考研数学二真题及解析

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net 2008200820082008 年考研数学二试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分析、详解和评注 一，选择题：((((本题共 8888小题，每小题 4444 分，共 32323232 分.... 每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ，把所选项前的字母填在题后的括号内)))) (1)(1)(1)(1)设 2( ) ( 1)( 2)f x x x x= − + ，则 ( )f x′ 的零点个数为【 】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(D). 【详解】 3 2 2( ) 4 3 4 (4 3 4)f x x x x x x x′ = + − = + − ． 令 ( ) 0f x′ = ，可得 ( )f x′ 有三个零点．故应选(D). (2)(2)(2)(2)曲线方程为 ( )y f x= ，函数在区间 [0, ]a 上有连续导数，则定积分 0 ( ) a x f x d x ′∫ 在几何上 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示【 】． (A) 曲边梯形 A B C D的面积． (B) 梯形 A B C D的面积． (C) 曲边三角形 A C D面积． (D) 三角形 A C D面积． 【答案】 应选(C). 【详解】 ' 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a a a x f x d x x d f x a f a f x d x= = −∫ ∫ ∫ ， 其中 ( )a f a 是矩形面积， 0 ( ) a f x d x∫ 为曲边梯形的面积，所以 '0 ( ) a x f x d x∫ 为曲边三角形 ACD 的面积．故应选(C). (3)(3)(3)(3)在下列微分方程中，以 1 2 3cos 2 sin 2 x y C e C x C x= + + （ 1 2 3, ,C C C 为任意的常数）为通 解的是【 】． (A) 4 4 0y y y y′′′ ′′ ′+ − − = . (B) 4 4 0y y y y′′′ ′′ ′+ + + = . (C) 4 4 0y y y y′′′ ′′ ′− − + = . (D) 4 4 0y y y y′′′ ′′ ′− + − = . 【答案】 应选(D). 【详解】由 1 2 3cos 2 sin 2 x y C e C x C x= + + ，可知其特征根为 1111 1111λ ==== ， 2,32,32,32,3 2 i2 i2 i2 iλ = ±= ±= ±= ± ，故对应的特征值方程为 2222( 1)( 2 )( 2 ) ( 1)( 4)( 1)( 2 )( 2 ) ( 1)( 4)( 1)( 2 )( 2 ) ( 1)( 4)( 1)( 2 )( 2 ) ( 1)( 4)i iλ λ λ λ λ− + − = − +− + − = − +− + − = − +− + − = − + 3 23 23 23 24 44 44 44 4λ λ λ= + − −= + − −= + − −= + − − 3 23 23 23 24 4 44 4 44 4 44 4 4λ λ λ= − + −= − + −= − + −= − + − 所以所求微分方程为 4 4 04 4 04 4 04 4 0y y y y′′′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′′ ′′ ′− + − =− + − =− + − =− + − = ．应选(D). 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net (4)(4)(4)(4) 判定函数 ln ( ) | 1| x f x x = − ， ( 0)x > 间断点的情况【 】． (A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点． (C) 有两个无穷间断点. (D)有两个跳跃间断点. 【答案】 应选(A). (5)(5)(5)(5)设函数 ( )f x 在 ( , )−∞ +∞ 内单调有界，{ } n x 为数列，下列命题正确的是【 】． (A) 若{ } n x 收敛，则{ ( )} n f x 收敛 (B) 若{ } n x 单调，则{ ( )} n f x 收敛 (C) 若{ ( )} n f x 收敛，则{ } n x 收敛. (D) 若{ ( )} n f x 单调，则{ } n x 收敛. 【答案】 应选(B). 【详解】若若{ } n x 单调，则由函数 ( )f x 在 ( , )−∞ +∞ 内单调有界知，若{ ( )} n f x 单调有界， 因此若{ ( )} n f x 收敛．故应选(B). (6)(6)(6)(6)设函数 ( )f x 连续， 2 2 1x y+ = ， 2 2 2 , 1x y u u+ = > ，若 2 2 2 2 ( ) ( , ) D f u v F u v d u d v u v + = − ∫∫ ， 则 F u ∂ = ∂ 【 】． (A) 2( )v f u (B) ( )v f u (C) 2( ) v f u u (D) ( ) v f u u 【答案】 应选(A). 【详解】利用极坐标，得 2 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) v u u D f u v f r F u v d u d v d v r d r v f r d r r u v + = = = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ，所以 F u ∂ = ∂ 2( )v f u ． 故应选(A). (7)(7)(7)(7)设 A为 n阶非零矩阵， E为 n阶单位矩阵．若 3 0A = ，则下列结论正确的是【 】． (A) E A− 不可逆，则 E A+ 不可逆. (B) E A− 不可逆，则 E A+ 可逆. (C) E A− 可逆，则 E A+ 可逆. (D) E A− 可逆，则 E A+ 不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】 2 3( )( )E A E A A E A E− + + = − = ， 2 3( )( )E A E A A E A E+ − + = + = ． 