全国中学生物理竞赛预赛历年试题(21届-31届)

1目录第21届全国中学生物理竞赛预赛试卷.........................................................................................2第21届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考答案及评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 .....................................................7第22届全国中学生物理竞赛预赛试卷.......................................................................................15第22届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考答案及评分标准...................................................19第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷.......................................................................................27第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答及评分标准...................................................32第24届全国中学生物理竞赛预赛试卷.......................................................................................45第24届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答及评分标准...................................................49第25届全国中学生物理竞赛预赛试卷.......................................................................................61第25届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考答案及评分标准...................................................71第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷.......................................................................................85第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准...................................................91第27届全国中学生物理竞赛预赛试卷.....................................................................................100第27届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准.................................................106第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷.....................................................................................114第28届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考答案及评分标准.................................................120第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷.....................................................................................129第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准.................................................133第30届全国中学生物理竞赛预赛试卷.....................................................................................140第30届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准.................................................145第31届全国中学生物理竞赛预赛试卷.....................................................................................152第31届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准.................................................1572第21届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共九题，满分140分。一、（15分）填空1．a．原子大小的数量级为__________m。b．原子核大小的数量级为_________m。c．氦原子的质量约为_________kg。d．一个可见光光子的能量的数量级为_________J。e．在标准状态下，1cm3气体中的分子数约为____________。（普朗克常量h＝6.63×10－34J·s阿伏加德罗常量NA＝6.02×1023mol－1）2．已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80％。试判断下列说法是否正确，并简述理由。a．反射光子数为入射光子数的80％；b．每个反射光子的能量是入射光子能量的80％。二、（15分）质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角＝30的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的磨擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。第一次，m1悬空，m2放在斜面上，用t 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间。第二次，将m1和m2位置互换，使m2悬空，m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3。求ml与m2之比。3三、（15分）测定电子荷质比（电荷q与质量m之比q／m）的实验装置如图所示。真空玻璃管内，阴极K发出的电子，经阳极A与阴极K之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C、D间的区域。若两极板C、D间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O点；若在两极板间加上电压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P点；若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O点。现已知极板的长度l＝5.00cm，C、D间的距离d＝l.50cm，极板区的中点M到荧光屏中点O的距离为L＝12.50cm，U＝200V，P点到O点的距离3.0yOPcm；B＝6.3×10－4T。试求电子的荷质比。（不计重力影响）。四、（15分）要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东经75.0到东经135.0之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范围内的上空？地球半径R0＝6.37×106m。地球表面处的重力加速度g＝9.80m/s2。4五、（15分）如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为l，电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为R。杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B。现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R＝1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1＝1.56，酒的折射率n2＝1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。5七、（15分）如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mB＝2mA。初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放A，A、B便开始运动。设A杆的位置用表示，为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小（表示成的函数）。八、（17分）如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两点与其右方由1.0的电阻和2.0的电阻构成的无穷组合电路相接。求图中10F的电容器与E点相接的极板上的电荷量。6九、（18分）如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动滑轮D上，悬挂有砝码托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线（图中穿过弹簧的那条坚直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码1（两者未粘连）。已加三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量为l0，整个系统处在静止状态。现突然烧断栓住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间。7第21届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考答案及评分标准一、1.a.10－10b.10－15c.6.6×10－27d.10－19e.2.7×10192.a正确，b不正确。理由：反射时光频率不变，这表明每个光子能量h不变。评分标准：本题15分，第1问10分，每一空2分。第二问5分，其中结论占2分，理由占3分。二、第一次，小物块受力情况如图所示，设T1为绳中张力，a1为两物块加速度的大小，l为斜面长，则有1111mgTma（1）1221sinTmgma（2）2112lat（3）第二次，m1与m2交换位置．设绳中张力为T2，两物块加速度的大小为a2，则有2222mgTma（4）2112sinTmgma(5)22123tla(6)由（1）、（2）式注意到＝30得1211222()mmagmm（7）由（4）、（5）式注意到＝30得2121222()mmagmm（8）由（3）、（6）式得219aa（9）由（7）、（8）、（9）式可解得121119mm（10）8评分标准：本题15分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）式各2分，求得（10）式再给3分。三、设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度为l的极板区域所需的时间t1＝l/v0（1）当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为E，作用于电子的静电力的大小为qE方向垂直于极板由C指向D，电子的加速度qEam（2）而UEd（3）因电子在垂直于极板方向的初速度为0，因而在时间t1内垂直于极板方向的位移21112yat（4）电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度vy＝at1（5）设电子离开极板区域后，电子到达荧光屏上P点所需时间为t2t2＝（L－l/2）/v0（6）在t2时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移y2＝vyt2（7）P点离开O点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移y＝y1+y2（8）由以上各式得电子的荷质比为20vqymUlLd（9）加上磁场B后，荧光屏上的光点重新回到O点，表示在电子通过平行板电容器的过程中电子所受电场力与磁场力相等，即qE＝qv0B（l0）注意到（3）式，可得电子射入平行板电容器的速度0UvBd（11）代人（9）式得2qUymBlLd（12）代入有关数据求得111.610qmC/kg（13）评分标准：9本题15分．（l）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，（10）式3分，（12）、（13）式各2分。四、如图所示，圆为地球赤道，S为卫星所在处，用R表示卫星运动轨道的半径。由万有引力定律、牛顿运动定律和卫星周期T（亦即地球自转周期）可得222MmGmRTR（1）式中M为地球质量，G为万有引力常量，m为卫星质量另有20GMRg（2）由图可知Rcos＝R0（3）由以上各式可解得1/32024arccosRTg（4）取T＝23小时56分4秒（或近似取T＝24小时），代入数值，可得＝81.3（5）由此可知，卫星的定位范围在东经135.0－81.3＝53.7到75.0＋81.3＝156.3之间的上空。评分标准：本题15分．（1）、（2）、（3）式各2分，（4）、（5）式共2分，得出最后结论再给7分。五、用E和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知E＝Bl（v2－v1）（1）2IRE（2）令F表示磁场对每根杆的安培力的大小，则F＝IBl（3）令a1和a2分别表示ab杆cd杆和物体M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知F＝ma1（4）Mg－T＝ma2（5）T－F＝ma2（6）由以上各式解得22211()2BlvvaRm（7）（8）评分标准：本题15分．（l）式3分，（2）式2分，（3）式3分，（4）、（5）、（6）式各1分，（7）、（8）式各2分。222122()2()MgRBlvvaMmR10六、把酒杯放平，分析成像问题。1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1。在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成角的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为，由折射定律和几何关系可得n1sini＝n0sinr（1）＝i+（2）在△PAC中，由正弦定理，有sinsinRPCi（3）考虑近轴光线成像，、i、r都是小角度，则有10nrin（4）RiPC（5）由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的数值及4.8PCPOCOcm可得＝1.31i（6）r＝1.56i（7）由（6）、（7）式有r＞（8）由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P，P即为P点的实像．画面将成实像于P处。在△CAP中，由正弦定理有sinsinRCPr（9）又有r＝+(10)考虑到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得rCPRr(11)又有OPCPR（12）图111由以上各式并代入数据，可得7.9OPcm（13）由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有12nrin（14）代入n1和n2的值，可得r＝1.16i（15）与（6）式比较，可知r＜（16）由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P，P即为P点的虚像。画面将成虚像于P处。计算可得rCPRr（17）又有OPCPR（18）由以上各式并代入数据得13OPcm（19）由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P处，距O点13cm．即距杯口21cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。评分标准：本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给5分，说明“看到”再给3分。七、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB，若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周图212相切，设其速度为VA。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图得AAsinVv（1）BAcosVv（2）因而BAcotvv（3）由能量守恒A22BBAA121cos2mgRmvmv（4）由（3）、（4）两式及mB＝2mA得A22cossin1cosgRv（5）B22coscos1cosgRv（6）评分标准：本题（15）分．（1）、（2）式各3分，（4）式5分，（5）、（6）两式各2分。八、设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC，则题图中通有电流的电路可以简化为图1中的电路。B、C右方的电路又可简化为图2的电路，其中BCR是虚线右方电路的等效电阻。由于B、C右方的电路与B、C右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路，故有BCBCRR（1）由电阻串、并联公式可得212BCBCBCRRR（2）由式（1）、（2）两式得220BCBCRR解得RBC＝2.0（3）图1所示回路中的电流为201024A=0.10A1030182I（4）电流沿顺时针方向。设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3，极性如图3所示。由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即Q1＋Q2－Q3＝0（5）图3图1图213A、E两点间的电势差3113EAQQUUCC（6）又有(10300.10)V=7.0VEAUU（7）B、E两点间的电势差3223BEQQUUCC（8）又有(24200.10)V=26VBEUU（9）根据（5）、（6）、（7）、（8）、（9）式并代入C1、C2和C3之值后可得Q3＝1.3×10－4C（10）即电容器C3与E点相接的极板带负电，电荷量为1.3×10－4C。评分标准：本题17分．求得（3）式给3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（10）式各2分，指出所考察的极板上的电荷是负电荷再给1分。九、设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为△t，在这段时间内，各砝码和砝码托盘的受力情况如图1所示：图中，F表示△t时间内任意时刻弹簧的弹力，T表示该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力，mg为重力，T0为悬挂托盘的绳的拉力。因D的质量忽略不计，有T0＝2T（1）在时间△t内任一时刻，法码1向上运动，托盘向下运动，砝码2、3则向上升起，但砝码2、3与托盘速度的大小是相同的。设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为v1，砝码2、3与托盘速度的大小都是v2，由动量定理，有1mgFIImv（2）2mgTIImv（3）2mgTIImv（4）02mgFTIIImv（5）式中IF、Img、IT、IT0分别代表力F、mg、T、T0在△t时间内冲量的大小。注意到式（1），有IT0＝2IT（6）由（2）、（3）、（4）、（5）、（6）各式得2113vv（7）在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动。以图114△l1表示在△t时间内弹簧上端向上运动的距离，△l2表示其下端向下运动的距离。由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1的速度的1／3，故有2113ll（8）另有120lll（9）在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有22201212211132222klmvmvmglmglmgl（10）由（7）、（8）、（9）、（10）式得221003122vklmglm（11）砝码1与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为t1，有v1＝gt1（12）砝码2、3和托盘的受力情况如图2所示，以a表示加速度的大小，有mg－T＝ma（13）mg－T＝ma（14）T0－mg＝ma（15）T0＝2T（16）由（14）、（15）和（16）式得13ag（17）托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有v2＝at2（18）由（7）、（12）、（17）和（18）式，得112vttg（19）即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等。由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇。题中要求的时间12tt总（20）由（11）、（12）、（20）式得20023122tklgmmgl总评分标准：本题18分．求得（7）式给5分，求得（11）式给5分，（17）、（19）、（20）、（21）式各2分。图215第22届全国中学生物理竞赛预赛试卷1．在2004年6月10日联合国大会第58次会议上，鼓掌通过一项决议。决议摘录如下：联合国大会，承认物理学为了解自然界提供了重要基础，注意到物理学及其应用是当今众多技术进步的基石，确信物理教育提供了建设人类发展所必需的科学基础设施的工具，意识到2005年是爱因斯坦科学发现一百周年，这些发现为现代物理学奠定了基础，i．……；ii．……；iii．宣告2005年为年．2．爱因斯坦在现代物理学领域作出了很多重要贡献，试举出其中两项：；．二、（17分）现有一个弹簧测力计（可随便找地方悬挂），一把匀质的长为l的有刻度、零点位于端点的直尺，一个木块及质量不计的细线．试用这些器件设计一实验装置（要求画出示意图），通过一次测量（弹簧测力计只准读一次数），求出木块的质量和尺的质量．（已知重力加速度为g）三、（18分）内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R的黑球，距球心为2R处有一点光源S，球心O和光源S皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r最大为多少？四、（20分）处在激发态的氢原子向能量较低的状态跃迁时会发出一系列不同频率的光，称为氢光谱．氢光谱线的波长可以用下面的巴耳末—里德伯公式来表示22111nkRn，k分别表示氢原子跃迁前后所处状态的量子数．,3,2,1k，对于每一个k，有,k,k,kn321，R称为里德伯常量，是一个已知量．对于1k的一系列谱线其波S2RROr16长处在紫外线区，称为赖曼系；2k的一系列谱线其波长处在可见光区，称为巴耳末系．用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验，当用赖曼系波长最长的光照射时，遏止电压的大小为U1，当用巴耳末系波长最短的光照射时，遏止电压的大小为U2．已知电子电量的大小为e，真空中的光速为c，试求：普朗克常量和该种金属的逸出功．五、（25分）一质量为m的小滑块A沿斜坡由静止开始下滑，与一质量为km的静止在水平地面上的小滑块B发生正碰撞，如图所示．设碰撞是弹性的，且一切摩擦不计．为使二者能且只能发生两次碰撞，则k的值应满足什么条件？六、（25分）如图所示，两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，处于恒定磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直．一质量为m的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂直，可沿导轨无摩擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计．导轨的左端与一根阻值为R0的电阻丝相连，电阻丝置于一绝热容器中，电阻丝的热容量不计．容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有一截面为S的小液柱（质量不计），液柱将1mol气体（可视为理想气体）封闭在容器中．已知温度升高1K时，该气体的内能的增加量为25R（R为普适气体常量），大气压强为p0，现令细杆沿导轨方向以初速v0向右运动，试求达到平衡时细管中液柱的位移．ABv0R017七、（25分）三个电容器分别有不同的电容值C1、C2、C3．现把这三个电容器组成图示的(a)、(b)、(c)、(d)四种混联电路，试论证：是否可以通过适当选择C1、C2、C3的数值，使其中某两种混联电路A、B间的等效电容相等．八、（30分）如图所示，一根长为l的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为ma和mb.杆可绕距a球为l41处的水平定轴O在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当a转过角时小球b速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦．C1C2C3ABC1C3C2ABC2C3BC1AC2C3BC1A(a)(b)(c)(d)aObABCDF18九、（30分）如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O．一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为．圆环处于磁感应强度大小为KrB、方向竖直向上的恒定磁场中，式中K为大于零的常量，r为场点到轴线的距离．金属细圆柱与圆环用导线ed连接．不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场．问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度匀速转动．注：32233ΔΔ3Δ3ΔxxxxxxxxBAOaBed19第22届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考答案及评分标准一、国际物理（或世界物理）．相对论；光的量子性评分标准：本题10分．第1小问4分．第2小问6分（填写任意两项爱因斯坦的成果只要正确都给6分）．二、找个地方把弹簧测力计悬挂好，取一段细线做成一环，挂在弹簧测力计的挂钩上，让直尺穿在细环中，环与直尺的接触点就是直尺的悬挂点，它将尺分为长短不等的两段．用细线栓住木块挂在直尺较短的一段上，细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位置，使直尺平衡在水平位置（为提高测量精度，尽量使二悬挂点相距远些），如图所示．设木块质量为m，直尺质量为M．记下二悬挂点在直尺上的读数x1、x2，弹簧测力计读数G．