平面几何讲义之四点共圆内容很详实

高中数学联赛平面几何讲义之四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 方法一：平面上有四点AB、C、D,若WA=ND,则AB、C、D四点共圆方法二线段AC、BD交于E,若AEEC=BEED,则A、BC、D四点共圆方法三线段AC、BD交于E,若AEBE=CEED,则A、B、C、D四点共圆方法四：若四边形ABCD,/A+/C=180：则A、B、C、D四点共圆内角时B+C=180◎，外角时B=C,所以A、B、C、D四点共圆托勒密定理：Tolemy（托勒密定理）若四边形ABC此圆O内接四边形，则AD?BC+ABCD=A0BD证明在AC上取点E,使/EDC=ADB,因为/ABD=ACD所以△ABD^XEDCAADEABDC于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD?BC+ABDC=AEBD+BDCE=ACBD例1、（等角共腕点性质）已知点D、E在MBC内,ZABDZCBE,ZBAEZCAD.BCP证明（一）（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC、ABAC对称点P、R、Q,易知&BRD咨ABPD,MRD咨MQD,于是DP=DR=DQ,所以ADCP^iDCQ,得至I/PCD=NQCD,进而NBCE=NACD.证明（二）作ABDS外接圆交AD延长线于S,可知/ASC=/DBC=/ABE,得至IJMBEsaSC,所以MBS^MEC,得至lj/ACE=/ASB=/DSB,所以,BCEZACD.AS例2、已知一（文武光华数学工作室南京潘成华）E是AABC内一点，点D在BC上，且ZBAE=/DAC,ZEDB=/ADC.则ZAEC+/BED=180’J证明先证明唠~=臂，过E作AB、AC、BC垂线EF、EG、EL交ABAC、BC分别ACEC于F、G、L,直线EL、AD交于J,取AF中点K,易知BF、E、L四点共圆，FLE、G、C、L四点共圆，所以幺曳=sinC=上口=且（1）,（B、C是MBC的内ACsinB_LG_LGBECE角），因为/EDB=/ADC,所以EL=LJ,于是KL//AJ,易知A、F、E、G四点共圆,圆心是K,/BAE=/DAC,所以AD_LFG,进而KL//FG,得到KL是FG中垂线，所以FL=LG，(1)得票=等ACEC卜面我们证明/AEC+/BED=180~,因为sin/AEC=4Esin/EAC,sinNBAEu^sin/BAE,,两式相除得BEsin.AEC_sin.EAC_sin.BADsin.BAE-sin.BAE-sin.DAC_ABsin.ZBADEC_BDEC_sin./BED-ACsin"ACBE"-而BE--sinZDECZAEC+/BAE+/BED+/DEC=360口所以，证明（二）在AB取H,使得NAHB=NPDBZiAHDsMPC,易知H、P、D、B四点共圆，所以.APC.BPD=/BHD.AHD=180,因为.AEC.BED=180例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是9BC底边BC上任一点，P是形内一点，满足/1=/2,/3=/4。求证:PBABPC-AC证明作ABPD、ACPD外接圆交ARAC分别于H、I,易知AAHPsMDC,所以Mhdsmpc,所以-AC-=铠-(1),易知Mpismbd,进而得到MbpsPCDHMDI,所以需=普（2）,易知A、H、P、I四点共圆，所以DrDI/AHI=/API=/ABC,所以HI//BC,ZIHD=NHDB=N3—/HDP=/3—/HBP=N4—/ADI=NIDC=/HID,所以HD=ID，进而根据（1）、（2）得至U票=第。