5.12】设 ， ，求 的密度函数； 【例3.5.13】设 ， ，求 的 ； 【例3.5.14】 ，试由分布函数法和密度 公式分别求出 的概率密度； 【随机向量的向量值函数的分布】考虑二重积分的如下性质： 对于二重积分 ，作变量代换： ； 则：被积函数 积分区域 ；记此变换为 ；若 ，且 ，则， 。由此， 平面，在映射 （一一映射，可微）的作用下，若有 平面， 则： ；这里， ， 即有： ， ；由 的任意性，即知： ； 【例3.5.15】设 独立同 分布，令 ，试求 的联合密度函数，并验证 是独立地； 【例3.5.16】设 独立同 分布，求 的联合密度及两个边缘密度； 【例3.5.17】若随机变量 独立，且 ，求 的密度函数； 【例3.5.18】若随机变量 独立，且服从 分布，试证明： 与 独立； 【例3.5.19】设二维随机向量 ,求 的密度； 【例3.5.20】设 和 独立同 分布，令 ， ，证明： 和 独立同 分布； 【例3.5.21】设随机变量 和 的联合密度函数形如 ，1）试求随机变量 和 的联合密度函数，并证明 和 独立；2）设 与 ，试证明：随机向量 的联合密度函数与 相同。 【例3.5.22】设随机向量 服从单位圆上的均匀分布，又设 ， ， ，1）证明：随机变量 与随机变量 相互独立，分别服从区间 与 上的均匀分布；2）证明：随机变量 和 相互独立且皆服从标准正态分布； 【例3.5.23】设 独立同 分布，试求 ； §6 概率不等式、协方差和相关系数、二元正态分布 【概率不等式】以下仅讨论Markov不等式、切比雪夫不等式和柯西（Cauchy）不等式。 【马尔可夫（Markov）不等式】 （一）若非负随机变量 的期望 存在，则 ， 1）若 是离散型随机变量且有分布列： ， EMBED Equation.DSMT4 ；也即： ； 2）若 是连续型随机变量且有密度函数 ， ；也即： ； （二）若随机变量 满足： ，则 ，即有： ，也即： ； 【切比雪夫不等式】将马尔可夫不等式中的 置换成 ，即有： ；它有如下常见的形式： （1） ； （2）取 ，即有： ； （3）取 ， ，即有： ； 【注1】切比雪夫不等式常用来： a)证明切比雪夫大数定律； b)估算概率的上、下界； 【例3.6.1】若随机变量 ～ ,试将由切比雪夫不等式得到的概率 的上界与其精确值作比较； 【例3.6.2】设 ～ ,即： ；试证： ； 【柯西不等式（Cauchy-Schwarz）】见过的柯西不等式版本有： （1） ； （2） ； （3） ，这里， 是向量空间， 分别是向量的内积与模； （4）【概率版本】设 ，则 ； 【注2】设 为随机变量，则 （证明）； 由上述【注2】可得到柯西（内积）不等式等号成立的条件： ， ，从而， ，等号成立当且仅当存在唯一的实数 ，使得 ， ， ，从而有 ，（置于向量空间【线性相关，内积】的范畴来解释等号成立的充要条件）。 【协方差】设 为二维随机向量，若 ，则称 为随机变量 与 的协方差（Covariance），记作： ，即： ； 由期望的线性性质，即有： ；由上述定义，我们有： （1）若 是联合离散的，且有联合分布列： ；则 ； （2）若 是联合连续的，且有联合分布密度 ；则 ；若 ，称 不相关或零相关！ 通常，协方差 有如下一些性质： 1. （对称性） ；2. ； 3. ； 4. ； 5. ；6. ； 7. ，并且更一般地， ； 【例3.6.3】设 （偶函数），且 ，试证： 与 不相关但也不独立； 【例3.6.4】设 ，其中 ，试证： 既不相关也不独立； 【注3】协方差的数值虽然一定程度上反映了 与 之间的相互关系，但它仍然受 本身数值（量纲）大小的影响，再如：直观上， 与 （ 为常数）之间的联系和 与 之间的联系并无二致，但 ，协方差却增加了 倍；为了克服以上不足，先对随机变量“标准化”。所谓“标准（化）随机变量”，即指 满足 ；对于任何随机变量 ，若 ，只须令： ，则有 ，于是 ，则称 是 的标准化，这也是 被称为“标准差”的一个原因。 【（线性）相关系数】设 是一个二维随机向量，若 存在，则称 为 与 的（线性）相关系数，记之为: ； 【注4】（1）相关系数消除了计量单位对随机变量的影响，因 此它比协方差更能精确地刻划随机变量之间的关系；（2）经过标准化处理的 是把原分布中心 移至原点，不使分布中心偏左或偏右，然后缩小或扩大坐标轴，使分布不致过疏或过密；在排除这些干扰后，原随机变量的一些性质就会显现出来，故标准化处理技术在概率统计中会经常使用。 由定义，相关系数具有如下性质： 1.（对称性） ； 2. ； 3. ； 4. ； 性质4.可由柯西不等式加以验证： 其等号成立的条件为等价于柯西不等式等号成立的条件，稍后再作讨论。可以验证以下四个命题等价： 1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 【定理】设 的方差存在，其相关系数为 ，则： EMBED Equation.DSMT4 与 以概率 线性相关，即存在非零实数 与实数 ，使得 ；易见， 存在非零实数 和 ，使得 ，这里， ； 【注5】 时，即除去一个零概率事件外， 与 之间存在着一个线性关系； 时，称 与 完全正相关； 时，称 与 完全负相关； 时，称 与 不（零）相关；因此，相关系数是描述随机变量间线性关系强弱的一个数字特征，确切地应称为线性相关系数。 【注6】独立与不相关的比较：若 独立 ；即：独立必不相关；反之则不成立！