由平衡条件和图中所设的直尺零刻度线的位置有GgMm)((1)2122)(xlMgxxmg(2)(1)、(2)式联立可得1222xlxlgGm(3)11222xlxxgGM(4)评分标准：本题17分．正确画出装置示意图给5分．（1）式、（2）式各4分，（3）式、（4）式各2分．三、自S作球的切线，并画出S经管壁反射形成的虚像点S，及由S画出球面的切线SGx20x1mMrMNSO2R图1SrMNSO2RS图2OR20N，如图1所示，由图可看出，只要MS和NS之间有一夹角，则筒壁对从S向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收．由图可看出，如果r的大小恰能使NS与MS重合，如图2，则r就是题所要求的筒的内半径的最大值．这时SM与MN的交点到球心的距离MO就是所要求的筒的半径r．由图2可得2sin1cosRRr（1）由几何关系可知RR2sin（2）由（1）、（2）式得Rr332（3）评分标准：本题18分．给出必要的说明占8分，求出r占10分．四、由巴耳末—里德伯公式)11(122nkR可知赖曼系波长最长的光是氢原子由n=2→k=1跃迁时发出的，其波长的倒数43112R(1)对应的光子能量为4311212RhchcE(2)式中h为普朗克常量．巴耳末系波长最短的光是氢原子由n=∞→k=2跃迁时发出的，其波长的倒数412R(3)对应的光子能量42RhcE(4)用A表示该金属的逸出功，则1eU和2eU分别为光电子的最大初动能．由爱因斯坦光电效应方程得21AeURhc143(5)AeURhc24(6)解得)3(221UUeA(7)RcUUeh)(221(8)评分标准：本题20分．(1)式3分，(2)式2分，(3)式3分，(4)式2分，(5)、(6)式各3分,(7)、(8)式各2分．五、设A与B碰撞前A的速度为v0，碰后A与B的速度分别为v1与V1，由动量守恒及机械能守恒定律有110kmVmmvv(1)212120212121kmVmmvv(2)由此解得011)1(vvkk(3)kV0112v(4)为使A能回到坡上，要求v1<0，这导致k>1；为使A从坡上滑下后再能追上B，应有11Vv，即2)1(k，这导致3k，于是，为使第二次碰撞能发生，要求k>3(5)对于第二次碰撞，令v2和V2分别表示碰后A和B的速度，同样由动量守恒及机械能守恒定律有：2211)(kmVmkmVmvv2222212121212121kmVmkmVmvv由此解得0222)1()1(4vvkkk(6)022)1()1(4vkkV(7)22若v2>0，则一定不会发生第三次碰撞，若v2<0，且22Vv，则会发生第三次碰撞．故为使第三次碰撞不会发生，要求A第三次从坡上滑下后速度的大小)(2v不大于B速度的大小2V，即22Vv(8)由(6)、（7）、（8）式得05102kk（9）由k2－10k+5=0可求得52528010k(9)式的解为525525k(10)(10)与(5)的交集即为所求：5253k(11)评分标准：本题25分．求得(3)、(4)式各得3分，求得（5）式得4分，求得（6）、（7）、（8）、（10）和（11）式各得3分．六、导体细杆运动时，切割磁感应线，在回路中产生感应电动势与感应电流，细杆将受到安培力的作用，安培力的方向与细杆的运动方向相反，使细杆减速，随着速度的减小，感应电流和安培力也减小，最后杆将停止运动，感应电流消失．在运动过程中，电阻丝上产生的焦耳热，全部被容器中的气体吸收．根据能量守恒定律可知，杆从v0减速至停止运动的过程中，电阻丝上的焦耳热Q应等于杆的初动能，即2021vmQ(1)容器中的气体吸收此热量后，设其温度升高T，则内能的增加量为TRUΔ25Δ(2)在温度升高T的同时，气体体积膨胀，推动液柱克服大气压力做功．设液柱的位移为lΔ，则气体对外做功lSpAΔ0(3)lSΔ就是气体体积的膨胀量lSVΔΔ(4)由理想气体状态方程RTpV，注意到气体的压强始终等于大气压0p，故有23TRVpΔΔ0(5)由热力学第一定律UAQΔ(6)由以上各式可解得Spml0207Δv(7)评分标准：本题25分．（1）式6分，（2）式4分，（3）、（4）、（5）式各2分，（6）式5分，（7）式4分．七、由电容C、C组成的串联电路的等效电容CCCCC串由电容C、C组成的并联电路的等效电容CCC并利用此二公式可求得图示的4个混联电路A、B间的等效电容Ca、Cb、Cc、Cd分别为32132312132121aCCCCCCCCCCCCCCC（1）23132312123131bCCCCCCCCCCCCCCC（2）33213231321321cCCCCCCCCCCCCCCC（3）23213221231231dCCCCCCCCCCCCCCC（4）由（1）、（3）式可知caCC（5）由（2）、（4）式可知dbCC（6）由（1）、（2）式可知baCC（7）由（3）、（4）式可知dcCC（8）若daCC，由（1）、（4）式可得2443lFaObABCD0232312121CCCCCCC因为1C、2C和3C均大于0，上式不可能成立，因此daCC（9）若cbCC，由（2）、（3）式可得0232213121CCCCCCC因为1C、2C和3C均大于0，上式不可能成立，因此cbCC(10)综合以上分析，可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的．评分标准：本题25分．（1）、（2）、（3）、（4）式各4分，得到（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，得到（9）、（10）式共5分．八、如图所示，用bv表示a转过角时b球速度的大小，v表示此时立方体速度的大小，则有vvcosb（1）由于b与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0．因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量．现用av表示此时a球速度的大小，因为a、b角速度相同，lOa41，lOb43，所以得bavv31（2）根据功能原理可知22221cos434321cos4421sin4vvvmllgmmllgmmlFbbbaaa（3）将（1）、（2）式代入可得222)cos(21cos434321cos443121sin4bbbbabamllgmmllgmmlFvvv解得2cos18182cos13sin9mmmgmmFlbababv（4）25评分标准：本题30分．（1）式7分，（2）式5分，（3）式15分，（4）式3分．九、将整个导体棒分割成n个小线元，小线元端点到轴线的距离分别为r0(=0)，r1，r2，……，ri-1，ri，……，rn-1，rn(=a)，第i个线元的长度为1Δiiirrr，当irΔ很小时，可以认为该线元上各点的速度都为iirv，该线元因切割磁感应线而产生的电动势为iiiiiiiirrKrrKrrBΔΔΔΔ2vE(1)整个棒上的电动势为niiiniirrK121ΔΔEE(2)由32233ΔΔ3Δ3Δrrrrrrrr，略去高阶小量(Δr)2及(Δr)3，可得])[(31332rrrrr代入(2)式，得331331323031131i3i31)]()()[(31)(31aKrrrrrrKrrKnnniE(3)由全电路欧姆定律，导体棒通过的电流为RaKRI33E(4)导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反．第i个线元ir受到的安培力为iiiAirIKrrBIfΔΔΔ(5)作用于该线元的安培力对轴线的力矩iiiAiirKIrrfMΔΔΔ2作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为3131312131)(31ΔΔKIarrKIrrKIMMniiiniiinii即RωaKM962（6）因棒A端对导体圆环的正压力为21mg，所以摩擦力为mg21，对轴的摩擦力矩为26mgaM21（7）其方向与安培力矩相同，均为阻力矩．为使棒在水平面内作匀角速转动,要求棒对于O轴所受的合力矩为零，即外力矩与阻力矩相等，设在A点施加垂直于棒的外力为f，则有MMfa（8）由(6)、(7)、（8）式得μmgRωaKf21952（9）评分标准：本题30分．求得（3）式得10分，（4）式2分；求得（6）式得8分，（7）式4分，（8）式4分，（9）式2分．27第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷一、（20分，每小题10分）1、如图所示，弹簧S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A与球B之间用线相连。球B与球C之间用弹簧S2相连。A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计，开始时它们都处在静止状态，现将A、B间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C的加速度。2、两个相同的条形磁铁，放在平板AB上，磁铁的N、S极如图所示，开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。（1）现将AB突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在A'B'处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。（2）如果将AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在A''B''位置处，结果发现两条形磁铁也碰在一起。试定性地解释上述现象。二、（20分，第1小题12分，第2小题8分）1、老爷爷的眼睛是老花眼。（1）一物体P放在明视距离处，老爷爷看不清楚，试在示意图1中画出此时P通过眼睛成像的光路示意图。（2）戴了一副300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P，试在示意图2中画出P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。（3）300度的老花镜的焦距f=________m。282、有两个凸透镜，它们的焦距分别为f1和f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为f3和f4，已知，f1>f2>|f3|>|f4|，如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为_________的透镜作为物镜，应选焦距为____________的透镜作为目镜。三、（20分，第1小题12分，第2小题8分）1、如图所示，电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O处，电荷量为q2的正点电荷固定在x轴上，两电荷相距l，已知q2=2q1。（1）求在x轴上场强为零的P点的坐标。（2）若把一电荷量为q0的点电荷放在P点，试讨论它的稳定性（只考虑q0被限制在沿x轴运动和被限制在沿垂直于x轴方向运动这两种情况）。2、有一静电场，其电势U随坐标x的改变而变化，变化的图线如图1所示，试在图2中画出该静电场的场强E随x变化的图线（设场强沿x轴正方向时取正值，场强沿x轴负方向时取负值）。29四、（20分）一根长为L（以厘米为单位）的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中。大气的压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长L>H。现把细管弯成L形，如图所示，假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管弯成L形时，以l表示其竖直段的长度，问l取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示）。五、（20分）一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负电子都以速率v绕它们连线的中点做圆周运动，假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，电子的质量m、速率v和正、负电子间的距离r的乘积也满足量子化条件，即2hmrvn式中n称为量子数，可取整数值1，2，3，…；h为普朗克常量，试求电子偶素处在各定态时的r和能量以及第一激发态与基态能量之差。30六、（25分）如图所示，两个金属轮A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O1和O2转动，O1和O2相互平行，水平放置，每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1轮的辐条长为a1、电阻为R1，A2轮的辐条长为a2、电阻为R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起，一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P，当P下落时，通过细绳带动D和A1绕O1轴转动，转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连，除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计，整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行，现将P释放，试求P匀速下落时的速度。七、图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处，圆筒为有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B，筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设：筒壁是光滑的，P与筒壁碰撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使P与筒壁碰撞的次数最少，问：（1）P的速率应为多少？（2）P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？31八、图中正方形ABCD是水平放置的固定梁的横截面，AB是水平的，截面的边长都是l，一根长为2l的柔软的轻细绳，一端固定在A点，另一端系一质量为m的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过B点使小球处于C点，现给小球一竖直向下的初速度v0，使小球与CB边无接触地向下运动，当v02分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？1、202(62331)vgl2、202(3311)vgl设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。九、从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km。已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为2MmEGa式中M为地球质量，G为引力常量。（1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示）。（2）若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？（3）试导出2MmEGa。32第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答及评分标准一、参考解答：1．线剪断前，整个系统处于平衡状态，此时弹簧S1的弹力1()ABCFmmmg(1)弹簧S2的弹力2CFmg(2)在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F1、F2的大小尚未变化，但线的拉力消失．设此时球A、B、C的加速度的大小分别为aA、aB、aC，则有1AAAFmgma(3)2BBBFmgma(4)2CCCFmgma(5)解以上有关各式得BCAAmmagm，方向竖直向上(6)BCBBmmagm，方向竖直向下(7)0Ca(8)2．开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡．(ⅰ)从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段，起初，板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动，在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小，当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起．接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直到停在A'B'处．在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变．(ⅱ)从板突然竖直向上平移到停下，板和磁铁的运动也经历两个阶段，起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动，在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动．接着，磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上的运动，直到停在''''AB处x在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小．当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平33板相向运动并吸在一起．评分标准：(本题20分)1．10分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式各1分，aA、aB的方向各1分．2.10分，(ⅰ)5分，(ⅱ)5分．(必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这5分，否则不给分)．二、参考答案1．(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)132.f1，f4．评分标准：(本题20分)1.12分．(ⅰ)4分，(ⅱ)4分，(ⅲ)4分．2．8分，两个空格都填对，才给这8分，否则0分，三、参考解答：1．(ⅰ)通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的P点只可能位于两点电荷之间，设P点的坐标为x0，则有122200()qqkkxlx(1)已知212qq(2)由(1)、(2)两式解得0(21)xl(3)(ⅱ)先考察点电荷q0被限制在沿x轴运动的情况．q1、q2两点电荷在P点处产生的场强的大小、分别为3411020qEkx22020()qEklx且有1020EE二者方向相反，点电荷q0在P点受到的合力为零，故P点是q0的平衡位置，在x轴上P点右侧x=x0+△x处，q1、q2产生的场强的大小分别为'111020()qEkExx方向沿x轴正方向'222020()qEkElxx方向沿x轴负方向由于21''EE，0xxx处合场强沿x轴的负方向，即指向P点，在x轴上P点左侧0xxx处，q1、q2的场强的大小分别为111020"()qEkExx方向沿x轴正方向222020"()qEkElxx方向沿x轴负方向由于210""EExxx，处合场强的方向沿x轴的正方向，即指向P点．由以上的讨论可知，在x轴上，在P点的两侧，点电荷q1和q2产生的电场的合场强的方向都指向P点，带正电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当q0>0时，P点是q0的稳定平衡位置，带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都背离P点，所以当q0<0时，P点是q0的不稳定平衡位置．再考虑q0被限制在沿垂直于x轴的方向运动的情况，沿垂直于x轴的方向，在P点两侧附近，点电荷g，和q2产生的电场的合场强沿垂直x轴分量的方向都背离P点，因而带正电的点电荷在P点附近受到沿垂直x轴的分量的电场力都背离P点，所以，当q0>0时，P点是q0的不稳定平衡位置，带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当q0<0时，P点是q0的稳定平衡位置．2．35评分标准：(本题20分)1．12分，(ⅰ)2分．(ⅱ)当q0被限制在沿x轴方向运动时，正确论证q0>0，P点是q0的稳定平衡位置，占3分；正确论证q0<0，P点是q0的不稳定平衡位置，占3分．(未列公式，定性分析正确的同样给分)当q0被限制在垂直于x轴的方向运动时，正确论证q0>0，P点是q0的不稳定平衡位置，占2分；正确论证q0<0，P点是q0的稳定平衡位置，占2分．2．8分，纵坐标标的数值或图线有错的都给0分，纵坐标标的数值、图线与参考解答不同，正确的同样给分．四、参考解答：开始时竖直细管内空气柱长度为L，压强为H(以cmHg为单位)，注入少量水银后，气柱将因水银柱压力而缩短．当管中水银柱长度为x时，管内空气压强P=(H+x)，根据玻意耳定律，此时空气柱长度'HLLHx(1)空气柱上表面与管口的距离'LdLLxHx(2)开始时x很小，由于L>H，故1dHx即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止，何时水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论．1．水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管此时水银柱的长度x≤l，由玻意耳定律有()()HxLxHL(3)由(3)式可得xLH(4)由此可知，当l≥L-H时，注入的水银柱的长度x的最大值maxxLH(5)2．水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管此时注入水银柱的长度x>l，由玻意耳定律有()()HlLxHL(6)LlxHl(7)LllxHl(8)由(8)式得36xLH，或LHl(9)LxLHLHHL(10)即当l<L-H时，注入水银柱的最大长度x<xmax．由上讨论表明，当l≥L-H时，可注入的水银量为最大，这时水银柱的长度为xmax，即(5)式．评分标准：(本题20分)正确论证l≥L-H时，可注入的水银量最大，占13分，求出最大水银量占7分，若论证的方法与参考解答不同，只要正确，同样给分．五、参考解答：正、负电子绕它们连线的中点作半径为2r的圆周运动，电子的电荷量为e，正、负电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力，即222(/2)evkmrr(1)正电子、负电子的动能分别为Ek+和Ek-，有2+1=2kkEEmv(2)正、负电子间相互作用的势能2PeEkr(3)电子偶素的总能量+P+kkEEEE(4)由(1)、(2)、(3)、(4)各式得212eEkr(5)根据量子化条件1,2,3,2hmrvnn…(6)(6)式表明，r与量子数n有关，由(1)和(6)式得与量子数n对应的定态r为22221,2,3,2nnhrnkem…(7)代入(5)式得与量子数n对应的定态的E值为224221,2,3,nkemEnnh…(8)n=1时，电子偶素的能量最小，对应于基态，基态的能量为22412kemEh(9)37n=2是第一激发态，与基态的能量差224234kemEh(10)评分标准：(本题20分)(2)式2分，(5)式4分，(7)式、(8)式各5分，(10)式4分．六、参考解答：P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A1作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动A2作顺时针的加速转动．由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R构成闭合电路.A1、A2中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力，不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓．A1、A2从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P匀速下落，设其速度为v，则A1，的角速度10=va(1)A1带动A2转动，A2的角速度ω2与A1的角速度ω1之间的关系为1122a=a(2)A1中每根辐条产生的感应电动势均为2111=2Ba(3)轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见(3)式同理，A2中，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为22221=2Ba(4)A1中，每根辐条的电阻为R1，轴与轮边之间的电阻是A1中四条辐条电阻的并联，其数值为114ARR(5)A2中，每根辐条的电阻为R2，轴与轮边之间的电阻是A2中四条辐条电阻的并联，其数值为224ARR(6)A1轮、A2轮和电阻R构成串联回路，其中的电流为1212AAIRRR(7)以(1)至(6)式代入(7)式，得1120121()244BaaavaIRRR(8)38当P匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即21244RRmgvIR(9)以(8)式代入(9)式得2120222112(4)()mgRRRavBaaa(10)评分标准：(本题25分)(1)、(2)式各2分，(3)、(4)式各3分，(5)、(6)、(7)式各2分，(9)式6分，(10)式3分．七、参考解答：1．如图1所示，设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子P带正电，其速率为v．P从小孔射人圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向，若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的．但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出，在此情形中，P在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧HM、MN和NH组成．现考察其中一段圆弧MN，如图2所示．由于P沿筒的半径方向入射，OM和ON均与轨道相切，两者的夹角2=3(1)设圆弧的圆半径为r，则有2vqvBmr(2)圆弧对轨道圆心O'所张的圆心角3(3)由几何关系得cot2rR(4)解(2)、(3)、(4)式得393qBRvm(5)2．P由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路经为sr(6)经历时间为1stv(7)P从射入小孔到射出小孔经历的时间为13tt(8)由以上有关各式得mtqB(9)评分标准：(本题25分)1．17分．(1)、(2)、(3)、(4)式各3分，(5)式5分．2．8分．(6)、(7)、(8)、(9)式各2分，八、参考解答：小球获得沿竖直向下的初速度v0后，由于细绳处于松弛状态，故从C点开始，小球沿竖直方向作初速度为v0、加速度为g的匀加速直线运动．40当小球运动到图1中的M点时，绳刚被拉直，匀加速直线运动终止，此时绳与竖直方向的夹角为α=30°在这过程中，小球下落的距离2cos(13)slll(1)细绳刚拉直时小球的速度v1满足下式：22102vvgs(2)在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度v1cosα变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从M点开始以初速度1111sin=2v'=vv(3)在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为2l，圆心位于A点，如图1所示，由(1)、(2)、(3)式得221011(13)42v'=vgl(4)当小球沿圆周运动到图中的N点时，其速度为v，，细绳与水平方向的夹角为θ，由能量关系有22111(32sin)22mv'=mvmgll(5)用TF表示绳对小球的拉力，有2sin2TvFmgml(6)1.20=2(62331)vgl设在θ=θ1，时(见图2)，绳开始松弛，FT=0，小球的速度v=u1，以此代入(5)、(6)两式得221112(22sin)v'ugll(7)211sin2ugl(8)41由(4)、(7)、(8)式和题设v0的数值可求得145(9)12ugl(10)即在θ1=45°时，绳开始松弛．