中学数学的逻辑基础

第四章　中学数学的逻辑基础　　“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的来说是这样。”－－恩格斯形式逻辑是研究思维形式(概念、判断、推理、证明)及其规律(同一律、矛盾律、排中律、充足理由律)的一门科学，数学有其自身特有的逻辑系统，具有严密的逻辑性。对于中学数学教师来说，首先应该掌握中学数学逻辑的有关基础知识。第四章　中学数学的逻辑基础§4.1　中学数学概念§4.2　中学数学命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 §4.3　形式逻辑的基本规律§4.4　中学数学推理§4.5　中学数学证明§4.6　中学数学概念与命题的教学§4.7　中学数学思维§4.1　中学数学概念一、概念的意义1、概念：是反映客观事物本质属性的思维形式。2、数学概念：现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。3、从数学概念产生的客观背景来说，一般有两种情形：⑴直接从客观事物的空间形式或数量关系反映来的。如几何中的点的概念，算术中的自然数概念等。⑵在原有的数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而形成的。如近代数学中的群、环、域概念等。4、数学概念的特点：⑴数学概念具有抽象性与具体性。⑵数学概念具有相对性与发展性。⑶数学概念的定义、名词、符号“三位一体”，处于一个完整的科学体系之中。§4.1　中学数学概念二、概念的结构1、概念分为概念的内涵和概念的外延两部分内涵：是指 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达这个概念所包含的所有对象的共同属性的总和(或集合)。反映了概念的质外延：概念所反映事物的范围(或集合)。即适合这个概念的一切对象的全体。反映了概念的量2、概念的内涵和外延的关系⑴内涵扩大，则外延缩小。叫做概念的限定。通常为了加深对某个概念认识或用较一般的概念来说明特殊的概念。⑵内涵缩小，则外延扩大。叫做概念的概括。从特殊的概念认识一般的概念，或者为了认识同类概念的共同性质。⑶只有在两个概念有从属关系时才成立。§4.1　中学数学概念三、概念间的关系概念间的关系是指概念的外延间的关系1、同一关系：两概念外延完全重合。2、交叉关系：有且只有一部分外延重合。3、从属关系：一个概念的外延完全包含在另一个概念的外延之中。⑴在从属关系中外延大的概念叫做上位概念(或种概念)，外延小的概念叫做下位概念(或类概念)。矩形菱形两组对边平行有一个角是直角四边形平行四边形⑵类差：一个概念的本质属性中用以区别于其它的类概念的属性，叫做类差。4、矛盾关系：两个概念外延互相排斥，但外延之和等于其最邻近的种概念的外延。§4.1　中学数学概念四、概念的定义1、给概念下定义:用已知的概念来认识未知概念，使未知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义。概念的定义都是由下定义的概念(已知概念)与被下定义的概念(未知概念)这两部分组成。⑴定义是建立概念的逻辑方法。⑵下定义的模式有两种：一是通过揭示概念的内涵来给出定义，二是通过揭示概念的外延来给出定义。2、定义的几种方式⑴“种+类差”定义法：根据概念的从属关系，规定被定义概念的上位概念中是邻近的种概念，然后指出被定义概念在它的种概念里区别于其他类概念的本质属性的一种定义方法。如平行四边形。§4.1　中学数学概念四、概念的定义2、定义的几种方式⑵发生定义：把只属于被定义事物，而不属于其它任何事物的发生或形成的特有属性作类差的定义。如：代数式的值的定义。