这是由于 不相关，只是说明 之间“不存在”线性关系，但却可能存在别的函数关系，此时就可能不再相互独立（如【例3.6.4】）。 【例3.6.5】将一枚均匀硬币重复掷 次，并以 和 分别表示正面和反面朝上的次数，试求 和 的相关系数； 【例3.6.6】设 中任两个相关系数均为 ，试证： ； 【例3.6.7】若 满足 ，试 证： ； 【例3.6.8】相关系数在线性变换下保持不变 ， 则：(1) ； (2) ; 【例3.6.9】试验证：在某些特殊场合，如：两点分布，二元(维) 正态分布等，“独立”与“不相关”是等价的； 【例3.6.10】设随机变量 满足 ，试求 的相关 系数 ； 【例3.6.11】设 ， ，且 ，试求： 1） ；2） ；3） 的 的值 ； 【例3.6.12】已知 ，在 时， ，试求 的分布及 ； 【例3.6.13】设 ， ， ， ，求 ； 【例3.6.14】设 ， ；试求 及 的最小值； 【二元（维）正态分布】若 ～ = ，其 中， ；则称 服从参数为 的二元（维）正态分布，记作： ～ ； 【注7】二元（维）正态分布有如下的典型分解式： （1） ； （2） ； 由以上的典型分解式，易得二元（维）正态分布的如下性质： 设 ～ ，则， 1）两个边缘分布： （课堂推导）； 2）两个条件分布： 　，　　 （课堂推导）；由上述2），可知，　 ，(a) ；(b) 【注8】设 ～ ，讨论 的意义； 的相关系数为： （由注7的(b)式）；若令二元正态密度中的 ，即有： ，从而 独立；故在二元正态分布场合，独立与不相关等价！ 【例3.6.15】若随机向量 ～ ，在什么条件下， 与 相互独立？ 【例3.6.16】　(a)　　设随机向量 服从二元正态分布 ，试求“ 取值于椭圆 内”的概率；(b) 设随机向量 ～ ，求“ 取值于椭圆 内”的概率； 第四章极限定理 极限定理包括大数定律（法则）（弱大数定律与强大数定律）和中心极限定理（局部中心极限定理与积分中心极限定理）。通俗地说，凡描述在一定的条件下随机序列的前若干项的算术平均值收敛于其均值的算术平均值的一类定理都可统称为大数定理；凡描述在一定的条件下，大量随机变量之和的极限分布是正态分布的一类定理都可统称为中心极限定理！ §1 （弱）大数定律 【依概率收敛】设 为概率空间 上的随机序列，若存在随机变量 ，使得： ，或等价地 ，则称随机序列 依概率收敛于随机变量 ；记作： ， 或 ；若 ，即有： 。 【直观解释】 也即 ， 充分大时，事件 发生的概率很小（收敛为 ），这是在概率意义下的收敛性；因此， 很大时，有很大把握保证 很接近于 ； 【切比雪夫大数定律】　设 为 随机序列，且 ，记 ，则 ，即： ；有时，也将该定律的条件写为： 为独立 随机序列，若存在常数 ，使得 ，即 的方差一致有界，则 ；若随机序列 满足该式，则称它服从（弱）大数定律！ 【直观解释】当试验次数趋于无穷时， 依概率收敛于其期望，这也是对算术平均值稳定性的较确切的解释；它说明大数次重复试验下所呈现的客观规律，故称大数定律！ 【贝努利（Bernoulli）大数定律】设 表示在 重Bernoulli试验中事件 发生的频数，且在每次试验中 发生的概率为 ，则 ，有： ，即： ； 【直观解释】频率依概率收敛于概率；这也说明在大数次重复试验下，用频率去估计概率是可行的。 以上的定律都是假定随机变量的二阶矩存在且方差一致有界的前提下成立大数定律；然而有些前提却是不必要的， 【辛钦大数定律】设 为 随机序列，且 ，则 ，即： 。 【例4.1.1】设 独立同 分布，令 ，则 依概率收敛于 ，即： ； 【例4.1.2】设 ，其 为 ，令， ，试证： 依概率收敛于 ，即： ； 【例4.1.3】设 为独立的随机序列，且 ， ；问： 是否服从大数定律？ 【例4.1.4】设 是 序列，且 ，若 ，试证： ，并求出 ； 【注1】 可以验证：若 ， 为连续函数，则 ；（课堂证明） §2 中心极限定理 【依分布收敛】设 分别为 的分布函数，若对于 的任一连续点 ，有　　 ，则称随机序列 依分布收敛于 ， 为 的极限分布函数。 【列维－林德伯格中心极限定理】设 为 随机序列， 且 ，则 ，有 　；也即： 的极限分布是标准正态分布；此时也称随机序列服从中心极限定理！ 【注1】 定理表明：独立同分布的随机变量之和的标准化变 量（ 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 和）依分布收敛于标准正态变量！定理既验证了“只要独立同分布的随机变量方差存在，无论其原来是何分布，其极限分布均是正态分布”，从而在理论上支持了正态分布的重要性，初步说明了为什么实际应用中会经常遇到正态分布；又提供了一种“计算独立同分布随机变量和的分布的近似方法”，从而实际应用时十分简洁有效；只要和式中相加各项的个数充分地大，即可不必关心每个随机变量原先为何分布，都可用正态分布逼近！ 　　将该定理应用到Bernoulli试验的背景，即有： 【德莫佛－拉普拉斯中心极限定理】设在 重Bernoulli试验中，事件 在每次试验中出现的概率为 ， 为 次试验中 出现的次数，则， ； 【注２】（１）一般地， a.在 较小的情况下，由Poisson定理知用Poisson分布近似较有效，即： ； b. 在 较大的情况下，常用正态分布来近似： ；需强调，Poisson分布逼近是分布列的逼近，而正态分布逼近是分布函数的逼近；二者并不同！ （２）一般地，大数定律和中心极限定理之间并没有确定的关系也即是： 服从前（后）者，也可能不服从后（前）者；但是在独立同分布的场合，两者都存在，而且中心极限定理比大数定律更精确！可以证明由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理可以推出Bernoulli大数定律；易见， 　；　 【注３】大数定律和中心极限定理都是描述随机变量的“和”的分布的极限过程，但它们却有质的区别：大数定律只刻划了“频率稳定于概率”，“平均值稳定于期望值”，即随机序列算术平均值的取值发展的趋向，属于定性的描述；而中心极限定理肯定地是在某些条件下，随机变量之和服从正态分布，即给出了过程的定量的描述，其在实用上往往具有更大的价值（大样本统计推断的理论基础）。 【例4.2.1】分别用切比雪夫不等式与德莫佛－拉普拉斯中心极限定理确定当掷一枚均匀硬币时，需要掷多少次才能保证出现正面的频率在 到 之间的概率不小于 ？ 【例4.2.2】假设某大学报名选修统计课程的学生人数 ，负责开课的老师决定：如果选课的学生人数不少于 人 ,就分成两个班讲授；如果少于 人，就集中一个班授课。试问：该老师讲授两个班的概率是多少？（ ） 【例4.2.3】设 ，并记 ；若 ，随 机序列 独立且与 同分布，并且 ，（１）求 ，并证明： ； （２） ，利用中心极限定理估计概率 ； 【例4.2.4】试利用中心极限定理证明： ； 【数理统计部分】 第五章 数理统计的基本概念（见教材） 第六章 参数估计、假设检验 §1（参数）点估计 这里的参数通常指：1.总体分布中的未知参数可以是向量；2.分布中未知参数的函数；3.分布中的各种数字特征。 【矩估计的基本思想】即替换原理：用样本矩（原点矩或中心矩）来替换相应的总体矩；用样本矩的函数来替换相应的总体矩的函数。 【替换原理的理论依据】辛钦大数定律，即样本矩依概率（以概率 ）收敛于相应的总体矩。 【注1】 基于替换原理，在总体分布未知的场合下，常对以 下各种参数进行如下估计： （1） 以样本均值估计总体均值 ，即： （矩估计 量）， （矩估计值）； （2） 以样本方差（未修正） 估计总体方差 ，即： ； （3） 以样本的标准差估计总体的标准差，即： ； （4） 若 是取自二元总体 的一个 样本， 为 的相关系数，则： ； 矩估计法的步骤如下： 假设总体 的密度函数或概率函数为 ，其中 ， 为未知参数， ；若总体 的k阶原点矩存在，则 也是 的函数， 记之为： ； 假设由参数方程 可解出 ；再用相应的样本矩 来替换 ，即有： 。 【例6.1.1】设总体 ，试求 ； 【例6.1.2】设总体 未知且 ，试求 ； 【例6.1.3】设总体 未知，试求 ；（两种方法） 【例6.1.4】设总体 ，试求 的矩估计量 ； 【矩估计法总结】 1. 直观，简便，无须使用总体 的分布类型； 2. 矩估计可能不唯一，这也是其缺点之一，故尽量使用低阶矩替换； 3. 有时，在求解上述方程组时，不能或很难得出解析式，则只能通过数值计算求解； 4. 若总体相应的矩不存在，则此时矩法失效； 5. 由于样本矩表达式与总体的分布类型没有任何联系，此即表明矩估计有时没有充分利用总体的分布类型中所含未知参数的信息，因此矩估计法并不是很好的估计方法。 【最(极)大似然估计的基本原理】最(极)大似然原理。 为了说明该原理，先看如下引例， 【引例】设总体 ， 未知， 为取自 的样本， 为样本的一个观测值，令 （1） 如果需要从 的两个值 中选一个，即： ； 将仅依赖于 的 列表如下： ；若观测到 ， 自然应该认为 取 ，此时其是使观测值取最大概率（出现可能性最大）的参数值 。 （2） 如果参数 的取值范围为 ，即： ，设 为样本 的观测值，此时有， ， 依（1），此时应选取 的估计值为何值才能使该样本的观测值出现的可能性最大？易见， 1.若 ，则 ； 2.若 ，则 ； 3.若 ，令： ，则， ，令 ，则有： 。 以下，我们分别就总体离散和连续两种情形来讨论未知（待估）参数的最大似然估计！ 【离散型总体】设总体 的分布列为： ，其中 为未知（待估）参数，且 （参数空间）， 为取自总体 的一个样本， 为样本的一个观测值，则样本的“联合分布”为： ，称之为 的似然函数 ，则参数 的最大似然估计值 满足： ；这里， 为参数空间，即为 的取值范围。因此，只须根据具体问题得到似然函数，求出其最（极）大值点，即可得到待估参数的最大似然估计值，进而得到最大似然估计量。 【例6.1.5】设总体 服从 上的均匀分布， 为样本的一个观测值，试求： ； 【例6.1.6】(1)设总体 有分布： ， ， 为未知参数；若已知取得的样本值为 ，试求 ； (2)设一个试验有三种可能结果，其发生的概率分别为： ，现做 次试验，观测到这三种结果发生的次数分别为 ，试求 ； 【连续型总体】设总体 的概率密度函数为 ，其中 为待估参数，且 ， 为取自总体 的一个样本；设 为样本的一个观测值，则样本落在 的附近（邻域） 的概率为： EMBED Equation.DSMT4 此概率的大小仅依赖于 ；因此，可选取似然函数为： ； 的选取应使似然函数取最大值，从而有 的最大似然估计值满足： 【例6.1.7】设总体 ～ ， 为未知参数，试求 ； 【例6.1.8】设总体 EMBED Equation.DSMT4 ，其中 为未知参数，试求 ； 【例6.1.9】设总体 的 为 ， 样本的观测值为 ，试求：（1） ；（2）设 ，求 的最大似然估计值 ； 【例6.1.10】设总体 的 为 ，其中 是未知参数；若 为取自总体 的一个样本， 为样本值 中小于 的个数，试求： ； 【最大似然估计法总结】 1. 