PCACH是MBC垂心,例4、已知MBC是锐角三角形，AD是BC边上中线,HI_LAD于点I,求证证明（一）：延长AD到G使得AD=DG,易知四边形ABGC是平行四边形，因为CH_LAB,BH_LAC,所以/HBG=』HCG=90"，得至UI、B、G、C、H,所以BC、H、I四点共圆证明（二）/HAC=/HBD=/BFD,所以FD是。（AIHF）切线，所以22__DC=FD=DIDA,所以ADICsADCA,得到/DCA=/DAC=/BHI,所以BC、H、I四点共圆第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999例5、已知在MBC中，AB=AC,点P在AABC内部，点D是BC中点,CBP=/ACP.求证.BPD.APC=180.证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设/ACP=x,ZABP=y,/BPD=ct,/DPC=¥,/APB=8,/APC=P,因为BD=CD,可知BPsi—可知sinysinJinxsin%（1）,黑工器，可知福=外得至ljsinysinP=sinxsinB（2）,根据（1）、（2）得=180°,即NBPD+NAPC=180°。证明（二）（文武光华数学工作室潘成华给出）延长CP交以A为圆心，AB为半径的圆于F,直线FA交BP于G,NF=/ACP=/PBC,,因止匕NG=/PCB,于是G在OA上,△PFGsAPBC,所以MPFsADPB,可知/APF=/BPD,即/BPD+/APC=/APF+/APC=180：得证例6、已知M是MBC边BC中点，AM交AABC外接圆。O于D,过点D作DE//BC交。O于E,在AD上取点F,使得FC1AC.求证.AFC=.EFC证明（一）（文武光华数学工作室南京以ABEC是调和四边形，易知直线AE、潘成华）因为DE//BC,点M、是；B'C中点，所过点RC切线共点，得到MC”《分ZAMC,ZECF=90*—/ABE=/OAE=/PME=q/EMF,因止匕C是AEMF国心，进而ZAFCZEFC.证明（二）因为M是MBC边BC中点，所以S咨BD=S&CD，得到AB.BD=ACCD,易知BCED是等腰梯形，所以ABCE=ACBE,根据托勒密定理可知2ABCE=ABCE+ACBE=AEBC=2BMAE,得至UABCE=BMAE,/ABM=/AEC,所以MBMsMEC,所以WEAC=/BAD,可知/EAB=/CAD,取AE中点S,同理可得/ACS=/ECB=/BAE=/DAC,所以CS与AD交点设为N,则N为AF中点，所以CN//EF,于是ZEFC=/NCF=/AFC证明（三）（田开斌老师）作CJ//BD交AD于J,所以CJ=BD=CE,ZJCEZBDCZBCE,/AFC=90~DAC=90J/DBC=90~ECB=/JEC,所以BJ、F、E、C四点共圆，因为JC=EC,所以/AFC=/EFC例7、已知AD是MBC角平分线交BC于D,MBD、AACD、AABC外心分别是Oi。2、O,求证OiO=OO2=/OAD,/BAO=90J/aOB=90©—/C=/DAO2,所以NOiAO=/O2AO(1),又ZAOO=/ADC、/AO2O=/ADB,于是/AOQ+/AO2O=/ADC+/ADB=180'所以A、Oi、Q、O四点共圆，根据(1)得到OiO=OO2证明（二）记MBC三角A、B、C,设直线BOi、CO2交于E,NBCE=/C—NACO2=/C-(90°-ZADC)=/C-(90°-ZB--2-ZA)=B+c-a,同理•/eBC=B+c-a所以BE=CE,/BOQ=/ADC、/CO2O=/ADB,/BOO+dCO2O/ADC+/ADB=i80所以E、Oi、O»O四点共圆得到OiO=OO2例8、已知OP、。0交于八、B,四边形ABCD是平行四边形,O上，PF_LBC交AB于F,直线CF交。