故 E A− ， E A+ 均可逆．故应选(C). (8)(8)(8)(8) 设 1 2 2 1 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，则在实数域上，与 A 合同矩阵为【 】． (A) 2 1 1 2 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ . (B) 2 1 1 2 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ . (C) 2 1 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (D) 1 2 2 1 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ . 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net 【答案】 应选(D). 【详解】 2 2 1 2 ( 1) 4 2 3 ( 1)( 3) 0 2 1 E A λ λ λ λ λ λ λ λ − − − = = − − = − − = + − = − − 则 1 21, 3λ λ= − = ，记 1 2 2 1 D −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ，则 2 2 1 2 ( 1) 4 2 3 ( 1)( 3) 0 2 1 E D λ λ λ λ λ λ λ λ − − = = − − = − − = + − = − 则 1 21, 3λ λ= − = ，正负惯性指数相同.故选 D. 二、填空题：(9－14小题，每小题 4分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.) (9)(9)(9)(9)已知函数 ( )( )( )( )f x 连续，且 0000 1 cos[ ( )]1 cos[ ( )]1 cos[ ( )]1 cos[ ( )] lim 1lim 1lim 1lim 1 ( 1) ( )( 1) ( )( 1) ( )( 1) ( )xx x f x e f x →→→→ −−−− ==== −−−− ，则 (0)(0)(0)(0)f ==== 【答案】 应填 2． (10)(10)(10)(10)微分方程 2( ) 0xy x e d x x d y−+ − = 的通解是 . 【答案】 应填 ( )xy x C e−= − ． (11)(11)(11)(11)曲线 sin( ) ln( )x y y x x+ − = 在点 (0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填 1y x= + ． 【详解】 (12)(12)(12)(12)曲线 2 3( 5)y x x= − 的拐点坐标为 . 【答案】 ( 1, 6)− − ． 【详解】 (13)(13)(13)(13)设 x y y z x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，则 (1,2)(1,2)(1,2)(1,2) z x ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂ . 【答案】 2222 (ln2 1)(ln2 1)(ln2 1)(ln2 1) 2222 −−−− ． (14)(14)(14)(14)设 3 阶矩阵 A的特征值为 2,3, λ ．若行列式| 2 | 48| 2 | 48| 2 | 48| 2 | 48A = −= −= −= − ，则 λ ==== ___________. 【答案】应填 1− ． 三、解答题(15(15(15(15－23232323 小题，共 94949494 分))))． 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net (15)((15)((15)((15)(本题满分 9999 分)))) 求极限 [[[[ ]]]] 44440000 sin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sin limlimlimlim x x x x x →→→→ −−−− ． 【详解 1】 [[[[ ]]]] 44440000 sin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sin limlimlimlim x x x x x →→→→ −−−− [[[[ ]]]] 33330000 sin sin(sin )sin sin(sin )sin sin(sin )sin sin(sin ) limlimlimlim x x x x →→→→ −−−− ==== ＝ 22220000 cos cos(sin )coscos cos(sin )coscos cos(sin )coscos cos(sin )cos limlimlimlim 3333x x x x x →→→→ −−−− 22220000 1 cos(sin )1 cos(sin )1 cos(sin )1 cos(sin ) limlimlimlim 3333x x x →→→→ −−−− ==== 0000 sin(sin )cossin(sin )cossin(sin )cossin(sin )cos limlimlimlim 6666x x x x →→→→ ==== (或 2222 22220000 1111 (sin )(sin )(sin )(sin ) 2222limlimlimlim 3333x x x →→→→ ==== ，或 2 22 22 22 2 22220000 1111 sin (sin )sin (sin )sin (sin )sin (sin ) 2222limlimlimlim 3333x x o x x →→→→ ++++ ==== ) 1111 6666 ==== ． 