平面(空间)上与定点等距离的点的轨迹叫做圆(球)。圆柱、圆锥、微分、积分、坐标系等。⑶逆式定义法：是通过列举概念的全部对象，即给出概念外延的定义法。也叫做归纳定义法或外延定义法。在外延定义中，DS是种，而DP是DS诸邻近类概念的总和。如：整数与分数统称为有理数，实数的定义；正弦、余弦、正切、余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线、抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等。§4.1　中学数学概念四、概念的定义2、定义的几种方式⑷约定式定义：依据数学上的某种特殊需要，通过约定的方式来下的定义。这种定义方法，一般是利用意义已经确定的表达式，去规定新引入的表达式的意义。如：为了使同底数幂的除法法则，在被除式的指数等于除式指数时也能适用，把“零指数”的概念规定为：a0=1（a≠0）；0！=1。⑸关系定义：是以事物间的关系作为类差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其它事物所不具有的特有属性。如：偶数的定义。偶数：能被2整除（A）的整数（B）叫做偶数（C）。其中A是B和C的关系。§4.1　中学数学概念四、概念的定义2、定义的几种方式⑹其它定义方法：递归定义(递推式定义法。如n阶行列式、n阶导数、n重积分的定义)、描述性定义法(如等式、极限的定义)公理定义法。§4.1　中学数学概念四、概念的定义3、定义的规则⑴定义必须是相称的。即定义项和被定义项的外延必须是相同的，既不能扩大，也不能缩小，应当恰如其分。如无理数是指无限不循环小数，而不能用无限小数(过宽)和不尽方根(过窄)来定义无理数。⑵定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以A概念来定义B概念，而同时又以B概念来定义A概念。如：“加法是求几个数和的方法”。900的角叫做直角。⑶定义应当清楚、简明，一般不用否定形式和未知的概念。即定义要简明扼要，所列定义项必须是确切的概念，不能用譬喻或其他含糊的说法代替定义。如：笔直笔直的线(不清楚)，叫做直线；两组对边互相平行的平面平行四边形(不简明)；不是有理数的数，叫做无理数(否定形式)。对初中生来说，在复数a+bi中，虚部b=0的数叫做实数(应用未知概念)。§4.1　中学数学概念五、概念的系列1、在一个科学系统中，有些概念可依一定顺序构成一个逻辑链，组成一个概念系列。2、原名：这种不能用别的概念（名称）来定义的，且又用它来定义其他概念（名称）的概念（名称），叫做原始概念，简称为原名。§4.1　中学数学概念六、概念的分类1、分类(划分)的定义分类(划分)是揭示概念外延的逻辑方法。2、分类的规则⑴分类应按同一标准进行。⑵分类应逐级进行。⑶分类不重复，不遗漏、应当是相称的。⑷分类后各个子类应当互不相容。3、二分法二分法是按概念的对象有无某一属来进行的划分。§4.1　中学数学概念思考与练习：1、阅读2、写出概念“钝角”的关系定义，写出“圆锥”的发生定义，写出实数幂an(n=0、1、2….)的递归定义，写出不等边三角形的否定式定义。3、给出“函数”概念的两个不同的分类。4、何谓数学概念，数学概念的外延与内涵？试举例说明。5、数学概念之间有哪些关系？试举例说明。习题P3626、数学概念常用的定义方式有哪些？正确的定义要符合哪些要求？习题P3637、将数学概念分类有何意义？正确的分类应符合哪些要求？习题P364。§4.2　中学数学命题一、判断1、判断的定义人们对客观事物的情况有所肯定或者否定的思维形式，叫做判断。2、判断的分类：按判断的构成，判断分为简单判断和复合判断⑴简单判断：在一个判断中若不含其它判断，则称为简单判断。