相似三角形A字形A字形,A’形,8字形,蝴蝶形,双垂直,旋转形
双垂直结论:射影定理:①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD
⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB
⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB
结论:⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD
结论:面积法得AB•CD=AC•BC→比例式
证明等积式(比例式)策略...
A字形,A’形,8字形,蝴蝶形,双垂直,旋转形
双垂直结论:射影定理:①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD
⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB
⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB
结论:⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD
结论:面积法得AB•CD=AC•BC→比例式
证明等积式(比例式)策略
直接法:找同一三角形两条边
变化:等号同侧两边同一三角形 三点定形法
2、间接法: ⑴3种代换 ①等线段代换; ②等比代换; ③等积代换;
⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型
②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比
相似终极策略:
遇等积,化比例,同侧三点找相似;
四共线,无等边,射影平行用等比;
四共线,有等边,必有一条可转换;
两共线,上下比,过端平行条件边。
彼相似,我角等,两边成比边代换。
(3)等比代换:若是四条线段,欲证,可先证得(是两条线段)然后证,这里把叫做中间比。
①∠ABC=∠ADE.求证:AB·AE=AC·AD
②△ABC中,AB=AC,△DEF是等边三角形
求证:BD•CN=BM•CE.
③等边三角形ABC中,P为BC上任一点,AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。
求证:BP•PC=BM•CN
☞有射影,或平行,等比传递我看行
①在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E为AC的中点,求证:AB•AF=AC•DF
斜边上面作高线,比例中项一大片
②ABCD
③梯形ABCD中,AD//BC,作BE//CD,
求证:OC2=OA.OE
☞四共线,看条件,其中一条可转换;
①Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。
求证:EF2=BE•FC
②△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CF∥BA, 求证:BP2=PE·PF。
③AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分AD,
交BC的延长线于E,交AB于F.
求证: DE2=BE·CE.
☞两共线,上下比,过端平行条件边。
①AD是△ABC的角平分线.
求证:AB:AC=BD:CD.
②在△ABC中,AB=AC,
求证:DF:FE=BD:CE.
③在△ABC中,AB>AC,D为AB
上一点,E为AC上一点,AD=AE,
直线DE和BC的延长线交于点P,
求证:BP:CP=BD:CE.
④在△ABC中,BF交AD于E.
(1)若AE:ED=2:3,BD:DC=3:2,求AF:FC;
(2)若AF:FC=2:7,BD:DC=4:3,求AE:ED.
(3)BD:CD=2:3,AE:ED=3:4
求:AF:FC
⑤在△ABC中,D、E分别为BC的三等分点,AC边上的中线BM交AD于P,交AE于Q,若BM=10cm,试求BP、PQ、QM的长.
⑥△ABC中,AC=BC,F为底边AB 上的一点,(m、n>0),取CF的中点D, 连结AD并延长交BC于E.(1)的值.(2)如果BE=2EC,那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系?证明你的结论;(3)E点能否为BC中点?如果能,求出相应的的值;如果不能,证明你的结论。☞彼相似,我条件,创造边角再相似①AE2=AD·AB,且∠ABE=∠BCE,
试说明△EBC∽△DEB
②已知∽,求证:∽.
③D为△ABC内一点,连接BD、AD,以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD,求证:△DBE∽△ABC。
④D、E分别在△ABC的AC、AB边上,
且AE•AB=AD•AC,BD、CE交于点O.
求证:△BOE∽△COD.
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