MBA联考数学排列组合10个方法

排列组合方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 一、知识点 (一)加法原理 如果完成一件事有 n类 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 ，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就 可以完成这件事，若第一类办法中有 1m 种不同的方法，第二类办法中有 2m 种不 同的方法，…，第 n 类办法中有 nm 种不同的办法，那么完成这件事共有 1 2 nN m m m    种不同的方法. (二）乘法原理 如果完成一件事，必须依次连续地完成 n个步骤，这件事才能完成，若完成 第一个步骤有 1m 种不同的方法，完成第二个步骤有 2m 种不同的方法，…，完成 第 n个步骤有 nm 种不同的方法，那么完成这件事共有 1 2 nN m m m    种不同的 方法- (三)排列 1.排列 从 n个不同元素中，任意取出  m m n 个元素，按照一定顺序排成一列，称 为从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数 从 n个不同元素中取出  m m n 个元素的所有排列的种数，称为从 n个不同 元素中取出m个不同元素的排列数，记作 mnP 或 m nA .当m n 时，即从 n个不同元 素中取出 n个元素的排列，叫作 n个元素的全排刿，也叫 n的阶乘，用符号 !n 表 示. 3.排列数公式 （1）规定 10 1A  . （2）        ! 1 2 1 ! m n n A n n n n m n m        . （3）   1 2 3 3 1 !mnA n n n n      . （4）  m k m nn n n kA A A m k     . (四)组合 1.组合 从 n个不同元素中，任取  m m n 个元素组成一组(不考虑元素的顺序），叫 作从 n个不同元素中任取m个元素的一个组合. 2.组合数 从 n个不同元素中任取  m m n 个元素的所有组合的总数，叫作从 n个不同 元素中任取m个元素的组合数，用符号 mnC 表示. 3.组合数公式 （1）规定 0 1nn nC C  ； （2）       1 1 ! 1 2 1 m m n n n n n mA C m m m        ，则 m m mn n mA C A  ； （3） m n mn nC C  . (五)二项式定理   0 1 1 1 1 n n n k n k k n n n n n n n n na b C a C a C a b C ab C b            , 其中第 1k  项为 1 k n k k k nT C a b    称为通项. 若令 1a b  ，得 0 1 2 2n nn n n nC C C C     ， 0 1, , , nn n nC C C 称为展开式中的二项式系数，二项式系数具有以下性质： （1） 0 2 4 12n nn n n nC C C C      （ n为偶数）； （2） 1 3 5 12n nn n n nC C C C      （ n为奇数）； （3） n为偶数时中项的系数最大， n为奇数时中间两项的系数等值且最大. 二．常见问题及方法 1.住店问题 n个不同人(不能重复使用元素），住进m个店（可以重复使用元素），那么 第一，第二，…，第 n个人都有m种选择，则总共排列种数是 nm 个. 例 1.有 5 人报名参加 3 项不同的培训，每人都只报一项，则不同的报法有 （ ）. (A)243种 (B)125种 (C)81种 (D)60种 （E)以上选项均不正确 解析：乘法原理，每个人都有 3种选择，所以不同的报法有 53 243 (种). 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】A 练习：3个人争夺 4项比赛的冠军，没有并列冠军，则不同的夺冠可能有（） 种. (A) 34 (B) 43 (C)4×3 (D)2×3 (E)以上选项均不 正确 解析：每个冠军都有 3个人可选，故夺冠可能有 种. 【答案】B 2.简单排列组合问题 明确排列与组合的区别：只要求每个组里的元素不同，是组合问题，用 mnC ；若 对顺序有要求，则是排列问题，用 mnA . 注：解决这类问题的关键是准确分类与分步. 例 2 (2012-1)某商店经营 15种商品，每次在橱窗内陈列 5种，若每两次 陈列的商品不完全相同，则最多可陈列（）. (A)3000种 (B)3003种 (C)4000种 (D)4003种 (E)4300种 【解析】只要求商品不同，是组合问题，故 515 15 14 13 12 11 3003 5 4 3 2 1 C           (种) 【答案】B 练习： (2015-1)平面上有 5条平行直线，与另一组 条平行直线垂直，若 两组平行线共构成 280个矩形，则 （）. (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E)9 【解析】组合问题 从两组平行直线中任选两条则可构成一个矩形，于是 2 25 280nC C  ，即  1 56n n  ，解得 8n  . 