①性质判断：直接对客观对象的性质作肯定或否定的简单判断，叫做性质判断。②关系判断：判断对象与对象之间存在某种关系的简单判断，叫关系判断。⑵复合判断：由两个或两个以上的简单判断用连接词构成的判断叫做复合判断。有下面的四种基本形式：§4.2　中学数学命题一、判断⑵复合判断有下面的四种基本形式：A负判断：用连接词“非”构成，记为¬P或，读作“非P”。如：当P表示“所有质数都是奇数”（假），则¬P表示“并非所有的质数都是奇数”，即“有些质数不是奇数（真）”。B选言判断：由两个或两个以上判断有用连接词“或者”构成的判断，记为A∨B，读作“A或B”。如：一个大于1的自然数是质数或是合数；一个三角形为直角三角形，或为钝角三角形，或为锐角三角形。§4.2　中学数学命题一、判断⑵复合判断有下面的四种基本形式：C联言判断：用连接词“且”构成判断，表明几个事物情况都存在。记为A∧B，读作“A且B”。如：6可以被2整除，且可被3整除；正方形的四条边相等，且四个角也相等。D假言判断：（又叫做蕴含判断），是判断P为另一判断Q存在的条件的判断，叫假言判断。P、Q分别叫做该判断的前件和后件（或题设和题断，条件和结论），一般表达式为“若…..,则…..。”或“如果…，那么…”。记成P→Q。如：若两三角形相似，则对应边成比例。§4.2　中学数学命题二、命题1、命题的意义：表示判断的语句叫做命题。①命题的形式：“若A则B”，或“A→B”，其中A为条件，B为结论。命题有真有假，有简单命和复合命题。②常用的真命题：定义、公理、定理、法则、性质、推论等2、命题的演算和复合命题⑴否定（非）：否定命题P的内容的命题，称为P的否定。记为“¬P”，读作“非P”，¬¬P=P。⑵合取（与）：P、Q是两个简单命题，用连接词“且”或“与”构成的命题。P且Q叫做P和Q合取，记作“P∧Q”又称联言命题。特征为同真为真，否则为假。§4.2　中学数学命题二、命题2、命题的演算和复合命题⑶析取（或）：两个命题P、Q用连接词“或”构成的命题，P或Q”称为P、Q的析取，记为“P∨Q”。特征为同假为假，否则为真。合取与析取的关系：¬（P∨Q）=（¬P）∨（¬Q）⑷蕴含：两个命题P、Q用连接词“若、、、则、、、”构成的命题。“若P则Q”称为P与Q的蕴含，也称为充分条件，假言命题，记为“P→Q”，P蕴含Q。特征为真的假不了，否则为真。⑸“等值”：给定两个命题P、Q，用连接词“等值”、“等价”、“当且仅当”构成的命题。“P等值于Q”叫做P、Q的等值命题。记作“P←→Q”，读作“P等值Q”或“P当仅当Q”。§4.2　中学数学命题二、命题2、命题的演算和复合命题⑹复合命题：由几个命题用否定、合取、析取、蕴含、等值等演算得到的新命题叫做复合命题。⑺命题演算的应用：P∧¬P是一个恒假命题，P∧Q→P是一个恒真命题。⑻命题的运算律①幂等律：P∧P=P，P∨P=P②交换律：P∨Q=Q∨P，P∧Q=Q∧P③结合律：（P∨Q）∨R=P∨（Q∨R），（P∧Q）∧R=P∧（Q∧R）④分配律：P∨（Q∧R）=（P∨Q）∧（P∨R）　　　　　P∧（Q∨R）=（P∧Q）∨（P∧R）⑤吸收律：P∧（P∨Q）=P，P∨（P∧Q）=P§4.2　中学数学命题二、命题⑻命题的运算律⑥德摩根律：¬（P∨Q）=（¬P）∧（¬Q）⑦双重否定律：¬（¬P）=P⑧恒等律：P∨I=I，P∧I=P，P∧0=0，P∨0=P⑨互补律：P∨¬P=I，P∧¬P=0⑩P→Q=¬P∨Q⑾（P∨Q）→R=（P→R）∧（Q→R）⑿（P∧Q）→R=P→（Q→R）3、命题的四种基本形式及其关系：给定命题P、Q，原命题：“若P则Q”或“P→Q”逆命题：“若Q则P”或“Q→P”否命题：“若非P则非Q”或“¬P→¬Q”逆否命题：“若非Q则非P”或“¬Q→¬P”§4.2　中学数学命题二、命题具有逆否关系的命题是同真同假的，这种关系叫做等效关系或等效原理。