O于G.求证E、G、D、C四点共圆GO证明延长DA-交CDP于点K,连接KE、KB,易知AKBE是等腰梯形，DKEC是等腰梯形，CF.FG=AFFB=EFFK,所以K、G、E、C四点共圆，因止匕K、G、E、C、D五点共圆,进而E、G、D、C四点共圆例9、已知。I分别是AABC外心，内心，求证OI_LAI的充要条件是ABAC=2BC,(AB+AC?BD=BC2DI,因为/BID=Z旧D,于是BD=DI,所以AB+AC=2BC此题，若O,I分别是△ABC7卜心，内心，AB+AC=2BC求证OI±AI证明方法是一样的例10、P为MBC外接圆上一点,别是AD、BE中点。证明DE1LM.LLNMpBBOOSSTIIP在BC、AC上的射影为D、E.点L、M分AA证明取AB中点N,连接MN、NL、AP、BP,易知ABPDsAAPE,所以普=祟,PEAE所以-PE=^NL-,可知削NLs&EPD,所以DE_LLM第十题、已知M是丛BC边BC中点，AM交MBC外接圆。O于D,过点D作DE//BC交。O于E,在AD上取点F,使得FC_LAC.求证.AFCZEFC例11、已知（文武光华数学工作室南京潘成华）。0、。I外切于S,。0弦AB切。I于T,点P是AI延长线上一点，求证BP_LAB充要条件是TS_LSP.（2014688:49于镇江大港中学）P\CPPCBEBETRA证明（文武光华数学工作室南京潘成华）过S作两圆公切线交AT线段AS、QI交于R,TS_LSP等价于IR//PS,等价于%=整，因为APASZQTR=/QSA=/ABS,得至UTR//BS,因止匕，盘=袋等价于备=铝,等价于APASAPAPIT//BP,即BP1AB例12、刚才看了一下2014年第5期《中等数学》数学奥林匹克问题（高）383,不难，我把解答写一下已知H是锐角MBC的垂心，以AH、AB为直径的圆交阳HC外接圆于D、E,直线AD交BC于G,直线AE、HC交于F,OB求证GF//BHN证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设ABHC外接圆为。O,直线AG交。O于N,所以H、O、N共线，延长CH交AB于点M,易知AM、H、D四点共圆，所以/BAD=/DHC=/ANC,所以AB//CN,同理BN//AC,所以ABNC是平行四边形，得到G是BC、AN中点，连接AF交。。于J,因为BE_LAF,可知B、O、J共线，所以OG是AAHN、ABJC中位线,得至ljAH、CJ平行且相等，所以F是HC中点，可知GF//BH例13、（文武光华数学工作室南京潘成华）设MBC周长为2p,AE=AF=p—AC,求证MBC的C—旁切圆与AABC外接圆外切。（2014-6-12856）证明设MBC的C-旁切圆切直线EF、ARAC于D、L、M,AC交AAEF外接圆于N,直线AD交MBC的C—旁切圆于K,AF2=AL2=ADAK,所以AAFDsMKF,所以/AKF=/AFD=/AEF=1800—/ANF,所以点K在iAEF外接圆外接圆上，因为A是BAF中点，所以点K是两圆的切点，即iABC的C—旁切圆与MBC外接圆外切。证明（一）延长CD交。O于J，延长ED交BJ于K,根据蝴蝶定理可知DE=DK根据鸭爪定理可知DH=DJ，所以HE//BJ，等腰/BAC=/BJD=/DHE.证明（二）在BD取S使得DS=AD,所以/SCD=/ACD=2BCO,设BH、CS交于T,/CBO=/DBT,根据等角共辗点性质，可知/CDT=/BDO=/CDE,又/DBH=/ACD=/CDS,可知C、D、&H四点共圆，可知ZDHEZDHTZCSDZABC例15、第47届IMO预选，2006年如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB>CD,点K、L分别在线段ABCD上，且AK二DLKB-LC求证D、P、Q四点共圆,P、Q分另I」在直线KL上，且ZAPB=ZADC,ZCQD=NBAD.