【详解 2】 [[[[ ]]]] 44440000 sin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sin limlimlimlim x x x x x →→→→ −−−− [[[[ ]]]] 44440000 sin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sinsin sin(sin ) sin limlimlimlim sinsinsinsinx x x x x →→→→ −−−− ==== ＝ 33330000 sinsinsinsin limlimlimlim t t t t →→→→ −−−− 22220000 1 cos1 cos1 cos1 cos limlimlimlim 3333t t t →→→→ −−−− ==== 2222 22220000 2222limlimlimlim 3333t t t →→→→ ==== （或 0000 sinsinsinsin limlimlimlim 6666t t t →→→→ ==== ） 1111 6666 ==== ． (16)((16)((16)((16)(本题满分 10101010 分)))) 设函数 ( )( )( )( )y y x==== 由参数方程 2222 0000 ( )( )( )( ) ln(1 )ln(1 )ln(1 )ln(1 ) t x x t y u d u ====⎧⎧⎧⎧ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ = += += += +⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩ ∫∫∫∫ 确定，其中 ( )( )( )( )x x t==== 是初值问题 0000 2 02 02 02 0 0000 x t d x t e d t x −−−− ==== ⎧⎧⎧⎧ − =− =− =− =⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪ ====⎩⎩⎩⎩ 的解，求 2222 2222 d y d x ． 【详解 1】由 2 02 02 02 0x d x t e d t −−−−− =− =− =− = 得 2xe d x t d t= ，积分得 2xe t C= + ． 由条件 0000 0000 t x ==== ==== ，得 1111C ==== ，即 2222 1111xe t= += += += + ， 故 2222ln(1 )ln(1 )ln(1 )ln(1 )x t= += += += + ． 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net 方程组 2222 2222 0000 ln(1 )ln(1 )ln(1 )ln(1 ) ln(1 )ln(1 )ln(1 )ln(1 ) t x t y u d u ⎧⎧⎧⎧ = += += += + ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ = += += += +⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩ ∫∫∫∫ 两端同时对 t求导得 2222 2222 2222 1111 2 ln(1 )2 ln(1 )2 ln(1 )2 ln(1 ) d x t d t t d y t t d t ⎧⎧⎧⎧ ====⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ++++ ⎨⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪ = += += += + ⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩ ． 所以 2 22 22 22 2(1 ) ln(1 )(1 ) ln(1 )(1 ) ln(1 )(1 ) ln(1 ) d y d y d t t t d x d x d t = = + += = + += = + += = + + ， 从而 2 22 22 22 2 2 22 22 22 22222 2222 (1 ) ln(1 )(1 ) ln(1 )(1 ) ln(1 )(1 ) ln(1 ) (1 ) ln(1 )(1 ) ln(1 )(1 ) ln(1 )(1 ) ln(1 ) d t t d t t d y d t d x d x d x d t ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤+ ++ ++ ++ +⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤+ ++ ++ ++ +⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦= == == == = 2222 2 22 22 22 2 2222 2 ln(1 ) 22 ln(1 ) 22 ln(1 ) 22 ln(1 ) 2 (1 )[ln(1 ) 1](1 )[ln(1 ) 1](1 )[ln(1 ) 1](1 )[ln(1 ) 1] 2222 1111 t t t t t t t + ++ ++ ++ + = = + + += = + + += = + + += = + + + ++++ ． 17（本题满分 9999分）计算 2222 1111 22220000 arcsinarcsinarcsinarcsin 1111 x x d x x−−−− ∫∫∫∫ ． 【详解 1111】 由于 2222 22221111 arcsinarcsinarcsinarcsin limlimlimlim 1111x x x x −−−−→→→→ = +∞= +∞= +∞= +∞ −−−− ，故 2222 1111 22220000 arcsinarcsinarcsinarcsin 1111 x x d x x−−−− ∫∫∫∫ 是反常积分． 令arcsinarcsinarcsinarcsin x t==== ，有 sinsinsinsinx t==== ， [0, )[0, )[0, )[0, ) 2222 t π ∈∈∈∈ ． 