以N1表示此时小球在圆周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从N1处以大小为u1，方向与水平方向成45°角的初速度作斜抛运动．以N1点为坐标原点，建立直角坐标系1Nxy，x轴水平向右，y轴竖直向上．若以小球从N1处抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻t的坐标分别为112cos452xutut(11)2211121sin45222yugtutgt(12)由(11)、(12)式，注意到(10)式，可得小球的轨道方程：22212xxyxgxul(13)AD面的横坐标为2cos452xll(14)由(13)、(14)式可得小球通过AD所在竖直平面的纵坐标0y(15)由此可见小球将在D点上方越过，然后打到DC边上，DC边的纵坐标为y(2sin45)(21)lll(16)把(16)式代入(13)式，解得小球与DC边撞击点的横坐标x=1.75l(17)撞击点与D点的距离为2cos450.35lxll(18)422．202(3311)vgl设在θ=θ2时，绳松弛，FT=0，小球的速度v=u2，以此代替(5)、(6)式中的θ1，u1，得22122'232sinvugll(19)222sin2umgml(20)以202(3311)vgl代入(4)式，与(19)、(20)式联立，可解得290(21)22ugl(22)(22)式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉力不断增加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以D点为圆心，l为半径的圆周打到梁上的C点．评分标准：(本题25分)(3)式2分，(5)、(6)式各1分，(9)、(10)式各3分，得出小球不可能打在AD边上，给3分，得出小球能打在DC边上，给2分，正确求出小球打在DC边上的位置给2分，求出(21)、(22)式各占3分，得出小球能打在C点，再给2分．如果学生直接从抛物线方程和y(2sin45)(21)lll(&9)求出x=1.75l，同样给分．不必 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 不能撞击在AD边上．九、参考解答：1．这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下将沿椭圆轨道运动．如果导弹能打到N点，则此椭圆一定位于过地心O、北极点N和赤道上的发射点C组成的平面(此平面是C点所在的子午面)内，因此导弹的发射速度(初速度v)必须也在此平面内，地心O是椭圆的一个焦点．根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过O点垂直CN的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB上．已知质量为m的物体在质量为M的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴α的关系为2GMmEa(1)43要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短，根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径R，只要位于长轴上的另一焦点到C点的距离最小，该椭圆的半长轴就最小．显然，当另一焦点位于C到AB的垂线的垂足处时，C到该焦点的距离必最小．由几何关系可知22a2RR(2)设发射时导弹的速度为v，则有212MmEmvGR(3)解(1)、(2)、(3)式得(21)GMvR(4)因2MmGmgR(5)比较(4)、(5)两式得2(21)vRg(6)代入有关数据得7.2km/sv(7)速度的方向在C点与椭圆轨道相切，根据解析几何知识，过椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP．从图中可看出，速度方向与OC的夹角1=904567.52(8)2．由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为2CRvT(9)式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T=24×3600s=86400s，故0.46km/sCv(10)44C点速度的方向垂直于子午面(图中纸面)．位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足(7)、(8)两式的要求，导弹相对于地面(C点)的发射速度应有一大小等于vC、方向与vC相反的分速度，以使导弹在此方向相对于地心的速度为零，导弹的速度的大小为22Cv'vv(11)代入有关数据得7.4km/sv'(12)它在赤道面内的分速度与v0相反，它在子午面内的分速度满足(7)、(8)两式．3．质量为m的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和远地点有下列关系式2212121122GMmGMmmvmvrr(13)11221122rvrv(14)式中v1、v2分别为物体在远地点和近地点的速度，r1、r2为远地点和近地点到地心的距离．将(14)式中的v1代入(13)式，经整理得222221211211()2rGMmmvrrrrr(15)注意到122rra(16)得2122122rGMmmvar(17)因22212GMmEmvr(18)由(16)、(17)、(18)式得2GMmEa(19)评分标准：(本题25分)1．14分．(2)式6分，(3)式2分，(6)、(7)式共4分，(8)式2分．2．6分．(11)式4分，(12)式2分．3．5分．(13)、(14)式各1分，(19)式3分．45第24届全国中学生物理竞赛预赛试卷题号一二三四五六七八总分得分阅卷复核本卷共八题，满分200分得分阅卷复核一、(25分)填空题1．2006年诺贝尔物理学奖授予美国科学京约翰·马瑟和乔治·斯穆特，以表彰他们发现了宇宙微波背景辐射的黑体辐射形式和各向异性．这一发现为有关宇宙起源的_________理论提供了进一步的支持，使宇宙学进入了“精确研究”时代．2．恒星演化到了后期，某些恒星在其内部核燃料耗尽时，会发生强烈的爆发，在短短的几天中，亮度陡增千万倍甚至上亿倍，我国《宋史》第五十六卷中对当时观测到的上述现象作了详细记载．2006年5月是我国发现此现象一千周年，为此在杭州召开了有关的国际学术研讨会．天文学上把演化到这一阶段的恒星称为__________，恒星演变到这—阶段，预示着一颗恒星的终结，此后，它可能成为___________或__________．3．2006年11月21日，中国、欧盟、美国、日本，韩国、俄罗斯和印度七方在法国总统府正式签署一个能源方面的联合实施协定及相关文件，该协定中的能源是指__________能源．4．潮汐是一种常见的自然现象，发生在杭州湾钱塘江入海口的“钱江潮”是闻名世界的潮汐现象．在农历初一和十五的后各有一次大潮，在两次大潮之间又各有一次小潮，试把每月中出现两次大潮时地球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面．_________________________________________________________________．试把每月中出现两次小潮时地球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面．5．如图所示，用双线密绕在一个长直圆柱上，形成一个螺线管线圈aa'和bb'（分别以实线和应线表示），已知两个线圈的自感都是L．今若把a与b两端相连，把a'和b'两端接入电路，这时两个线圈的总自感等于________；若把b与a'相连，把a和b'两端接入电路，这时两个线圈的总自感等于________；若把a与b两端相连作为一端，a'与b'连作为另一端，把这两端接入电路，这时两个线圈的总自感等于________________．得分阅卷复核二、（25分）如图所示，一块光滑的平板能绕水平固定轴HH'，调节其与水平面所成的倾角．板上一很长为l=1.00的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P．另一端固定在HH'轴上的O点．当平板的倾角固定在α时，先将轻绳沿着平轴HH'拉直（绳与HH'重合），然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直46的初速度05.0m/sv，若小球能保持在板面内作圆周运动．倾斜角α的值应在什么范围内（取图中α处箭头所示方向为a的正方向）．取重力加速度g=10m/s2．得分阅卷复核三、（25分）如图所示，绝热的活塞S把一定质量的稀薄气体（可视为理想气体）密封在水平放置的绝热气缸内．活塞可在气缸内无摩擦地滑动，气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地加热，气缸处在大气中，大气压强为0p，初始时，气体的体积为V0，压强为0p．已知1摩尔该气体温度升高1K时其内能的增量为一已知恒量c．求以下两种过程中电热丝传给气体的热量Q1与Q2之比．1．从初始状态出发，保持活塞S位置圈定，在电热丝中通以弱电流，并持续一段时间，然后停止通电，待气体达到热平衡时，测得气体的压强为1p．2．仍从初始状态出发，让活塞处在自由状态，在电热丝中通过弱电流，也持续一段时间，然后停止通电，最后测得气体的体积为V2．得分阅卷复核四、（25分）如图所示，M1M2和M3M4都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导线紧密排列成的导线排横截面，两导线排相交成120°，OO'为其角平分线．每根细导线中部通有电流I，两导线排中电流的方向相反，其中M1M2中电流的方向垂直纸面向里．导线排中单位长度上细导线的根数为λ．图中的矩形abcd是用N型半导体 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 做成的长直半导体片的横截面，(abbc)，长直半导体片与导线捧中的细导线平行，并在片中通有均匀电流I0，电流方向垂直纸面向外．已知ab边与OO'垂直，bcl，该半导体材料内载流子密度为n，每个载流子所带电荷量的大小为q．求此半导体片的左右两个侧面之间的电势差．已知当细的无限长的直导线中通有电流I时，电流产生的磁场离直导线的距离为r处的磁感应强度的大小为IBkr，式中k为已知常量．得分阅卷复核47五、(25分)如图所示，ACD是由均匀细导线制成的边长为d的等边三角形线框，它以AD为转轴，在磁感应强度为B的恒定的匀强磁场中以恒定的角速度转动（俯视为逆时针旋转），磁场方向与AD垂直，已知三角形每条边的电阻都等于R，取图示线框平面转至与磁场平行的时刻为t=0．1．求任意时刻t线框中的电流．2．规定A点的电势为0，求t=0时，三角形线框的AC边上任一点P（到A点的距离用x表示）的电势PU，并画出PU与x之间关系的图线．1．当三角形薄板达到平衡时，求出碗对顶点A、B、C的作用力的大小各为多少．2．当板处于上述平衡状态时，若解除对A点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求此后三角形薄板可能具有的最大动能．得分阅卷复核六、（25分）空间存在垂直于纸面方向的均匀磁场，其方向随时间作周期性变化，磁感应强度B随时间t变化的图线如图1所示．规定B>0时，磁场的方向穿出纸面，现在磁场区域中建立一与磁场方向垂直的平面坐标Oxy，如图2所示，一电荷量q=5×10-7C，质量m=5×10-10kg的带电粒子．位于原点O处，在t=0时刻以初速度v0=πm/s沿x轴正方向开始运动．不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的一切其它影响．1．试在图2中画出0~20ms时间内杖子在磁场中运动的轨迹，并标出圈2中纵横坐标的标度值（评分时只按图评分，不要求写出公式或说明．）2．在磁场变化N个（N为整数）周期的时间内带电粒子的平均速度的大小等于_____________．得分阅卷复核七、（25分）如图所示，L是一焦距为f的薄凸透镜（F与F'为其焦点）．在透镜右侧焦点F'处放置一曲率半径大小为R的球圈反射镜（其顶点位于F'处），透镜和球面组成一轴对称的光学系统，在透镜L左侧光轴上有限远处有一发光点P，它发出的傍轴光线经此光学系统后，恰好成像在P点．试在下面第1和第2小题中填空，在第3小题中作图．1．若球面镜为凹面镜，则P点到透镜的距离等于__________________；若球面镜为凸面镜，则P点到透镜的距离等于_______________．482．若将一短细杆垂直于光轴放置，杆的下端位于P点，则此细杆经上述光学系统所成的最后的像的大小与物的大小之比对凹透镜等于__________；对凸透镜等于_______________．3．若球面镜子半径大小R=2f，试按作图法的规范要求，画出第2问中短杆对上述光学系统逐次成的像及成像光路图．（要求将凹面镜和凸面镜分别两个两张图上．评分时只按图评分，不要求写出作图理由和说明，但须用已知量标出各个像在光轴上的具体位置．）得分阅卷复核八、（25分）如图所示，有一固定的、半径为a、内壁光滑的半球形碗（碗门处于水平位置），O为球心．碗内搁置一质量为m、边长为a的等边三角形均匀薄板ABC．板的顶点A位于碗内最低点，碗的量低点处对A有某种约束使顶点A不能滑动（板只能绕A点转动）．49第24届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答及评分标准一、参考答案：1．大爆炸2．超新星中子星黑洞3．核聚变4．大潮时：和小潮时：和5．0，4L，L．评分标准：本题25分．第1小题3分．第2小题6分，每一空格2分．第3小题3分．第4小题6分．第一空格中画对一个图给2分，画对二个图给3分；第二空格中画对一个图给2分，画对二个图给3分．第5小题7分．第一空格2分，第二空格3分，第三空格2分．二、参考解答：当光滑平板与水平面的倾角为α时，无论小球P处在斜面上什么位置，它受的重力在斜面上的投影总是垂直于HH'，大小总是等于mgsinα．以此作为重力的一个分力，则重力的另一个分力即垂直于斜面的分力mgcosα总是与斜面对小球P的支持力平衡．这样，小球P在斜面内只受上述重力的分量mgsinα和细绳拉力的作用．当小球P运动到圈周的最高点时，细绳垂直于HH'绳的拉力与小球所受重力的分量mgsinα沿同一直线，这时只要细绳不松弛，小球就能保持在板面内作圆周运动．设小球到达圆周最高点时的速度为v，绳的拉力为T，有2sinvTmgml(1)由能量关系，有5022011sin22mvmvmgl(2)由(1)、(2)式得203sinvTmgl(3)细绳不松弛的条件是T≥0(4)由(3)、(4)式得20arcsin3gvl(5)代入有关数据，得5arcsin6(6)当倾角α<0时，经相同的分析可得5arcsin6(7)由(6)、(7)两式，可知α的取值范围为55arcsinarcsin66(8)评分标准：本题25分．(1)式7分，(2)式7分，(4)式5分，(5)式或(6)式3分，(7)式3分．三、参考解答：以m表示气缸内气体的质量，μ表示其摩尔质量．当气体处在初始状态时，已知其压强为0p、体积为V0.设其沮度为T0，由理想气体状态方程有000mpVRT(1)在过程1中，对气体加热时，活塞S位置固定不动，气体体积保持不变，气体对外不做功，根据热力学第一定律有110()mQcTT(2)式中T1为加热后气体的温度．根据题意，这时气体的压强为1p．由理想气体状态方程可知由(1)、(2)、(3)式得101mpVRT(3)在过程2中，对气体加热时，活塞要移动，气体的压强保持0p不变，体积由V0变为V2，气体对外做功．根据热力学第一定律，有511010()cQVppR(4)在过程2中，对气体加热时，活塞要移动，气体的压强保持0p不变，体积由0V变为2V，气体对外做功.根据热力学第一定律，有220020mQcTTpVV（5）式中2T为加热后气体的温度.由理想气体状态方程可知022mpVRT（6）由（1）、（5）、（6）式，得2020cRQpVVR（7）由（4）、（7）式得10012200ppVQcQcRVVp（8）评分标准：本题25分.（1）式2分，（2）式7分，（3）式2分，（5）式7分，（6）式2分，（8）式5分.四、参考解答1.两导线排的电流产生的磁场考察导线排M1M2中的电流产生的磁场，取x轴与导线排M1M2重合，y轴与导线排M1M2垂直，如图1所示.位于x和xx（x为小量）之间的细导线可以看坐是“一根”通有电流Ix的长直导线，它在y轴上P点产生的磁感应强度的大小为IxBkr（1）r为P点到此直长导线的距离，B的方向与r垂直，与电流构成右手螺旋.将B分解成沿x方向和y方向的两个分量xB和yB，有cosxIxBkr（2）sinyIxBkr（3）根据对称性，位于x到xx之间的细导线中电流产生的磁感应强度在y方向的分量与yB大小相等、方向相反.可见整个导线排中所有电流产生的磁场在y方向的合磁场为0.由图1可看出cosxr（4）52把（4）式代入（2）式得xBkI（5）导线排上所有电流产生的磁感应强度xBBkI(6)注意到，得BkI(7)即每个导线排中所有电流产生的磁场是匀强磁场，磁场的方向分别与M1M2和M3M4导线排平行，如图2所示，两导线排中电流产生的磁感应强度B(M1M2)与B(M3M4)成120，它们的合磁场的磁感应强度的大小02cos60BBkI(8)方向与OO'平行，由O指向O'．2．半导体片左右两侧面间的电势差当半导体片中通有均匀电流I0时，半导体片中的载流子作定向运动，N型半导体的载流子带负电荷，故其速度v的方向与I0方向相反，垂直纸面向里，且有0InqvS(9)式中S为半导体片横截面的面积Sabl(10)载流子作定向运动时要受到磁场洛伦兹力Bf的作用，其大小为0BfqvB(11)对带负电荷的载流子此力的方向指向左侧，于是负电荷积聚在左侧面上，从而左侧面带负电，右侧面带正电，两侧面间出现电势差UUU右左．带负电荷的载流子受到静电力fE由左侧53面指向右侧面，达到稳定时，fE与fB平衡，即EBUfqfab(12)由(8)、(9)、(10)、(11)、(12)各式得0IIUknql(13)评分标准：本题25分．(7)式8分，(8)式4分，(9)式3分，(12)式5分，(13)式5分，五、参考解答：1．在线框转动过程中，三角形的AC、CD两边因切割磁感应线而产生感应电动势，因长度为d的AC边和CD边都不与磁场方向垂直，每条边切割磁感应线的有效长度，即垂直于磁场方向的长度为1cos302ldd(1)因AC边上不同部分到转轴的距离不同，它们的速度随离开转轴的距离的增大而线性增大，故可认为AC边上各部分产生的总电动势，数值上等同于整条AC边均以AC边中点处的速度v运动时产生的电动势，而13cos30=24vd(2)设在t=0至时刻t，三角形从平行于磁场方向的位置绕轴转过角度为θ，则t(3)因而边上各点速度的方向不再与磁场方向垂直，；沿垂直磁场方向的分量'cosvv(4)由此得到t时刻AC边中的感应电动势ACBlvE(5)其方向由A指向C，由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得23cos8ACBdtE(6)同理可得23cos8CDBdtE(7)其方向由C指向D，三角形线框中的总电动势23cos4ACCDBdtEEE(8)其方向沿ACDA回路方向，因线框中的总电阻为3R，故t时刻线框中的电流23cos312iBdtRRE(9)2．对于AP来说，长度为x，在t=0时刻，cos=1t，而以x代替(6)式中的d，即可得54AP段中的感应电动势的大小238APBxE(10)方向由A点指向P点，由(9)式，此时线框的电流2312IBxdR(11)根据含源电路欧姆定律，P点的电势PAPRUIxdE(12)把(10)、(11)两式代入(12)式，经整理后得23283PUBxxd(13)为了画出PU(x)图线，先求出若干特征点的电势值：(13)式右侧是一个关于x的二次方程，故PU(x)图线为一抛物线，(13)式可改写为223317283PUBdBxd(14)由(14)式可知，此抛物线(ⅰ)0x和23xd0PU(ⅱ)抛物线的顶点坐标为3dx，2372PUBd(ⅲ)xd，2324PUBd55图线如图所示．评分标准：本题25分．第1小题13分．求得(6)或(7)式8分，(8)式2分，(9)式3分．第2小题12分．(10)式4分，(13)式4分，图线正确给4分，六、参考解答：1．2．22m/s评分标准：本题25分．1．图线形状正确给10分，横坐标标度正确给5分，纵坐标标度正确给5分．2．求得平均速度大小给5分.七、参考解答：1．()fRfR；()fRfR2．1；13．对凹面镜光路图如图1所示；对凸面镜光路图如图2所示，56评分标准：本题25分．第1小题10分．每一空格5分．第2小题5分，填对一个空格给3分，填对二个空格给5分．第3小题10分，每图5分．八、参考解答：解法一图11．因A点位于半球形碗的最低点，等边三角形薄板的BC边一定沿水平方向．作连线OB和OC，因O为半球形碗的球心，A、B、C均在球面上，故有OAOBOCa(1)ABC是等边三角形，ABBCACa(2)故OABC为正四面体，如图1所示．三角形薄板所受的力有：BCNN(3)(ⅰ)B、C处碗面对板的作用力NB和NC均垂直于碗面，指向球心O．又由对称性可知，它们的合力NBC沿∠COB的角平分线DO的方向，其大小为2cos303BCBBNNN(4)DO的长度3cos302DOOBa(5)（ⅱ)重力GF的大小GFmg(6)57它作用于三角形ABC的重心G．G位于AD上，与A的距离223333AGADODa(7)重力的方向与OA平行，该力位于OAD平面内，与OD相交．用P表示其交点，则2333OPAGa(8)222'''13haOGaOAAGa(15)A点被约束时薄板重心为G点，参阅图1，可知G点相对碗最低点的高度coscoshAGDAOAG(16)由(7)和(9)式可得13ha(17)由(15)、(17)两式可求得薄板从A点约束解除到处于水平状态过程中，其重心高度减少量的最大值，从而求出重力势能的减少量的最大值，最后即求得薄板具有的最大动能为62()3kEmghh'mga(18)评分标准：本题25分．第1小题20分．(4)式2分，(10)式7分，(11)式7分，(12)式2分，(14)式2分.第2小题5分．(15)式1分，(17)式2分，(18)式2分．解法二图11．当三角形薄板处于平衡状态时，根据对称性，BC必位于过B、C两点的水平圆面内，以O'表示此水平圆面的圆心，如图1所示，碗内壁球面的球心为O，则O'以及A、O三点必位于同一条竖直线上，由于B、C与球面接触处都是光滑的，球面对这两点的作用力都指向球面的球心O，令NB和NC分别表示这两个力的大小，由对称性可知BCNN(1)因球面的半径等于等边三角形的边长，三角形OAB和OBC都是等边三角形5860AOBBOC(2)把BN分解成沿竖直方向的分量BN和位于水平面内的分量//BN，则有1coscos602BBBBNNNN(3)//3sinsin602BBBBNNNN(4)同理有1coscos602CCCCNNNN(5)//3sinsin602CCCCNNNN(6)//BN与BO'平行，//CN与CO'平行，都平行于以O'为圆心的水平圆面，可以把这两个力移到圆心为O'的水平四面内，如图2所示．//BN和//CN的合力为//N．球面底部作用于三角形薄板的力AN也可分解成沿竖直方向的分量AN和位于水平面内的分量//AN．当三角形薄板达到平衡时，有//////2cosABNNN(7)0ABCmgNNN(8)由图1可知，圆心为O'的水平圆面的半径R即线段O'B是等边三角形OAB的高，故有3sinsin602Raaa(9)59由图2得2226cos3aRO'DRR(10)由以上有关各式，(7)、(8)两式可写成//2ANN(11)ABNmgN(12)当三角形薄板达到平衡时，作用于三角形的各力对BC边的力矩总和等于零．NB，NC通过BC边，对BC边无力矩作用，只有//AN、AN和重力mg对BC边有力矩作用．平衡时有//1''023AAaNmgODNOD(13)由(9)、(10)式可知6362'3232ODRaa(14)把(14)式代入(13)式，得//223AANNmg(15)由(11)、(12)和(15)及(1)式13BCNNmg(16)//23ANmg(17)23AmgN(18)63ANmg(19)2．当解除对A点的约束，A、B、C三顶点将在球面内从静止开始滑动，根据对称性可知，必有一时刻薄板处于水平位置，这时板的重心最低，重力势能最小，薄板具有的动能最大，这动能采自薄板减少的重力势能．在图1中三角形ADO'为直角三角形，一条直角边DO'位于水平位置，另一条直角边AO'位于竖直位置，根据题意及几何关系可知，三角形薄板的重心C位于斜边AD上，离A点的距离为23AD，重心G的高度2213323ahAO'a(20)60当三角形薄板的三条边位于同一水平的圆面内时，三角形的重心G'与其三边所在圆面的圆心重合，如图3所示．2223323aBG'aa22223693OG'OBBG'aaa这时，三角形薄板重心G'的高度63633h'=aaa(21)薄板的最大动能62()3kEmghh'mga(22)评分标准：本题25．第1小题20分．(11)式6分，(12)式6分，(15)式4分，(16)式2分，(19)式2分．第2小题5分．(20)式1分，(21)式2分，(22)式2分．61第25届全国中学生物理竞赛预赛试卷一、选择题．本题共6小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项正确的，有的小题有多项正确的．把正确的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不选全的得3分，有选错或不答的得0分．1．如图所示，两块固连在一起的物块a和b，质量分别为ma和mb，放在水平的光滑桌面上．现同时施给它们方向如图所示的推力Fa和拉力Fb，已知Fa>Fb，则a对b的作用力A．必为推力B．必为拉力C．可能为推力，也可能为拉力D．可能为零[]2．用光照射处在基态的氢原子，有可能使氢原子电离，下列说法中正确的是A．只要光的光强足够大，就一定可以使氢原子电离B．只要光的频率足够高，就一定可以使氢原子电离C．只要光子的能量足够大，就一定可以使氢原子电离D．只要光照的时间足够长，就一定可以使氢原子电离[]3．如图所示，一U形光滑导轨串有一电阻R，放置在匀强的外磁场中，导轨平面与磁场方向垂直．一电阻可以忽略不计但有一定质量的金属杆ab跨接在导轨上，可沿导轨方向平移．现从静止开始对ab杆施加向右的恒力F，若忽略杆和U形导轨的自感，则在杆的运动过程中，下列哪种说法是正确的？A．外磁场对载流杆ab作用力对ab杆做功，但外磁场的能量是不变的B．外力F的功总是等于电阻R上消耗的功C．外磁场对载流杆ab作用力的功率与电阻R上消耗的功率两者的大小是相等的D．电阻R上消耗的功率存在最大值[]4．如图所示，放置在升降机地板上的盛有水的容器中，插有两根相对容器位置固定的玻璃管a和b，管的上端都是封闭的，下端都有开口的，管内被水各封有一定质量的气体．平衡时a管内的水面比管个的低，b管内的水面比管个的高．现令升降机从静止开始加速下降，已知在此过程中管内气体仍被封闭在管内，且经历的过程可视为绝热过程，则在此过程中A．a中的气体内能增加，b中的气体内能减少abRFabFaFb62B．a中的气体内能减少，b中的气体内能增加C．a、b中气体内能都增加D．a、b中气体内能都减少[]5．图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双U形管”，a、b、c、d为其中四段竖直的部分，其中a、d上端是开口的，处在大气中，管中的水银把一段气柱密封在b、c内，达到平衡时，管内水银面的位置如图所示．现缓慢地降低气柱中气体的温度，若c中的水银上升了一小段高度Δh，则A．b中的水银面也上升ΔhB．b中的水银面也上升，但上升的高度小于ΔhC．气柱中气体压强的减少量等于高为Δh的水银柱所产生的压强D．气柱中气体压强的减少量等于高为2Δh的水银柱所产生的压强[]6．图中L是绕在铁心上的线圈，它与电阻R、R0、电键和电池E可构成闭合回路．线圈上的箭头表示线圈中电流的正方向，当电流的流向与箭头所示的方向相同，该电流为正，否则为负．电键K1和K2都处于断开状态．设在t=0时刻，接通电键K1，经过一段时间，在t=t1时刻，再接通电键K2，则能较正确在表示L中的电流I随时间t的变化的图线是下面给出的四个图中的哪个图？K1K2RR0ELcabdab63A．图1B．图2C．图3D．图4[]二、填空题和作图题．把答案填在题中横线上或把图画在题指定的地方．只要给出结果，不需要写出求得结果的过程．7．(8分)为了估算水库中水的体积，可取一瓶无毒的放射性同位素的水溶液，测得瓶内溶液每分钟衰变6×107次，已知这种同位素的半衰期为2天．现将这瓶溶液倒入水库，8天后可以认为已均匀分布在水库中，这时取1．0m3水库中的水样，测得水样每分钟衰变20次．同此可知水库中水的体积为_________m3．8．(8分)在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、L2和L3，L2与L1相距为80m，L3与L1相距为120m．