【答案】D 3. 排队问题 （1）特殊元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； （2）特殊位置优先法. 先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； （3）排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． （4）相邻问题捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一 14 n 2 4 3 m k 个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列． （5）不相邻问题插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不 相邻的元素插空． （6）定序问题消序法. 例 3 甲、乙、丙、丁、戊、己 6人排队，则在以下各要求下，各有多少种 不同的排队方法？ （1）甲不在排头； （2）甲不在排头并且乙不在排尾； （3）甲乙两人相邻； （4）甲乙两人不相邻； （5）甲始终在乙的前面(可相邻也可不相邻). 【解析】假设 6人一字排开，排入如下格子： 排头 排尾 （1）方法一：剔除法. 6个人任意排，有 66A 种方法； 甲在排头，其他人任意排，有 55A 种方法；故甲不在排头的方法有 6 5 6 5 600A A  (种). 方法二：特殊元素优先法. 第一步：甲有特殊要求，故让甲先排，甲除了排头外有 5个格子可以选，即 1 5C ； 第二步：余下的 5个人，还有 5个位置可以选，没有任何要求，故可任意排， 即 55A . 故不同的排队方法有 1 55 5 600C A  (种). 方法三：特殊位置优先法. 第一步：排头有特殊要求，先让排头选人，除了甲以外都可以选，故有 15C ； 第二步：余下的 5个位置，还有 5个人可以选，没有任何要求，故可任意排 5 5A , 故不同的排队方法有 1 55 5 600C A  (种). 【注意】①虽然以上两种方法在这一道题列出式子来是一样的，但是两种方 法的含义不同. ②在并非所有元素都参与排列时(如“6个人选 4个人排队，甲不在排头”）， 特殊位置优先法与特殊元素优先法列出的式子并不一样，特殊位置优先法会更简 单. （2）方法一：特殊元素优先法. 有两个特殊元素：甲和乙.如果我们先让甲挑位置，甲不能在排头，故甲可 以选排尾和中间的 4 个位置.这时，如果甲占了排尾，则乙就变成了没有要求的 元素；如果甲占了中间 4个位置中的一个，则乙还有特殊要求：不能坐排尾；故 按照甲的位置分为两类： 第一类：甲在排尾，其他人没有任何要求，即 55A ； 第二类：甲从中间 4个位置中选 1个位置，即 14C ；再让乙选，不能在排尾， 不能在甲占的位置，故还有 4个位置可选，即 14C ；余下的 4个人任意排，即 4 4A ； 故应为 1 1 44 4 4C C A . 加法原理，不同排队方法有 5 1 1 45 4 4 4 504A C C A  (种). 方法二：剔除法. 6个人任意排 66A ,减去甲在排头的 5 5A ，再减去乙在排尾的 5 5A ； 甲既在排头乙又在排尾的减了 2次，故需要加上 1次，即 44A ； 所以，不同排队方法有 6 5 5 46 5 5 4 504A A A A    (种). （3）相邻问题用捆绑法. 第一步：甲乙两人必须相邻，故我们将甲乙两人用绳子捆起来，当作一个元 素来处理，则此时有 5个元素，可以任意排，即 55A ； 第二步：甲乙两人排一下序，即 22A ； 根据乘法原理，不同排队方法有 5 25 2 240A A  (种). （4）不相邻问题用插空法. 第一步：除甲乙外的 4个人排队，即 44A ； 第二步：4个人中间形成了 5个空，挑两个空让甲乙两人排进去，两人必不 相邻，即 25A ； 根据乘法原理，不同排队方法有 4 24 5 480A A  (种). （5）定序问题用消序法. 第一步：6个人任意排，即 66A ； 第二步：因为甲始终在乙的前面，所以单看甲乙两人时，两人只有一种顺序， 但是 6 个人任意排时，甲乙两人有 22A 种排序，故需要消掉两人的顺序，用乘法 原理的逆运算，即用除法，则有 6 6 2 2 A A . 故不同排队方法有 6 6 2 2 360 A A  种). 【注意】若 3人定序则除以 33A ，以此类推. 练习： (2012-1)在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出 3 男 2 女共 5 名 运动员进行 5 局单打比赛.如果女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员 的不同出场顺序有（）. (A)12种 (B)10种 (C)8种 (D)6种 (E)4种 【解析】要求“每队”队员的不同出场顺序，只需要考虑一队即可. 