三、逆命题的制造⑴如果一个命题的条件和结论都是一个简单命题，这时只须将条件和结论互换位置，就得到这个命题的逆命题，且逆命题只有一个。⑵如果一个命题的条件和结论都不只是一个简单命题，将条件和结论中的简单命题任意换位可得到这个逆命题。⑶设条件中有m个简单命题，结论中有n个简单命题，则这命题的逆命题个数为∑∑CmiCnj=(Cm1Cn1+Cm1Cn2+…Cm1Cnn)+(Cm2Cn1Cm2Cn2+…+Cm2Cnn)+…+(CmmCn1+CmmCn2…+CmmCnn)§4.2　中学数学命题四、命题的同一原理1、同一原理：两个互逆命题，如果条件和结论中所含事项都是唯一存在的，而且它们所指的是同一概念时，那么，当其中一个命题正确时，另一个命题也是正确的，这叫做同一原理。即符合同一原理的两个互逆命题是等效的，它们是同一法论证的逻辑根据。2、充分条件和必要条件若“P→Q”是真命题，则称P为Q成立的充分条件。如：“两角是对顶角”是“两角相等”成立的充分条件。若“¬P→¬Q”是真命题，则称P为Q成立的必要条件。若“sinα=sinβ→α=β”为假，而它的否命题“¬（sinα=sinβ）→¬（α=β）”为真，即“sinα≠sinβ→α≠β”为真。充分必要条件：若“P→Q”和“¬P→¬Q”同真，即“P←→Q”为真，称P为Q的成立的充要条件。“当且仅当”、“必要且只要Q”、“必须且只须Q”§4.2　中学数学命题思考与练习：1、阅读P14-222、命题有哪些基本形式，它们之间的关系如何？试举例说明。习题P3663、用真值表证明下列命题成立。习题P37144、习题P3715§4.3　形式逻辑的基本规律一、同一律1、定义：在同一时间里，同一地点，同一思维过程中，所使用的概念和判断必须确定，且前后保持一致。2、表达公式：A→A。“A就是A”3、根据同一律的内容，它有两个具体要求：⑴思维对象应保持同一。就是说，在思维的过程中所考察的对象必须确定，要始终如一，不能中途变更。⑵表示同一事物的概念应保持同一。这就是说，在思维的过程中，要以同一概念表示同一思维对象，不能用不同的概念来表示同一事物，也不能把不同的事物混淆起来用同一个概念来表示。4、违反同一律的错误表现：思维混乱，前后不一。在概念中主要表现为偷换概念或所使用的概念不明确等；在推理中主要是论题不明确或偷换论题。§4.3　形式逻辑的基本规律二、矛盾律1、定义：同一时间，同一地点，同一思维过程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么。即在同一思维过程中的两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假。2、表达公式：¬（A∧¬A）或“A不是非A”。3、矛盾律，实为“不矛盾律”，它是同一律的引申，是用否定形式表达同一律内容的。矛盾律是否定判断的逻辑基础，其作用是排除思维中的自相矛盾，保持思维的不矛盾性。这里所说的思维矛盾，是人们思想陷入混乱状态或故意玩弄诡辩时所产生的逻辑矛盾。它与客观事物本身所存在的矛盾是不同的。4、例：△ABC是锐角三角形与△ABC是钝角三角形是两个矛盾的判断，其中一个正确，另一个必定错误。但其中一个错误，另一个未必正确，这是因为还存在其为锐角三角形的情形。§4.3　形式逻辑的基本规律三、排中律1、定义：同一时间，同一地点，同一思维过程中，对同一对象必须作出明确的肯定或否定的判断。即在同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判断不能同假，必有一真，而排除第三种可能。2、表达公式“A∨¬A”或“A或非A”。3、排中律要求：人们的思维有明确性，它是反证法的逻辑基础。