2222 1111 22222 22 22 22 2 22220 0 00 0 00 0 00 0 0 arcsin cos 2arcsin cos 2arcsin cos 2arcsin cos 2 sin ( )sin ( )sin ( )sin ( ) 2 22 22 22 21111 x x t t d x t t d t d t x π π = = −= = −= = −= = − −−−− ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 2222 2222 2222 0000 0000 1111 sin2sin2sin2sin2 4 44 44 44 4 t t d t π π = −= −= −= − ∫∫∫∫ 2222 2222 2222 0000 0000 sin2 1sin2 1sin2 1sin2 1 sin2sin2sin2sin2 16 4 416 4 416 4 416 4 4 t t t d t π π π = − += − += − += − + ∫∫∫∫ 2222 2222 0000 1111 cos 2cos 2cos 2cos 2 16 816 816 816 8 t π π = −= −= −= − 2222 1111 16 416 416 416 4 π = += += += + ． 【详解 2222】 2222 1 11 11 11 1 2 22 22 22 2 22220 00 00 00 0 arcsin 1arcsin 1arcsin 1arcsin 1 (arcsin )(arcsin )(arcsin )(arcsin ) 22221111 x x d x x d x x ==== −−−− ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net 2222 1111 2 2 22 2 22 2 22 2 2 0000 0000 1111 (arcsin ) (arcsin )(arcsin ) (arcsin )(arcsin ) (arcsin )(arcsin ) (arcsin ) 2222 x x x x d x π = −= −= −= − ∫∫∫∫ 2222 1111 2222 0000 (arcsin )(arcsin )(arcsin )(arcsin ) 8888 x x d x π = −= −= −= − ∫∫∫∫ 令arcsinarcsinarcsinarcsin x t==== ，有 sinsinsinsinx t==== ， [0, )[0, )[0, )[0, ) 2222 t π ∈∈∈∈ ． 1111 2 22 22 22 22222 0 00 00 00 0 1111 (arcsin ) sin2(arcsin ) sin2(arcsin ) sin2(arcsin ) sin2 2222 x x d x t t d t π ====∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ 2222 2222 2222 0000 0000 1111 ( cos 2 2 cos 2 )( cos 2 2 cos 2 )( cos 2 2 cos 2 )( cos 2 2 cos 2 ) 4444 t t t t d t π π = − −= − −= − −= − − ∫∫∫∫ 2222 1111 16 416 416 416 4 π = −= −= −= − ， 所以 2 22 22 22 2 1111 22220000 arcsin 1arcsin 1arcsin 1arcsin 1 16 416 416 416 41111 x x d x x π = += += += + −−−− ∫∫∫∫ ． (18)((18)((18)((18)(本题满分 11111111 分)))) 计算 max{ ,1}max{ ,1}max{ ,1}max{ ,1} D x y d x d y∫∫∫∫∫∫∫∫ ，其中 {{{{ }}}}( , ), 0 2,0 2( , ), 0 2,0 2( , ), 0 2,0 2( , ), 0 2,0 2D x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤= ≤ ≤ ≤ ≤= ≤ ≤ ≤ ≤= ≤ ≤ ≤ ≤ ． 【详解】将区域 D 分成如图所示得两个子区域 1 21 21 21 2,,,,D D 和 3333D ．于是 1 21 21 21 2 3333 max{ ,1} max{ ,1} max{ ,1} max{ ,1}max{ ,1} max{ ,1} max{ ,1} max{ ,1}max{ ,1} max{ ,1} max{ ,1} max{ ,1}max{ ,1} max{ ,1} max{ ,1} max{ ,1} D D D D x y d x d y x y d x d y x y d x d y x y d x d y= + += + += + += + +∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 21 21 21 2 3333 1 11 11 11 1 D D D x y d x d y d x d y d x d y= + += + += + += + +∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 11 11 11 1 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2222 1 1 11 1 11 1 11 1 1 0 0 00 0 00 0 00 0 0 2 22 22 22 2 x x d x x y d y d x d y d x d y= + += + += + += + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 15 1915 1915 1915 19 ln2 1 2 ln2 ln2ln2 1 2 ln2 ln2ln2 1 2 ln2 ln2ln2 1 2 ln2 ln2 4 44 44 44 4 = − + + = += − + + = += − + + = += − + + = + ． (19)((19)((19)((19)(本题满分 11111111 分)))) 设 ( )( )( )( )f x 是区间 [0, )[0, )[0, )[0, )+∞+∞+∞+∞ 上具有连续导数的单调增加函数，且 (0) 1(0) 1(0) 1(0) 1f ==== ．对任意的 [0, )[0, )[0, )[0, )t∈ +∞∈ +∞∈ +∞∈ +∞ ，直线 0,0,0,0,x x t= == == == = ，曲线 ( )( )( )( )y f x==== 以及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周 生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数 ( )( )( )( )f x 的表达式． 