最大似然估计可能不止一个，有时甚至为无穷多个； 2. 有时，即是最大似然估计值唯一确定，却求不出或很难求出它的明显解析式，只能根据其样本观测值数值求解； 3. 对数似然方程的解不一定使得对数似然函数取得最大值； 4. 最大似然估计有许多优良的性质，其中有一条即：最大似然估计的不变性，也即若 的最大似然估计为 ，则 的最大似然估计为 。 【基于截尾样本的最大似然估计】设某种产品的寿命 ， 未知,由于时间或财力所限，不能做完全寿命试验，即：从总体中随机抽取 件，在 时同时投入试验，直到每个产品都失效为止；只能做截尾寿命试验。第一类：将 个产品在 时同时投入试验，试验进行到时刻 为止，称为定时截尾寿命试验；第二类：在 个同时投入试验的产品中，一旦失效数目达到预先规定的失效 个时就停止，称为定数截尾寿命试验；现在我们来求 。 定时截尾寿命试验：设试验进行到规定的时刻 为止，设在 内有 个产品失效，其失效的时间为 ，其余的 个产品均超过 ；确定似然函数需要知道观测到上述结果出现的概率： 一个产品在 （ 很小）失效的概率近似为 ，而其余 个产品寿命超过 的概率为 ，故上述概率的近似值为 ，此时取 的似然函数为： ；令 ，即有最大似 然估计值： ，从而有最大似然估计量： 。 定数截尾寿命试验：设试验进行到第 个产品失效为止，其失效的时间依次为 ，其余的 个产品均超过 ； 确定似然函数需要知道观测到上述结果出现的概率：一个产品在 失效的概率近似为 ，而其余 个产品寿命超过 的概率为 ，故上述概率的近似值为 ，此时取 的似然函数为： ；令 ，即有最大似然估计值 ，从而有最大似然估计量 。 §2（参数）区间估计 点估计虽然给出了未知参数的估计量（值），但并未给出估计量（值）的可靠度和精确度；而区间估计正好弥补了这一不足！ 【区间估计（置信区间）】设 是总体 的分布 中的未知参数，样本 取自总体 ，对于给定的 （通常 等），若存在统计量 和 ，使得 ，则称 （随机区间）为 的置信度（置信水平）为 的置信区间（区间估计）。 【注1】1. 常称为置信下（上）限， 又称为显著性水平； 2. 是随机区间（左，右端点都是随机变量），其长度一般也是随机变量；故 包含 的真值的概率 刻划了这个区间估计的可靠度（性）； 3.区间长度的期望 刻划了这个估计的精确度（性）；其值越小，则精确度越高； 4.在样本容量固定的情况下，不可能既提高可靠度又提高精确度；同时提高二者的途径一般是增加样本容量； 5.正确理解区间估计的“涵义”：若进行 次的抽样，进而得到 个具体的区间 ，那么这其中大约有 个区间包含了未知参数 的真值。 构造区间估计常有如下一些方法： 1） 枢轴量法；2）统计量法；3）基于假设检验的接受域法； 以下仅讨论枢轴量法建立区间估计的一般步骤： 1. 先给出一个统计量 ，一般选择未知参数 的点估计量； 2. 构造 和 的函数 ，使其分布与待估参数 无关（ －枢轴量）； 3. 选择两个常数 ，使得 ； 4. 对不等式 作恒等变形，得： ，即有： ，从而有， 为 的 的区间估计。 【例6.2.1】正态总体的参数区间估计： 1. 设总体 ～ ， 已知，求 的 的区间估计； 2. 设总体 ～ ， 未知，求 的 的区间估计； 3. 设总体 ～ ， 已知，求 的 的区间估计； 4. 设总体 ～ ， 未知，求 的 的区间估计。 【注2】a) 区间估计可能有无穷多个，但当枢轴量的分布对称时，往往选择对称的区间；b) 随机区间的长度也可能为常数。 【例6.2.2】非正态总体的参数区间估计： 设总体 ～ 未知，试求 的置信水平为 的置信区间； 【例6.2.3】区间估计的大样本方法： 设总体 ，其 未知， 已知，试求 的 区间估计。 §3 假设检验 假设检验可分为：参数假设检验和非参数假设检验。 参数假设检验－对总体分布中的未知参数提出某种假设，然后利用样本提供的信息对所提出的假设进行检验，根据检验的结果对所提出的假设作出拒绝或接受的判断。 非参数假设检验－对总体分布的形式或总体的性质提出某种假设所进行的检验。 以下仅考虑参数假设检验！ 基本思想、基本概念： 在数理统计中，常把关于总体分布的某个命题称为假设；如：“总体服从均匀分布”、“总体均值大于 ”等；一般地，假设的提出要有一定的理由和依据，但这种理由和依据往往是不充分的；这时就需要抽样调查，根据抽样的结果对假设的正确性作出判断，进而决定接受还是拒绝这个假设，即为“假设检验问题”。以下我们通过例题来说明其基本思想！ 例：某灯泡厂在正常情况下，所生产的灯泡的使用寿命 ～ （单位:小时）今从该厂生产的一批灯泡中随机抽取 个检测，测得其平均寿命为 ，假设标准差保持不变，问：能否认为这批灯泡的平均寿命仍为 小时？ 注：表面上看，该问题即判断总体均值 是否成立？ 的估计值 ，似乎应否定“ ”；如此做又未免武断，因为：即使 成立，样本均值 出现的可能性也不大；事实上，由于 为 ， ，即事件 几乎不发生。因此参数点估计无法回答该问题，须另寻他法。 问题再描述：已知总体 ,现抽取一容量为 的样本， ，检验假设 哪一个成立？ 问题的一般形式：总体 ，现抽取一容量为 的样本，得 ，检验假设 哪一个成立？ 常称 是原（零）假设， 是备择（对立）假设。 一般形式的讨论：现从 的点估计量 出发研究该问题。