2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式教师用书（PDF，含解析）

３０　　　５年高考３年模拟Ｂ版(教师用书)第四章三角函数§４.１　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式对应学生用书起始页码Ｐ５５考点一三角函数的概念以及同角三角函数的基本关系高频考点　　１.任意角(１)角的分类任意角可按旋转方向分为正角、零角、负角.(２)象限角第一象限角的集合α２ｋπ<α<π２＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ{}第二象限角的集合απ２＋２ｋπ<α<π＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ{}第三象限角的集合απ＋２ｋπ<α<３π２＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ{}第四象限角的集合α３π２＋２ｋπ<α<２π＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ{}　　(３)终边相同的角所有与角α终边相同的角ꎬ连同角α在内ꎬ可构成一个集合Ｓ＝{β｜β＝α＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ}.２.弧度制(１)弧度制的概念把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角ꎬ以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.(２)角度与弧度之间的换算３６０°＝２πｒａｄꎬ１８０°＝πｒａｄꎬ１°＝π１８０ｒａｄꎬ１ｒａｄ＝１８０π()°≈５７.３°.(３)弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为ｌꎬ圆心角大小为α(弧度)ꎬ半径为ｒꎬ则ｌ＝｜α｜ｒꎻＳ扇形＝１２ｌｒ＝１２｜α｜ｒ２.３.三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角ꎬ它的终边与单位圆交于点Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ那么:ｙ叫做α的正弦ꎬ记作ｓｉｎαｘ叫做α的余弦ꎬ记作ｃｏｓαｙｘ(ｘ≠０)叫做α的正切ꎬ记作ｔａｎα续表正弦余弦正切各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口诀一全正ꎬ二正弦ꎬ三正切ꎬ四余弦　　４.同角三角函数的基本关系式(１)平方关系:ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１.(２)商数关系:ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα.考点二三角函数的诱导公式高频考点　　１.由于诱导公式涉及的公式比较多ꎬ记忆时可以按以下方法进行ꎬ即α＋ｋ􀅰２π(ｋ∈Ｚ)ꎬ－αꎬπ±α的三角函数值ꎬ等于α的同名函数值ꎬ前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号ꎻπ２±α的正弦(余弦)ꎬ分别等于α的余弦(正弦)ꎬ前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.组数一二三四五六角２ｋπ＋α(ｋ∈Ｚ)π＋α－απ－απ２－απ２＋α正弦ｓｉｎα－ｓｉｎα－ｓｉｎαｓｉｎαｃｏｓαｃｏｓα余弦ｃｏｓα－ｃｏｓαｃｏｓα－ｃｏｓαｓｉｎα－ｓｉｎα正切ｔａｎαｔａｎα－ｔａｎα－ｔａｎα——口诀函数名不变ꎬ符号看象限函数名改变ꎬ符号看象限　　２.正确理解“奇变偶不变ꎬ符号看象限”“奇”“偶”指的是ｋ􀅰π２＋α(ｋ∈Ｚ)中的整数ｋ是奇数还是偶数.“变”与“不变”是相对于奇偶关系而言的ꎬｓｉｎα与ｃｏｓα对偶.“符号看象限”指的是在ｋ􀅰π２＋α(ｋ∈Ｚ)中ꎬ将α看成锐角时ꎬｋ􀅰π２＋α(ｋ∈Ｚ)的终边所在的象限.􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第四章　三角函数３１　　　对应学生用书起始页码Ｐ５６一、同角三角函数基本关系式的应用技巧　　１.已知ｓｉｎαꎬｃｏｓα与ｔａｎα三者中的一个求另外两个:利用平方关系和商数关系求解ꎻ２.