【详解】根据题意，因为 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net 旋转体体积 2222 0000 ( )( )( )( ) t V f x d xπ==== ∫∫∫∫ ，侧面积 222200002 ( ) 1 ( )2 ( ) 1 ( )2 ( ) 1 ( )2 ( ) 1 ( ) t S f x f x d xπ ′′′′= += += += +∫∫∫∫ ． 所以 2 22 22 22 2 0 00 00 00 0 2 ( ) 2 ( ) 1 ( )2 ( ) 2 ( ) 1 ( )2 ( ) 2 ( ) 1 ( )2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) t t f x d x f x f x d xπ π ′′′′= += += += +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ． 上式两边同时对 t求导得 2 22 22 22 2( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) 1 ( )f t f t f t′′′′= += += += + ． 解得 2222 1111ln( 1)ln( 1)ln( 1)ln( 1)y y t C+ − = ++ − = ++ − = ++ − = + ， 2222 1111 ty y C e+ − =+ − =+ − =+ − = ． 由 (0) 1(0) 1(0) 1(0) 1y ==== ，得 1111C ==== ． 所以 2222 1111 ty y e+ − =+ − =+ − =+ − = 或 1111 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2222 t t y f x e e −−−−= = += = += = += = + ． (20)((20)((20)((20)(本题满分 11111111 分)))) (I) 证明积分中值定理：若函数 ( )( )( )( )f x 在闭区间[ , ][ , ][ , ][ , ]a b 上连续，则至少存在一点 [ , ][ , ][ , ][ , ]a bη∈∈∈∈ ， 使得 ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) b a f x d x f b aη= −= −= −= −∫∫∫∫ ； (II) 若函数 ( )( )( )( )xϕ 具有二阶导数，且满足 (2) (1)(2) (1)(2) (1)(2) (1)ϕ ϕ>>>> ， 3333 2222 (2) ( )(2) ( )(2) ( )(2) ( )x d xϕ ϕ>>>> ∫∫∫∫ ，则至少存在 一点 (1, 3)(1,3)(1,3)(1,3)ξ ∈∈∈∈ ，使得 ( ) 0( ) 0( ) 0( ) 0ϕ ξ′′′′′′′′ <<<< ． 【证法 1111】若函数 ( )( )( )( )f x 在闭区间[ , ][ , ][ , ][ , ]a b 上连续，则必存在最大值 M 和最小值 m．即 ( )( )( )( )m f x M≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ， [ , ][ , ][ , ][ , ]x a b∈∈∈∈ 于是有 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) b a m b a f x d x M b a− ≤ ≤ −− ≤ ≤ −− ≤ ≤ −− ≤ ≤ −∫∫∫∫ ． 即 1111 ( )( )( )( ) b a m f x d x M b a ≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ −−−− ∫∫∫∫ 根据闭区间上连续函数的介值定理，在[ , ][ , ][ , ][ , ]a b 上至少存在一点 [ , ][ , ][ , ][ , ]a bη∈∈∈∈ ，使得 1111 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) b a f f x d x b a η ==== −−−− ∫∫∫∫ 因此而的证． （IIIIIIII）存在 [2,3][2,3][2,3][2,3]η∈∈∈∈ ，使得 3333 2222 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )x d xϕ ϕ η====∫∫∫∫ ． 由 3333 2222 (2) ( ) ( )(2) ( ) ( )(2) ( ) ( )(2) ( ) ( )x d xϕ ϕ ϕ η> => => => =∫∫∫∫ ，知 (2, 3](2,3](2,3](2,3]η∈∈∈∈ ． 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net 由 (2) (1)(2) (1)(2) (1)(2) (1)ϕ ϕ>>>> ，利用微分中值定理，存在 1111 (1, 2)(1,2)(1,2)(1,2)ξ ∈∈∈∈ ，使得 1111 (2) (1)(2) (1)(2) (1)(2) (1) ( ) 0( ) 0( ) 0( ) 0 2 12 12 12 1 ϕ ϕ ϕ ξ −−−− ′′′′ = >= >= >= > −−−− ． 由 (2) ( )(2) ( )(2) ( )(2) ( )ϕ ϕ η>>>> ，利用微分中值定理，存在 2222 (2, )(2, )(2, )(2, )ξ η∈∈∈∈ ，使得 2222 ( ) (2)( ) (2)( ) (2)( ) (2) ( ) 0( ) 0( ) 0( ) 0 2222 ϕ η ϕ ϕ ξ η −−−− ′′′′ = <= <= <= < −−−− ． 存在存在 1 21 21 21 2( , ) (1, 3)( , ) (1, 3)( , ) (1, 3)( , ) (1, 3)ξ ξ ξ∈ ⊂∈ ⊂∈ ⊂∈ ⊂ ，使得 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0( ) 0( ) 0( ) 0 ϕ ξ ϕ ξ ϕ ξ ξ ξ ′ ′′ ′′ ′′ ′−−−− ′′′′′′′′ = <= <= <= < −−−− ． （21212121）((((本题满分 11111111 分)))) 求函数 2 2 22 2 22 2 22 2 2u x y z= + += + += + += + + 在约束条件 2 22 22 22 2z x y= += += += + 和 4444x y z+ + =+ + =+ + =+ + = 下的最大值和最小值． 