证明(一)因为噌|"=法"，易知AD、QP、DC共点，设为O,设AQ交圆。(DCQ)于J,ZCQD=/BAD=NODC,因止匕QD是圆。(QDC)切线，/APD=/ADC=/DJC,所以DJ//AP,所以/PAD=ZODJ=/AQP,因此A、D、P、Q四点共圆EQ证明(二)(文武光华数学工作室潘成华)因为(AK/KB)=(DL/LC),AB//CD,根据位似知识可知ADQbBC的延长线共点，设为E,过点L作LX//AP交AD于X,作LY//PB交BC于Y,因此XY//AB,设XL、DC咬于S,LY、QC交于T,根据Menelaus定理可知(XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL),于是ST//XY,/SQT吆SLT=ZDAB+ADC=180,所以L、&。T四点共圆,易知/SQL4STL=XYL=ABP=180-/APB-/BAP=180-ZADC-ZBAP/DAP,进而A,D,P,Q四点共圆例16、2012年西部数学奥林匹克几何题已知4ABC外心、垂心分别是O、H,AD1BCTD,AO中垂线交CB延长线于E.求证MEF外接圆过OH中点.证明（文武光华数学工作室南京潘成华）取OH、BC中点M、K,根据欧拉定理可知AH=2OK、AH//OK,所以MF=OK、MF//OK,所以MK=OF=AF，又易知MD=MK,所以AF=MD,因此AFMD是等腰梯形，可知A、F、M、D四点共圆，因为AF、E、D四点共圆，所以M在AAEF外接圆上，即AAEF外接圆过OH中点M.例17、已知两同心圆，从大圆上一点A作ABAC切小圆于B、C,直线AC交大圆于D.求证工4=能DECE证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设两圆圆心O,延长AB、AC交ARAC分别交大圆于S、D,所以BC是AASD中位线,ZDAE=/DSE=/BEC,/BSE=/ADE,所以AADEs比SB,222所以第=果=器，所以景=器,结论等价于群=整,等价于BEBSDCDEDCDCCEDC2=BECE,因为DC2=DO2-OC2=EO2-OC2=BECE得证例18、（2004年日本数学奥林匹克几何题）已知如图，点D、E分别是ARAC上两点，且金=需过点D、E分别作DBAEAC、AB的平行线交过点A作MBC外接圆的切线分别于H、I,延长直线DE交MBC外接圆于F、G求证（1）H、F、G、I四点共圆，（2）BC是。（HFG）切线证明因为HG//AC,AD//EI,因为给=需，所以直线DH、EI交点必在BC上DBAE设为J,/ABC=/IAC=/AHJ,所以A、H、B、J四点共圆，同理A、I、C、J四点共圆ADDB=HDDJ=GDDF因此H、F、J、G四点共圆同理I、F、J、G四点共圆，于是H、F、G、I四点共圆，/AJB=/ACB=/HAB=/AIJ,所以BC是。（HFG）切线例19、已知ABAC分别是圆。O两切线、B、C是切点，CD平分/ACB,交AB于D,DF切。O于E,交BC延长线于F.求证BC=3CF证明（二）ED2=DHDC=DKDO,例20、回答广州陈泽桐老师几何题证明（文武光华数学工作室南京潘成华）连接AO交BC于I,BE、DO交于K,设线段CD交。O于H,易知I、K分别是BC、BE中点，A、H、I、O共线，根据配位中线知识可知.ECD二，BCK,所以.ECA=/HCB,又.BEC二，BHC,所以ZEKC=/HBC=NHCB=/ECB,进而BE=2KE=2EC,又MCFsABFE,得至ljBF=2EF=4CF,即BC=3CF.