4、例如：A是无理数与是有理数5、矛盾律和排中律的联系与区别：⑴联系：都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个为假。无法确定真假。§4.3　形式逻辑的基本规律三、排中律5、矛盾律和排中律的联系与区别：⑵区别：矛盾律－两个矛盾的判断不能同真，必有一假。排中律－两个矛盾的判断不能同假，必有一真。矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判断的逻辑基础，而排中律是反证法的逻辑基础。四、充足理由律1、定义：任何一个判断，必须有充足理由，即对于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根据。2、表达公式：[A∧（A→B）]→B。若要有B，则必须有A，使得由A可以推出B。3、充足理由律是进行推理和证明的逻辑基础，它与判断有着密切的联系。例如：在数学命题中，充分条件、充要条件都可以作为结论的充足理由，原定理可作为它的逆否命题的充足理由。§4.3　形式逻辑的基本规律四、充足理由律4、充足理由律和前面三个规律有着密切的联系。同一律、矛盾律、排中律是为发保持同一判断（或概念）本身的确定性和无矛盾性；充足理由律则是为了保持判断之间的联系有充分根据和说服力。因此，在思维过程中，如果违反了同一律、矛盾律、排中律，那么就必然导致违反充足理由律。总之，数学推理、证明必须要求对象确定（同一律），判断不能自相矛盾（矛盾律），不模棱两可（排中律），有充分根据（充足理由律）。在数学教学中，我们应注意培养学生严格遵守这些逻辑规律进行思考的习惯，以培养学生的逻辑思维能力。思考与练习：1、阅读P22-242、形式逻辑有哪些基本规律，它们在推理与证明中应如何进行运用？习题P377§4.4　中学数学推理一、数学推理的意义和分类1、推理的意义根据判断间的关系，从一个或几个已有的判断得到一个新判断的思维过程（逻辑方法），叫做推理。2、推理的结构包括前提和结论。所根据的已有判断叫做推理的前提，作出的新判断叫做推理的结论。正确的推理要求合乎逻辑形式，遵守推理规则。3、推理的类型⑴根据推理的结构区分，推理分为简单推理复杂推理。⑵根据前提的数量，推理分为直接推理和间接推理。§4.4　中学数学推理二、数学中常用的一些推理1、归纳推理⑴定义：从个别或特殊的事物所作判断，扩大为同类一般事物的判断的思维过程，叫做归纳推理。⑵推理方向：特殊→一般⑶分类：①不完全归纳法：如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，这种推理叫做不完全归纳法。不完全归纳法的逻辑公式：S1具有（或不具有）PS2具有（或不具有）P………………Sn具有（或不具有）P　　　　　　　S1、S2、。。。。Sn是A类事物的部分对象∴A类事物具有（或不具有）P§4.4　中学数学推理②完全归纳法：如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和等于结论中判断的范围，这种归纳推理叫做完全归纳法。所得结论完全可靠，可作为数学中的一种严格的推理方法。但在应用时，须注意前提的判断范围既不能重复，也不能遗漏，即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。完全归纳法的逻辑公式：S1是（或不是）PS2是（或不是）P…………..SN是(或不是)P　　　　　　　　　　　　　　　　　S1S2SN是A类事物的全体,所以A类事物都是(或不是)P§4.4　中学数学推理2、类比推理⑴定义：是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个（或两类）事物的某些相同或相似的性质，判断它们在别的性质上也相同或相似的推理形式，叫做类比推理或类比法。