每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是20s，显示红色的时间间隔都是40s，L1与L3同时显示绿色，L2则在L1显示红色经历10s时开始显示绿色．规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过150s．若有一辆匀速向前行驶的汽车通过L1的时刻正好是L1刚开始显示绿色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率是_______m/s．若一辆匀速向前行驶的自行车通过L1的时刻是L1显示绿色经历了10s的时刻，则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是_______m/s．9．(8分)位于水平光滑桌面上的n个完全相同的小物块，沿一条直线排列，相邻小物块间都存在一定的距离．自左向右起，第1个小物块标记为P1，第2个小物块标记为P2，第3个小物块标记为P3，……，最后一个小物块即最右边的小物块标记为Pn．现设法同时给每个小物块一个方向都向右但大小各不相同的速度，其中最大的速度记作v1，最小的速度记作vn，介于最大速度和最小速度间的各速度由大到小依次记为v2、v3、……、vn-1．若小物块发生碰撞时，碰撞都是弹性正碰，且碰撞时间极短，则最终小物块P1、P2、P3、……、Pn速度的大小依次为________________________________________________________。0Itt1图1t0It1图20Itt1图30Itt1图46410．(11分)有两块无限大的均匀带电平面，一块带正电，一块带负电，单位面积所带电荷量的数值相等．现把两带电平面正交放置如图所示．图中直线A1B1和A2B2分别为带正电的平面和带负电的平面与纸面正交的交线，O为两交线的交点．(i)试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强和电势)具有对称性的特点，并取O点作为电势的零点，在右面给的整个图上画出电场(正、负电荷产生的总电场)中电势分别为0V、1V、2V、3V、−1V、−2V、−3V的等势面与纸面的交线的示意图，并标出每个等势面的电势．(ii)若每个带电平面单独产生的电场是E0=1.0V/m，则求出(i)中相邻两等势面间的距离d=________．11．(10分)一列简谐横波在x轴上传播(振动位移沿y轴)．已知x=12cm处的质元的振动图线如图1所示，x=18cm处的质元的振动图线如图2所示．根据这两条振动图线，可获得关于这列简谐横波的确定的和可能的信息(如频率、波速、波长等)是哪些？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。12．(8分)一座平顶房屋，顶的面积S=40m2．第一次连续下了t=24小时的雨，雨滴沿竖直方向以v=5.0m/s的速度落到屋顶，假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹，并立即流走．第二次气温在摄氏零下若干度，而且是下冻雨，也下了24小时，全部冻雨落到屋顶便都结成冰并留在屋顶上，测得冰层的厚度d=25mm．已知两次下雨的雨量相等，冰的密度为9×102kg/m3．由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成冰对屋顶的压力为_________N，第一次下雨过程中，雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为__________N．0246369121518t/s0246369121518t/s图1图2O+A1+B1B2-A2-6513．(10分)在示波器的YY'偏转电极上，加电压u1=U0sin2πνt，式中频率ν=50Hz．同时在示波器XX'偏转电极上加如图1所示的锯齿波电压u2，试在图2中画出荧光屏上显示的图线．如果由于某种原因，此图线很缓慢地向右移动，则其原因是______________________________________________________________________________________________________________。图2u2/Vt/s00.040.080.12图166三、计算题．解答应写出必要的文字说明、方和和重要的演算步骤．只写出最后结果的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14．(14分)一电流表，其内阻Rg=10.0Ω，如果将它与一阻值R0=49990Ω的定值电阻串联，便可成为一量程U0=50V的电压表．现把此电流表改装成一块双量程的电压表，两个量程分别为U01=5V和U02=10V．当用此电压表的5V挡去测一直流电源两端的电压时，电压表的示数为4.50V；当用此电压表的10V挡去测量该电源两端的电压时，电压表的示数为4.80V．问此电源的电动势为多少？15．(12分)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重的环境．在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下的运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态．现要求一架飞机在v1=500m/s时进入失重状态的试验，在速率为v2=1000m/s时退出失重状态试验．重力加速度g=10m/s2试问：(i)在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟何重运动，方可在一定范围内任意选择失重的时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素．(ii)飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？6716．(12分)假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内．已知地球表面处的重力加速度g=9.80m/s2，地球半径Re=6.37×106m，月球质量mm=7.3×1022kg，月球半径Rm=1.7×106m，引力恒量G=6.67×10-11N·m2·kg-2，月心地心间的距离约为rem=3.84×108m．(i)月球的月心绕地球的地心运动一周需多少天？(ii)地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？(iii)若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少(结果要求两位数字)？17．(12分)如图所示，1和2是放在水平地面上的两个小物块(可视为质点)，与地面的滑动摩擦系数相同，两物块间的距离d=170.00m，它们的质量分别为m1=2.00kg，m2=3.00kg．现令它们分别以初速度v1=10.00m/s和v2=2.00m/s迎向运动，经过时间t=20.0s，两物块相碰，碰撞时间极短，碰后两者粘在一起运动．求从刚碰后到停止运动过程中损失的机械能．126818．(11分)磅秤由底座、载物平台Q、杠杆系统及砝码组成，如示为其等效的在竖直平面内的截面图．Q是一块水平放置的铁板，通过两侧的竖直铁板H和K、压在E、B处的刀口上．杠杆系统由横杆DEF、ABCF和竖杆CF、MP以及横杆MON组成．另有两个位于A、D处的刀口分别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、B、A、D在沿垂直于纸面的方向都有一定的长度，图中为其断面)．C、F、M、N、O、P都是是转轴，其中O被位于顶部并与磅秤底座固连在支架OL吊住，所以转轴O不能发生移动．磅秤设计时，已做到当载物平台上不放任何待称物品、游码S位于左侧零刻度处、砝码挂钩上砝码为零时，横梁MON处于水平状态，这时横杆DEF、ABCF亦是水平的，而竖杆CF、MP则是竖直的．当重为W的待秤物品放在载物平台Q上时，用W1表示B处刀口增加的压力，W2表示E处刀口增加的压力，由于杠杆系统的调节，横梁MON失去平衡，偏离水平位置．适当增加砝码G或移动游码S的位置，可使横梁MON恢复平衡，回到水平位置．待秤物品的重量(质量)可由砝码数值及游码的位置确定．为了保证待秤物品放在载物台上不同位置时磅秤都能显示出相同的结果，在设计时，AB、DE、AC、DF之间应满足怎样的关系？LNGOSMPDFCQKBAH6919．(11分)如图所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面(垂直于轴线)，另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一根很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射．当光从平端面射入棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a；当光线从球形端面射入棒内时，光线在棒内与轴线的的交点到球面的距离为b．试近似地求出玻璃的折射率n．20．(13分)光子不仅有能量，而且还有动量，频率为ν的光子能量为hν，动量为ch，式中h为普朗克常量，c为光速．光子射到物体表面时将产生压力作用，这就是光压．设想有一宇宙尘埃，可视为一半径R=10.0cm的小球，其材料与地球相同，它到太阳的距离与地球到太阳的距离相等．试计算太阳辐射对此尘埃作用力的大小与太阳对它万有引力大小的比值．假定太阳辐射射到尘埃时被尘埃全部吸收．已知：地球绕太阳运动可视为圆周运动，太阳辐射在单位时间内射到位于地地球轨道处的、垂直于太阳光线方向的单位面积上的辐射能S=1.37×103W·m2，地球到太阳中心的距离rec=1.5×1011m,地球表面附近的重力加速度g=10m·s-2，地球半径Re=6.4×106，引力恒量G=6.67×10-11N·m2·kg-2．7021．(16分)设空间存在三个相互垂直的已知场：电场强度为E的匀强电场，磁感应强度为B的匀强磁场和重力加速度为g的重力场．一质量为m、电荷量为q的带正电的质点在此空间运动，已知在运动过程中，质点速度大小恒定不变．(i)试通过论证，说明此质点作何运动(不必求出运动的轨迹方程)．(ii)若在某一时刻，电场和磁场突然全部消失，已知此后该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能(即电场和磁场刚要消失时的动能)的一半，试求在电场、磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的分量封存．71第25届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考答案及评分标准一、选择题(36分)答案：1．C、D，2．B、C，3．A、C、D，4．B，5．A、D，6．A．评分标准：每小题6分．全都选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．二、填空题及作图题答案及评分标准：7．1．9×105(8分)8．2(4分)、1312(4分)9．vn、vn-1、…、v3、v2、v1．(8分)10．(i)如图所示(8分)(ii)22m(3分)11．(1)振幅A=4cm(2分)(2)周期T=12s，或频率ν=121s-1(2分)(3)若波沿x轴方向转播，则此波可能的最大传播速度vm=32cm·s-1，其他可能的传播速度为1432scmnvn，n=1，2，3，…；此波可能的最大波长为λ=8cm，其它可能波长为nn4324cm，n=1，2，3，…（3分）(4)若波沿负x轴方向传播，则此波可能的最大传播速度vm=2cm·s-1，其它可能的传播3B2A2––A1B10O213-2-1-30-2-121-372速度为1412scmnvn，n=1，2，3，…；此波可能的最大波长为λ=24cm，其它可能波长为nn4124cm，n=1，2，3，…（3分）12．9×103（2分）0．058（6分）13．（6分）锯齿波的周期不正好等于正弦波周期的2倍，而是稍小一点．(4分)三、计算题14．参考解答：设电流表的量程为Ig，当电流表与定值电阻R0串联改装成电压表时，此电压表的内阻00RRRg⑴由于此电压表的量程U0=50V，故有00URIg⑵由⑴、⑵两式得A1011.130g0gRRUI⑶即电流表的量程为1mA．电流表改装成双量程电压表的电路如图所示，图中R1和R2是为把电流表改装成双量程电压表必须串联的电阻，其值待求．用1R表示电压表量程U01=5V挡的内阻，则有11RRRg⑷而011URIg⑸由⑶、⑸式得33011105105gIUR⑹A+5V10VRgR1R273同理得电压表量程U02=10V挡的内阻4302212100.11010ggIURRRR⑺设电源电动势为E，内阻为r，当用电压表量程为5V挡测电源两端的电压时，电压表的示数为U1，已知U1=4．50V，设此时通过电流表的电流为I1，有ErIU11⑻111RIU⑼当用电压表的10V挡测量该电源两端的电压时，电压表的示数为U2，已知U2=4．80V，设此时通过电流表的电流为I2，有ErIU22⑽222RIU⑾解⑻、⑼、⑽、⑾式，并注意到⑹、⑺式得E=5.14V⑿评分标准：本题14分．⑶式3分，⑹式2分，⑺式2分，⑻式、⑼式、⑽式、⑾式共4分，⑿式3分。15．参考解答：(i)当飞机作加速度大小为重力加速度g，加速度的方向竖直向下的运动时，座舱内的试验者便处于完全失重状态．这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动，也可以是斜抛运动．当进入试验速率和退出试验的速率确定后，飞机模拟前两种运动时，重时间长短都是一定的、不可选择的．当飞机模拟无阻力下的斜抛运动时，失重时间的长短与抛射角有关，可在一不范围内进行选择．考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动．设开始试验时飞机的初速度大小为v1，方向与水平方向成θ角，起始位置为A点，经做抛物线运动在B点退出试验，如图所示．以t表示试验经历的时间，在退出试验时的速率为v2，则有cos12vvx⑴gtvvysin12⑵而222222yxvvv⑶由⑴、⑵、⑶式得0sin22221122vvgtvtg⑷AyxθBv1v274解⑷式得gvvvvt)(sinsin21222211⑸由⑸式可知，当进入试验时，飞机的速度v1和退出飞机的速度v2确定以后，失重时间的长短可通过θ来调节．(ii)当θ=90°时，失重时间最长，由⑸式可求得最长失重时间st150max⑹当θ=－90°时，失重时间最短，由⑸式可求得最短失重时间st50min⑺失重时间的调节范围在50s到150s之间．评分标准：本题12分第(i)小问8分．指明斜抛运动得2分，求得⑸式并指出失重时间的长短可通过θ来调节得6分．第(ii)小问4分．求得⑹式得2分，求得⑺式得2分．16．参考解答：(i)月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为ωm，由万有引力定律和牛顿定律有memmemmermrmmG2⑴另有gRmGee2⑵月球绕地球一周的时间mmT2⑶解⑴、⑵、⑶三式得232eemmgRrT⑷代入有关数据得天4.271037.26sTm⑸75(ii)满月是当月球、地球、和太阳成一直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中A的位置．当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球位置已运动到A．若以mT表示相继两次满月经历的时间，e表示地球绕太阳运动的角速度，由于e和m的方向相同，故有memmTT2⑹而mmT2⑺eeT2⑻式中eT为地球绕太阳运动的周期，天365eT．由⑹、⑺、⑻三式得mememTTTTT⑼注意到⑸式，得天6.29mT⑽(iii)从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．当火箭离地球较近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的连线，设在地月间某一点处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小．以r表示到月球中心的距离，则有22rmmGrrmmGmeme⑾式中m为火箭的质量．由⑾式得02122ememmerrrrmm⑿解⑿式，注意到⑵式，代入有关数据，得AA'地地月月B76mr7108.3⒀从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达O点，则过O点后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到达月球，这样发射时火箭离开地面时的速度最小，它到达月球时的速度也最小．设火箭刚达到月球时的最小速度为v，则由机械能守恒定律有221mvRmmGRrmmGrmmGrrmmGmememememe⒁解得rRGmrrRrGmvmmemmeme112112⒂注意到⑵式，代入有关数据得13103.2smv⒃评分标准：本题12分．第(i)小问3分．求得⑷式得2分，求得⑸式得1分．第(ii)小问3分．求得⑼式得2分，求得⑽式得1分．第(iii)小问6分．⑾式2分，⒁式2分，⒃式2分．17．参考解答：因两物块与地面间的滑动摩擦系数相同，故它们在摩擦力作用下加速度的大小是相同的，以a表示此加速度的大小．先假定在时间t内，两块始终作减速运动，都未停下．现分别以s1和s2表示它们走的路程，则有21121attvs⑴22221attvs⑵而dss21⑶解⑴、⑵、⑶三式并代入有关数据得2/175.0sma⑷经过时间t，两物块的速度分别为atvv11⑸atvv22⑹77代入有关数据得sv/m5.61⑺sv/m5.12⑻2v是负值是不合理的，因为物块在摩擦力作用下作减速运动，当速度减少至零时，摩擦力消失，加速度不复存在，2v不可以为负．2v为负，表明物块2经历的时间小于t时已经停止运动，⑵式从而⑷、⑹、⑺、⑻式都不成立．在时间t内，物块2停止运动前滑行的距离应是avs2222⑼解⑴、⑼、⑶式，代入有关数据得2/20.0sma⑽由⑸、⑽式求得刚要发生碰撞时物块1的速度smv/0.61⑾而物块2的速度02v⑿设V为两物块相碰后的速度，由动量守恒有Vmmvm2111⒀刚碰后到停止运动过程中损失的机械能22121VmmE⒁由⒀、⒁式得，21212121mmvmE⒂代入有关数据得JE4.14⒃评分标准：本题12分．通过定量论证得到⑼式共4分，求得⑾式得4分，⒀式1分，⒁式1分，⒃式1分．18．参考解答：根据题意，通过通过增加砝码和调节游码的位置使磅秤恢复平衡，这时横梁MON、横杆ABCP、DEF以及载物台Q都是水平的，竖杆MP、CF都是竖直的．B、E处的刀口增加的压力分别为W1和W2，它们与待秤量的物体的重量W的关系为7821WWW⑴W1与W2之和是确定的，但W1、W2的大小与物品放置与载物台上的位置有关．对于横杆DEF，它在E点受到向下作用力（为了叙述简单，下面所说的作用力皆指载物后增加的作用力）的大小W2，设在F点受到向上的作用力的大小为2W，平衡时有DFWDEW22⑵对横杆ABCP，在B点受到向下作用力的大小为W1，在C点受到向下的作用力的大小为2W，设P点受到向上的作用力的大小为W3，平衡时有ACWABWAPW213⑶由以上三式得DFDEACABWDFDEACWAPW13⑷要使重物在平台上的位置不影响W3的大小，就必需要求W3与W1无关，即有0DFDEACAB⑸即AB、DE、DF应满足的关系为DFDEACAB⑹评分标准：本题11分．⑴式2分，⑵式2分，⑶式2分，⑷式3分，⑸式或⑹式2分．19．参考解答：入射的两条光线如图所示．1、1是从平端面入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角；2、2是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角．根据折射定律有11sinsinn⑴22sinsinn⑵由几何关系有baα1α1β2β1δ2δ179111⑶222⑷设球面的半径为R，注意到1、2、1、2都是小角度，故有11aR⑸22bR⑹根据题给的条件，⑴、⑵式可近似表示成11n⑺22n⑻由⑶式—⑻式得abn⑼评分标准：本题11分．⑴式1分，⑵式1分，⑶式1分，⑷式1分，⑸式1分，⑺式1分，⑻式1分，⑼式3分．20．参考解答：设宇宙尘埃的质量为m，太阳的质量为M，则太阳作用于尘埃的万有引力2ecrMmGf⑴设地球的密度为ρ，地球的质量为me，按题意有334Rm⑵334eeRm⑶另有gRmGee2⑷和eceecerTmrMmG22⑸80式中T为地球绕太阳作圆周运动的周期，ssT71015.3606024365．由⑴、⑵、⑶、⑷、⑸式得ecerTGRgRf232⑹太阳辐射中含有各种频率的光子，设单位时间内，射到尘埃所在处的与太阳辐射垂直的单位面积上频率为i的光子数为Ni，根据S的定义有iiihNS⑺光子不仅有能量，还具有动量．由题意可知频率为i的光子的动量chpii⑻光子射到尘埃表面被尘埃吸收，故光子作用于尘埃的冲量iipI⑼单位时间内射到尘埃单位面积上的各种频率的光子对尘埃的总冲量iiiiiipNINI⑽I也就是压强．由于尘埃表面是球面，球面上各部分并不都与太阳辐射垂直，但射到球面上的光辐射与射到与太阳辐射垂直的地球大圆表面上的光辐射是相等的，故太阳辐射作用于尘埃的力IRF2⑾由⑺式—⑾式得ScRF2⑿由于⑹式和⑿式得ecegRcrSTGRfF42⒀代入有关数据得6100.1fF⒁评分标准：本题13分．求得⑹式得4分，求得⑿式得7分，求得⒀式得1分，求得⒁式得1分．21．参考解答：81(i)在空间取如图所示的直角坐标Oxyz，Ox轴没电场方向，Oy沿磁场方向，Oz轴与重力方向相反．因为磁场作用于质点的洛伦兹力与磁场方向垂直，即在Ozx平面内；作用于质点的电场力和重力也在Oxz平面内，故质点在y方向不受力作用，其速度沿y方面的分速度的大小和方面是不变的．根据题意，质点速度大小是恒定不变的，而磁场作用于质点的洛伦兹力对质点不做功，故质点的速度沿垂直磁场方向的大小一定是恒定不变的，故此分速度必须与电场力和重力的合力垂直．由于电场力和重力的合力的方向是不变的，故此分速度的方向也是不变的．由此可得到结论：质点速度的方向也是不变的，即质点在给定的场中作匀速直线运动，其轨迹是直线，在Oxz平面内，与电场和重力的合力垂直．(ii)质点作匀速直线运动表明电场、磁场和重力场对质点作用力的合力等于0．设存在电场、磁场时质点的速度大小为0v，它在从标系中的三个分量分别为xv0、yv0、zv0，这也就是电场、磁场刚要消失时质点的速度在三个场方向的分量，以Fx、Fy和Fz分别表示F在坐标系中的分量，则有00BqvqEFzx⑴0yF⑵00BqvmgFxz⑶由⑴、⑶式得BEvx0⑷qBmgvz0⑸若知道了粒子的速度v0，粒子速度的y分量为20202020zxyvvvv⑹因电场和磁场消失后，粒子仅在重力作用下运动，任何时刻t质点的速度为xxvv0⑺yyvv0⑻OgxEBzy82gtvvzz0⑼当vx等于0时，粒子的动能最小，这最小动能2020min21yxkvvmE⑽根据题意有20min2121mvmEk⑾由⑽、⑾式得2020202yxvvv⑿由⑷、⑸、⑹、⑿各式得221mgqBqBv⒀评分标准：本题16分第(i)小问4分．通过论证得到质点作匀速直线运动的结论得4分．第(ii)小问12分．⑷式3分，⑸式3分，求得⒀式6分．83试卷答案重要勘误更正设电流表的量程为Ig，当电流表与定值电阻R0串联改装成电压表时，此电压表的内阻0g0RRR（1）由于此电压表的量程V500U，故有00gURI（2）由（1）、（2）两式得A1011.130g0gRRUI（3）即电流表的量程为1.11mA.电流表改装成的双量程电压表的电路如图所示，图中1R和2R是为把电流表改装成双量程电压表必须串联的电阻，其值待求.用1R表示电压表量程V501U挡的内阻，则有1g1RRR（4）而011URIg（5）由（3）、（5）式得Ω50.g011IUR（6）同理得电压表量程V1002U挡的内阻.9g0221g2IURRRR（7）设电源的电动势为E，内阻为r，当用电压表的5V挡测电源两端的电压时，电压表的示数为1U，已知V50.41U，设此时通过电压表的电流为1I，有ErIU11（8）111RIU（9）当用电压表的10V挡测量该电源两端的电压时，电压表的示数为2U，己知V80.42U，设此时通过电压表的电流为2I，有ErIU22（10）5V10VgR1R2RAA+84222RIU（11）解（8）、（9）、（10）、（11）式，并注意到（6）、（7）式得V14.5E（12）评分标准：本题14分.（3）式3分，（6）式2分，（7）式2分，（8）式、（9）式、（10）式、（11）式共4分，（12）式3分.85第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷1-5678总分910111213141516一、选择题．本题共5小题，每小题7分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的．把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得7分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．1．图中a、b和c、d分别是两个平行板电容器的极扳，E为电池，彼此相距较远．用导线将E的正极与a、c相连，将E的负极与b、d相连，待电容器充电后，去掉导线．这时已知a带的电荷量大于c带的电荷量，称此状态为原始状态．现设想用两根导线分别都从原始状态出发，进行以下两次连接：第一次用一根导线将a、c相连，用另一根导线将b、d相连；第二次用一根导线将a、d相连，用另一根导线将b、c相连，每次连接后都随即移去导线．下面哪种说法是正确的？hthfwq.cersp.netA．经过第一次连接，a、b间的电压下降，c、d间的电压上升http://hfwq.cersp.netB．经过第一次连接，a、b间和c、d间的电压都不变http://hfwq.cersp.netC．经过第二次连接，a、b间的电压和c、d间的电压中有一个上升，一个下降http://hfwq.cersp.netD．经过第二次连接，a、b间的电压和c、d间的电压都下降http://hfwq.cersp.net[]2．两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆，串联后接在某一直流电源两端，如图所示．已知杆a的质量小于杆b的质量，杆a金属的摩尔质量小于杆b金属的摩尔质量，杆a的电阻大于杆b的电阻，假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电子（载流子）．当电流达到稳恒时，若a、b内存在电场，则该电场可视为均匀电场．下面结论中正确的是http://hfwq.cersp.netA．两杆内的电场强度都等于零B．两杆内的电场强度都不等于零，且a内的场强大于b内的场强http://hfwq.cersp.netC．两杆内载流子定向运动的速度一定相等http://hfwq.cersp.netD．a内载流子定向运动的速度一定大于b内载流子定向运动的速度http://hfwq.cersp.net[]3．一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管，竖直插在水中，管的一部分在水面上．现用手指封住管的上端，把一定量的空气密封在玻璃管中，以V0表示其体积；然后把玻璃管沿竖直方向提出水面，设此时封在玻璃管中的气体体积为V1；最后把玻璃管在竖直平面内转过900，使玻璃管处于水平位置，设此时封在玻璃管中的气体体积为V2．则有A．V1>V0=V2http://hfwq.cersp.netB．V1>V0>V2http://hfwq.cersp.netC．V1=V2>V0http://hfwq.cersp.netD．V1>V0，V2>V0http://hfwq.cersp.net[]4．一块足够长的白板，位于水平桌面上，处于静止状态．一石墨块（可视为质点）静止在白板上．石墨块与白板间有摩擦，滑动摩擦系数为μ．突然，使白板以恒定的速度v0做匀速得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net86直线运动，石墨块将在板上划下黑色痕迹．经过某一时间t，令白板突然停下，以后不再运动．在最后石墨块也不再运动时，白板上黑色痕迹的长度可能是（已知重力加速度为g，不计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量）A．202vghttp://hfwq.cersp.netB．0vtC．2012vtgthttp://hfwq.cersp.netD．20vg[]5．如图1所示，一个电容为C的理想电容器与两个阻值皆为R的电阻串联后通过电键K连接在电动势为E的直流电源的两端，电源的内电阻忽略不计，电键K是断开的，在t=0时刻，闭合电键K，接通电路，在图2中给出了六种电压V随时间t变化的图线a、b、c、d、e、f，现从其中选出三种图线用来表示图l所示电路上1、2、3、4四点中某两点间的电压随时间t的变化，下面四个选项中正确的是A．a、b、fhttp://hfwq.cersp.netB．