已知ｔａｎα的值ꎬ求关于ｓｉｎα与ｃｏｓα的齐ｎ次分式的值:分子、分母同除以ｃｏｓｎαꎬ转化为关于ｔａｎα的式子求解ꎻ３.“１”的代换问题:含有ｓｉｎ２αꎬｃｏｓ２α及ｓｉｎαｃｏｓα的整式求值问题ꎬ可将所求式子的分母看作“１”ꎬ利用“ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１”代换后转化为“切”ꎬ然后求解.特别提醒　对于ｓｉｎα＋ｃｏｓαꎬｓｉｎαｃｏｓαꎬｓｉｎα－ｃｏｓα这三个式子ꎬ已知其中一个式子的值ꎬ其余二式的值可求.转化的公式为(ｓｉｎα±ｃｏｓα)２＝１±２ｓｉｎαｃｏｓα.(１)若α为第二象限的角ꎬ且ｔａｎα＝－５１２ꎬ则ｃｏｓα＝(　　)Ａ.５１３Ｂ.－５１３Ｃ.１２１３Ｄ.－１２１３(２)若ｓｉｎα＝４５ꎬ且α为锐角ꎬ则ｔａｎα的值等于(　　)Ａ.４３Ｂ.－３４Ｃ.３４Ｄ.－４３解析　(１)∵α是第二象限角ꎬ且ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝－５１２ꎬ∴ｓｉｎα＝－５１２ｃｏｓαꎬ∵ｃｏｓα<０ꎬｓｉｎα>０ꎬｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１ꎬ∴－５１２ｃｏｓα()２＋ｃｏｓ２α＝１ꎬ∴ｃｏｓα＝－１２１３.(２)∵ｓｉｎα＝４５ꎬ且α为锐角ꎬ∴ｃｏｓα＝１－ｓｉｎ２α＝１－４５()２＝３５ꎬ∴ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝４５３５＝４３.答案　(１)Ｄ　(２)Ａ　　１－１　已知θ∈π２ꎬπ()ꎬｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝－１０５ꎬ则ｔａｎθ－π４()的值为(　　)Ａ.１２Ｂ.２Ｃ.－１２Ｄ.－２１－１答案　Ｄ解析　∵θ∈π２ꎬπ()ꎬｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝－１０５ꎬ∴θ∈３π４ꎬπ()ꎬ∴θ－π４∈π２ꎬ３π４()ꎬ∴ｔａｎθ－π４()<－１.∵(ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ)２＝１＋２ｓｉｎθｃｏｓθ＝２５ꎬ∴ｓｉｎ２θ＝ｃｏｓπ２－２θ()＝ｃｏｓ２(π４－θ)－ｓｉｎ２π４－θ()ｃｏｓ２π４－θ()＋ｓｉｎ２π４－θ()＝１－ｔａｎ２π４－θ()１＋ｔａｎ２π４－θ()＝－３５ꎬ解得ｔａｎθ－π４()＝±２ꎬ∴ｔａｎθ－π４()＝－２.思路分析　由条件求得ｔａｎθ－π４()<－１ꎬ利用同角三角函数的基本关系求得ｓｉｎ２θ＝ｃｏｓπ２－２θ()的值ꎬ再利用二倍角的余弦公式求得ｔａｎθ－π４()的值.􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式的应用ꎬ属于基础题.　　１－２　已知ｓｉｎα＝３５ꎬα∈(π２ꎬπ)ꎬ则ｔａｎα＋π４()的值为　　　　.１－２答案　１７解析　∵ｓｉｎα＝３５ꎬα∈π２ꎬπ()ꎬ∴ｃｏｓα＝－１－ｓｉｎ２α＝－４５ꎬｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝－３４ꎬ∴ｔａｎα＋π４()＝１＋ｔａｎα１－ｔａｎα＝１－３４１＋３４＝１７.故答案为１７.思路分析　由已知利用同角三角函数基本关系式可求ｃｏｓαꎬｔａｎαꎬ根据两角和的正切函数公式即可求值得解.􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　本题主要考查了同角三角函数基本关系式ꎬ两角和的正切函数公式的应用ꎬ考查了计算能力ꎬ属于基础题.　　ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘꎬｘ∈０ꎬπ２()的值域为　　　　.解析　令ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝２ｓｉｎｘ＋π４()ꎬ∵ｘ∈０ꎬπ２()ꎬ∴ｘ＋π４∈π４ꎬ３π４()ꎬ∴１<２ｓｉｎｘ＋π４()≤２ꎬ即１<ｔ≤２ꎬ∴ｔ２＝１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘꎬ即ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２－１２ꎬ∴ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ＋ｔ２－１２＝１２(ｔ＋１)２－１ꎬ∵１<ｔ≤２ꎬ∴１<１２(ｔ＋１)２－１≤１＋２２２.