【详解 1111】作拉格朗日函数 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2( , , ) ( ) ( 4)( , , ) ( ) ( 4)( , , ) ( ) ( 4)( , , ) ( ) ( 4)F x y z x y z x y z x y zλ µ= + + + + − + + + −= + + + + − + + + −= + + + + − + + + −= + + + + − + + + − ． 令 2 22 22 22 2 2 2 02 2 02 2 02 2 0 2 2 02 2 02 2 02 2 0 2 02 02 02 0 0000 4 04 04 04 0 x y z F x x F y y F z x y z x y z λ µ λ µ λ µ ⎧⎧⎧⎧ ′′′′ = + + == + + == + + == + + = ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ′′′′ = + + == + + == + + == + + = ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ′′′′ = − + == − + == − + == − + =⎨⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪ + − =+ − =+ − =+ − =⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ + + − =+ + − =+ + − =+ + − = ⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩ 解之得 1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 21 1 1 2 2 21 1 1 2 2 2( , , ) (1,1, 2), ( , , ) ( 2, 2, 8),( , , ) (1,1, 2), ( , , ) ( 2, 2, 8),( , , ) (1,1, 2), ( , , ) ( 2, 2, 8),( , , ) (1,1, 2), ( , , ) ( 2, 2, 8),x y z x y z= = − −= = − −= = − −= = − − 故所求得最大值为 72,最小值为6． 【详解 2222】由题意知， 4 4 2 2 2 24 4 2 2 2 24 4 2 2 2 24 4 2 2 2 22222u x y x y x y= + + + += + + + += + + + += + + + + 在条件 2 22 22 22 2 4444x y x y+ + + =+ + + =+ + + =+ + + = 下的最值． 令 3 23 23 23 2 3 23 23 23 2 2 22 22 22 2 4 4 2 (1 2 ) 04 4 2 (1 2 ) 04 4 2 (1 2 ) 04 4 2 (1 2 ) 0 4 4 2 (1 2 ) 04 4 2 (1 2 ) 04 4 2 (1 2 ) 04 4 2 (1 2 ) 0 4 04 04 04 0 x y F x x y x x F y x y y y x y x y λ λ ⎧⎧⎧⎧ ′′′′ = + + + + == + + + + == + + + + == + + + + = ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ′′′′ = + + + + == + + + + == + + + + == + + + + =⎨⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪ + − + + =+ − + + =+ − + + =+ − + + =⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩ 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net 2 22 22 22 2 2 2 02 2 02 2 02 2 0 2 2 02 2 02 2 02 2 0 2 02 02 02 0 0000 4 04 04 04 0 x y z F x x F y y F z x y z x y z λ µ λ µ λ µ ⎧⎧⎧⎧ ′′′′ = + + == + + == + + == + + = ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ′′′′ = + + == + + == + + == + + = ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ′′′′ = − + == − + == − + == − + =⎨⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪ + − =+ − =+ − =+ − =⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ + + − =+ + − =+ + − =+ + − = ⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩ 解之得 1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 21 1 1 2 2 21 1 1 2 2 2( , , ) (1,1, 2), ( , , ) ( 2, 2, 8),( , , ) (1,1, 2), ( , , ) ( 2, 2, 8),( , , ) (1,1, 2), ( , , ) ( 2, 2, 8),( , , ) (1,1, 2), ( , , ) ( 2, 2, 8),x y z x y z= = − −= = − −= = − −= = − − 故所求得最大值为 72,最小值为6． (22)(22)(22)(22) ((((本题满分 11112222 分))))． 