a、e、fhttp://hfwq.cersp.netC．b、d、ehttp://hfwq.cersp.netD．c、d、ehttp://hfwq.cersp.net[]二、填空题和作图题．把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．（8分）传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标，这严重影响了搜索的速度．现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达”，它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列成的天线阵，小天线发出相干的电磁波，其初相位可通过电子计算机调节，从而可改变空间干涉极强的方位，这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的作用．对下面的简单模型的研究，有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉极强方位的影响．http://hfwq.cersp.net图中a、b为相邻两个小天线，间距为d，发出波长为λ的相干电磁波．Ox轴通过a、b的中点且垂直于a、b的连线．若已知当a、b发出的电磁波在a、b处的初相位相同即相位差为O时，将在与x轴成θ角（θ很小）方向的远处形成干涉极强，现设法改变a、b发出的电磁波的初相位，使b的初相位比a的落后一个小量φ，结果，原来相干极强的方向将从θ变为θ＇，则θ－θ＇等于http://hfwq.cersp.net7．（8分）He一Ne激光器产生的波长为6.33×10-7m的谱线是Ne原子从激发态能级（用E1表示）向能量较低的激发态能级（用E2表示）跃迁时发生的；波长为3.39×10-6m的谱线是Ne原子从能级E1向能级较低的激发态能级（用E3表示）跃迁时发生的．已知普朗克常量h与光速c的乘积hc=1.24×10-6m·eV．由此可知Ne的激发态得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net87能级E3与E2的能最差为eV．http://hfwq.cersp.net8．（8分）一列简谐横波沿x轴负方向传播，传播速度v=200m/s．已知位于坐标原点（x=0）处的质元的振动图线如图1所示．试在图2中画出，t=4Oms，时该简谐波的波形图线（不少于一个波长）．9．（8分）图示为某一圆形水池的示意图（竖直截面）．AB为池中水面的直径，MN为水池底面的直径，O为圆形池底的圆心．已知ON为11.4m,AM、ＢＮ为斜坡，池中水深5.00m，水的折射率为4/3．水的透明度极好，不考虑水的吸收．图中a、b、c、d为四个发光点，天空是蓝色的，水面是平的．在池底中心处有一凹槽，一潜水员仰卧其中，他的眼睛位于O处，仰视水面的最大范围的直径为AB．http://hfwq.cersp.net（i）潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为（ii）四个发光点a、b、c、d中，其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛的是三、计算题．解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的．答案中必须明确写出数值和单位．10．（19分）试分析下面两个实验操作中的误差（或失误）对实验结果的影响．http://hfwq.cersp.net（i）用“插针法”测量玻璃的折射率时，要先将透明面平行的玻璃砖放置在铺平的白纸上，然后紧贴玻璃砖的两个透明面，分别画出两条直线，在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离．如果由于操作中的误差，使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离，问这样测得的折射率与实际值相比，是偏大，偏小，还是相同？试给出简要论证（ii）在用单摆测量重力加速度g时，由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内作圆周运动，如图所示．这时如果测出摆球作这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比，哪个大？试定量比较．net得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net8811．（18分）现有以下器材：电流表一只（量程适当．内阻可忽略不计．带有按钮开关K1，按下按钮，电流表与电路接通，有电流通过电流表，电流表显出一定的读数），阻值己知为R的固定电阻一个，阻值未知的待测电阻Rx一个，直流电源一个（电动势ε和内阻r待测），单刀双掷开关K一个，接线用的导线若干．http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net试设计一个实验电路，用它既能测量直流电源的电动势ε和内阻r，又能测量待测电阻的阻值Rx（注意：此电路接好后，在测量过程中不许再拆开，只许操作开关，读取数据）．具体要求：（i）画出所设计的电路图．http://hfwq.cersp.net（ii）写出测量ε、r和Rx主要的实验步骤．http://hfwq.cersp.net（iii）导出用已知量和实验中测量出的量表示的ε、r和Rx的表达式．http://hfwq.cersp.net12．（18分）一静止的原子核A发生α衰变后变成原子核B，已知原子核A、原子核B和α粒子的质量分别为mA、mB，和mα，光速为c（不考虑质量与速度有关的相对论效应）,求衰变后原子核B和α粒子的动能．http://hfwq.cersp.net13．（18分）近代的材料生长和微加工技术，可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内（二维）的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一样飞行，不受杂质原子射散的影响．这种特点可望有新的应用价值．图l所示为四端十字形．二维电子气半导体，当电流从l端进人时，通过控制磁场的作用，可使电流从2,3，或4端流出．对下面摸拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动．在图2中，a、b、c、d为四根半径都为R的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4，在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间（设为真空）存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸里．以B表示磁感应强度的大小．一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，在纸面内以速度v0沿与a、b都相切的方向由缝1射人磁场内，设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，也不受摩擦力作用．试求B为何值时，该粒子能从缝2处且沿与b、c都相切的方向射出．http://hfw得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net89q.cersp.net14．（20分）如图所示，M1N1N2M2是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨，导轨中接有阻值为R的电阻，它们的质量为m0．导轨的两条轨道间的距离为l，PQ是质量为m的金属杆，可在轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计．初始时，杆PQ于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B．现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上，使之从静止开始在轨道上向右作加速运动．已知经过时间t,PQ离开虚线的距离为x，此时通过电阻的电流为I0，导轨向右移动的距离为x0（导轨的N1N2部分尚未进人磁场区域）．求在此过程中电阻所消耗的能量．不考虑回路的自感．http://hfwq.cersp.net15．（20分）图中M1和M2是绝热气缸中的两个活塞，用轻质刚性细杆连结，活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的，M1是导热的，M2是绝热的，且M2的横截面积是M1的2倍．M1把一定质量的气体封闭在气缸的L1部分，M1和M2把一定质量的气体封闭在气缸的L2部分，M2的右侧为大气，大气的压强P0是恒定的．K是加热L2中气体用的电热丝．初始时，两个活塞和气体都处在平衡状态，分别以V10和V20表示L1和L2中气体的体积．现通过K对气体缓慢加热一段时间后停止加热，让气体重新达到平衡态，这时，活塞未被气缸壁挡住．加热后与加热前比，L1和L2中气体的压强是增大了、减小了还是未变？要求进行定量论证．http://hfwq.cersp.net得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net9016．（20分）一个质量为m1的废弃人造地球卫星在离地面h=800km高空作圆周运动，在某处和一个质量为m2＝m1/9的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动．碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km，其轨道和卫星轨道在同一平面内．已知质量为m的物体绕地球作椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和2MmEGahttp://hfwq.cersp.net，式中G是引力常量，M是地球的质量，a为椭圆轨道的半长轴．设地球是半径R=6371km的质量均匀分布的球体，不计空气阻力．http://hfwq.cersp.net（i）试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上．http://hfwq.cersp.net（ii）如果此事件是发生在北级上空（地心和北极的连线方向上），碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少？http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net得分阅卷复核http://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.nethttp://hfwq.cersp.net91第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题．（共35分）http://hfwq.cersp.n答案：http://hfwq.cersp.n1．B,D2．B3．A4．A,C5．A,Bhttp://hfwq.cersp.n评分标准：每小题7分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的．全部选对的得7分．选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．http://hfwq.cersp.n二、填空题和作图题．共32分，每小题8分．按各小题的答案和评分标准给分．http://hfwq.cersp.n6．答案与评分标准：2d（8分）http://hfwq.cersp.n7．答案与评分标准：1.59（8分）8．答案：评分标准：8分．有任何错误都给0分．http://hfwq.cersp.n9．答案与评分标准：http://hfwq.cersp.n（i）97.20(4分）（ii）c、d（两个都对得4分，只填一个且正确得2分，有填错的得0分）10．参考解答：http://hfwq.cersp.n（i）以两条实线代表在白纸上所画出的直线，以两条虚线代表玻璃砖的两个透明面，根据题意，实线间的距离大于虚线间的距离，如图所示．根据实线位置定出的折射角为γ，按实际的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为γ＇，由图知http://hfwq.cersp.nγ>γ＇(l)http://hfwq.cersp.n由折射定律sini=nsinγ(2)http://hfwq.cersp.n令入射角i相等，当折射角偏大时，测出的折射率将偏小．（ii）以l表示摆长，θ表示摆线与竖直方向的夹角，m表示摆球的质量，F表示摆线对摆球的拉力，T表示摆球作题图所示运动的周期．有22sinsin()FmlT(l)http://hfwq.cersp.ncosFmg(2)http://hfwq.cersp.n由（l）、（2）式得cos2lTg(3)http://hfwq.cersp.n92而单摆的周期公式为2lTghttp://hfwq.cersp.n即使在单摆实验中，摆角很小，θ<50，但cosθ<l，这表示对于同样的摆长l，摆球在水平面内作圆周运动的周期T小于单摆运动的周期T＇，所以把较小的周期通过（4）求出的重力加速度的数值将大于g的实际值．评分标准：本题19分．第（i）小题9分．得到（l）式给4分，得到正确结论给5分．只有结论给0分．第（ii）小题10分．得到（3）式给5分，得到正确结论给5分．只有结论给0分．11．参考解答：http://hfwq.cersp.n解法一（i）电路如右图所示，http://hfwq.cersp.n（ii）实验步骤：（1）将单向双掷开关K置于空位，按所设计的电路图接线．（2）按下电流表上的按钮开关K1，读下电流表的示数I1．（3）将K打向左侧与a接通，读下电流表的示数12．（4）将K打向右侧与b接通，读下电流表的示数13．http://hfwq.cersp.n（iii）由欧姆定律有11IRIr（1）22xxRRIrIRR（2）http://hfwq.cersp.n33xxxIRIRRRrRR（3）解以上三式得23121()IIIRII（4）1321()IIRrII（5）323xIRRII（6）评分标准：本题18分．第（i）小题9分．若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分．第（ii）题3分．在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分．第（iii）题6分．（4）、（5）、（6）式各2分．http://hfwq.cersp.n解法二http://hfwq.cersp.n（i）电路如右图所示．http://hfwq.cersp.n（ii）实验步骤：（1）将单向双掷开关K置于空位，按所设计的电路图接线．93（2）按下电流表上的按钮开关K1，读下电流表的示数I1．（3）将K打向左侧与a接通，读下电流表的示数I2．（4）将K打向右侧与b接通，读下电流表的示数13．http://hfwq.cersp.n（iii）由欧姆定律有1()xIRRr（1）2()IRr（2）http://hfwq.cersp.n3()xIRr（3）解以上三式得1331IIRII（4）http://hfwq.cersp.n121323231()IIIIIIrRIII（5）321231()()xIIIRRIII（6）评分标准：本题18分．第（i）小题9分．若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分．第（ii）题3分．在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分．第（iii）题6分．（4）、（5）、（6）式各2分．12．参考解答：设α粒子速度的大小为vα，原子核B速度的大小为vB，在衰变过程中动量守恒，有mαvα+mBvB=0(1)衰变过程中能量守恒，有http://hfwq.cersp.n222221122ABBBmcmvmvmcmc（2）解（l）、（2）二式得221()2BBABBmmvmmmcmm（3）221()2BABBmmvmmmcmm（4）评分标准：本题18分．（1）式4分，（2）式8分，（3）、（4）各3分．13．参考解答：解法一http://hfwq.cersp.n在图中纸面内取Oxy坐标（如图），原点在狭缝l处，x轴过缝1和缝3．粒子从缝1进人磁场，在洛仑兹力作用下作圆周运动，圆轨道在原点与x轴相切，故其圆心必在y轴上．若以r表示此圆的半径，则圆方程为x2+(y－r)2=r2（1）根据题的要求和对称性可知，粒子在磁场中作圆周运动时应与d的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为94x=2R－Rsin450（2）y=R－Rcos450（3）由（l）、（2）、（3）式得r=3R（4）由洛仑兹力和牛顿定律有200vqvBmr（5）由（4）、（5）式得03mvBqR（6）评分标准：本题18分．（1）、（2）、（3）式各4分，（4）、（5）、（6）式各2分．解法二如图所示，A为a、b两圆圆心的连线与缝l的交点，F为c、d两圆圆心的连线与缝3的交点．从1缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱d的表面发生弹性碰撞后，反弹进人缝2，这个过程一定对连结b、d两圆圆心的直线OP对称，故直线OP与d圆的交点C必是碰度点．由于粒子在磁场中做圆运动过A点，因此这个轨道的圆心必在过A点并垂直于AF的直线AE上；同时这个轨道经过C点，所以轨道的圆心也一定在AC的垂直平分线DE上．这样AE与DE的交点E就是轨道的圆心，AE就是轨道的半径r．过C点作AF的垂线与AF交于H点，则AHCEDA∽http://hfwq.cersp.n有ACrADHC（1）由图可知22HCRR（2）http://hfwq.cersp.n222AHRR（3）22ACAHHC（4）12ADAC（5）由以上各式得r=3R（6）由洛仑兹力和牛顿定律有200vqvBmr（7）得到03mvBqR（8）评分标准：本题18分．（1）式8分，（2）、（3）（4）、（5）式各1分，（6）、（7）、（8）式各1分．14．参考解答：杆PQ在磁场中运动时，受到的作用力有：外加恒力F，方向向右；磁场的安培力，其95大小FB=BIl，方向向左，式中I是通过杆的感应电流，其大小与杆的速度有关；摩擦力，大小为Fμ，方向向左．根据动能定理，在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能，即有212BFFFWWWmv（1）式中v为经过时间t杆速度的大小，WF为恒力F对杆做的功，WF安为安培力对杆做的功，WFμ为摩擦力对杆做的功．恒力F对杆做的功WF=Fx（2）因安培力的大小是变化的，安培力对杆做的功用初等数学无法计算，但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗的能量，若以ER表示电阻所消耗的能量，则有－WF安=ER（3）摩擦力Fμ是恒力，它对杆做的功WFμ=－Fμx（4）但Fμ未知．因U型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动，若其加速度为a，则有Fμ=m0a（5）而a=2x0/t2（6）由（4）、（5）、（6）三式得0022FxxWmt（7）经过时间t杆的速度设为v，则杆和导轨构成的回路中的感应电动势ε=Blv（8）根据题意，此时回路中的感应电流0IR（9）由（8）、（9）式得0IRvBl（10）由（l）、（2）、（3）、（7）、（10）各式得220002221(2)2RxIREFmxmtBl（11）评分标准：本题20分．（1）式3分，（2）式l分，（3）式4分，（7）式4分，（10）式5分，（11）式3分．15．参考解答：解法一用n1和n2分别表示L1和L2中气体的摩尔数，P1、P2和V1、V2分别表示L1和L2中气体处在平衡态时的压强和体积，T表示气体的温度（因为M1是导热的，两部分气体的温度相等），由理想气体状态方程有p1V1=n1RT（1）P2V2=n2RT（2）式中R为普适气体常量．若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象，处在平衡状态时有p1S1－p2S1+p2S2－p0S2=0（3）已知S2=2S1（4）96由（3）、（4）式得p1+p2=2p0（5）由（l）、（2）、（5）三式得1022111222npVnpnVVn（6）若（6）式中的V1、V2是加热后L1和L2中气体的体积，则p1就是加热后L1中气体的压强．加热前L1中气体的压强则为10202101102022npVnpnVVn（7）设加热后，L1中气体体积的增加量为△V1，L2中气体体积的增加量为△V2，因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M2的横截面积是M1的2倍，故有△V1=△V2=△V（8）加热后，L1和L2中气体的体积都是增大的，即△V>0.[若△V<0，即加热后，活塞是向左移动的，则大气将对封闭在气缸中的气体做功，电热丝又对气体加热，根据热力学第一定律，气体的内能增加，温度将上升，而体积是减小的，故L1和L2中气体的压强p1和p2都将增大，这违反力学平衡条件（5）式］于是有V1=V10+△V（9）V2=V20+△V（10）由（6）、（7）、（9）、（10）四式得10102021101110201020222()[()]()npVVVnppnnVVVVVVnn（11）由（11）式可知，若加热前V10=V20，则p1＝p10，即加热后p1不变，由（5）式知p2亦不变；若加热前V10＜V20，则p1<p10，即加热后P1必减小，由（5）式知P2必增大；若加热前V10＞V20,则p1>p10，即加热后p1必增大，由（5）式知p2必减小．评分标准：本题20分．http://hfwq.cersp.n得到（5）式得3分，得到（8）式得3分，得到（11）式得8分，最后结论得6分．解法二http://hfwq.cersp.n设加热前L1和L2中气体的压强和体积分别为p10、p20和V10、V20，以pl、p2和V1、V2分别表示加热后L1和L2中气体的压强和体积，由于M1是导热的，加热前L1和L2中气体的温度是相等的，设为T0，加热后L1和L2中气体的温度也相等，设为T．因加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态，注意到S2=2S1，力学平衡条件分别为p10+p20=2p0（1）p1+p2=2p0（2）由（l）、（2）两式得p1－p10=－(p2－p20)（3）根据理想气体状态方程，对L1中的气体有1110100pVTpVT（4）97对L：中的气体有2220200pVTpVT（5）由（4）、（5）两式得112210102020pVpVpVpV（6）（6）式可改写成11011022022010102020(1)(1)(1)(1)ppVVppVVpVpV（7）因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M2的横截面积是M1的2倍，故有V1－V10=V2－V20（8）把（3）、（8）式代入（7）式得11011011011010102020(1)(1)(1)(1)ppVVppVVpVpV（9）若V10=V20，则由（9）式得p1=p10，即若加热前，L1中气体的体积等于L2中气体的体积，则加热后L1中气体的压强不变，由（2）式可知加热后L2中气体的压强亦不变．若V10<V20，则由（9）式得p1<p10，即若加热前，L1中气体的体积小于L2中气体的体积，则加热后L1中气体的压强必减小，由（2）式可知加热后L2中气体的压强必增大．若V10>V20，则由（9）式得p1>p10，即若加热前，L1中气体的体积大于L2中气体的体积，则加热后L1中气体的压强必增大，由（2）式可知加热后L2中气体的压强必减小．评分标准：本题20分．得到（l）式和（2）式或得到（3）得3分，得到（8）式得3分，得到（9）式得8分，最后结论得6分．16．参考解答：http://hfwq.cersp.n（i）图1为卫星和碎片运行轨道的示意图．以v1表示碰撞前卫星作圆周运动的速度，以M表示地球E的质量，根据万有引力定律和牛顿定律有21112()MmvGmRhRh（1）式中G是引力常量．由（l）式得1GMRGMvRhRhR（2）http://hfwq.cersp.n以v2表示刚要碰撞时太空碎片的速度，因为与卫星发生碰撞时，碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离，根据题意，太空碎片作椭圆运动的总能量22222122MmMmmvGGRha（3）式中a为椭圆轨道的半长轴．由（3）式得222GMGMRRGMvRhaRhaR（4）卫星和碎片碰撞过程中动量守恒，有98m1v1－m2v2=(m1+m2)v（5）这里v是碰后二者结合成的物体（简称结合物）的速度．由（5）式得112212mvmvvmm（6）由（2）、（4）、（6）三式并代人有关数据得0.7520GMvR（7）结合物能否撞上地球，要看其轨道（椭圆）的近地点到地心的距离rmin，如果rmin<R，则结合物就撞上地球．为此我们先来求结合物轨道的半长轴a'．结合物的总能量2121212()()1()22MmmMmmGmmvGaRh（8）代人有关数据得a'=5259km（9）结合物轨道的近地点到地心的距离rmin=2a'－（R+h）=3347km<R（10）据此可以判断，结合物最后要撞上地球．（ii）解法一在极坐标中讨论．取极坐标，坐标原点在地心处，极轴由北极指向南极，如图2所示．碰撞点在北极上空，是椭圆轨道的远地点，结合物轨道的椭圆方程1cospre（11）式中e是偏心率，p是椭圆的半正焦弦，远地点到地心的距离rmax=R+h（12）由解析几何有maxmin(0.3635)2rrea（13）在轨道的近地点，r=rmin，θ=0，由（11）式得p=rmin(1+e)(=4563km)（14）或有p=rmax(1－e)（15）在结合物撞击地球处；r=R，由（11）式有1cospRe（16）或cospReR（17）代人有关数据可得cosθ=－0.7807（18）θ=141.320（19）这是在北纬51.320．评分标准：本题20分．第（i）小题12分．（1）或（2）、（3）或（4）、（5）或（6）式各2分，（8）式3分，99（10）式3分．第（ii）小题8分．（11）、（12）、（13）、（14）或（15）、（16）或（17）式各l分，（19）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给l分．解法二在直角坐标中讨论．取直角坐标系，以椭圆的对称中心为坐标原点O,x轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点，如图3所示．结合物轨道的椭圆方程是22221xyab（20）式中a＇、b＇分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴．远地点到地心的距离rmax=R+h（21）根据解析几何，若c为地心与坐标原点间的距离，c=rmax－a＇(=1912km)（22）而22bac（23）注意到a＇由（9）式给出，得b＇=4899km（24）结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点，设该处的坐标为xp和yp，则有xp=Rcosθ+c（25）yp=Rsinθ（26）式中θ为从地心指向撞击点的矢经与x方向的夹角．因撞击点在结合物的轨道上，将（24）、（25）式代入轨道方程（20）式，经整理得222222222()cos2cos0RbabcRabaR（27）引人以下符号并代人有关数据得22211()(148410)Rbakmhttp://hfwq.cersp.n2112(584610)bcRkmht22222211(546510)bcabaRkmhttp://hfwq.cersp.n代入（27）式得2coscos0（28）解得24cos2（29）舍掉不合理的答案，得cosθ=－0.7807（30）θ=141.320（31）这是在北纬51.320．评分标准：http://hfwq.cersp.n（20）、（21）、（22）、（23）或（24）、（27）式各l分，（31）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给1分．http://hfwq.cersp.n100第27届全国中学生物理竞赛预赛试卷1-78910总分加分人1112131415161718得分阅卷复核一、选择题．本题共7小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是符合题意的，有的小题有多项是符合题意的．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小置后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．