∴函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘｘ∈０ꎬπ２()()的值域为１ꎬ１＋２２２æèçùûúú.答案　１ꎬ１＋２２２æèçùûúú　　２－１　已知ｓｉｎαｃｏｓα＝１８ꎬ０<α<π２()ꎬ则ｓｉｎα＋ｃｏｓα的值是(　　)􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋３２　　　５年高考３年模拟Ｂ版(教师用书)Ａ.３２Ｂ.１４Ｃ.－３２Ｄ.５２２－１答案　Ｄ解析　因为０<α<π２ꎬ所以ｓｉｎα＋ｃｏｓα>０ꎬ所以(ｓｉｎα＋ｃｏｓα)２＝ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝１＋２×１８＝５４ꎬ所以ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝５２.思路分析　根据题目给出的α的取值范围ꎬ判断ｓｉｎα＋ｃｏｓα>０ꎬ先求其平方ꎬ然后开方即可.􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　本题考查了同角三角函数的基本关系式ꎬ考查了整体运算思想ꎬ解答时注意角的范围对三角函数值的影响ꎬ是基础题.　　２－２　已知ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２３ꎬ则ｓｉｎ２α的值为(　　)Ａ.５９Ｂ.±５９Ｃ.－５９Ｄ.０２－２答案　Ｃ解析　ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２３ꎬ两边平方可得１＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝１＋ｓｉｎ２α＝４９ꎬ∴ｓｉｎ２α＝－５９.　　２－３　已知ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝４３０<θ<π４()ꎬ则ｓｉｎθ－ｃｏｓθ的值为　　　　.２－３答案　－２３解析　∵ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝４３ꎬ∴(ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ)２＝ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＋２ｓｉｎθｃｏｓθ＝１＋２ｓｉｎθｃｏｓθ＝１６９ꎬ∴２ｓｉｎθｃｏｓθ＝７９ꎬ∴(ｓｉｎθ－ｃｏｓθ)２＝ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ－２ｓｉｎθｃｏｓθ＝１－２ｓｉｎθｃｏｓθ＝２９ꎬ又∵０<θ<π４ꎬ∴ｓｉｎθ－ｃｏｓθ<０ꎬ∴ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－２３.　　已知ｔａｎα＝－１３ꎬ计算:(１)ｓｉｎα＋２ｃｏｓα５ｃｏｓα－ｓｉｎαꎻ(２)１２ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ２α.解析　(１)∵ｔａｎα＝－１３ꎬ∴ｓｉｎα＋２ｃｏｓα５ｃｏｓα－ｓｉｎα＝ｔａｎα＋２５－ｔａｎα＝－１３＋２５＋１３＝５１６.(２)∵ｔａｎα＝－１３ꎬ∴１２ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ２α＝ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α２ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ２α＝ｔａｎ２α＋１２ｔａｎα＋１＝１９＋１－２３＋１＝１０３.　　３－１　已知ｔａｎα－π３()＝－３５ꎬ则ｓｉｎαｃｏｓα３ｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α＝　　　　.３－１答案　３３解析　ｔａｎα－π３()＝－３５ꎬ即ｔａｎα－ｔａｎπ３１＋ｔａｎαｔａｎπ３＝－３５ꎬ所以ｔａｎα＝３２ꎬ所以ｓｉｎαｃｏｓα３ｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α＝ｔａｎα３－２ｔａｎ２α＝３２３－２×３２æèçöø÷２＝３３.故答案为３３.　　