设 n 元线性方程组 A x b==== ，其中 2222 2222 2222 2222 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 2222 a a a a a A a a a a ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ==== ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱ ， 1111 2222 n x x x x ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟==== ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⋮⋮⋮⋮ ， 1111 2222 n b b b b ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟==== ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⋮⋮⋮⋮ ． （I）证明行列式 | | ( 1)| | ( 1)| | ( 1)| | ( 1) nA n a= += += += + ； （II）当 a 为何值时，该方程组有惟一解，并求 1111x ． （III）当 a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解． 【详解】（I）【证法 1】数学归纳法．记 2222 2222 2222 2222 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 | || || || | 2 12 12 12 1 2222 n n a a a a a D A a a a a = == == == = ⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱ 以下用数学归纳法证明 ( 1)( 1)( 1)( 1) n n D n a= += += += + ． 当 1111n ==== 时， 1111 2222D a==== ，结论成立． 当 2222n ==== 时， 22222222 2222 2 12 12 12 1 3333 2222 a D a a a = == == == = ，结论成立． 假设结论对小于 n 的情况成立．将 n D 按第一行展开得 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net 2222 2222 1111 2222 2222 1111 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 2222 2 12 12 12 1 2222 n n n a a a a a D a D a a a a −−−− −−−− = −= −= −= − ⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱ 2222 1 21 21 21 22222 n na D a D− −− −− −− −= −= −= −= − 1 2 21 2 21 2 21 2 22 ( 1)2 ( 1)2 ( 1)2 ( 1)n na n a a n a− −− −− −− −= − −= − −= − −= − − ( 1)( 1)( 1)( 1) nn a= += += += + 故 ( 1)( 1)( 1)( 1) nA n a= += += += + ． 【 注 】 本 题 （ 1 ） 也 可 用 递 推 法 ． 由 22221 21 21 21 22222n n nD a D a D− −− −− −− −= = −= = −= = −= = −⋯⋯⋯⋯ 得 ， 2 22 22 22 2 1 1 2 2 11 1 2 2 11 1 2 2 11 1 2 2 1( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) n n n n n n n D a D a D a D a D a D a − −− −− −− − − − −− − −− − −− − −− = − = = − =− = − = = − =− = − = = − =− = − = = − =⋯⋯⋯⋯ ．于是 ( 1)( 1)( 1)( 1) n n D n a= += += += + （I）【证法 2】消元法．记 2222 2222 2222 2222 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 | || || || | 2 12 12 12 1 2222 n a a a a a A a a a a ==== ⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱ 2222 2 12 12 12 1 2222 2222 2 12 12 12 1 3333 0 10 10 10 1 2222 1111 2 12 12 12 1 2222 2 12 12 12 1 2222 n a a a a r a r a a a a −−−− ⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱ 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net 3 23 23 23 2 2222 2222 2222 2 12 12 12 1 3333 0 10 10 10 1 2222 4444 0 10 10 10 12222 3333 3333 2 12 12 12 1 2 12 12 12 1 2222 n a a a r a r a a a a a a −−−− ⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱ ====⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2222 1111 2 12 12 12 1 3333 0 10 10 10 1 2222 2 12 12 12 1 1111 0 10 10 10 1 1111 1111 0000 n n n a a a a n r a r n n a n n a n −−−− −−−− −−−− −−−− ++++ ⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱ ( 1)( 1)( 1)( 1) nn a= += += += + ． （IIIIIIII）【详解】当 0000a ≠≠≠≠ 时，方程组系数行列式 0000 n D ≠≠≠≠ ，故方程组有惟一解．