若质点作直线运动的速度。随时间，变化的图线如图'所示，则该质点的位移3（从t=0开始）随时间t变化的图线可能是图2中的哪一个？[]2．烧杯内盛有0℃的水，一块0℃的冰浮在水面上，水面正好在杯口处．最后冰全部熔解成0℃的水．在这过程中A．无水溢出杯口，但最后水面下降了B．有水溢出杯口，但最后水面仍在杯口处C．无水溢出杯口，水面始终在杯口处D．有水溢出杯口，但最后水面低于杯口[]3．如图所示，a和b是绝热气缸内的两个活塞，他们把气缸分成甲和乙两部分，两部分中都封有等量的理想气体．a是导热的，其热容量可不计，与气缸壁固连．b是绝热的，可在气缸内无摩擦滑动，但不漏气，其右方为大气．图中k为加热用的电炉丝，开始时，系统处于平衡状态，两部分中气体的温度和压强皆相同，现接通电源，缓慢加热一段时间后停止加热，系统又达到新的平衡。则A．甲、乙中气体的温度有可能不变B．甲、乙中气体的压强都增加了C．甲、乙中气体的内能的增加量相等D．电炉丝放出的总热量等于甲、乙中气体增加内能的总和[]4．一杯水放在炉上加热烧开后，水面上方有“白色气”；夏天一块冰放在桌面上，冰的上方也有“白色气”．A．前者主要是由杯中水变来的“水的气态物质”B．前者主要是由杯中水变来的“水的液态物质”C．后者主要是由冰变来的“水的气态物质“D．后者主要是由冰变来的“水的液态物质”[]1015．如图所示，电容量分别为C和2C的两个电容器a和b串联接在电动势为E的电池两端充电，达到稳定后，如果用多用电表的直流电压档V接到电容器a的两端（如图），则电压表的指针稳定后的读数是A．E/3B．2E/3C．ED．0[]6．已知频率为v、波长为λ的光子的能量E=hv，动量hP，式中h为普朗克常量，则光速c可表示为A．PEB．EPC．EPD．22EP[]7．某种核X经过α衰变后变为核Y，再经过β衰变后变为核Z，即ceaαβdfbXYZ，下列关系中正确的是A．a=e+4B．a=eC．d=f-1D．b=f+2[]二、填空题．把答案填在题中的横线上或题中指定的地方，只要给出结果，不需写出求得结果的过程．得分阅卷复核8．（12分）选择合适的卫星发射地发射卫星，对提高运载效率、节省燃料等方面都有影响（特别是对同步卫星的发射）．如果在地球表面纬度为甲处发射一颗绕地球表面运行的人造卫星，假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球自转的角速度为ω，地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，卫星质量为m，则至少要给卫星的能量为___________．设重力加速度g=9.80m/s2，地球半径R=6.40×106m，卫星质量m=1.00×103kg，若发射地在酒泉，其纬度为北纬40度58分，则所需的能量为________________J；若发射地在文昌，其纬度为北纬19度19分，则所需的能量为__________J．得分阅卷复核9．（18分）图中所示为一球心在O点的不带电的固定的导体球，A、B、C是球外三点，与球心O在同一平面内，三点的位置使OAB和OBC皆为等边三角形．当把一表面均匀带正电的塑料小球的球心放在A点时（如图所示），已知此时A、B、C三点的电势分别为UA、UB、UC．现把另外两个与放在A点的小球完全相同的带正电的塑料小球的球心分别放在B点和C点，已知导体球上感应电荷的分布可看作是各塑料小球单独存在时所产生感应电荷分布的叠加．此时，BA两点间的电势差BAU'U'=__________，BC两点间的电势差BCU'U'=___________，AC两点间的电势差ACU'U'=___________．如果在上面的情况下，把导体球移到电场以外，则BA两点间的电势差将（填增大、减小或不变）_______，BC两点间的电势差将（填增大、减小或不变）______，AC两点间的电势差将（填增大、减小或不变）__________．102得分阅卷复核10．（10分）用图示电路测得的数据可画出小灯泡的伏安特性图线．小灯泡工的额定功率为3.6W，额定电压为6V．电源E的电动势为10V，内阻忽略不计，滑动电阻器R的全电阻约为200Ω．通过调节滑动变阻器，可以调节通过L的电流，电流I由电流表A读出，灯泡两端的电压U由电压表V读出，根据测量数据可在方格纸上画出在测量范围内小灯泡灯丝的伏安特性图线，所画出的图线可能是下图中的哪一个？答（用图线下面的英文字母表示）____________．得分阅卷复核11．（12分）图1中的M、N为处在匀强磁场中的两条位于同一水平面内的平行长导轨，一端串接电阻R，磁场沿竖直方向．ab为金属杆，可在导轨上无摩擦滑动，滑动时保持与导轨垂直，杆和导轨的电阻都不计．现于导轨平面内沿垂直于ab方向对杆施一恒力F，使杆从静止出发向右运动．在以后的过程中，杆速度的大小v、加速度的大小a、力F冲量的大小I、以及R上消耗的总能量E随时间t变化的图线，分别对应于图2中哪一条图线？把代表该物理量的符号填在你所选定图线纵坐标处的方框中．得分阅卷复核12．（9分）右图为“用双缝干涉测量光的波长”实验装置的示意图．图中S0为狭缝，S1、S2为双狭缝，S为观察屏．当用单色光（以表示其波长）从左方照射狭缝S0时，由双狭缝S1、S2射出的光是相干光，可在观察屏S上出现明暗相间的干涉条纹，若屏S上的P点是某一暗条纹的中心，已知P点到S1的距离为1r，则P点到缝S2是的距离2r=___________________________．为了求出波长，实验中应测量的物理量是_____________________________________________．若实验装置中单缝、双狭缝和屏的位置都不变，只是入射光第一次为红光，第二次为蓝光，则第二次观察到的干涉条纹与第一次比，不同之处除了条纹的颜色外，还有________________．103得分阅卷复核13．（8分）光通过光纤长距离传输时，因损耗而要衰减，故必须在途中设立“中继站”进行放大．现代采用直接放大即全光型放大，它可使传输速率大大提高，其办法是在光纤中掺入饵．饵离子的能级如图所示．其中标为413/2I的能级是亚稳态能级，粒子处在这能级可以持续一段时间而不立即向较低能级跃迁，可用半导体激光器产生的波长为0.98μm激光照射，把处于基态能级415/2I的粒子激发到标为411/2I的能级，再通过“无辐射跃迁”跃迁到亚稳态能级413/2I，从而使该能级积聚粒子数远超过处于基态的粒子数，当光纤中传输的波长为1.55μm的光波传入掺铒的光纤时，能使大量处在亚稳态能级的粒子向基态跃迁，发出波长为1.55μm的光波，于是输出的光便大大加强，实现了全光型中继放大．若普朗克常量h与光速c的乘积hc=1.99×10-25J·m，则无辐射跃迁中一个铒粒子放出的能量等于_______________J．三、计算题．解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．得分阅卷复核14．（13分）假设把地球大气等效于一个具有一定厚度和折射率均匀的透光气体球壳，其折射率取n=1.00028．把地球看作为圆球，当太阳在地球某处正上方时，该处的观察者看太阳时的视角比太阳对观察者所在处的张角相差多少？已知太阳半径Rs=6.96×100８m，日地距离11E1.5010mr．得分阅卷复核15．（18分）一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定，下端连一质量为m的物块A，A放在托盘B上，以N表示B对A的作用力，x表示弹簧的伸长量．初始时全都静止，弹簧处于自然状态，x=0．现设法控制B的运动，使A匀加速下降，以a表示其加速度，考察能保持A匀加速下降的整个过程．ⅰ．试求N随x的变化关系式，并画出当a趋近于0和a等于12g时N随x变化的图线（g为重力加速度）．ⅱ．求各种能量在所考察的整个过程中的终态值和初态值之差．104得分阅卷复核16．（18分）在图所示的装置中，离子源A可提供速度很小的正离子（其速度可视为0），经加速电压加速后从S点进入匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外，虚线框为磁场区域的边界线，在磁场作用下，离子沿半个圆周运动后射出磁场，射出点P到S的距离用x表示．ⅰ．当离子源提供的是单一种类的第一种离子时，P到S的距离为x1，当离子源提供的是单一种类的第二种离子时，P到S的距离为x2，已知12xx．试求这两种离子在磁场中运动时间t1和t2的比值t1/t2．ⅱ．若离子源A提供的是由++4+HDHe、、和+2H混合而成的多种离子，又通过速度选择器使各种离子的速率都为v，当这些离子从S点进入匀强磁场后，从磁场射出时可分离出哪几种离子束？若v=2.0×106m/s，B=0.50T，基本电量e=1.60×10-19C，质子质量Pm=1.68×10-27kg，试求各种离子的射出点P到S的距离．105得分阅卷复核17．（20分）可以近似认为地球在一个半径为R的圆轨道上绕日公转，取日心参考系为惯性系，地球公转周期即一年为T=365.2564日，地球自转周期为t．地球上的人连续两次看见太阳在天空中同—位置的时间间隔tE为一个太阳日，简称一日，即24小时．假设有某种作用，把地球绕日公转的圆轨道半径改变为R'，但未改变地球自转周期．设经过这样改变后，地球公转一个周期即新的一年刚好是360新日，试问ⅰ．这新的一日的时间是多少小时（按改变前的小时计）？ⅱ．这新的一年应该是多少小时，才能使得新的一年刚好是360新日？ⅲ．这个改变前后，系统的能量差是地球现在公转动能的百分之多少？得分阅卷复核18．（20分）超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速，再通过流速来确定流量的仪器．一种超声波流量计的原理示意如图所示．在充满流动液体（管道横截面上各点流速相同）管道两侧外表面上P1和P2处（与管道轴线在同一平面内），各置一超声波脉冲发射器T1、T2和接收器R1、R2，位于P真处的超声波脉冲发射器y真向被侧液体发射超声脉冲，当位于P2处的接收器R2接收到超声脉冲时，发射器T2立即向被测液体发射超声脉冲。如果知道了超声脉冲从P1传播到P2所经历的时间t1和超声脉冲从Pi传播到P1所经历的时间t2，又知道了P1、P2两点的距离l以及l沿管道轴线的投影b，管道中液体的流速u便可求得．试求u．106第27届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题．答案：1．B2．C3．C4．B5．D6．B7．A，B，C评分标准：全题42分，每小题6分．每小题中全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．二、按各小题的答案和评分标准给分．8．21(cos)2mRgR（6分）．2.85×1010（3分）；2.80×1010（3分）9．UB-UC（4分），UB-UC（4分），0（4分）增大（2分），增大（2分），不变（2分）．10．答案：E（10分）11．12．11(21),0,1,2,32rkk…（3分）．双狭缝S1中心岛S2中心的距离，观察屏到双狭缝的距离，相邻两亮纹或暗纹间的距离．（3分）．条纹间的距离变小．（3分）13．7.48×10-20（3分）三、计算题14．参考解答：当太阳在观察者正上方时，观察者看太阳时的视角以2θ1表示，太阳对观察者所在处的张角107以2θS表示，θS和θ1，也就是太阳边缘发出的光线经过大气层表面时的入射角和折射角．如图所示，这两个角度都很小，所以折射定律可以写成1Sn（1）其中=SSERr（2）所以观察者看太阳时的视角与太阳对观察者所在处张角之差为22IS（3）由（1）、（2）、（3）式得sE21Rnnr（4）代入数据得62.6010（5）评分标准：本题13分．（l）式5分，（2）式4分，（4）式2分，（5）式2分．15．参考解答：ⅰ．当A开始作匀加速运动后，有mgNkxma（1）式中a>0．由（1）式得()Nmgakx（2）（2）式便是N随x变化的关系式，它表明N与x成线性关系，直线的斜率决定于弹簧的劲度系数k，截距则与加速度的大小有关．由（2）式，当x=0时，N有最大值，它就是在纵坐标轴上的截距，即max()Nmga（3）maxN与a有关。当a趋向于0时，maxNmg；当12ag时，max12Nmg。当N=0时，x有最大值，它就是在横坐标轴上的截距，即max()mxgak（4）maxx与a有关．当a趋近于0时，max1=xmgk；当12ag时，max1 2mgxk．由此可得N与108x的图线如图所示．ⅱ．在所考察的过程中，弹簧的弹性势能为2112Ekx（5）整个过程中弹性势能的终态值和初态值之差22211()22mEkxgak（6）取x=0为重力势能的0点，则在所考察的过程中，重力势能为2Emgx（7）整个过程中重力势能的终态值和初态值之差22max()mgEmgxgak（8）设整个过程中物块A动能的终态值和初态值之差为E3，由功能关系有123WEEE（9）式中W是所考察过程中B对A的作用力N所傲的功，由N~x图线有22maxmax11()22mgaWNxk（10）由（6）、（8）、（9）、（10）各式得23()maEgak（11）评分标准：本题18分第ⅰ小问10分，求得（2）式给5分，图线正确（正确标出每条直线在纵、横坐标轴上的截距）给5分．第ⅱ小问8分，求得（6）式给2分，求得（8）式给2分，求得（11）式给4分．16．参考解答：ⅰ．设加速电压为U，电荷量为q、质量为m的粒子加速获得的速度为v，由能量关系，有212qUmv（1）粒子进入磁场，在磁场的洛伦兹力作用下作圆周运动，设磁场的磁感应强度为B，圆周的半径为R，有2vqvbmR（2）由圆周运动周期的定义和（2）式可得2TqBm（3）设这两种离子的电荷量分别为1q和2q，质量分别为1m和2m，进入磁场时的速度分别为1v和2v，根据题意有1122xRxR（4）1122tTtT（5）109由以上有关各式得212tt（6）ⅱ．离子束射出点P到S点的距离为2R，由（2）式可知2vxqBm（7）x取决于离子的电荷量与质量的比值．可以看出，氘核（D+）与氢分子离子（H2+）的电荷量与质量的比值相同，他们将从同一点射出磁场，这两种离子束不能被磁场分开，而质子（+H）与氦离子（4+He）的电荷量与质量的比值不相同，也与氘核和氢分子离子的不同，他们将从不同点射出磁场，可以单独分离出来．故可获得质子束流、氮离子束流、氘核与氢分子离子混合的束流，共三种束流．把有关数据代入（7）式得+H8.4cmx（8）D+17cmx（9）4+He34cmx（10）+2H=17cmx（11）评分标准：本题18分．第ⅰ小问10分．（l）、（2）、（3）式各2分，求得（6）式给4分．第ⅱ小问8分．正确指出可分离出三种束流给4分，（8）、（9）、（10）、（11）式各1分．17．参考解答：ⅰ．由于地球除自转以外还有公转，当经过时间tE，从日心惯性系来看，地球已转过一周多了，如图所示．t、tE、T应有以下关系EE222tttT（1）解得E111ttT（2）因tE=24h，T=365.2564×24h，代入（2）式得23.93450ht（3）当地球公转的轨道半径改变为R'后，周期相应改变为T'，根据题意，地球在日心惯性系中110的自转周期仍为t，而T'=360Et'，Et'为新的一个太阳日，即新的一日，由（2）式得EEET't'T'ttt'T't'T't或（4）代入有关数据得E=24.00098ht'（5）ⅱE360=8640.353hT't'（6）ⅲ．当地球绕太阳作圆周运动时有22=MmvGmRR（7）其中G为万有引力恒量，M为太阳质量，m为地球质量，v为地球公转速率．由此可得地球的动能k12MmEGR（8）地球的引力势能pMmEGR（9）地球的总能量kp12MmEEEGR（10）当地球公转的轨道半径改变为R'时，地球的总能量1'2'MmEGR（11）轨道半径改变前后的能量差为111'12'2'GMmREEGMmRRRR（12）由开普勒第三定律有2323TRT'R'（13）由（8）、（12）、（13）各式得2/3k2/31TE'EET'（14）代入有关数据得k0.971'100EEE（15）评分标准：本题20分．第ⅰ小问10分．求得（2）式给4分，求得（4）式给4分，（5）式2分第ⅱ小问2分．（6）式2分，第ⅲ小问8分．求得（10）式2分，求得（12）式2分，（13）式2分，求得（15）式2分．18．参考解答：解法一111声波的传播速度是声波相对媒质的速度．以1c表示由发射器T1向管道中液体发射的超声脉冲相对液体的速度，其大小为c；u表示液体的流速，方向沿管道向右；以1v表示超声脉冲相对管道的速度，其方向沿P1、P2的连线，由P1指向P2，如图1所示．根据速度叠加原理，有11vcu（1）以α表示P1、P2的连线与管道轴线的夹角，根据（1）式和图1可得222112cos()cvuvu（2）即222112cos()0vuvcu（3）解得222212cos4cos+4()2uucuv（4）发射器T1向管道中液体发射的超声脉冲传播到接收器R2所需的时间11ltv（5）以2c表示由发射器T2向管道中液体发射的超声脉冲相对液体的速度，其大小为c；以1u表示液体的流速，方向沿管道向右；以2v表示超声脉冲相对管道的速度，其方向沿P2、P1的连线，由P2指向P1，如图2所示．根据速度叠加原理，有22vcu（6）根据（6）式和图2可得112222222coscvuvu（7）即222222cos()0vuvucu（8）解（8）式得222222cos4cos+4()2uucuv（9）发射器T2向管道中液体发射的超声脉冲传播到接收器R1所需的时间22ltv（10）由（5）、（10）式有212111vvttl（11）把（4）、（9）式代入（11）式，得21112cosuttl（12）注意到cos=bl（13）得2211112luttb（14）评分标准：本题20分求得（4）式给5分，（5）式1分；求得（9）式给5分，（10）式1分；（11）式4分，（14）式4分．解法二由于cu，可以近似求得超声波由P1到P2的传播时间和由P2到P1的传播时间分别为1cosltcu（1）2+cosltcu（2）其中α是P1、P2连线与管道轴线的夹角．由（1）、（2）两式得21112cosuttl（3）注意到cos=bl（4）得2211112luttb（5）113评分标准：本题20分．（1）、（2）式各6分，（3）式4分，求得（5）式4分．114第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷一、选择题（本题共5小题，每小题6分）1、如图28预—1所示，常用示波器中的扫描电压u随时间t变化的图线是（）2、下面列出的一些说法中正确的是（）A．在温度为20ºC和压强为1个大气压时，一定量的水蒸发为同温度的水蒸气，在此过程中，它所吸收的热量等于其内能的增量。B．有人用水银和酒精制成两种温度计，他都把水的冰点定为0度，水的沸点定为100度，并都把0刻度与100刻度之间均匀等分成同数量的刻度，若用这两种温度计去测量同一环境的温度（大于0度小于100度）时，两者测得的温度数值必定相同。C．一定量的理想气体分别经过不同的过程后，压强都减小了，体积都增大了，则从每个过程中气体与外界交换的总热量看，在有的过程中气体可能是吸收了热量，在有的过程中气体可能是放出了热量，在有的过程中气体与外界交换的热量为零.D．地球表面一平方米所受的大气的压力，其大小等于这一平方米表面单位时间内受上方作热运动的空气分子对它碰撞的冲量，加上这一平方米以上的大气的重量。3、如图28预—2所示，把以空气为介质的两个平行板电容器a和b串联，再与电阻R和电动势为E的直流电源如图连接。平衡后，若把一块玻璃板插人电容器a中，则再达到平衡时，有（）A．与玻璃板插人前比，电容器a两极间的电压增大了B．与玻璃板插人前比，电容器a两极间的电压减小了C．与玻璃板插入前比，电容器b贮存的电能增大了D．玻璃板插人过程中电源所做的功等于两电容器贮存总电能的增加量4、多电子原子核外电子的分布形成若干壳层，K壳层离核最近，L壳层次之，M壳层更次之，……，每一壳层中可容纳的电子数是一定的，当一个壳层中的电子填满后，余下的电子将分布到次外的壳层。当原子的内壳层中出现空穴时，较外壳层中的电子将跃迁至空穴，并以发射光子（X光）的形式释放出多余的能量，但亦有一定的概率将跃迁中放出的能量传给另一个电子，使此电子电离，这称为俄歇（Auger）效应，这样电离出来的电子叫俄歇电子。现用一能量为40.00keV的光子照射Cd（镐）原子，击出Cd原子中K层一个电子，使该壳层AutButCutDut图28预—1图28预—2REab115出现空穴，己知该K层电子的电离能为26.8keV.随后，Cd原子的L层中一个电子跃迁到K层，而由于俄歇效应，L层中的另一个的电子从Cd原子射出，已知这两个电子的电离能皆为4.02keV，则射出的俄歇电子的动能等于（）A．(26.8-4.02-4.02)keVB．(40.00-26.8-4.02)keVC．(26.8-4.02)keVD．(40.00-26.8+4.02)keV5、一圆弧形的槽，槽底放在水平地面上，槽的两侧与光滑斜坡aa'、bb'相切，相切处a、b位于同一水平面内，槽与斜坡在竖直平面内的截面如图28预—3所示。一小物块从斜坡aa'上距水平面ab的高度为2h处沿斜坡自由滑下，并自a处进人槽内，到达b后沿斜坡bb'向上滑行，已知到达的最高处距水平面ab的高度为h；接着小物块沿斜坡bb'滑下并从b处进人槽内反向运动，若不考虑空气阻力，则（）A．小物块再运动到a处时速度变为零B．小物块尚未运动到a处时，速度已变为零C．小物块不仅能再运动到a处，并能沿斜坡aa'向上滑行，上升的最大高度为2hD．小物块不仅能再运动到a处，并能沿斜坡aa'向上滑行，上升的最大高度小于h二、填空题和作图题6、（6分）在大气中，将一容积为0.50m3的一端封闭一端开口的圆筒筒底朝上筒口朝下竖直插人水池中，然后放手，平衡时，筒内空气的体积为0.40m3.设大气的压强与10.0m高的水柱产生的压强相同，则筒内外水面的高度差为。7、（10分）近年来，由于“微结构材料”的发展，研制具有负折射率的人工材料的光学性质及其应用，已受人们关注。对正常介质，光线从真空射人折射率为n的介质时，人射角和折射角满足折射定律公式，人射光线和折射光线分布在界面法线的两侧；若介质的折射率为负，即n<0，这时人射角和折射角仍满足折射定律公式，但人射光线与折射光线分布在界面法线的同一侧。现考虑由共轴的两个薄凸透镜L1和L2构成的光学系统，两透镜的光心分别为O1和O2，它们之间的距离为s.若要求以与主光轴成很小夹角的光线人射到O1能从O2出射，并且出射光线与人射光线平行，则可以在O1和O2之间放一块具有负折射率的介质平板，介质板的中心位于OO'的中点，板的两个平行的侧面与主光轴垂直，如图28预—4所示。若介质的折射率n=-1.5，则介质板的厚度即垂直于主光轴的两个平行侧面之间的距离d=。8、（10分）已知：规定一个K（钾）原子与Cl（氯）原子相距很远时，他们的相互作用势2hha'b'ba图28预—3L1L2O1O2图28预—4116能为零；从一个K原子中移走最外层电子形成K+离子所需的能量（称为电离能）为EK，一个Cl原子吸收一个电子形成Cl-离子释放的能量（称为电子亲和能）为ECl；K＋离子（视为质点）与Cl-离子（视为质点）之间的吸引力为库仑力，电子电荷量的大小为e，静电力常量为k.利用以上知识，可知当KCI分子中K+离子与Cl-离子之间的库仑相互作用势能为零时，K+离子与Cl-离子之间的距离rs，可表示为。若已知EK=4.34ev，ECl=3.62eV，k=9.0×109N•m2•C-2，e=1.60×10-19C，则rs=m.9、（10分）光帆是装置在太空船上的一个面积很大但很轻的帆，利用太阳光对帆的光压，可使太空船在太空中飞行。设想一光帆某时刻位于距离太阳为1天文单位（即日地间的平均距离）处，已知该处单位时间内通过垂直于太阳光辐射方向的单位面积的辐射能量E=1.37×103J•m-2•s-1，设平面光帆的面积为1.0×106m2，且其平面垂直于太阳光辐射方向，又设光帆对太阳光能全部反射（不吸收），则光帆所受光的压力约等于N.10、（20分）有两个电阻1和2，它们的阻值随所加电压的变化而改变，从而它们的伏安特性即电压和电流不再成正比关系（这种电阻称为非线性电阻）。假设电阻1和电阻2的伏安特性图线分别如图28预—5所示。现先将这两个电阻并联，然后接在电动势E=9.0V、内电阻r0=2.0Ω的电源上。试利用题给的数据和图线在题图中用作图法读得所需的数据，进而分别求出电阻1和电阻2上消耗的功率P1和P2.要求：i．在题图上画出所作的图线．（只按所画图线评分，不要求写出画图的步骤及理由）ii．从图上读下所需物理量的数据（取二位有效数字），分别是：；iii．求出电阻R1消耗的功率P1=，电阻R2消耗的功率P2=。三、计算题11、（17分）宇航员从空间站（绕地球运行）上释放了一颗质量m=500kg的探测卫星．该卫星通过一条柔软的细轻绳与空间站连接，稳定时卫星始终在空间站的正下方，到空间站的距离l=20km.已知空间站的轨道为圆形，周期T=92min（分）。i．忽略卫星拉力对空间站轨道的影响，求卫星所受轻绳拉力的大小；ii．假设某一时刻卫星突然脱离轻绳。试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远地点到地面的高度和卫星运行周期。【取地球半径R=6.400×103km，地球同步卫星到地面的高度为H0=3.6000×104km，地球自转图28预—5117周期T0=24小时】12、（17分）某同学选了一个倾角为θ的斜坡，他骑在自行车上刚好能在不踩踏板的情况下让自行车沿斜坡匀速向下行驶，现在他想估测沿此斜坡向上匀速行驶时的功率，为此他数出在上坡过程中某一只脚蹬踩踏板的圈数N（设不间断的匀速蹬），并测得所用的时间t，再测得下列相关数据：自行车和人的总质量m，轮盘半径Rl，飞轮半径R2，车后轮半径R3.试导出估测功率的表达式。己知上、下坡过程中斜坡及空气作用于自行车的阻力大小相等，不论是在上坡还是下坡过程中，车轮与坡面接触处都无滑动。不计自行车内部各部件之间因相对运动而消耗的能量，自行车结构示意图如图28预—6所示。图28预—611813、（20分）电荷量为q的正电荷，均匀分布在由绝缘材料制成的质量为m半径为R的均匀细圆环上，现设法加外力使圆环从静止开始，绕通过环心垂直于环面的轴线匀加速转动。试求从开始转动到环的角速度达到某一值ω0的整个过程中外力所做的功。已知转动带电圆环的等效电流为I时，等效电流产生的磁场对整个以圆环为周界的圆面的磁通量Ф=kI，k为一已知常量。不计电荷作加速运动所产生的辐射效应。14、（20分）如图28预—7所示，一木块位于光滑的水平桌面上，木块上固连一支架，木块与支架的总质量为M，一摆球挂于支架上，摆球的质量为m，m<M/2摆线的质量不计。初始时，整个装置处于静止状态，一质量为m的子弹以大小为v0、方向垂直于图面向里的速度射人摆球并立即停留在球内，摆球和子弹便一起开始运动。已知摆线最大的偏转角小于90º，在小球往返运动过程中摆线始终是拉直的，木块未发生转动。i．求摆球上升的最大高度；ii．求木块的最大速率；iii．求摆球在最低处时速度的大小和方向。mM图28预—711915、（20分）如图28预—8所示，坐标原点O（0，0）处有一带电粒子源，向y≥0一侧沿Oxy平面内的各个不同方向发射带正电的粒子，粒子的速率都是v，质量均为m，电荷量均为q.有人设计了一方向垂直于Oxy平面，磁感应强度的大小为B的均匀磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正方向运动。试求出此边界线的方程，并画出此边界线的示意图。16、（20分）在海面上有三艘轮船，船A以速度u向正东方向航行，船B以速度2u向正北方向航行，船C以速度22u向东偏北45º方向航行。在某一时刻，船B和C恰好同时经过船A的航线并位于船A的前方，船B到船A的距离为a，船C到船A的距离为2a.若以此时刻作为计算时间的零点，求在t时刻B、C两船间距离的中点M到船A的连线MA绕M点转动的角速度。xy图28预—8120第28届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考答案及评分标准一、选择题答案：1.C2.C3.BC4.A5.D评分标准：本题共5分，每小题6分。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。二、填空题答案与评分标准6.2.5m（6分）7.35S（10分）8.21kekeEE（6分）92.010（2分）9.9（10分）10.ⅰ如图所示。（8分）（图错不给分，图不准确酌情评分）ⅱ并联电阻两端的电压02.3VU（2分），通过电阻1的电流10I1.2A（3分），通过电阻2的电流20I2.2A（3分）（读数第一位必须正确，第二位与答案不同，可酌情评分。）ⅲ.2.8W（2分），4.9W（2分）11.参考解答：121ⅰ.设空间站离地面的高度为H，因为同步卫星的周期和地球自转周期相同，根据开普勒第三定律以及题意有323200()()RHTRHT（1）即3200()()THRHRT（2）代入数据得376kmH（3）卫星的高度365kmhHl（4）卫星在细绳的拉力F和地球引力作用下跟随空间站一起绕地球作周期为T的圆周运动，有222()()()MmGFmRhRhT（5）式中G为万有引力常量，M为地球质量，空间站在地球引力作用下绕地球作周期为T的圆周运动，故有222'()()()MmGmRHRHT（6）式中'm为空间站的质量，由（5）、（6）两式得2222()()()[1]()RHFmRhTRh（7）将（3）、（4）式及其他有关数据代入（7）式得38.2NF（8）ⅱ.