⑵推论方向：特殊→特殊。⑶逻辑公式：A类事物具有性质a、b、c、dB类事物具有性质a、b、c　　　　　　　　　　所以B类事物具有性质d，d叫做推移属性⑷类比结论的可靠程度，依赖于两个或两类对象的共有属性。一般来说，共有属性愈多，结论的可靠程度也就愈大；共有属性是本质的，结论的可靠程度愈高。§4.4　中学数学推理3、演绎推理⑴定义：以某类事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别、特殊事物的判断的思维形式，叫做演绎推理。⑵推论方向：一般→特殊。⑶结构：包括前提有两个，结论有一个共三个判断，基本形式是三段论。大前提－反映一般原理的判断，小前提－反映个别对象与一般原理联系的判断，如果大前提、小前提都正确，则结论一定正确。§4.4　中学数学推理4、直接推理和间接推理⑴直接推理：指由一个条件推出结论的推理△ABC是等边三角形，那么∠A=∠B=∠C⑵间接推理：①关系推理：②联言推理：③选言推理：④假言推理：§4.4　中学数学推理思考与练习：1、阅读P25-272、什么是归纳推理、类比推理与演绎推理，如何正确进行推理的运用？试举例说明。（习题P378）3、指出下列推理的逻辑错误，并 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 其原因（习题P3716）⑴实数与数轴上点一一对应，是实数，所以与数轴上点一一对应⑵是无理数，也是有理数⑶空间两直线a.b是相交时的，也是平行的§4.5　中学数学证明一、证明的意义与结构1、证明的涵义用一些真实的判断来确定某一判断的真实性的思维过程（推理过程）叫做证明。2、证明的结构任何证明由论题、论据、论证三部分组成。其中论题即所说结论，论据即证明的根据，论证即证明方式。3、数学证明的书写格式：写证明，习惯上分三部分，已知，求证，证明。书写格式常用有两种：联用式和推进式。§4.5　中学数学证明二、证明的种类⑴根据证明的目的划分：证明和反驳。⑵根据证明的方法划分：直接证明和间接证明。直接证明：（a、b、c、…）→（k、n、m、…）→p间接证明：通过确定其他命题的虚假性导出论题的真实性的证明。分为：选言式和归谬式⑶根据经验 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 在证明中的作用划分，分为数字证明和经验证明。⑷根据所用推理形式划分：演绎证明和归纳证明。§4.5　中学数学证明三、证明的规则1、论题必须明确2、论题应当始终同一3、论题必须是真实判断4、论据的真实性不能以论题的真实性来证明。5、从论据中应该能推出论题。§4.5　中学数学证明数学中常用的证明方法1、分析法和综合法⑴分析法：⑵综合法：2、直接证法和间接证法⑴直接证法：⑵间接证法：①反证法：通过证明论题的反命题不真的间接证法称为反证法。包括归谬法，穷举法。②同一法同一原理：如果一个命题的条件和结论都唯一存在，而且它们所指的概念是同一概念，那么这个命题与它的逆命题（或否命题）等效。同一法是根据同一原理，用证明命题的逆命题的真实性来证明命题的真实性的间接证法。§4.5　中学数学证明③反证法与同一法的区别方法不同。反证明法先否定结论，然后再予以反驳；同一法先作出（设定）符合命题结论的图形（或算式），然后推证所作图形（或算式）与已知图形（或关系式）相同。根据不同。反证法的逻辑依据是排中律，利用原命题与其逆否命题的等价性来证明；同一法的逻辑依据是同一律，利用原命题与其逆命题的等价性来证明适用范围不同。反证法是从否定命题的结论出发，只要能推出矛盾就行，而这个矛盾不一定由于图形（或关系式）的“唯一存在性”而引起的。因此，反证法可适用于各种命题，而同一法只适用于符合同一法则的命题。§4.5　中学数学证明3、演绎证法和归纳证法⑴演绎证法就是演绎推理证明法。