由克莱姆法则， 将 n D 得第一列换成 b ，得行列式为 2222 2 22 22 22 2 1111 1111 2 22 22 22 2 2 22 22 22 2 1111 1 1 2 11 1 2 11 1 2 11 1 2 1 0 2 1 2 10 2 1 2 10 2 1 2 10 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 12 1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 1 2 12 1 2 12 1 2 1 2 22 22 22 2 n n n n a a a a a a a a D n a a a a a a a a a −−−− −−−− −−−− = = == = == = == = = ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 所以， 1111 1111 ( 1)( 1)( 1)( 1) n n D a x D n a −−−−= == == == = ++++ ． （IIIIIIIIIIII）【详解】 当 0000a ==== 时，方程组为 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 http://www.hykaoyan.net 1111 2222 1111 0 1 10 1 10 1 10 1 1 0 1 00 1 00 1 00 1 0 0000 1 01 01 01 0 0 00 00 00 0 n n x x x x −−−− ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟==== ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⋮⋮⋮⋮⋱ ⋮⋱ ⋮⋱ ⋮⋱ ⋮ ⋱⋱⋱⋱ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为 1111n −−−− ，所以方程组有无穷多组解，其通解为 (((( )))) (((( ))))0 1 0 1 0 00 1 0 1 0 00 1 0 1 0 00 1 0 1 0 0T Tx k= += += += +⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ，其中 k 为任意常数． (2(2(2(23333)))) ((((本题满分 10101010 分)))) 设 A为 3 阶矩阵， 1 21 21 21 2,,,,α α 为 A的分别属于特征值1, 11, 11, 11, 1−−−− 的特征向量，向量 3333α 满足 3 2 13 2 13 2 13 2 1A α α α= += += += + ， (I)证明 1 2 31 2 31 2 31 2 3, ,, ,, ,, ,α α α 线性无关； (II)令 1 2 31 2 31 2 31 2 3( , , )( , , )( , , )( , , )P α α α==== ，求 1111 P A P −−−− ． 【详解】(I)【证明】设有一组数 1 2 31 2 31 2 31 2 3, ,, ,, ,, ,k k k ，使得 1 2 2 3 31 2 2 3 31 2 2 3 31 2 2 3 3 0000k k kα α α+ + =+ + =+ + =+ + = ． 用 A左乘上式，得 1 1 2 2 3 31 1 2 2 3 31 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0k A k A k Aα α α+ + =+ + =+ + =+ + = ． 因为 1 11 11 11 1A α α= −= −= −= − , 2 22 22 22 2A α α==== ， 3 2 13 2 13 2 13 2 1A α α α= += += += + ， 所以 1 1 2 3 2 3 31 1 2 3 2 3 31 1 2 3 2 3 31 1 2 3 2 3 3( ) 0( ) 0( ) 0( ) 0k k k kα α α− + + + =− + + + =− + + + =− + + + = ， 即 1 1 3 21 1 3 21 1 3 21 1 3 22 02 02 02 0k kα α− =− =− =− = ． 由于 1 21 21 21 2,,,,α α 是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此 1 31 31 31 3 0000k k= == == == = ，从而有 2222 0000k ==== ． 故 1 2 31 2 31 2 31 2 3, ,, ,, ,, ,α α α 线性无关． （II）由题意， 1 0 01 0 01 0 01 0 0 0 1 10 1 10 1 10 1 1 0 0 10 0 10 0 10 0 1 A P P −−−−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟==== ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ．而由（I）知， 1 2 31 2 31 2 31 2 3, ,, ,, ,, ,α α α 线性无关，从而 1 2 31 2 31 2 31 2 3( , , )( , , )( , , )( , , )P α α α==== 可逆．故 1111 1 0 01 0 01 0 01 0 0 0 1 10 1 10 1 10 1 1 0 0 10 0 10 0 10 0 1 P A P −−−− −−−−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟==== ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ． 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