所以，2个女队员排在第二和第四局，即 22A ； 3个男队员排在另外三局，即 33A ； 根据乘法原理，不同的出场顺序为 2 32 3 12A A  (种). 【答案】A 4.万能元素问题 万能元素是指一个元素同时具备多种属性，一般按照选与不选万能元素来分 类. 例 (2011-10)在 8名志愿者中，只能做英语翻译的有 4人，只能做法语翻译 的有 3 人，既能做英语翻译又能做法语翻译的有 1 人.现从这些志愿者中选取 3 人做翻译工作，确保英语和法语都有翻译的不同选法共有（）种. (A)12 (B)18 (C)21 (D)30 (E)51 【解析】分为两类： 第一类：有人既懂英语又懂法语 1 21 7 21C C  ； 第二类：没有人既懂英语又懂法语 1 2 1 14 3 4 3 30C C C C  . 根据加法原理，不同的选法有 51种. 练习：从 1、2、3、4、5、6 中任取 3 个数字，其中 6 能当 9 用，则能组成 无重复数字的 3位数的个数是（）个. (A)108 (B)120 (C)160 (D)180 (E)200 【解析】分为三类： 第一类：无 6和 9,则其余 5个数选 3个任意排，即 35A ； 第二类：有 6,则 1、2、3、4、5中选 2个，再与 6-起任意排，即 2 35 3C A ； 第三类：有 9,则 1、2、3、4、5中选 2个，再与 9一起任意排，即 2 35 3C A ； 故总个数为 3 2 3 2 35 5 3 5 3 180A C A C A   (种). 【答案】D 5.均匀与不均匀分组问题 （1）均匀分组与不均匀分组. 如果组与组之间的元素个数相同，称为均匀分组；否则，称为不均匀分组. （2）小组有名称与小组无名称. 只是分组即可，则小组无名称；如分为 A组、B组、C组，或种子队、非种 子队.等等，则小组有名称. （3）如果均匀分组，并且小组无名称，需要消序（若有 m组元素个数相等， 就要除以 mmA ）；其佘情况均不需要消序. 例：从 10 个人中选一些人，分成三组，在以下要求下，分别有多少种不同 的方法？ （1）每组人数分别为 2、3、4； （2）每组人数分别为 2、2、3； （3）分成 A组 2人，B组 3人，C组 4人； （4）分成 A组 2人，B组 2人，C组 3人； （5）每组人数分别为 2、3、4,：去参加不同的劳动； （6）每组人数分别为 2、2、3,去参加不同的劳动. 【解析】（1）不均匀分组，不需要考虑消序，即 2 3 410 8 5C C C . （2）均匀并且小组无名字，要消序，即 2 3 4 10 8 5 2 2 C C C A . （3）小组有名字，不管均匀不均匀，不需要消序，即 2 3 410 8 5C C C . （4）小组有名字，不管均匀不均匀，不需要消序，即 2 2 310 8 6C C C . （5）第一步，不均匀分组，即第二步，安排劳动，即 33A ；故有 2 3 4 3 10 8 5 3C C C A （6）第一步，均匀且小组无名称分组，即 2 2 3 10 8 6 2 2 C C C A .；第二步，安排劳动， 即 33A ；故有 2 2 3 310 8 6 32 2 C C C A A . 6.不同元素的分配问题 不同元素的分配问题，采用先分组，再分配(排列）的原则. 例：4个不同的小球放人甲、乙、丙、丁 4个盒中，恰有一个空盒的放法 有（ ）. (A) 1 2 4 4C C (B) 3 3 4 3C A (C) 1 4 4C A (D) 2 3 4 4C A (E) 3 1 4 3A C 【解析】先取两个球作为一组是 24C ，余下 2 球自然成为 2 组，把 3 组球放 入 4个盒子的三个里，即 34A ，所以，不同的放法有 2 3 4 4C A 种. 【答案】D 练习 (2010-1)某大学派出 5 名志愿者到西部 4 所中学支教，若每所中学 至少有一名志愿者，则不同的分配 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 共有（）. (A)240种（B)144种(C)120种（D)60种 （E)24种 【解析】其中一所学校分配 2人，其余 3所学校各分配一人，分两步： 第一步：从 5名志愿者任选 2人作为一组，另外三人各成一组，即 25C ； 第二步：将 4组志愿者任意分配给 4所学校，即 44A . 故不同的分配方案有： 2 45 4 240C A  . 【答案】A 7. 相同元素的分配问题 （1）挡板法 将 n个“相同的”m个对象，每个对象“至少分一个”的分法如下： 把这 n个元素排成一排，中间有 1n 个空，挑出 1m 个空放上挡板，自然就 分成了m组，所以分法一共有 11 m nC   种，这种方法称为挡板法. 