所以ADKEs^DCO,NDKH=NDCO,所以ZHKE=/HBC,所以AHKEs&HBC,可知DOHCE=/ACH--ACE=/BCH-CBC=/HBC-CBE=/HBK于是ABKH三纥EH,得至ICE=BK=KE,下面同证法（一）已知。J是MBC的A-旁切圆，D、E是切点，点F是DE延长线上，点,CF交AB于G.FG_AB证明(文武光华数学工作室南京潘成华)设JC、DE交于S,BS延长线交直线AE于R,CS交直线AD于点T,三角形三角A、B、C,根据Menelaus定理笔,GF‘罹=1,DGCFAE所以CFCEABABFGDG'ACBCAEBD,CSE=904--1-ZABC=ZDBJ=/DCJ所以RS、J、D四点共圆，可知BS_LCS,可知BS=SR,根据Menelaus定理,ERAB镖-BS=八所以ER=BD,BDSRABACBCABABAEBDARsin-2sin(B刍FCFGACABBC成立的充要条件是ECDGsin(B-2)⑴，ECDG^ECJC=sinCJCJCDG2DGFG_LAB等价于JDG:TC=1TGsin.GCTsin(A-2)即隹■DGsinC-sin(A-2)sin(B-2)根据(1)结论成立证明：联结OA、OBQ彳OM_LCD于M。由垂径定理知CM=MD。由/OAP=/OBP=/OMP=90、得A、B、M都在以PO为直径的圆上，即P、AM、B四点共圆，：NABM=/APM。而CE//PA,得/APM=NECM由此ZABM=/ECM,推出RC、E、M四点共圆。得ZEMC=/EBC、而/EBC=ZD,故/EMC=/D,:EM//AD。在ACDF中，由中位线逆定理即得EC=EF。例22、已知A为OO上一点，B为圆外一点，BC、BD分别与。O相切于C、D,口£_1八。于£,DE分别交AB、AC于F、G。求证：DF=FG。证明：设AB交。O于K,联结OBCD交于M。则OB垂直平分CD,即M是CD中点。联KM、KD、MF。由BK，BA=BD2=BMBO,得ABKMs^BOA,于是ZBMK=/BAO,由此NDMK=/AFE=/KFD，得K、M、F、D四点共圆，于是ZDMF=/DKF=NDCA,:MF//CA。因M是DC中点，故F也是DG中点,即DF=FG。证毕例23、已知PAPB是OO切线，A、B是切点，PCD是害If线，DJ//AP交AB于J,直线JC交AP于I,求证AI=PI(2013111121:30)证明作OK1PD于K,延长AC、DJ于L,易知AP、B、K、O五点共圆，可知/JDP=2ADP=NABK,所以B、K、D、J四点共圆，于是ZAJK=NCDB=NCAJ,于是ACA//BK,易知CK=DK,所以LJ=DJ,进而根据相似知识可知AI=PI.例24、iABC是等边三角形，AD//BE,BD=DE,连接CE,取CE中点F,求证.ADF=120证明（田开斌给出）延长ED至1JK,使得DK=DB,2^口八=/口£8=/口8£=/八口8,所以MDK二MDB,所以AK=AB=AC,于是/DKC=-2-ZDAB=30，AKBCs&DMF,可知ZMDK=30°,因为AD//BE,所以/ADF=120^A证明（二）上海-leenco林可先生证明:作等边三角形ADBY,连接YC交DA延长线于/X，连接XB,所以Y是iDEB外心，/BEY^QMBD色ACBY所以4XYB=/XDB,得到不♦BX、D、Y、B四点共圆，于是/YXD=60◎，得到XY、BE夹角60口，可知/XYE=90°,所以YE=CF=EF,于是,YDF=/EDF,.ABD=/EBD=/BED,所以ZADF=1800—/FDE-ZDBE,易知DF_LEY,得到/FDE+/DBE=60。，进而,ADF=120例25、已知ZiABC中，H、O是AABC垂心，外心，HD//AB交AC于D,HE//AC交AB于E,求证OD=OE.a.