令 ，当 成立时， ，即有： 的取值一般偏小；当 成立时， ，统计量 的取值主要集中于 的周围，即： 的取值一般偏大；由此： 的取值偏小对 有利；反之对 有利；也即： 偏大且超过一定界限时，应拒绝 ；而当 没有超过一定界限时，应接受或保留 ；从而， 的拒绝域具有如下形式： ， 待定又如何定？ 强调：由于假设 是正常情况下的状态（是以往的事实），故若没有充分的证据，就不应轻易怀疑其正确性。 一般地，要事先给定 成立时被拒绝的概率 （显著性水平），即： ；从而， ，故 ， 的拒绝域为 。上述推理可以说是一种“反证法”－为了检验 是否成立，先假设 成立，再运用统计方法观察由此会导致何种后果，如果（对 不利的）小概率事件在一次试验中发生了，即表明 很可能不正确，从而拒绝 ；反之，则没有理由拒绝 ，应接受它！此概率性质的反证法的依据是小概率事件原理，其区别于纯数学的反证法！ 以下基于上例，给出（参数）假设检验的基本步骤： 一、建立假设： 假设检验中，常把一个被检验的假设称为原（零）假设，用 表示；常将不应轻易加以否定的假设作为原假设；当 被拒绝时而接受的假设称为备择（对立）假设，用 表示，它们常成对出现；如上例，可建立如下假设： 或 ，这里，vs是“versus（对）”的缩写；表示 对 的假设检验问题。 二、选择检验统计量，给出拒绝域形式： 由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量完成，该统计量称为检验统计量。使原假设 被拒绝的样本观测值所在区域称为拒绝域；它是样本空间的一个子集，并用 表示。 在上例中，选取的检验统计量 ；当 成立时， 一般偏小，假设显著性水平 ，则由 可知的拒绝域为： 。 当拒绝域确定了，检验准则也确定了： 1）如果 ，则认为 不成立； 2）如果 ，则认为 成立。 由此，一个拒绝域唯一确定一个检验准则；反之，一个检验准则也唯一确定一个拒绝域。 检验的结果与真实情况可能吻合也可能不吻合；因此，检验是可能犯错误的！检验可能犯的错误有两类： 1） 为真但由于随机性使样本观测值落在拒绝域中，从而拒绝原假设 ，这种错误称为第一类错误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率，又称弃真概率，常记之为 ，即： ； 2） 不真（即 为真）但由于随机性使样本观测值落在接受域中，从而接受原假设 ，这种错误称为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错误的概率，又称存（纳）伪概率，常记之为 ，即： 。 三、作出判断： 由样本的观测值计算检验统计量的观测值，进而观察“小概率事件”是否发生，若发生（即样本观测值落入拒绝域内），则拒绝 ，否则接受 。由上例，由于 ，即对 不利，应拒绝 ，即认为 。 【注1】一个好的检验准则总希望犯两类错误的概率都较小； 但一般场合下很难实现这种要求，除非增大样本容量！ 【关于检验假设的进一步说明】在上例中，已经指出：假设的提出要有一定的理由和依据；在实际问题中，还有许多形式的假设，常见的关于一维参数的假设有以下 种形式： 1） ；2） ； 3） ；4） ； 5） ；6） ； 7） ； 8） ；由如上形式，参数假设的本质在于：将参数空间 分解成互不相容的两个非空子集 及 ；检验参数属于哪一个子集；故而，所有的参数假设都可写为如下的形式： 。不论是 还是 ，若其中只含有一个参数值，则称为简单假设；否则称为复合假设。 在实数轴上，若其中任何一个都位于另一个的一侧，这种假设称为单侧假设；相应的假设检验称为单侧检验；反之，若有一个位于另一个的两侧，这种假设称为双侧假设，相应的假设检验称为双侧检验。 1、 单个正态总体的参数假设检验： 正态总体的参数无非两个：期望 与方差 。设 是取自正态总体 的样本， 1. 均值 的检验： 1） 已知时，对 主要有如下三种假设， a）双侧假设 ； b）单侧假设 ； c）单侧假设 ； 对于a），选取检验统计量 ， 的拒绝域为： ；对于b），选取检验统计量 ，由于 成立时， 值偏小； 成立时， 值偏大；故的 拒绝域形如： ； ， 给定显著性水平 ，欲使 ，只需使 ，故 ，即拒绝域为 ；对于c），选取检验统计量 ，由于 成立时， 值偏大； 成立时，值偏小；；故 的拒绝域形如： ； ，给定显著性水平 ，欲使 ，只需使 ，故 ，即拒绝域为 。 2） 未知时，对 主要有如下三种假设， a）双侧假设 ； b）单侧假设 ； c）单侧假设 ；由于 未知，可由 代替 ，选择检验统计量 （ 为真时， ）。 对于a），给定显著性水平 ，可得的拒绝域 ；对于b），由于 成立时， 值偏小； 成立时， 值偏大;故 的拒绝域形如： ，故 ，这里 为分布函数，欲使 ，只需 ， ，即 的拒绝域为 ；对于c）， 的拒绝域形如： ，故 ，这里 为分布函数，欲使 ，只需 ， ，即 的拒绝域为 。 【例6.3.1】设 是取自正态总体 的一个样本， 考虑如下假设检验问题： ，若检验由拒绝域 来确定；1）试求当 时检验犯两类错误的概率；2）如果要使犯第二类错误的概率 ， 最小应取多少？3）证明：当 时， 。（ ） 【例6.3.2】设 是取自正态总体 的样本，考虑检验问题： ，其拒绝域为 ，试求 使得检验的显著性水平为 ，并求检验在 处犯第二类错误的概率；（ ） 【例6.3.3】设总体为均匀分布 ， 是样本，考 虑检验问题： ， 拒绝域取为 ，求检验犯第一类错误的概率 的最大值；若要使得 不超过 ， 至少应取多大？