常用三段论证法（直接证法）⑵归纳证法：就是用完全归纳推理证明的方法。4、数学归纳法：数学归纳法的证明步骤：（第一数学归纳法）第一步：证明当n=1时，所给的命题是真的（归纳基础）第二步：假设n=k（是自然数）对命题为真，进而证明n=k+1也为真（归纳假设）第三步：根据皮亚诺公理可得对全体自然数，命题为真。§4.5　中学数学证明思考与练习：1、用分析法、综合法、反证法分别证明下列不等式。a3+b3　＞a2b+ab2（a、b∈R，a＞0，b＞0）2、用数学归纳法证明：⑴当n≥5时，2n＞n2⑵能被2m整除。3、习题P3818-20§4.6　中学数学概念与命题的教学一、数学概念的教学1、数学概念教学的基本要求：教师应能准确地揭示概念的内涵和外延，以及概念之间的有关系，使学生深刻理解概念，并能在解决各类问题时灵活运用概念，即达到理解、巩固、系统、会用概念的目的。2、在数学的概念教学中，应努力做到：⑴重视概念的引入－现实性原则。⑵揭示概念的外延和内涵－科学性原则。⑶讲清概念的来龙去脉－系统性原则⑷注意概念之间的对比－比较性原则。⑸加强概念的运用－应用性原则。§4.6　中学数学概念与命题的教学一、数学概念的教学3、在教学方法上，还应注意以下几点：⑴认识概念的重要性，切实加强概念教学。⑵重视问题的情境 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ，提供概念的现实原型。⑶通过变式、变形、正反实例，揭示概念的科学内涵。⑷抓住主要概念，选择讲解重点。⑸针对不同定义，采用不同教法。⑹激发学习兴趣，重在培养数学能力。§4.6　中学数学概念与命题的教学二、数学命题的教学1、中学数学命题教学的重要性中学数学是由概念、公理、定理、公式等组成的严密的逻辑体系。命题（公理、定理、公式等）是概念与概念的联合。显然，如不能切实掌握中学数学的命题，就不能学好中学数学。因此，加强中学数学命题的教学，历来是中学数学教学的重要任务2、中学数学命题的教学的基本要求：使学生深刻理解数学命题的意义，明确其推导的过程与适用范围，并具有灵活运用数学命题解决问题的能力。§4.6　中学数学概念与命题的教学二、数学命题的教学3、关于数学公理的教学：⑴公理：不加证明，而由实践直接得来的，公理系统具有“三性”：无矛盾性、独立性、完备性。⑵公理的教学任务：①使学生了解什么是公理，体会到公理的必要性。②理解并记忆公理的具体内容。③在推理和计算中熟练予以应用。⑶在教学公理时，应注意从学生的生活经验出发，引导他们自己抽象出有关公理的内容。同时，由于公理受客观的检验，应引导他们用具体的实例加以验证，并且在证明数学命题或解决实际问题时，逐步学会运用公理。§4.6　中学数学概念与命题的教学二、数学命题的教学4、关于数学定理的教学：首先，应明确证明的思想。数学具有逻辑严密性的特点，数学中的结论常以逻辑推理作保证，要求言必有据。证明思想的培养，掌握证明的书写格式。其次，在具体方法上，应注意下列几点：⑴分清定理的条件和结论，掌握定理的内容和表达形式。⑵分析证明定理的思路，掌握证明定理的方法。⑶了解定理与其他知识之间的内在联系，使知识系统化。⑷加强定理的应用，提高运用定理解决问题的能力。§4.6　中学数学概念与命题的教学二、数学命题的教学5、法则的教学⑴法则的教学任务：①使学生了解法则的由来②弄清法则的条件的由来和任务③使学生熟练运用法则进行计算和推理。⑵法则的分类：定义型法则和公式型法则6、公式的教学⑴掌握公式的定义：突出换元法的基本思想⑵注意公式的逆用和变形，突出变换思想⑶把握公式的记忆§4.6　中学数学概念与命题的教学思考与练习：1、阅读教材P32－362、试举例说明如何进行概念与命题的教学，同时在教学中应注意什么问题？