细绳脱落后，卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆，在脱落的瞬间，卫星的速度垂直于卫星与地心的连线，所以脱落点必须脱落点必是远地点（或近地点），由（4）式可知，此点到地面的高度356kmh（9）根据机械能守恒，有22211'()()2'2MmMmmvGmRhGRhTRh（11）联立（10）、（11）两式并利用（6）式得433()'2()()RhhRHRh（12）代入有关数据有'238kmh由（9）、（13）两式可知，远地点到地面的高度为356km，近地点到地面的高度为238km。设卫星的周期为'T，根据开普勒第三定律，卫星的周期322''()22RhhTTRH（14）122代入数据得'90.4minT（15）评分标准：本题17分。第ⅰ小题9分。（1）式2分，（5）式3分，（6）式2分，（8）式2分。第ⅱ小题8分，（9）、（10）式各1分，（11）式2分，（12）、（13）、（14）、（15）式各1分12.参考解答：解法一因为下坡时自行车匀速行驶，可知阻力大小sinfmg（1）由题意可知，自行车沿斜坡匀速向上行驶时，轮盘的角速度2Nt（2）设轮盘边缘的线速度为1v，由线速度的定义有11vR（3）设飞轮边缘的线速度为2v，后车轮边缘的线速度为3v，因为轮盘与飞轮之间用链条连结，它们边缘上的线速度相同，即12vv（4）因飞轮上与后车的转动角速度相同，故有2233vRvR（5）因车轮与坡面接触处无滑动，在车后绕其中心轴转动一周的时间T内，车内轮中心轴前进的路程32sR（6）而332RTv（7）车后轮的中心轴前进的速度及字形成行驶速度的大小sVT（8）由以上有关各式得1322NRRVRt（9）人骑自行车上坡的功率为克服阻力f的功率加上克服重力沿斜面分里的功率，即sinPfVmgV（10）由（1）、（9）、（10）式得1324sinmgNRRPRt（11）123评分标准：本题17分（1）式3分，求得（9）式共8分，（10）式5分，（11）式1分解法二因下坡时自行车匀速行驶，若自行车出发点的高度为h，则克服阻力所做的功1W等于势能的减少，有fWmgh（1）用s表示自行车行驶的路程，有sinhs（2）自行车沿斜坡匀速向上行驶时，骑车者所做的功W，等于克服阻力的功fW与势能增量mgh之和，即fWWmgh（3）设骑车者蹬踩踏板N圈到达下坡时的出发点，因踏板转N圈可使轮转12NRR圈，所说义自行车行驶的距离s为1322NRsRR（4）由（1）到（4）式，得132sinNRRWmgR（5）上式除以所用时间t，即得骑车者功率1324sinNRRWPmgtRt（6）评分标准：本题17分（1）式3分，（2）式1分，（3）式4分，（4）式6分，（5）式1分，（6）式2分13.参考解答：当环的角速度到达0时，环的动能201()2kEmR（1）若在时刻t，环转动的角速度，则环上电荷所形成的等效电流22qqIRR（2）感应电动势Iktt（3）由（2）、（3）式得2qkt（4）环加速度转动时，要克服感应电动势做功，功率为1PI（5）124因为是匀加度转动，所以和I都随时间t线性增加。瘦弱角速度从零开始增加到0经历的时间为0t，则有00tt（6）若与0对应的等效电流为0I，则在整个过程中克服感到电动势做的总功10012WIt（7）由以上有关各式得220128qWk（8）外力所做的总功22220102182kqWWEkmR（9）评分标准：本题20分。（1）式3分，（2）式4分，（3）2分，（5）式3分，（6）式2分，（7）式3分，（8）式1分，（9）式2分14.参考解答：ⅰ由于子弹射入摆球至停留在球内经历的时间极短，可以认为在这过程中摆球仅获得速度但无位移。设摆球（包括停留在球内的子弹）向前（指垂直于图面向里）的速度为u，由动量守恒定律有02mvmu（1）摆球以速度u开始向前摆动，木块亦发生运动。当摆球上升至最高时，摆球相对木块静止，设此时木块的速度为V，摆球上升的高度为h，因水平方向动量守恒以及机械能守恒有2(2)mumMV（2）221(2)22mumMVmgh（3）解（1）、（2）、（3）三式得208(2)MvhgmM（4）ⅱ.摆球升到最高后相对木块要反向摆动。因为在摆球从开始运动到摆线返回到竖直位置前的整个过程中，摆线作用于支架的拉力始终向斜前方，它使木块向前运动的速度不断增大；摆球经过竖直位置后，直到摆线再次回到竖直位置前，摆线作用于支架的拉力将向斜后方，它使木块速度减小，所以在摆线（第一次）返回到竖直位置的那一时刻，木块的速度最大，方向向前。以'V表示摆线位于竖直位置时木块的速率，'u表示此时摆球的速度（相对桌面），当'u0，表示其方向水平向前，反之，则水平向后，因水平方向动量守恒以及机械能守恒，故有22''mumuMV（5）1252221''2mumuMV（6）解（1）、（5）、（6）三式可得摆线位于竖直位置时木块速度的大小'0V（7）02'2mvVmM（8）（7）式对应于子弹刚射入摆球但木块尚未运动时木块的速度，它也是摆球在以后相对木块往复运动过程中摆线每次由后向前经过竖直位置时木块的速度；而题中要求的木块的最大速率为（8）式，它也是摆球在以后相对木块的往复运动过程中摆线每次由前向后经过竖直位置时木块的速度。ⅲ.在整个运动过程中，每当摆线处于数值未竖直时，小球便位于最低处，当子弹刚射入摆球时，摆球位于最低处，设这时摆球的速度为u，由（1）式得012uv（9）方向水平向前，当摆球第一次回到最低处时，木块速度最大，设这时摆球的速度为'u，由（1）、（5）、（6）三式和（8）式可得012'2mMuvMm（10）其方向向后。当摆球第二次回到最低处时，由（7）式木块减速至0，设这时摆球的速度为''u，由（1）、（5）、（6）式可得01''2uuv（11）方向向前，开始重复初速运动。评分标准：本题20分第ⅰ小题8分，（1）式1分，（2）、（3）式各3分，（4）式1分第ⅱ小题7分，（5）、（6）式各3分，（8）式1分第ⅲ小题5分，（9）式1分，（10）式3分，（11）式1分。15.参考解答：先设磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直xy平面向里，且无边界。考察从粒子源发出的速率为v、方向与x轴夹角为的粒子，在磁场的洛伦兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O，且与速度方向相切，若圆轨道的半径为R，有2vqvBmR（1）得mvRqB126圆轨道的圆心'O在过坐标原点O与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R，如图1所示，通过圆心'O作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点，粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x轴正方向，故P点就在连线就是所求磁场区域的边界线。P点的坐标为sinxR（3）cosyRR（4）这就是磁场区域边界的 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 方程，消去参数，得222()=xyRR（5）由（2）、（5）式得222222()mvmvxyqBqB（6）这是半径R圆心''O坐标为(0,)R的圆，作为题所要的磁场区域的边界线，应是如图2所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为若磁场方向垂直于xy面向外，则磁场的边界线为如图3所示的半圆，磁场区域的边界线的方程为222()xyRR0x，0y（8）θ图1OxyvPO'127或222222()mvmvxyqBqB0x，0y（9）证明同前评分标准：本题20分（1）或（2）式2分，（3）、（4）式各4分，（7）式3分，图（图2）2分（只要半圆的位置正确就给2分），（9）式3分，图（图3）2分（只要半圆的位置正确就给2分）。16.参考解答：以0t时刻船A所在的位置为坐标原点O，作如图1所示平面直角坐标Oxy，x轴指向正东，y轴指向正北。可以把船C的速度分解成沿正东方向的分速度xv和沿正北方向的分速度yv两个分量，根据题意有2xyvvu（1）在t时刻，三船的位置如图1所示，B、C二船在y方向位移相等，两船的连线BC与x轴平行，两船间的距离2BCaut（2）BC的中点M到B的距离为12aut，中点M的坐标分别为1281322Mxaautaut（3）2Myut（4）可见M点沿x方向的速度为u，沿y方向位移相等，两船的连线BC与x轴上，其x坐标为32a在与M点固连的参考系中考察，并建立以M为原点的直角坐标系''Mxy，'x轴与x轴平行，'y轴与y轴平行，则相对M，船A的速度只有沿负'y方向的分量，有'2AMAMyuuu（5）在时刻t，船A在坐标系''Mxy的坐标为3'2Axa（6）'AAMyut（7）可以把A船的速度分解为沿连线MA方向的分量1AMu和垂直于连线MA方向的分量2AMu两个分量，1AMu使连线MA的长度增大，2AMu使连线MA的方向改变，如图2所示，若用R表示t时刻连线MA的长度，则连线MA绕M点转动的角速度2AMUR（8）若MA与'x轴的夹角为，则有2cosAMAMuu（9）而|'|cosAxR（10）22''AArxy（11）由（5）到（10）各式得22212916auaut（12）评分标准：本题20分求得（5）式共6分，（6）、（7）式各1分，（8）式6分，（9）2分，（10）、（11）式各1分，（12）式2分129第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷1~5678总分910111213141516本卷共16题，满分200分.一、选择题.本题共5小题，每小题6分.在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意.把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分.1.下列说法中正确的是A.水在0C时密度最大.B.一个绝热容器中盛有气体，假设把气体中分子速率很大的如大于Av的分子全部取走，则气体的温度会下降，此后气体中不再存在速率大于Av的分子.C.杜瓦瓶的器壁是由两层玻璃制成的，两层玻璃之间抽成真空，抽成真空的主要作用是即可降低热传导，又可降低热辐射.D.图示为一绝热容器，中间有一隔板，隔板左边盛有温度为T的理想气体，右边为真空.现抽调隔板，则气体的最终温度仍为T.[]2.如图，一半径为R电荷量为Q的带电金属球，球心位置O固定，P为球外一点.几位同学在讨论P点的场强时，有下列一些说法，其中哪些说法是正确的？A.若P点无限靠近球表面，因为球表面带电，根据库伦定律可推知，P点的场强趋于无穷大.B.因为在球内场强处处为O，若P点无限靠近球表面，则P点的场强不变.C.若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变.D.若保持Q不变，而令R变大，同时始终保持P点极靠近球表面处，则P点的场强不变.[]3.图中L为一薄凸透镜，ab为一发光圆面，二者共轴，S为与L平行放置的屏，已知这时ab可在屏上成清晰的像.现将透镜切除一半，只保留主轴以上的一半透镜，这时ab在S上的像A.尺寸不变，亮度不变.B.尺寸不变，亮度降低.C.只剩半个圆，亮度不变.D.只剩半个圆，亮度降低.[]4.一轻质弹簧，一段固定在墙上，另一端连一小物块，小物块放在摩擦系数为的水平面上，弹簧处在自然状态，小物块位于O处.现用手将小物块向右移到a处，然后从静止释放小物块，发现小物块开始向左移动.A．小物块可能停在O点.B．小物块停止以后所受的摩擦力必不为0.C．小物块无论停在O点的左边还是右边，停前所得分阅卷复核T真空130受的摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可能相同，也可能相反.D．小物块在通过O点后向右运动直到最远处的过程中，速度的大小总是减小；小物块在由右边最远处回到O点的过程中，速度的大小总是增大.[]5.如图所示，一内壁光滑的圆锥面，轴线'OO是竖直的，定点O在下方，锥角为2，若有两个相同的小珠（均视为质点）在圆锥的内壁上沿不同的圆轨道运动，则有：A．它们的动能相同.B．它们运动的周期相同.C．锥壁对它们的支撑力相同.D．它们的动能与势能之比相同，设O点为势能零点.二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果，不需写出求得结果的过程.6.（6分）铀238238U92（）是放射性元素，若衰变时依次放出，，，，，，，，，，，，，粒子，最终形成稳定的核yxPb，则其中X=____,Y=_____.7.（10分）在寒冷地区，为了防止汽车挡风玻璃窗结霜，可用通电电阻加热.图示为10根阻值皆为3Ω的电阻条，和一个内阻为0.5Ω的直流电源，现在要使整个电路中电阻条上消耗的功率更大，i.应选用_____________________根电阻条.ii.在图中画出电路连线.8.（10分）已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能.若从地面上某处将一束频率为v的光射向其正上方相距为d的空间站，d远小于地球半径，令空间站接收到光的频率为v’，则差'vv=_____________，已知地球表面附近的重力加速度为g.9.（10分）图中所示两物块叠放在一起，下面物块位于光滑水平桌面上，其质量为m，上面物块的质量为M，两物块之间的静摩擦系数为.现从静止出发对下面物块施以随时间t变化的水平推力F=t，为一常量，则从力开始作用到两物块刚发生相对运动所经过的时间等于_______________________，此时物块的速度等于___________________________.10.（16分）图中K是密封在真空玻璃管内的金属电极，它受光照射后能释放出电子；W是可以透光的窗口，得分阅卷复核得分阅卷复核得分阅卷复核得分阅卷复核得分阅卷复核131光线通过它可照射到电极K上；C是密封在真空玻璃管内圆筒形的收集电极，它能收集K所发出的光电子.RR是接在电池组E（电压足够高）两端的滑动变阻器，电极K通过导线与串联电池组的中心端O连接；G是用于测量光电流的电流计.已知当某一特定频率的单色光通过窗口照射电极K时，能产生光电流，当滑动头向右移动时，G的示数增大，使滑动头继续缓慢向右不断移动时，电流计G的示数变化情况是：_______________________________.当滑动变阻器的滑动接头从P点缓慢向左不断移动时，电流计G的示数变化情况是：_________________________________________________.若测得用频率为1v的单色光照射电极K时的遏止电压为1V，频率为2v的单色光照射电极时的遏止电压为2V，已知电子的电荷量为e，则普朗克常量h=________________________，金属电极K的逸出功0W=________________________.三、计算题.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分.有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位.11.（18分）如图所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳，两端各系一个质量相等的小球A和B，球A刚好接触地面，球B被拉到与细杆同样高度的水平位置，当球B到细杆的距离为l时，绳刚好拉直.在绳被拉直时释放球B，使球B从静止开始向下摆动.求球A刚要离开地面时球B与其初始位置的高度差.12.(20分)一段横截面积2S=1.0mm的铜导线接入直流电路中，当流经该导线的电流1.0AI时，该段铜导线中自由电子定向运动的平均速度u为多大？已知，每个铜原子有一个“自由电子”，每个电子的电荷量-191.610Cq=；铜的密度3=8.9gcm，铜的摩尔质量64=gmol.阿伏伽德罗常数量231060210N=.mol.13.（20分）电荷量分别为q和Q的两个带异号电荷的小球A和B（均可视为点电荷），质量分别为m和M.初始时刻，B的速度为0，A在B的右方，且与B相距0l，A具有向右的初速度0v，并还受到一向右的作用力f使其保持匀速运动，某一时刻，两球之间可以达到一最大距离.i.求此最大距离.ii.求从开始到两球间距离达到最大的过程中f所做的功.14.（20分）由双原子分子构成的气体，当温度升高时，一部分双原子分子会分解成两个单原子分子，温度越高，被分解的双原子分子的比例越大，于是整个气体可视为由单原子分子构成的气体与由双原子分子构成的气体的混合气体.这种混合气体的每一种成分气体都可视作理想气体.在体积3V=0.045m的坚固的容器中，盛有一定质量的碘蒸气，现于不同温度下测得容器中蒸气的得分阅卷复核得分阅卷复核得分阅卷复核得分阅卷复核132压强如下：TK10731473pPa5209910.5412010.试求温度分别为1073K和1473K时该碘蒸气中单原子分子碘蒸气的质量与碘的总质量之比值.已知碘蒸气的总质量与一个摩尔的双原子碘分子的质量相同，普适气体常量-1-18.31JmolKR=.15.（20分）图中L是一根通电长直导线，导线中的电流为I.一电阻为R、每条边为2a的导线方框，其中两条边与L平行，可绕过其中心并与长直导线平行的轴线'OO转动，轴线与长直导线相距b，b>a，初始时刻，导线框与直导线共面.现使线框以恒定的角速度转动，求线框中的感应电流的大小.不计导线框的自感.已知电流I的长直导线在距导线r处的磁感应强度大小为Ikr，其中k为常量.16.（20分）一质量为3000kgm=的人造卫星在离地面的高度为180kmH=的高空绕地球作圆周运动，那里的重力加速度29.3g=ms.由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降0.50H=km.已知物体在密度为的流体中以速度v运动时受到的阻力F可表示为212F=ρACv，式中A是物体的最大横截面积，C是拖曳系数，与物体的形状有关.当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系数1C=，取卫星的最大横截面积26.0A=m.已知地球的半径为06400R=km.试由以上数据估算卫星所在处的大气密度.得分阅卷复核得分阅卷复核133第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题.答案：1.D2.C3.B4.AC5.CD评分标准：本题共5小题，每小题6分.每一小题中，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分.二、填空题和作图题.答案与评分标准：6.（共6分）82（3分）206（3分）7.（共10分）i.6（7分）ii.如图（3分）8.2gd-vc（10分）9.（共10分）)gMm（（5分）22(Mm)2g（5分）10.（共16分）逐渐增大，最后趋向一恒定值.（4分）逐渐减少，最后变到零.（4分）1212VVev-v（4分）122112eVvVvv-v（4分）三、计算题.11.参考解答：设球A刚要离地面时联接球B的绳与其初始位置的夹角为，如图所示，这时球B的速度为v，绳对球B的拉力为T，根据牛顿定律和能量守恒，有2sinvTmgml（1）21sin2mvmgl（2）当A球刚要离开地面时，有T=mg（3）以h表示所求的高度差，则有h=Isin（4）由（1）、（2）、（3）、（4）四式得13h=l（5）评分标准：本题共18分.134（1）、（2）式各6分.（3）、（5）式各3分.12.参考解答：设单位体积中自由电子数为n，则有l=nquS（1）而onN（2）由以上两式得0luqSN（3）代入已知数据得51u7.510ms（4）评分标准：本题20分.（1）式6分，（2）式8分，（3）式2分，（4）式4分.13.参考解答：解法一i.由于A球始终终以恒定的速度0v运动，故随A球一起运动的参考系S'为惯性系.在参考系'S中，因A球静止，故作用于A球的外力f不做功，A、B两球构成的系统的能量守恒.当两球间的距离为0l时，B球以初速度0v向左运动，随着B球远离A球，其动能在库仑力作用下逐渐变小，两球的静电势能增大，当B球动能减少到0时，A、B间距达到最大值Ml.由能量守恒定律有200Qq12MQqkMv-kll（1）解得0M20022kQqllkQq-Mvl（2）ii.为了计算变力f作的功，应回到初始时B球相对它静止的参考系S来考察问题，相对S系，当两球间的距离为0l时，A球的速度为0v，B球的速度为0；当两球的速度相等时，两球间距离达到最大值Ml，由功能关系，在这过程中，变力f的功2200M011W=[+-]-[-]22QqQqMmvkmvkll（）（3）由（2）、（3）两式得20WMv（4）135解法二在开始时B球相对它静止的参考系S中来考察问题.初始时，A球的速度为0v，B球的速度为0，当两球间距离达到最大值Ml时，两球的速度相等，都是0v，根据动量定理和功能关系有00JmMvmv（）（1）2200011W22MqQqQ(mM)vk(mvk)ll（2）式中J和W分别是在所考察过程中变为f的冲量和功.在所考察过程中某一时间间隔it内，if的冲量为iiiJft，在所考察的过程中，f的总冲量iiiiiJJft（3）在1t时间内，A球的位移0iisvt，力if做的功为0iiiiiWfsfvt，在所考察的过程中，f的总功0iiiiiWWfvt（4）由以上四式得20012MQqQqkMvkll（5）由（5）式得0M20022kQqllkQqMvl（6）把（6）式代入（2）式得20WMv（7）评分标准：本题20分.解法一（2）、（4）式各10分.解法二（6）、（7）式各10分.14.参考解答.以m表示碘蒸气的总质量，1m表示蒸气的温度为T时单原子分子的碘蒸气的质量，1、2分别表示单原子分子碘蒸气和双原子分子碘蒸气的摩尔质量，1p、2p分别表示容器中单原子分子碘蒸气和双原子分子碘蒸气的分压器，则由理想气体的状态方程有111mpVRT（1）136122mmpVRT（2）其中，R为理想气体常量.根据道尔顿分压定律，容器中碘蒸气的总压强p满足关系式12ppp（3）设1=mm（4）为单原子分子碘蒸气的质量与碘蒸气的总质量的比值，注意到121=2（5）由以上各式解得21VpmRT（6）代入有关数据可得，当温度为1073k时，006.（7）当温度为1473k时，051.（8）评分标准：本题20分.（1）、（2）、（3）、（6）式各4分，（7）、（8）式各2分.15.参考解答：当线框绕转轴转过t的角度时，其位置如图1所示，俯视图如图2所示.当线框以角速度绕OO'转动时，线框与轴线平行的两条边的速度都是v，且v（1）L中的电流产生的磁场在这两条边所在处的磁感应强度分别为IBkr（2）和=r'IB'k（3）式中r和r'分别为这两条边到L的距离.线框的两条边的速度v的方向与B和B'的方向间的夹角分别为和'.由电磁感应定律，线框的感应电动势为22=BavsinB'avsin'E（4）注意到sinsin()sinrbb（5）2sinsin(')sin'rbb（6）以及2222rababcos（7）2222r'ababcos（8）137由以上各式得222221122=2kIab()sintababcostababcostE（9）由欧姆定律得线框中的感应电流iRE(10)由（9）、（10）两式得2222221122kIabi()sintRababcostababcost（11）评分标准：本题20分.（1）式2分，（4）式8分.（5）、（6）、（7）、（8）式各1分.（10）式2分，（11）式4分.16.参考解答：设一年前、后卫星的速度分别为1v、2v，根据万有引力定律和牛顿定律有21211vMmGmRR（1）22222vMmGmRR（2）式中G为万有引力恒量，M为地球的质量.1R和2R分别为一年前、后卫星轨道的半径，即10RRH（3）20RRHH（4）卫星在一年时间内动能的增量22211122kEmvmv（5）由（1）、（2）、（5）三式得221112kEGMm()RR（6）由（3）、（4）、（6）式可知，0kE，表示在这过程中卫星的动能是增加的.在这过程中卫星引力势能的增量2111rEGMm()RR（7）0rE，表示在这过程中卫星的引力势能是减少的，卫星机械能的增量kpEEE（8）由（6）、（7）、（8）式得211112EGMm()RR（9）1380E，表示在这过程中卫星的机械能是减少的.由（3）、（4）式可知，因1R、2R非常接近，利用12RRH（10）2121RRR（11）（9）式可表示为2112GMmEHR（12）卫星机械能减少时因为克服空气阻力做了功.卫星在沿半径为R的轨道运行一周过程中空气作用于卫星的阻力做的功212WFRACRv（13）根据万有引力定律和牛顿定律有22MmvGmRR（14）由（13）、（14）式得1WACGM（15）（15）式表明卫星在绕轨道运行一周过程中空气阻力做的功是一恒量.与轨道半径无关.卫星绕半径为R的轨道运行一周经历的时间2RTv（16）由（14）、（16）式得2RTRGM（17）由于在一年时间内轨道半径变化不大，可以认为T是恒量，且112RTRGM（18）以表示一年的时间，有736003652431510s.s（19）卫星在一年时间内作圆周运动的次数nT（20）在一年时间内卫星克服空气阻力作的功1WnW（21）由功能关系有WE（22）由（15）、（18）、（20）、（21）、（22）各式并利用21MGgR得13911mH=ACRRg（23）代入有关数据得13315410=.kgm（24）评分标准：本题20分.（6）式3分，（7）式2分，（9）、（12）式各1分，（15）式3分，（23）式7分，（24）式3分.140第30届全国中学生物理竞赛预赛试卷1-5678总分910111213141516本卷共16题，满分200分.一、选择题.本题共5小题，每小题6分.在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意.把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全选选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分.1.下列说法正确的是：A.一束单色光从真空射入玻璃时，在玻璃表面处发生折射现象，这与光在玻璃中的传播速度不同于在真空中的传播速度有关.B.白纸上有两个非常靠近的小黑斑，实际上是分开的，没有重叠部分.但通过某一显微镜所成的象却是两个连在一起的没有分开的光斑，这与光的衍射现象有关.C.雨后虹的形成与光的全反射现象有关.D.老年人眼镜常变为远视眼，这时近处物体通过眼镜所成的像在视网膜的前方（瞳孔与视网膜之间），故看不清.[]2.图中A、B是两块金属板，分别与高压直流电源的正负极相连.一个电荷量为q、质量为m的带正电的点电荷自贴近A板处静止释放（不计重力作用）.已知当A、B两板平行、两板的面积很大且两板间的距离较小时，它刚到达B板时的速度为u0.在下列情况下以u表示点电荷刚到达B板时的速度.A.若A、B两板不平行，则u<u0B.若A板面积很小，B板面积很大，则u<u0C.若A、B两板间的距离很大，则u<u0D.不论A、B两板是否平行、两板面积大小及两板间距离多少，u都等于u0[]3.粒子和粒子都沿垂直于磁场的方向射入同一均匀磁场中，发现这两种粒子沿相同半径的圆轨道运动.若粒子的质量是m1，粒子的质量是m2，则粒子与粒子的动能之比（用m1和m2表示）是A.21mmB.12mmC.1214mmD.214mm[]4.由玻尔理论可知，当氢原子中的核外电子由一个轨道跃迁到另一轨道时，有可能A.发射出光子，电子的动能减少，原子的势能减少.B.发射出光子，电子的动能增加，原子的势能减少.C.吸收光子，电子的动能减少，原子的势能增加D.吸收光子，电子的动能增加，原子的势能减少[]5.图示两条虚线之间为一光元件所在处，AB为其主光轴.P是一点光源，其傍轴光线通过此光学元件成像与Q点.该光学元件可能是A.薄凸透镜B.薄凹透镜C.凸球面镜D.凹球面镜[]得分阅卷复核141二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果，不需写出求得结果的过程.6.（8分）国际上已规定133Cs原子的频率f=9192631770Hz（没有误差）.这样，秒的定义.国际上已规定一个公认的光速值c=299792458m/s（没有误差）.长度单位由时间单位导出，则米定义为.7.（8分）质量为m1的小滑块，沿一倾角为𝜃的光滑斜面滑下，斜面质量为m2，置于光滑的水平面上.设重力加速度为g，斜面在水平桌面上运动的加速度大小为.8.（8分）一线光源，已知它发出的光包含三种不同频率的可见光，若要使它通过三棱镜分光，最后能在屏上看到这三种不同频率的光的谱线，则除了光源、三棱镜和屏外，必需的器件至少还应有.其中一个的位置应在和之间，另一个的位置应在和之间.9.（12分）如图所示，A为放在水平光滑桌面上的长方形物块，在它上面放有物块B和C.A、B、C的质量分别为m、5m、m.B、C与A之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数皆为0.10.K为轻滑轮，绕过轻滑轮连接B和C的轻细绳都处于水平位置.现用沿水平方向的恒定外力F拉滑轮，使A的加速度等于0.20g，g为重力加速度.在这种情况时，B、A之间沿水平方向的作用力的大小等于，C、A之间沿水平方向的作用力的大小等于，外力F的大小等于.10.（14分）i.在做“把电流表改装成电压表”的实验中，必须测出电流表的内阻和用标准电压表对改装成的电压表进行校准.某同学对图示的器材进行了连线，使所连成的电路只要控制单刀双掷开关的刀位和调节电阻箱及变阻器，不需改动连线，就能：（1）在与电阻箱断路的条件下测出电流表的内阻；（2）对改装成的电压表所有的刻度进行校准.