（ ） 【例6.3.4】设总体 服从 分布，样本 取自总体 ，考虑检验问题： ，若拒绝域为 ； 1）当 时，求 ；2）当 时， 。（ ） 【附录部分】 【阅读材料一】－关于正态分布的推导（基于极大似然方法） 德国数学家高斯在研究误差理论时，利用极大似然估计方法，导出了正态分布！ 设某物体的真实长度为 ，它是未知的；现对其长度进行 次测量，得到样本观测值 ，其平均值为 ，又设 为测量误差，诸随机变量 相互独立且同分布；现考虑一个问题：随机变量 的概率分布为什么时，才能使观测值的平均值 等于真值 有最大的可能性（概率）？ 假设随机变量 的密度函数为 ，从而待估参数 的似然函数为： ，这里 为未知（待估）参数。为求此似然函数的极大值，对 取对数，再求导并令之为0； ，从而有 （1）；欲使平均值 等于真值 有最大的可能性，必须当 时，上面的（1）式成立；而 必须满足 （2）；于是（1）、（2）两式关于一切 以及每个 的可能值都成立，所以两式中 的系数必须成比例；由此可知对于一切 皆有， ；此处 为常数。欲求密度函数 ，只需求解微分方程： ；即有 。由 可得， 为常数；从而 。 【阅读材料二】－R－S积分及其性质 黎曼－斯蒂尔杰斯积分（Riemann－Stieltjes）是黎曼（定）积分的推广，常简记为R－S积分；在概率论中有着广泛应用！ 【定义1】设 是定义于 上的实值函数，在 上任取分点： ，在每个子区间 上任取一点 ，作和式 ；记： ，若 时，无论 如何分割，也无论点 如何选取，上述和式的极限总存在，则称该极限为 上 关于 的R－S积分，记为： ，也即： 。 【定义2】设 在 上均有定义，且对于任意的闭 区间 ，积分 总存在；若 存在，则记此极限为 ，称之为 关于 在 上的广义R－S积分。 【定理】若 在 上连续，且 在 上单调有界，则在 上 关于 R－S可积，即 存在。 【R－S积分的双线性】若下列出现的R－S积分都有意义，则 ， 。 【分部积分公式】若 在 上连续，且 在 上单调有界，则 。 在概率论中使用R－S积分时，其中的 一般是某个随机变量 的分布函数，因而 具有概率意义，比如我们就有： ；以下我们给出随机变量的数学期望的一个一般性定义（这里，不讨论关于概率测度的勒贝格积分定义）。 【定义3】设随机变量 的分布函数为 ，若 ， 则称 的数学期望存在，且有 。 【定义3的注】我们就离散型随机变量和连续型随机变量的情形分别来讨论定义3： 1） 设 为离散型随机变量，其分布列为 ， 分布函数为 ；且 （为方便计），数列 无聚点，则 。 考虑R－S积分定义中的和式： ：由于数列 无聚点，当分割加细时，总可以使每个子区间最多只包含 的一个可能取值；若子区间 不包含 的任何可能取值 ，则 ，即此项对和式无贡献；若子区间 包含 的一个可能取值 ，则 ；当 时，包含 的这个子区间的相应项 趋于 ，故上述结论成立！ 2） 设 为连续型随机变量，其概率密度为 ，则易有 。 该定义将离散型和连续型随机变量（当然也包括其他类型随机变量）的数学期望统一成一个表达式；不仅如此，该定义还可以用来计算混合型随机变量的数学期望！ 【例题1】设 ， ，试求 ； 【例题2】设 ， ，试求 ； 【例题3】设 ， ，试求 ； 【例题4】设随机变量 的分布函数为 ，试 求 ； 【法1】 ； 【法2】由 ， ，即有： ，其中， 为离散型随机变量的分布函数，其分布列为 ； 为区间 上均匀分布的分布函数；故由R－S积分的双线性可得， 。 【例题5】在 上随机地取一数 ，其以概率 取值 ，以概 率 取值 ，又以概率 均匀取值于 ；试求 ； 【阅读材料三】－条件期望的另一种计算方法 有时为了计算随机变量及其函数的数学期望，我们还有如下的结论： 【命题1】设 是取非负整数值的随机变量，则 ； 简证： 。 【命题2】设 是非负随机变量，则 ； 简证：该命题适合一切期望存在的非负随机变量，我们仅讨论连续型的情形！设 具有密度 ，则 。 类似于命题1、2，我们有如下命题； 【命题3】设 是正概率事件，且给定 时，随机变量 取非负整数值，则 。 【命题4】设 是正概率事件，且给定 时，随机变量 取非负值，则 。 【命题5】设 是正概率事件， 是非负随机变量，则 。 简证：易知， ；从而， 。 【例题1】设 服从参数为 的指数分布， ，试求 ； 【例题2】设 服从 分布，试求 的概率密度和数学期望； 【例题3】假设某设备的使用寿命 服从威布尔分布，其概 率密度为 ；对 ，计算平均剩余寿命 ； 【例题4】设 独立同 分布，试求 。 【阅读材料四】－微分法求（联合）概率密度 本材料所介绍的微分法是现首都师范大学（原北京大学）教授何书元引入的计算随机变量与随机向量函数分布的简洁新方法，该材料也整理自何老师的著作《概率引论》！ 1、 连续型随机变量函数的概率密度 设随机变量 有分布函数 ，用 表示 的微分，由微积分知识，当 在 连续时，有 ；故而我们可用 表示 在 有概率密度 。 【开集】如果 是开区间或开区间的并集，则称 是开集。 【定理1】如果开集 使得 ， 在 中连续，使得 （a）；则 有概率密度 （b）。 简证：仅对构成 的开区间的长度都大于某正数 的情况来证明！对 ， ，说明 在 外连续；对 ，（a）式说明 在 有连续的导数，且有 ；于是 连续,故有概率密度（b）。 如果 在 可微， 在 有连续的导数，则 EMBED Equation.DSMT4 ；于是有 。 