（习题P3712）§4.7　中学数学思维一、数学思维的意义1、思维的特点：间接性、概括性、问题性2、数学思维：是人脑和数学对象(数和形)相互作用并按照一般思维规律认识数学规律(对象的本质特点)的过程。概念、判断、推理是数学思维的基本形式。3、数学思维的常用方法有：观察、实验、分析、综合、比较、分类、抽象、概括、具体化、特殊化、系统化、类比、归纳、演绎、想象和直觉等。4、数学思维的类型有：⑴按其结构分为平面思维(又称单面思维)、立体思维(又称多面思维)。⑵按其探求方向划分为求同思维(又称集中思维)、求异思维(又称发散思维)。§4.7　中学数学思维一、数学思维的意义4、数学思维的类型有：⑶按其性质或层次划分有具体思维(又称形象思维)、抽象思维(又称逻辑思维)、直觉思维(又称创造性思维)、函数思维(又称辩证思维)。⑷按其反射现象划分有有声思维与有形思维。⑸按其实际需要划分有自然思维、理论思维与数学思维。⑹按其智力品质划分有再现性思维、创造性思维。5、数学是思维的工具，数学是思维的体操，数学是进行思维训练的载体。中学数学教育与思维科学之间的紧密联系是十分明显的。§4.7　中学数学思维二、中学数学思维的方法1、观察与实验2、分析与综合3、比较与分类4、抽象与概括5、具体化、特殊化、系统化6、类比、归纳、演绎7、想象和直觉§4.7　中学数学思维三、中学数学思维的品质1、思维的广阔性2、思维的深刻性3、思维的批判性4、思维的灵活性5、思维的组织性6、思维的创造性§4.7　中学数学思维四、中学数学思维能力的培养1、发散思维及其基本培养途径所谓发散性思维，就是指一种不落俗套，追求变异，从多角度、多方位寻找答案的思维过程。它具有流畅、变通、独创等特征。在中学数学教学中，注意发散思维的训练，不仅可以使学生的解题思路开阔，妙法顿生，克服思维刻板与僵化，解题思路狭窄，方法单一的缺陷和题目稍有变化，就不知所措等现象，而且对于培养学生成为勇于探索新方法、新理论的创造性人才具有重要意义。加强发散性思维的训练，可从以下三方面入手。①加强变式与变形的教学。②提倡一题多解与一题多变。爱因斯坦说过“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”③加强发散思维的的练习与考查。§4.7　中学数学思维四、中学数学思维能力的培养2、逆向思维及其基本培养途径逆向思维，又称反向思维，是善于从对立的立场、角度、层次、侧面去进行思考，当某一思路出现障碍时，能够迅速地转移到另一思路上去，从而使问题得到解决的思维过程。①加强定义、定理、公式、法则的逆用练习。②学会运用逆向推理和反面求解。③培养逆向思维的意识和能力。§4.7　中学数学思维四、中学数学思维能力的培养3、创造性思维及其基本培养途径创造性思维，是思维的一种更高级形式，在分析问题、解决问题的过程中能广泛、深入地进行思考，发现或解决自己或别人所未发现或未能解决问题的能力。特征是探索、突破、创新，它与分析思维不同，不是以每前进一步都有充足理由，而往往是突然认识的，是顿悟、飞跃的认识形式，是在一刹那间内完成的，在思维路线上被压缩了的思维形式。①良好的知识、经验、技巧，是创造性思维的基础。②善于观察、类比、归纳、想象，是创造性思维的重要条件。③加强知识的综合运用，是提高创造性思维的重要手段。§4.7　中学数学思维思考与练习：1、何谓思维与数学思维，它在教学中有什么意义？(习题P631)2、数学思维有哪些常见的方法？试举例说明。(习题P632)3、数学思维有哪些基本的品质？试举例说明。(习题P633)4、何谓逆向思维，中学数学教学中如何培养学生的逆向思维能力？(习题P634)5、何谓发散思维，中学数学教学中如何培养学生的发散思维能力？(习题P635)6、何谓创造性思维，中学数学教学中如何培养学生的创造性思维能力？(习题P636)。7、阅读教材P39-63