试在图中画出该同学的全部连线.ii.有一块横截面为矩形的长板，长度在81cm与82cm之间，宽度在5cm与6cm之间，厚度在1cm与2cm之间.现用直尺（最小刻度为mm）、卡尺（游标为50分度）和千分尺（螺旋测微器）去测量此板的长度、宽度和厚度，要求测出的最后一位有效数字是估读的.试设想一组可能的数据填在下面的空格处.板的长度cm，板的宽度cm，板的厚度cm.三、计算题.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分.有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位.11.（20分）在水平地面某处，以相同的速率v0用不同的抛射角分别抛射两个小球A和B，它们的射程相同.已知小球A在空中运行的时间为TA，求小球B在空中运行的时间TB.重力加速度大小为g，不考虑空气阻力.得分阅卷复核得分阅卷复核得分阅卷复核得分阅卷复核得分阅卷复核得分阅卷复核14212.（20分）从地球上看太阳时，对太阳直径的张角0.53.取地球表面上纬度为1的长度l=110km，地球表面处的重力加速度210/gms，地球公转的周期T=365天.试仅用以上数据计算地球和太阳密度之比.假设太阳和地球都是质量均匀分布的球体.13.（16分）一个用电阻丝绕成的线圈。浸没在量热器所盛的油中，油的温度为o0C.当线圈两端加上一定的电压后，油温渐渐上升，o0C时温度升高的速率为-15.0Kmin，持续一段时间后，油温上升到o30C，此时温度升高的速率变为-14.5Kmin，这是因为线圈的电阻与温度有关.设温度为C时线圈的电阻为R，温度为o0C时线圈的电阻为0R，则有01RR，称为电阻的温度系数.试求此线圈电阻的温度系数.假设量热器及其中的油以及线圈所构成的系统温度升高的速率与该系统吸收热量的速率（即单位时间内吸热的热量）成正比；对油加热过程中加在线圈两端的电压恒定不变；系统损失的热量忽略不计.14.（18分）如图所示，一摩尔理想气体，由压强与体积关系的p-V图中的状态A出发，经过一缓慢地直线过程到达状态B，已知状态B的压强与状态A的压强之比为12，若要使整个过程的最终结果是气体从得分阅卷复核得分阅卷复核得分阅卷复核143外界吸收了热量，则状态B与状态A的体积之比应满足什么条件？已知此理想气体每摩尔的内能为32RT，R为普适气体常量，T为热力学温度.15.（23分）如图所示，匝数为1N的原线圈和匝数为2N的副线圈绕在同一闭合的铁心上.副线圈两端与电阻R相联，原线圈两端与平行金属导轨相联.两轨之间的距离为L，其电阻可不计.在虚线的左侧，存在方向与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.pq是一质量为m电阻为r与导轨垂直放置的金属杆，它可在导轨上沿与导轨平行的方向无摩擦地滑动.假设在任何同一时刻通过线圈每一匝的磁通都相同。两个线圈的电阻、铁心中包括涡流在内的各种损耗都忽略不计，且变压器中的电磁场完全限制在变压器铁芯中.现于t=0时开始施一外力，使杆从静止出发以恒定的加速度a向左运动.不考虑连接导线的自感.若已知在某时刻t时原线圈中电流的大小l1.i.求此时刻外力的功率ii.此功率转化为哪些其他形式的功率或能量变化率？试分别求出它们的大小.16.（23分）如图所示，一质量为m半径为R的得分阅卷复核得分阅卷复核144由绝缘材料制成的薄球壳，均匀带正电，电荷量为Q，球壳下面有与球壳固连的底座，底座静止在光滑水平面上，球壳内部有一劲度系数为的轻弹簧（质量不计），弹簧始终处于水平位置，其一端与球壳内壁固连，另一端恰位于球心处，球壳上开有一小孔C，小孔位于过球心的水平线上.在此水平线上离球壳很远的O处有一质量也为m电荷量也在Q的带正电的点电荷P，它以足够大的初速0v沿水平的OC方向开始运动.并知P能通过小孔C进入球壳内，不考虑重力和底座的影响.已知静电力常量k.求P刚进入C孔到刚再由C孔出来所经历的时间.145第30届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题.本题共5小题，每小题6分.在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意.把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分.答案：1.A、B2.D3.D4.B、C5.D二、填空题和作图题.答案与评分标准：6.（共8分）133Cs跃迁时所对应的电磁波振动9192631770个周期的时间（4分）.光在真空中再1299792458秒的时间内所传播距离的长度（4分）7.（共8分）1221sincossinmgmm8.（共8分）两个凸透镜（4分）.光源（1分）三棱镜（1分）.三棱镜（1分）屏（1分）9.（共12分）0.10mg（4分）0.10mg（4分）2.2mg（4分）10.（共14分）i.连线如图所示（8分）ii.81.52（2分，只要小数点后是二位数，都给这2分）5.532（2分，只要小数点后是三位数，都给这2分）1.8424（2分，只要小数点后是四位数，都给这2分）三、计算题.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分.有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位.11.参考解答：取抛射点为坐标原点，x轴沿水平方向，y轴竖直向上，抛射角为.抛出时刻时间146t取为0，对任何斜抛小球有0cosxtv（1）201sin2ytvgt（2）消去t得小球运动的轨迹方程为2220tan2cosgyxxv（3）取0y，解出x即为射程d20sin2vdg（4）利用（4）式可得小球在空中运行的时间002sincosvdTvg（5）以A表示小球A的抛射角，B表示小球B的抛射角，现要两小球射程相同，由（4）式有按题意有ABsin2sin2（6）而AB2π-2（7）由（5）式，小球A和B在空中运行的时间分别为0AA2sinvTg（8）0BB2sinvTg（9）由（7）、（8）、（9）式可得220AB4vTgTg（10）评分标准：本题20分.（1）、（2）式各4分，（4）、（7）式各3分，（8）、（9）、（10）式各2分.12.参考解答地球绕太阳运行时，由万有引力定律和牛顿定律有2ESE22πMMGMrrT（1）其中，G为引力恒量，EM和SM分别为地球和太阳的质量，r为日地距离，T为地球公转周期.令sR表示太阳半径，根据题意有1472sRr（2）由（1）和（2）式得23s3s2π18MGRT（3）由万有引力定律和牛顿定律，对地球表面处质量为m的物体有E2EMmGmgR（4）其中ER为地球半径，据题意已知E2π=360Rl（5）代入上式得E3Eπ180GMgRl（6）令S和E分别表示太阳和地球的密度，则有SS34π3sMREE3E4π3MR（7）由（3）、（6）、（7）式得23ES18032πgTl（8）代入数据，得ES3.92（9）评分标准：本题20分.（1）、（2）式各3分，（3）式1分，（4）、（5）式各3分，（6）式1分，（7）、（8）式各2分，（9）式2分（在3.91到3.93范围内的都给这2分）.13.参考解答：量热器、油和线圈构成的系统在单位时间内吸收的热量等于通过线圈的电流的电功率.设加在线圈两端的电压为U，当线圈的电阻为0R时，电流的功率200UPR（1）根据题意有00vkP（2）式中0v为0时系统升温的速率，k为比例系数.同理当油温为o30C时有2300UPR（3）1483030vkP（4）式中30v为o30C系统升温的速率.由（1）、（2）、（3）、（4）各式得300030130RvRv（5）代入数据得313.710K（6）评分标准：本题16分.（1）式3分，（2）式2分，（3）式3分，（4）式2分，（5）式4分，（6）式2分.14.参考解答：令U表示系统内能的增量，Q和W分别表示系统吸收的热量和外界对系统所做的功，由热力学第一定律UQW（1）令1T和2T分别表示状态A和状态B的温度，有2132URTT（2）令12pp、和12VV、分别表示状态A、B的压强和体积，由（2）式和状态方程可得221132UpVpV（3）由状态图可知，做功等于图线下所围面积，即122112WppVV（4）要系统吸热，即0Q，由以上各式可得2211122131022pVpVppVV（5）按题意，2112pp，代入上式，可得2132VV（6）评分标准：本题18分.（1）、（2）、（3）式各3分，（4）式4分，（5）式3分，（6）式2分.15.参考解答：i.令F表示此时刻外力的大小，v表示此时杆的速度，P表示外力的功率，则有PFvFat（1）在t时刻，由牛顿定律有1FIBLma（2）149由上两式得1PmaIBLat（3）ii.在t时刻，杆运动产生的电动势BLatE（4）令12、EE分别表示原、副线圈两端的感应电动势，并有1EE，12UU、分别表示原、副线圈两端的电压，2I表示副线圈中的电流，由欧姆定律有111UIrEE（5）222UIRE（6）根据题的假设，利用法拉弟电磁感应定律，有1122NNEE（7）由（4）、（5）、（6）、（7）式可得11UatBLIr（8）2211NUatBLIrN（9）2211NIatBLIrNR（10）外力的功率转化为：杆的动能的变化率2EkPmat（11）电阻r上消耗的功率21rPIr（12）电阻R上消耗的功率22222121RNPIRatBLIrNR（13）变压器内场能的变化率22122B1122111atBLIrNWUIUIatIBLIrNR（14）评分标准：本题23分第i问5分.（1）、（2）式各2分，（3）式1分.第ii问18分.（4）式2分，（5）、（6）式各1分，（7）式3分，（8）、（9）、（10）式各1分，（11）式2分，（12）式1分，（13）式2分，（14）式3分.16.参考解答：以固定的光滑水平面为参考系，选开始时C所处的空间固定点为原点，沿水平向右为x轴的正方向.设P到达C孔时的速度为1v，球壳的速度为2v，由动量守恒和能量守恒150（规定P与球相距无限远时电势能为0）有012mvmvmv（1）2222012111222QmvmvmvkR（2）P进入C后，因均匀带电球壳在壳内产生的场强为0，故P和球壳都做匀速运动，相对速度为12vv，若经过1t时间，P与弹簧的左端相接触，因走过的相对距离为R，故有112Rtvv（3）由以上各式，可得1222104kQtRvRm（4）此后，弹簧将被压缩，以1x和2x分别表示弹簧两端的位置（即P和球壳右端的位置），则弹簧的形变为21XRxx（5）以1a和2a分别表示P和球壳的加速度，由胡克定律和牛顿定律，有1maX（6）2maX（7）得122maaX（8）即两者的相对运动时简谐振动.其周期为2π2mT（9）所以，从P开始于弹簧的左端接触，以后弹簧被压缩、恢复直到P刚要与弹簧分离，这一过程所经历的时间2t应为2π22Tmt（10）从两物体碰撞来看，从P开始与弹簧的左端接触，以后弹簧被压缩、恢复直到P刚要与弹簧碰撞，两物体的质量又相同，所以可证碰撞前后必然是交换速度，即P的速度变为前述的2v，而球壳的速度变为前述的1v，P相对球壳的速度的大小仍为12vv，但方向向左，所以从开始分离到回到小孔C时所经历的时间3t应和（3）、（4）式得结果相同.即1511222304kQtRvRm（11）所以从P进入C孔到由C孔出来所经历的时间为122212304π22mkQttttRvRm（12）评分标准：本题23分.（1）、（2）式各3分，（4）式2分，（9）式8分，（10）式2分，（11）式2分，（12）式3分.152第31届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200分，．一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．（6分）一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于A．αB．α1/3C．α3D．3α2．（6分）按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为1cm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度，当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平衡，如图所示．当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度，下列说法中错误的是A．密度秤的零点刻度在Q点B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边C．密度秤的刻度都在Q点的右侧D．密度秤的刻度都在Q点的左侧3．（6分）一列简谐横波在均匀的介质中沿x轴正向传播，两质点P1和p2的平衡位置在x轴上，它们相距60cm，当P1质点在平衡位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，若波的传播速度为24m/s，则该波的频率可能为A．50HzB．60HzC．400HzD.410Hz4．（6分）电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式．电磁驱动的原理如图所示，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用铜、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环,当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和F3。若环的重力可忽略，下列说法正确的是A.F1>F2>F3B.F2>F3>F1C.F3>F2>F1D.F1=F2=F31535．（6分）质量为mA的A球，以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰，假设B球的质量mB可选取为不同的值，则A．当mB=mA时，碰后B球的速度最大B．当mB=mA时，碰后B球的动能最大C．在保持mB>mA的条件下，mB越小，碰后B球的速度越大D．在保持mB<mA的条件下，mB越大，碰后B球的动量越大二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．（10分）用国家标准一级螺旋测微器（直标度尺最小分度为0.5mm，丝杆螺距为0.5mm,套管上分为50格刻度）测量小球直径．测微器的初读数如图(a)历示，其值为______mm，测量时如图(b)所示，其值为_______mm，测得小球直径d=____________________mm.7．（10分）为了缓解城市交通拥堵问题，杭州交通部门在禁止行人步行的十字路口增设“直行待行区”（行人可从天桥或地下过道过马路），如图所示，当其他车道的车辆右拐时，直行道上的车辆可以提前进入“直行待行区”；当直行绿灯亮起时，可从“直行待行区”直行通过十字路口．假设某十字路口限速50km/h，“直行待行区”的长度为12m，从提示进入“直行待行区”到直行绿灯亮起的时间为4s.如果某汽车司机看到上述提示时立即从停车线由静止开始匀加速直线运动，运动到“直行待行区”的前端虚线处正好直行绿灯亮起，汽车总质量为1.5t，汽车运动中受到的阻力恒为车重的0.1倍，则该汽车的行驶加速度为________；在这4s内汽车发动机所做的功为___________。（重力加速度大小取10m/s2）8．（10分）如图所示，两个薄透镜L1和L2共轴放置．已知L1的焦距f1=f，L2的焦距f2=-f，两透镜间的距离也是f，小物体位于物面P上，物距u1=3f(1)小物体经过这两个透镜成的像在L2的__________边，到L2的距离为______________，是__________像（填“实”或“虚”）、____________像（填“正”或“倒”），放大率为_____.(2)现把两个透镜位置调换，若还要使给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向_____________边移动距离______________这个新的像是____________像（填“实”或“虚”）、____________像（填“正”或“倒”），放大率为______________________1549．（10分）图中所示的气缸壁是绝热的．缸内隔板A是导热的，它固定在缸壁上．活塞B是绝热的，它与缸壁的接触是光滑的，但不漏气.B的上方为大气.A与B之间以及A与缸底之间都盛有nmol的同种理想气体．系统在开始时处于平衡状态，现通过电炉丝E对气体缓慢加热．在加热过程中，A、B之间的气体经历_________过程，A以下气体经历________过程；气体温度每上升1K，A、B之间的气体吸收的热量与A以下气体净吸收的热量之差等于_____________．已知普适气体常量为R．10.（10分）宇宙空间某区域有一磁感应强度大小为B=1.0x10-9T的均匀磁场，现有一电子绕磁力线做螺旋运动．该电子绕磁力线旋转一圈所需的时间间隔为______________s；若该电子沿磁场方向的运动速度为1.0×10-2c（c为真空中光速的大小），则它在沿磁场方向前进1.0×10-3光年的过程中，绕磁力线转了_________圈．已知电子电荷量为1.60×10-19C．电子质量为9.11×10-31kg.三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．11.（15分）如图所示，一水平放置的厚度为t折射率为n的平行玻璃砖，下表面镀银（成反射镜）．一物点A位于玻璃砖的上方距玻璃砖的上表面为h处．观察者在A点附近看到了A点的像，A点的像到A点的距离等于多少？不考虑光经玻璃砖上表面的反射．12.（20分）通常电容器两极板间有多层电介质，并有漏电现象．为了探究其规律性，采用如图所示的简单模型．电容器的两极板面积均为A，其间充有两层电介质1和2，第1层电介质的介电常数、电导率（即电阻率的倒数）和厚度分别为ε1σ1和d1，第2层电介质的则为ε2σ2和d2.现在两极板加一直流电压U，电容器处于稳定状态．(1)画出等效电路图；(2)计算两层电介质所损耗的功率；(3)计算两介质交界面处的净电荷量；提示：充满漏电电介质的电容器可视为一不漏电电介质的理想电容和一纯电阻的并联电路．15513.（20分）如图所示，一绝缘容器内部为立方体空腔，其长和宽分别为a和b，厚度为d，其两侧等高处装有两根与大气相通的玻璃管（可用来测量液体两侧的压强差）．容器内装满密度为ρ的导电液体，容器上下两端装有铂电极A和C，这样就构成了一个液体电阻．该液体电阻置于一方向与容器的厚度方向平行的均匀恒定的磁感应强度为B的磁场中，并通过开关K接在一电动势为ε内阻为r的电池的两端．闭合开关．若稳定时两侧玻璃管中液面的高度差为h，求导电液体的电导率σ重力加速度大小为g.14.（20分）1mol的理想气体经历一循环过程1-2-3-1，如p-T图示所示，过程1-2是等压过程，过程3-1是通过p-T图原点的直线上的一段，描述过程2-3的方程为c1p2+c2p=T式中c1和c2都是待定的常量，p和T分别是气体的压强和绝对温度．已知，气体在状态1的压强、绝对温度分别为P1和T1，气体在状态2的绝对温度以及在状态3的压强和绝对温度分别为T2以及p3和T3．气体常量R也是已知的．(1)求常量c1和c2的值；(2)将过程1-2-3-1在p-v图示上表示出来；(3)求该气体在一次循环过程中对外做的总功．15.（20分）一个ω介子飞行时衰变成静止质量均为m的三个π介子，这三个π介子的动量共面，已知：衰变前后介子运动的速度都远小于光在真空中的速度c；衰变后的三个π介子的动能分别为T1、T2和T3，且第一、二个π介子飞行方向之间的夹角为θ1，第二、三个π介子飞行方向之间的夹角为θ2（如图所示）；介子的动能等于介子的能量与其静止时的能量（即其静止质量与c2的乘积）之差，求ω介子在衰变前的瞬间的飞行方向（用其飞行方向与衰变后的第二个介子的飞行方向的夹角即图中的φ角表示）及其静止质量．15616.（25分）一圆盘沿顺时针方向绕过圆盘中心O并与盘面垂直的固定水平转轴以匀角速度ω=4.43rad/s转动．圆盘半径r=1.00m，圆盘正上方有一水平天花板．设圆盘边缘各处始终有水滴被甩出，现发现天花板上只有一点处有水．取重力加速度大小g=9.80m/s2.求(1)天花板相对于圆盘中心轴O点的高度；(2)天花板上有水的那一点的位置坐标．157第31届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．D；2．C；3．AD；4．A；5．BCD；二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需要写出求得结果的过程．6．（10分）答：0.022~0.024mm，3分3.772~3.774mm，3分3.748~3.752mm，4分（若有效位数错，不给这4分）7．（10分）答案：21.5m/s，5分；4.510J，5分8．（10分）答案：（1）右，f，实，倒，1．每空1分；（2）左，2f，实，倒，1．每空1分．9．（10分）答案：等压，2分；等容，2分；nR，6分10．（10分）答案：23.610，5分；78.810，5分三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．11．（15分）解法一：由折射定律得sinsinidn①由几何关系得1tanixh②2tandxt③122tan90iHxx④158式中，H为物A到像A的距离．在小角度近似下有tansinii≈，tansindd≈，1tan90sinii≈⑤联立以上各式得2tHHn⑥解法二：由折射定律得sinsinidn①由几何关系有1tanixh②2tandxt③122tan90iHhxx④式中，H为物A到像A的距离．利用小角度近似关系tansinii≈，tansindd≈，1tan90sinii≈⑤得2thHhn像A与A点的距离为2tHhn⑥159评分标准：①式3分，②③④式各2分，⑤⑥式各3分．12．（20分）（1）等效电路如图所示．（2）等效电容1C和2C为111ACd，222ACd①等效电阻1R和2R为111dRA，222dRA②两层电介质所损耗的功率为2212121221UAUPRRdd③（3）设两层介质各自上下界面之间的电压分别为1U和2U．上层介质面上的电荷为11121111121221URUAUQCUdRRdd④下层介质面上的电荷为212221121AUQCUdd⑤两层介质交界面处的净电荷量为1212211221AUQQdd⑥评分标准：第（1）问4分，等效电路图正确（没标注相应字母和箭头的，也算正确），4分；第（2）问9分，①②③式各3分；第（3）问7分，④⑤式各2分，⑥式3分．13．（20分）沿着电流强度I的方向液柱长度为a，该液柱受到的安培力大小为：mFBIa①液柱两侧面受到的由压强差产生的压力大小为160PFghad②由水平方向上力的平衡条件有mPFF③由欧姆定律得IRr④式中aRbd⑤由以上各式解各ghabBrghd⑥评分标准：①式4分，②③④⑤式各3分，⑥式4分．14．（20分）（1）设气体在状态i（i1、2和3）下的压强、体积和绝对温度分别为ip、iV和iT，由题设条件有212222cpcpT①213233cpcpT②由此解得233223311222223321331TpTpTpTpcpppppppp③2222233223312222223231313TpTpTpTpcpppppppp④（2）利用气体状态方程pVRT，以及111TVRp，222TVRp，323TVRp⑤可将过程23的方程改写为2323322323VVVpVppVpppp⑥可见，在pV图示上过程23是以22pV，和33pV，为状态端点的直线．在pT图示中，过程31是通过原点的直线上的一段，因而描述其过程的方程为3pcT⑦式中，3c是一常量．利用气体状态方程pVRT，可将过程31的方程改写为161313RVVVc⑧这是以31pV，和11pV，为状态端点的等容降压过程．综上所述，过程1231在pV图示上是一直角三角形，如图所示．（3）气体在一次循环过程中对外做的总功为312112WppVV⑨利用气体状态方程pVRT和⑤式，上式即3211112pWRTTp⑩评分标准：第（1）问8分，①②③④式各2分；第（2）问10分，⑤⑥式各2分，过程1231在pV图示正确，给6分；第（3）问2分，⑩式2分．15．（20分）以第二个π介子的飞行方向为x轴，以事件平面为xy平面．设衰变前介子和衰变后三个π介子的动量大小分别为P、1p、2p和3p．衰变前后粒子在x和y方向的总动量分别守恒11232coscoscospppp①1132sinsinsinppp②衰变前后粒子总能量守恒2222123ccmcTmcTmTmT③式中左端和右端三个圆括号所示的量分别是衰变前介子和衰变后三个π介子的总能（静能与动能之和）．衰变前介子和衰变后三个π介子的总能可由分别其动量和静质量表示出来22pTm④2112pTm⑤1622222pTm⑥2332pTm⑦分别由⑤⑥⑦式得112pmT⑧222pmT⑨332pmT⑩联立①②⑧⑨⑩式得113211232sinsinarctancoscosTTTTT○112123131212123224coscoscospmTTTmTTTTTT○12由③④○12式得2221231232232ccmmTTTmmTTT13121212324coscoscos0mTTTTTT○13其解为22123123222313122222pmmTTTmTTTccc○14式中，2p由○12式给出．另一解~Pmc，与非相对论近似条件2mcpc矛盾，舍去．评分标准：本题20分．①②③④⑤⑥⑦式各2分，○11○12○13○14式各2分．（采用相对论的能量-动量公式得出正确结果的，同样得分）16．（25分）解法一（1）在圆盘所在平面内建立平面直角坐标系，使盘心O为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上．按题意，天花板上有水的地方仅仅是一点，该心必定是所有水滴运动轨迹的最高点；只有第二象限的圆盘边缘甩出的水滴才能到达这一最高点．水滴甩出时的初速度大小是恒定的0vr①以P点位于0r，处时为计时零点，则P点在时刻0t处时，O、P连线与右图中x轴负方向的夹角为16300t②这时经过P点的水滴的位置00xy，和速度00xyvv，分别为00cosxr，00sinyr③000sinxvv，000cosyvv④在时刻0t被甩出的水滴做抛体运动．设不存在天花板，该水滴在时刻1t达到最高处．由抛体运动公式，可得0100cosrgtt⑤10010xxxvtt，2100101012yyyvttgtt⑥由①②③④⑤式和⑥式中第二式，得22100sin1sin2ryrttg⑦对变元0sint配方后得2221022sin222rrggytggr⑧于是在1102maxsin0yygtr⑨时有21max222rgyg⑩依题意，上式即天花板相对于圆盘中心轴O点的高度．代入题给数据得max1.25ym○11（2）由⑨式和题给数据可知，1max02sin0.5yygtr○12故11max030yy○13164由①②③④⑤式和⑥中第一式，得11221maxsin30cos303cos3022yyrrxrrgg代入题给数据得111max0yyx○14所以，y轴与天花板的交点为天花板上有水的那一点的位置，其坐标值为01.25m，．评分标准：第（1）问17分，①②③④⑤式各1分，⑥⑧⑨式各2分，⑩式4分，○11式2分；第（2）问8分，○13式4分，○14式2分，结论正确给2分．解法二（1）在圆盘所在平面内建立平面直角坐标系，使盘心O为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上．只有第二象限的圆盘边缘甩出的水滴才可能到达天花板上某一固定点；而不是打到天花板上某一区域（不止一个点），或者打不到天花板上．水滴甩出时的初速度大小是恒定的：0vr①其x和y分量分别为：0sinxvr，0cosyvr②取水滴从P点甩出时为计时零点，P在0t时的初始坐标为：0cosxr，0sinyr③水滴的x，y坐标与t的关系式为：0020012xyxxvtyyvtgt④现在求的各种可能取值中，y的最大值．对某一特定的值，0x、0y、0xv、0yv均为固定值，先针对这个固定的值，求20012yyyvtgt⑤的最大值．即求斜抛运动的“最大射高”：20200maxmax122yyvyyvtgtg⑥对应的220max0cossin22yvryyrgg22sin1sin2rrg165222sinsin22rrrgg⑦222sin1=2222rgrggg这说明不同的值对应不同的y的最大值．只有含的平方项（即上式最后的）为0时，才是这些“最大射高”中的最大值．由此得到天花板的高度为：22max2214.439.801.000.251.25m2229.8024.43rgyg⑧（2）当水滴能打到天花板时，229.80sin0.5014.43gr⑨即30令⑤式为0得到斜抛水滴再次到达初始时的水平高度时的时间为：02yvtg○11y值取最大时所用的时间是上述值的一半，把该时间代入④的第一式得水滴在天花板上的x位置坐标为：00coscossinxxxvtrrg22314.43sin232cos12229.80rrg○120所以y轴与天花板的交点为天花板上有水的那一点的位置，其坐标值为01.25m，．评分标准：第（1）问17分，①式1分，②③④⑤⑥式各2分，⑦式4分，⑧式2分；第（2）问8分，⑩式4分，○12式2分，结论正确给2分．