【定理1的推论1】设 有概率密度 ， 是 的函数，开集 使得 ；如果 上的分段严格单调可微函数 使得 ，则 有概率密度 。 【例题1】设 ，则 。 由于 ，且对任意的 有， ；即 有概率密度 ，也即： 。 【例题2】设 ， ，试求 的概率密度； 由于 ，且对任意的 有， ；即有： 。 【例题3】设 服从参数为 的指数分布 ， 是正常数，试求 的概率密度； 有概率密度 ，由于 ，且对任意的 ，有 EMBED Equation.DSMT4 ；故 的概率密度为 ；即： 服从常数为 的威布尔分布，记作： 。 【例题4】设 ，试求 的概率密度； 易见 ，且对任意的 ，有 ；即有： ，记作： ，称 服从参数为 的对数正态分布。 【定理1的推论2】设 有概率密度 ， 是 的函数，开集 使得 ；如果 在 上分段严格单调可微，使得 ，则 有概率密度 。 【例题5】设 ，试求 的概率密度； 有概率密度 ，由于 ，故对 ， EMBED Equation.DSMT4 ；即： 有密度 。 【例题6】设 ， ，试求 的概率密度； 易见 。对 有 ，且 ；于是 ，从而 有概率密度 。 【例题7】设 ，试求 的概率密度； 取开集 ，则 。由于 有概率密度 ，故对于 ，有 ；对于 ，有 ；从而， 有概率密度 。 2、 连续型随机向量向量值函数的概率密度 设随机向量 的联合分布函数 在点 的邻域内有连续的二阶混合偏导数，由于 。故而我们用 表示 在点 有联合密度 。 【定理2】如果平面上的开集 使得 ，且 中 的连续函数 使得 ；则 有联合密度 。 由微积分，如果 在平面开集 内有连续的偏导数，且雅可比行列式 ；则有 ， ，其中 是 的绝对值。 【定理2的推论1】设随机向量 有联合密度 ， 是 的向量值函数，平面上的开集 使得 ；如果对 ，有 ，其中 是 上可逆映射，有连续的偏导数，且雅可比行列式 ，则 有联合密度 。 【例题8】设随机向量 有联合密度 ， 由线性 变换 决定，试求 的联合密度； 从 可解出 ，且有 ； 对于 ，由 ， 的联合密度 。 【例题9】设随机变量 独立同 分布，由极坐标变换 决定，试求 的联合密度； 易见 ，且 有联合密度 。 对于 ，有 ；于是对 ，有 ；故 的联合密度为 。 【定理2的推论2】设随机向量 有联合密度 ， 是 的向量值函数，平面上的开集 使得 ；如果对 ，有 ，其中， 是 上的可逆映射，且有连续的偏导数，其雅可比行列式 ；则 有联合密度 。 【例题10】设随机向量 有联合密度 ，试求 的联合密度； 对于开集 ，有 。对于 ，由 ，可得 的联合密度为 。 【例题11】设随机变量 独立同 分布，试求 的联合密度； 设 ，即有 。对 ， 定义 ，则 ，且 EMBED Equation.DSMT4 。故由 ，可得 的联合密度 。 【定理3】如果 的开集 使得 ，且 中 的连续函数 使得 ，则 是 的联合密 度。 【定理3的推论1】设 都是 维随机向量， 有联合密度 ， ；如果 的开集 使得 ，且对 ，有 ；其中 是 上的可逆映射，有连续的偏导数，且雅可比行列式 ，则 有联合密度 。 【例题12】设 独立同分布，有分布函数 和概率密 度 ，试求：1） 的联合密度；2） 的概率密度；3）对于 ，计算 的联合密度。 对于1），定义 的开子集 ，易知 。对于 ， ，从而， EMBED Equation.DSMT4 ；由此得 的联合密度为 ；对于2），由于 ，所以 的概率密度为 ；对于3），由 ， 对于 ，有 EMBED Equation.DSMT4 ；从而， 的联合密度为 。 【注】类似地，对条件密度也可作如下形式地推导： 假设 ，对于满足 的 ，可形式地有 ；根据上述介绍的微分法，给定 时， 有条件密度 。 【阅读材料五】－期望向量、协方差矩阵与多元正态分布 以下仅以二维为例，其有关结论亦可推广至多维的情形！ 设 是二维随机向量，如果 存在，则称 的期望存在，且有 ；令 ， 即有 。如果每个随机变量 的数学期望 都存在，则称以 为元素的矩阵 的数学期望存在，且定义为 。 假设 如上定义，即： ；则对任何常数向量 及二阶常数矩阵 ，有如下结论： ； ； ； 。 如果随机向量 的数学期望 存在，每个 的方差 ，则称 为 的协方差矩阵，其中 是 和 的协方差。由于 ，故协方差矩阵 是对称矩阵。 【定理】设 有协方差矩阵 ， ，则（1） 是半正定矩阵；（2） 退化的充要条件是存在一组不全为零的常数 ，使得 。 易见，任取二维实向量 ，有 。 以下讨论二元正态分布！ 设随机变量 独立且同 分布，则 有联合密度 ；这时称 服从二元（维）标准正态分布，记作： 。 定义： ，这里， 是正定矩阵，且满足 ；我们来说明其是某随机向量的联合密度。 对于 ，定义 ， ，利用微分法可得， ；由 ，即有 的联合密度 。如果 有联合密度 ，则称 服从二维（元）正态分布，记作： 。 以下设 ， 是可逆方阵， 是正定矩阵， 。 【定理1】设 是随机向量，则 1） 当且仅当存在 使得 ； 2）二维正态分布的边缘分布是（一维）正态分布； 对于1），如果 ，则由上述的推导可得 。 反之，如果 ，则其和上述的 同分布，且 ；从而， 和 同分布，故 ，且 。 对于 ，只要证明线性组合 服从正态分布。 取 ，则 ；令 ，则 ， 。将其代入 的联合密度，即有， EMBED Equation.DSMT4 ；此即说明 相互独立，且 。 将正定矩阵 写成 ，则 ；易知 ；此时，即有 ；于是上述的联合密度可写成如下的等价形式 。