３－２　已知ｔａｎαｔａｎα－１＝－１ꎬ则ｓｉｎα－３ｃｏｓαｓｉｎα＋ｃｏｓα＝　　　　.３－２答案　－５３解析　∵ｔａｎαｔａｎα－１＝－１ꎬ∴ｔａｎα＝１２ꎬ∴ｓｉｎα－３ｃｏｓαｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｔａｎα－３ｔａｎα＋１＝－５３.　　３－３　已知ｔａｎα＝２ꎬ则ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α＝　　　　.３－３答案　３５解析　∵ｔａｎα＝２ꎬ∴ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α＝ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２αｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝ｔａｎ２α－１ｔａｎ２α＋１＝４－１４＋１＝３５.􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋二、利用诱导公式化简求值的思路和要求　　１.思路方法:①分析结构特点ꎬ选择恰当的公式ꎻ②利用公式化成单角三角函数ꎻ③整理得出最简形式.２.化简要求:①化简过程是恒等变形ꎻ②结果要求项数尽可能少ꎬ次数尽可能低ꎬ结构尽可能简单ꎬ能求值的要求出值.已知ｓｉｎ３π２－α()ｃｏｓπ２＋α()ｃｏｓ(π－α)ｓｉｎ(３π－α)ｓｉｎ(－π－α)＝３.(１)求ｓｉｎα的值ꎻ(２)当α为第三象限角时ꎬ求ｃｏｓαꎬｔａｎα的值.解析　(１)∵ｓｉｎ３π２－α()ｃｏｓπ２＋α()ｃｏｓ(π－α)ｓｉｎ(３π－α)ｓｉｎ(－π－α)＝－ｃｏｓα􀅰(－ｓｉｎα)－ｃｏｓα􀅰ｓｉｎα􀅰ｓｉｎα＝－１ｓｉｎα＝３ꎬ∴ｓｉｎα＝－１３.(２)∵α为第三象限角ꎬｓｉｎα＝－１３ꎬ∴ｃｏｓα＝－１－ｓｉｎ２α＝－２２３ꎬ∴ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝１２２＝２４.　　４－１　求下列各式的值:(１)ｓｉｎπ４ｃｏｓ１９π６ｔａｎ２１π４ꎻ(２)ｓｉｎ４２０°ｃｏｓ３３０°＋ｓｉｎ(－６９０°)ｃｏｓ(－６６０°).􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第四章　三角函数３３　　　４－１解析　(１)原式＝ｓｉｎπ４ｃｏｓ２π＋７π６()ｔａｎ５π＋π４()＝２２ｃｏｓ７π６ｔａｎπ４＝２２ｃｏｓπ＋π６()＝２２－ｃｏｓπ６()＝－２２×３２＝－６４.(２)原式＝ｓｉｎ(３６０°＋６０°)ｃｏｓ(３６０°－３０°)＋ｓｉｎ(－２×３６０°＋３０°)ｃｏｓ(－２×３６０°＋６０°)＝ｓｉｎ６０°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ３０°ｃｏｓ６０°＝３２×３２＋１２×１２＝１.　　４－２　化简:ｃｏｓα－π２()ｓｉｎ５π２＋α()􀅰ｓｉｎ(α－２π)ｃｏｓ(２π－α)＋ｃｏｓ２(－α)－ｔａｎ(２π＋α)ｓｉｎ(－α).４－２解析　原式＝ｓｉｎαｃｏｓα􀅰ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ２α＋ｔａｎαｓｉｎα＝ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＋１ｃｏｓα＝１＋１ｃｏｓα.　　４－３　已知ｆ(α)＝ｔａｎ(π－α)􀅰ｃｏｓ(２π－α)􀅰ｓｉｎπ２＋α()ｃｏｓ(－α－π).(１)化简ｆ(α)ꎻ(２)若ｆ(α)＝４５ꎬ且α是第二象限角ꎬ求ｃｏｓ２α＋π３()的值.４－３解析　(１)ｆ(α)＝ｔａｎ(π－α)􀅰ｃｏｓ(２π－α)􀅰ｓｉｎπ２＋α()ｃｏｓ(－α－π)＝－ｔａｎα􀅰ｃｏｓα􀅰ｃｏｓα－ｃｏｓα＝ｓｉｎα.(２)∵ｆ(α)＝ｓｉｎα＝４５ꎬ且α是第二象限角ꎬ∴ｃｏｓα＝－１－ｓｉｎ２α＝－３５ꎬ∴ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１＝－７２５ꎬｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝－２４２５ꎬ∴ｃｏｓ２α＋π３()＝ｃｏｓ２αｃｏｓπ３－ｓｉｎ２αｓｉｎπ３＝－７２５×１２＋２４２５×３２＝２４３－７５０.􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