要使用挡板法需要满足以下条件： ①所要分的元素必须完全相同. ②所要分的元素必须完全分完. ③每个对象至少分到 1个元素. （2）如果不满足第三个条件，则需要创造条件使用挡板法. ①每个对象至少分到 0 个元素（如可以有空盒子），则采用增加元素法，增 加m个元素(m为对象的个数，如盒子的个数），此时一共有 n m 个元素，中间 形成 1n m  个空，选出 1m 个空放上挡板即可，共有 1 1 m n mC    种方法，②每个对 象可以分到多个元素，则用减少元素法，使题目满足条件③ 例 (2009-10)若将 10 只相同的球随机放人编号为 1、2、3、4 的四个盒子 中，则每个盒子不空的投放方法有（ ）种. (A)72 (B)84 (C)96 (D)108 (E)120 【解析】挡板法.10个球排成一列，中间形成 9个空，任选 3个空放上挡板， 自然分为 4组，每组放入一个盒子，故不同的分法有 39 9 8 7 84 3 2 1 C       (种). 【答案】B 练习： 若将 15只相同的球随机放人编号为 1、2、3、4的四个盒子中，每个 盒子中小球的数目，不少于盒子的编号，则不同的投放方法有（ ）种. (A)56 (B)84 (C)96 (D)108 (E)120 【解析】减少元素法. 相同元素的分配问题，但是不满足使用挡板法的第三个条件（每个盒子至少 放一个小球），则需要创造出第三个条件. 第一步：先将 1、2、3、4 四个盒子分别放 0、1、2、3 个球.因为球是相同 的球，故只有一种放法. 第二步：余下的 9个球放入四个盒子，则每个盒子至少放一个，就满足了题 干的要求，也满足挡板法的要求，故 38 8 7 6 56 3 2 1 C       (种). 8.不能对号入座问题——错排问题 出题方式为：编号为 1，2，3,…， n的小球，放人编号为 1，2，3，…， n 的盒子，每个盒子放一个，要求小球与盒子不同号. 此类问题不需要自己去做，直接记住下述结论即可： ① 2n  时，有 1种方法. ② 3n  时，有 2种方法. ③ 4n  时，有 9种方法. ④ 5n  时，有 44种方法. 例：(2014-1)某单位决定对 4个部门的经理进行轮岗，要求每位经理必须轮 换到 4个部门中的其他部门任职，则不同的方案有（ ）. (A)3种 （B)6种 (C)8种 （D)9种 （E)10种 【解析】4球不对号入座问题，9种. 【答案】D 练习： 有 5 位老师，分别是 5 个班的班主任，期末考试时，每个老师监考 一个班，且不能监考自己任班主任的班级，则不同的监考方法有（）. (A)6种 （B)9种 (C)24种 （D)36种 （E)44种 【解析】不能对号入座问题，根据上述结论，直接选 44. 【答案】E 9.成双成对问题 出题方式为：从鞋子、手套、夫妻中选出几个，要求成对或者不成对. 解题技巧：无论是不是要求成对，第一步都先按成对的来选.若要求不成对， 再从不同的几对里面各选一个即可. 例：从 6双不同的鞋子中任取 4只，则其中没有成双鞋子的取法有（ ）种. (A)96 (B)120 (C)240 (D)480 (E)560 【解析】第一步，从 6双中选出 4双鞋子，有 46C ； 第二步，从 4双鞋子中各选 1只，有 1 1 1 12 2 2 2C C C C ； 故不同的取法有 4 1 1 1 16 2 2 2 2 240C C C C C  . 10.涂色问题 涂色问题分为以下三种： （1）直线涂色：简单的乘法原理. （2）环形涂色公式. 把一个环形区域分为 k块，用 s种颜色去涂，要求相邻两块颜色不同，则不 同的涂色方法有     1 1 1 k k N s s     , 其中， s为颜色数(记忆方法：se 色）， k为环形被分成的块数(记忆方法： kuai块). 例： (2000-1)用五种不同的颜色涂在图中的四个区域，每一区域涂上一 种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则不同的涂法共有（）. (A)120种 (B)140种 (C)160种 (D)180种 A B C D 【解析】A，B，C，D四个区域分别有 15C ， 1 4C ， 1 3C ， 1 3C 种涂法，根据乘法原 理，得 1 1 1 1 5 4 3 3 180C C C C  (种). 【答案】D 练习： 如图 7-7 所示，一环形花坛分成四块，现有 4 种不同的花供选种， 要求在每块里种 1种花，且相邻的 2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） 种. (A)96 (B)84 (C)60 (D)48 (E)36 【解析】环形涂色问题. 方法一：分为两类： 第一类，A,D种相同的花 14C ；C不能和 A，D相同，故有 3种选择；B不能和 A,D相同，故有 3种选择；据乘法原理，得 14 3 3 36C    (种). 第二类，A,D 种不同的花 24A ；C 不能和 A,D 相同，故有 2 种选择；B 不能和 A，D相同，故有 2种选择；据乘法原理，得 24 2 2 48A    (种). 据加法原理，得 36＋48＝84(种). 方法二：公式法.           4 1 1 1 4 1 4 1 1 84 k k k N s s           (种). 【答案】B