由于该等价形式中只有参数 ，故又可把 记作： 。 【定理2】如果 ，则 1） ，且 独立的充要条件是 ；2）若 独立，且都服从正态分布，则 服从二维正态分布；3）线性变换 服从二维正态分布；4）当 时，线性组合 服从正态分布。 【例题1】设 ，且 相互独立，试求 的联合密度； 由定理2， 服从二维正态分布，且 ， ；从而有 。 【例题2】设 ， ， 试求：1） 的分布；2） 的联合分布及协方差矩阵。 【注】更多有关二维（多维）正态分布的内容可参考多元统 计分析教材！ PAGE 94 _1371715967.unknown _1371758326.unknown _1372146166.unknown _1375001649.unknown _1375559306.unknown _1375600268.unknown _1403167820.unknown _1403169993.unknown _1403170488.unknown _1403170705.unknown _1403170860.unknown _1403170949.unknown _1403170992.unknown _1403171110.unknown _1403170903.unknown _1403170771.unknown _1403170845.unknown _1403170739.unknown _1403170568.unknown _1403170656.unknown _1403170526.unknown _1403170182.unknown _1403170334.unknown _1403170372.unknown _1403170315.unknown _1403170102.unknown _1403170144.unknown _1403170050.unknown _1403169149.unknown _1403169406.unknown _1403169700.unknown _1403169771.unknown _1403169904.unknown _1403169820.unknown _1403169741.unknown _1403169474.unknown _1403169284.unknown _1403169317.unknown _1403169169.unknown _1403168438.unknown _1403169010.unknown _1403169072.unknown _1403168867.unknown _1403168097.unknown _1403168337.unknown _1403167913.unknown _1375602715.unknown _1375618459.unknown _1375620207.unknown _1375621372.unknown _1403166758.unknown _1403167485.unknown _1403167802.unknown _1403167325.unknown _1375621487.unknown _1375621624.unknown _1375621673.unknown _1375621688.unknown _1375621576.unknown _1375621410.unknown _1375620554.unknown _1375620619.unknown _1375621250.unknown _1375620571.unknown _1375620337.unknown _1375620410.unknown _1375620266.unknown _1375619497.unknown _1375620027.unknown _1375620074.unknown _1375620189.unknown _1375620046.unknown _1375619618.unknown _1375619953.unknown _1375619563.unknown _1375618786.unknown _1375619228.unknown _1375619396.unknown _1375618908.unknown _1375618601.unknown _1375618705.unknown _1375618531.unknown _1375603783.unknown _1375617586.unknown _1375617892.unknown _1375618420.unknown _1375617698.unknown _1375603871.unknown _1375604057.unknown _1375603804.unknown _1375603189.unknown _1375603629.unknown _1375603701.unknown _1375603226.unknown _1375603125.unknown _1375603152.unknown _1375603038.unknown _1375600969.unknown _1375602135.unknown _1375602174.unknown 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