———证明（文武光华数学工作室南京潘成华）取BC中点M,连接OM,AHDE,设AHDE交于点N,连接ON,HM,/BHC=180-/BAC=ADH,ZHAD=CBH所以△AHDsABCH于是△HDN^CHN进而/HND=CMH,根据Euler定理，四边形ONHM1平行四边形，得到/ONH=/OMHW以/ONDWOMC=90,所以OE=OD.文武光莘.如图＞△ABC中，H为垂心，0为外心jHD#AB交出于D,HE4M交AB于E,求证:OD^OE&出证明:如图，作aABC外接圆00,连结HB、HC.设00半径为R；则根据圆幕定理知二0E2=R2-AE-AB=R2-HD-BE,OD3=Ra-AD-CD-R2-HE-CDo又囱为ABC垂心，3t€AABHE«>ACED,StCAHD-BE=HE-CD,BfWOD=OEo例26、已知四边形ABCD是。O内接四边形，且嘿=黑,AC、BD交于点J,ADCD点I、H分别是MBJ、MDJ外心.求证AO平分BD所以/IAH=ZBAD,(AB/2AI)=sinZAJB=sinZAJD=(AD/2AH),可知(AI/AH)=(AB/AD)(1),所以4八旧飞ABD,ZAIO=90°+/BAI=90°+90°-ZAJB=ZBJC,/AIO=/ABD=ACB,所以/IAO=/DBC同理/HAO=BDC,设AOJH交于点M,即证明IM=MH也就是AIsin/IAO=AHsinZHAO,等价于(AI/AH)=(sin/HAO/sin/IAO)=(sin/CDB/sin/CBD)=(CB/CD),因为(AB/AD)=(BC/CD),根据(1)结论显然成立例27、已知。O是MBC外接圆，MN是AABC边BC中垂线所在的弦，DP//AN,MP_LEF交ARAC分别于E、F.求证EP=FP明（苏州学生方法）过M作MLAC于L,MX，AB于X,,根据Simson线可知：L、X、D共线，易知AL=AX所以DL//AN,因此P在直线DL上，ME、P、X四点共圆，ML、F、P四点共圆，/MBC=LAM玄MXLWMEFWMABWBAMgMFE=/MCB所以ME=MF®而PF=PE证法（三）作MXLAB于X,所以/ABMgANM=PDM易知MBDX四点共圆，所以/ABM=XDM于是X、P、D共线，易知ME、P、X四点共圆，所以/BMEWAEM-ZABMgMPX-ZMDP=DMP同理/CME=DMP,MB=MCB^4MEB^MCF,因此ME=MFF^至|PE=PF例28、已知PE、PF是以AB为直径的半圆。交于D,PB交。oEC.O两切线，E、F是切BE、AF求证P、E、D/C四期共圆证明(文武光华数学工作室南京潘成华)/EDA=EBA吆DAB=(1/2)(ZFOB+EOA)=(1/2)(180°-ZEOF)=(1/2)/EPF,PE=PF所以P是圆(DEF)圆心，所以PE=PD可知/PDE=PED玄BAE=PCE,于是P、E、D.C四点共圆例29、如图，AB是圆O的切线，ADE为圆O的割线，D介于A,E之间。M为AO的中点，圆M为△ABO勺外接圆，BD交圆M于F。求证：EB为OM的切线，当且仅当BD=DF证明：上海曹珏^先生解答〈充分性.若BD=DF>设ADEX圆M于K。由/AKO=90,OE=OD知：DK=KE2△ABD^△AEB=>-S^B^=皿=>BE2=获BD2SaebBE2AEAD=4EMADMDK=EA^EK=>BE为圆M的切线〈必要性.若EB是圆M的切线＞设ADE交圆M于K。由/AKO=90,OE=OD知：DK=KE据题意知：/ABD=BED,/EBK之BAK=>△AB3△BEKjg题意知：/BEO4EBOWBAO=ABM=>△ABMh△BEOT是D,K是对应点，又由于/OKE=90,故/MDB=90。又由于MB=MF故BD=DF证明(文武光华数学工作室南京潘成华)设AE交。M于H,/BOD=2BED=2ABF4AMF所以△BOS△AMF,可知AFXBO=BDCAM(1),因为/MBO=BOM=AFD,BE是切线等价于/EBH玄BAH,等价于/BHD=BDH,所以/AFD叱ADF,因此BE是EB为。M的切线等价于^BO怖△DFA,等价于AFXBO=BMDF,因为BM=AM,根据(1)可知BD=DF例30、已知E、F是圆内接四边形ABCD对边ARCD的中点，M是EF的中点，自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Qo求证：MP=MQ。证明：自F分别作BCAD的垂线，垂足记为S、T,联STPQ易知RtAFCS^Rt^EAQRtAFDT^R"EBP得(FS/EQ)=(FC/EA)=(FD/EB)=(FT/EP),又/SFT=/PEQ：AFTS^AEP(Q得/FTS=/EPQ于是/QPSb/STQ=180°,从而P、&T、Q四点共圆。在直角梯形EPSF+,M是腰EF的中点，故M落在线段PS的中垂线上；同理，M也落在线段QT的中垂线上。故M就是P、S、T、Q四点所共圆的圆心。：MP=MQ且DF=DB,DC=DE.求证AH、F、E四点共圆BDC证明(文武光华数学工作室南京因为/BAH=DCH=90-/ABC=(1/2)z&BDC潘成华)延长FD交CH延长线于S,/FDB所以/DSC=DCH=FAH,例31、已知设H是MBC垂心，点D、E、F分别在边BC、CAAB上，，即S、AH、F四点共圆，因为DS=DE=DC,所以点D是△$£的卜接圆圆心，所以/SEA=(1/2)/=/AFS,所以S、E、AF四点共圆，因此A、H、F、S、E五点共圆，进而A、HF、E四点共圆例32、第27届俄罗斯数学奥林匹克几何题，已知D是MBC边BC世-点，DB、DC中垂线分别交MBC外心.求证AE、0、F四点共圆AB，1B.DCSDC2001年AB、AC于F、E,点O是H■■■-AAKDj%证明（文武光华数学工作室南京潘成华）作D关于EF对称点H,可知F是△BHDZ卜接圆圆心，E是△CHDZ卜接圆圆心，过E、F分另I」作BC垂线EJ,BC于J,FK，BC于K,/HEC=ZFEJ=2（180°-/EFK）=360°-/HFD-/BFD之HEB,因止匕/BHFWEHC可知/BHC=EHF力EDFWBACJ3此H在△AB的卜接圆圆O上，于是OF,BH,OELHC,进而180°=/EOF+BHC=EOF+BAC,即A、E、QF四点共圆例33、已知iOAD与AOCD反向相似，直线AB、CD交于P,&PBD与△PAC外接圆交于另一点Q,求证OQ_PQPP证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设直线PBPC交△OP◎卜接圆于HJ,过点K、I、M垂直于直线PH,且交PH分别于X、Y、Z,所以(KL/IM)=(XY/YZ)=((PA-PB/2)/(PH-PB/2))=(AB/AH),同理(KI/IM)=(DC/CJ),可知(AB/DC)=(AH/CJ),得到因此(AO/OC)=(AB/DC)=(AH/CJ),易知△OHAAOJC进而/H=/J=90°,所以/Q=90，即OQLPQ第十九题已知（文武光华数学工作室南京潘成华）I是BC中点，AB=ACA,AE/AF，点E、F分别在AB、AC上，ZEIB=/EFI.求证EI是/BEF角平分线（20131077:46）证明（一）、作&EFI外接圆，则BC是切线，设AE>AF,圆。（EFI）交AB于另一点P,设。（EFI）圆心J,易知A、E、J、F四点共圆，A、I、J共线，得到EJ=IJ,/IEJ=/JIE=//AJE=22AFE,所以ZIEF=-2(ZAFE+/BAC)=//BEF,所以EI是/BEF角平分线证明(二)在AC上取点K使得AE=AK,NEFI=NBIE=NIEK=/EKIATOC\o"1-5"\h\z所以E、F、K、I四点共圆，因此NBEI=NIKC=2FEI,/\于是EI是/BEF角平分线/.\EK