2019数学三角函数与平面向量专题+技巧（公众号：卷洞洞）

整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。12019年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题三三角函数与平面向量考向一三角恒等变形【高考改编☆回顾基础】1．【两角和差的三角函数、特殊角的三角函数值】【2018年全国卷II文】已知，则__________．【答案】2.【三角函数的定义、诱导公式】【2018年浙江卷改编】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；【答案】（Ⅰ）.【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.3.【同角三角函数、两角和差的三角函数、二倍角公式】【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。2（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.（1）预计2019年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；（2）对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练；（3）通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质、解三角形等是常考题型.【典例分析☆提升能力】【例1】【重庆市第一中学2019届10月月考】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由角α与角β终边关于x轴对称，得α+β=2kπ（k∈Z），∴，又两边平方可得：1-，∴，即故选：B【趁热打铁】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。3轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．【答案】【例2】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】0002cos10sin20sin70的值是（）A.12B.32C.2D.3【答案】D【解析】故选D.【趁热打铁】【2018届江西省六校第五次联考】已知2，7sin22cos，则11πsin2__________.【答案】437【解析】∵2，∴cosα<0.∵7sin2α=2cosα,即14sinαcosα=2cosα,∴17sin，则21143127sincossin.【方法总结☆全面提升】(1)巧记六组诱导公式对于“2k，Zk的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．(2)几个常见的变形切入点：cossin可凑倍角公式；cos1可用升次公式；sin1可化为2cos1，再用升次公式；或21sinsincos22④sincossin22baba（其中abtan）这一公式应用广泛，熟练掌握.⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角” 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为两个“已知角”的和或差的形式；整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。4⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．⑦常见的配角技巧：22；()；()；1[()()]2；1[()()]2；()424；()44.【规范示例☆避免陷阱】【典例】若函数1cos2()sincos()224sin()2xxxfxax的最大值为2，试确定常数a的值．【规范解答】∵222cos111()sincoscossinsin()4cos222244xxxafxaxaxxx，1tana，由已知得214154aa.【反思提高】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法.三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【误区警示】已知表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幂变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于x的三角函数的表达式，用错公式是本题易于出错的原因.考向二三角函数的图象和性质【高考改编☆回顾基础】1．【三角函数图象的变换、三角函数的单调性】【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减【答案】A整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。52.【同角三角函数、二倍角公式、三角函数的周期性及最值】【2018年新课标I卷文】已知函数，则A.的最小正周期为π，最大值为3B.的最小正周期为π，最大值为4C.的最小正周期为，最大值为3D.的最小正周期为，最大值为4【答案】B3.【辅助角公式、三角函数的周期】【2017山东改编】函数3sin2cos2yxx最小正周期为.【答案】π【解析】因为π3sin2cos22sin23yxxx,所以其周期2ππ2T,4.【三角函数的解析式】【2017天津改编】设函数()2sin()fxx，xR，其中0，||.若5()28f，()08f，且()fx的最小正周期大于2，则，.【答案】23，125.【和差倍半的三角函数、三角函数周期及单调性】【2017浙江改编】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–23sinxcosx（xR）．求)(xf的最小正周期及单调递增区间．【答案】最小正周期为，单调递增区间为Zkkk]32,6[．【解析】【命题预测☆看准方向】三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题,常以选择题、填空题的形式考查,目前浙江高考也以解答题形式考查.试题难度为中低档.整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。6三角函数的性质,通常是给出函数解析式,先进行三角变换,将其转化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,或知道某三角函数的图象或性质求其解析式,再研究其他性质,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题.预测:三角函数的图象与性质考查方式较灵活,主要考查方式以综合三角恒等变换求性质为主,通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质，考试题型选择题、填空题和解答题都可能出现.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.【趁热打铁】已知函数sin,fxx其中0，π2,（1）若π3πcoscossinsin0,44求的值；（2）在（1）的条件下，若函数fx的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数fx的解析式；并求最小正实数m，使得函数fx的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数.【答案】（1）4；（2）12m.【解析】（1）由3coscossinsin044得coscossinsin044即cos04又,24（2）由（1）得，sin4fxx，依题意，23T，又2,T故3,sin34fxx整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。7函数fx的图象向左平移m个单位后所对应的函数为sin34gxxm，gx是偶函数当且仅当342mkkZ即312kmkZ从而，最小正实数12m.【例2】【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–23sinxcosx（xR）．（Ⅰ）求)32(f的值．（Ⅱ）求)(xf的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为Zkkk]32,6[．【解析】（Ⅱ）由xxx22sincos2cos与xxxcossin22sin得)62sin(22sin32cos)(xxxxf所以)(xf的最小正周期是由正弦函数的性质得Zkkxk,2236222解得Zkkxk,326所以)(xf的单调递增区间是Zkkk]32,6[．【趁热打铁】已知函数2211sin3sincoscos22fxxxxx．（1）求函数yfx在0,π上的单调递增区间．（2）若π7π,312且35f，求π12f的值．【答案】（1）π0,3和5π,π6；（2）33410【解析】整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。8函数22111sin3sincoscos3sincoscos2222fxxxxxxxxπ26sinx，（1）令πππ2π22π262kxk，kZ，得ππππ63kxk，kZ，所以函数yfx在0,π上的单调递增区间为π0,3和5π,π6．（2）因为π7π,312，所以ππ2,π62．因为π3265fsin，所以π4cos265，所以πππππππsin2sin2sin2coscos2sin12666666f，3341334525210．【例3】【2018广东广州海珠区综合测试（一）】设函数cos23fxx，则下列结论错误的是（）A.fx的一个周期为B.yfx的图像关于直线23x对称C.2fx的一个零点为3xD.fx在区间,32上单调递减【答案】D【解析】cos23fxx的周期为T=k,所以A对；当23x时，2 ,3xcos=-1,所以B对；3x时，2 cos21033xx，，所以C错；,32x时，22333x，，y=cosx在233，上递减，所以D对；故选C.【趁热打铁】已知函数的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是()整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。9①函数的最小正周期是；②函数在区间上是增函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到A.3B.2C.1D.0【答案】C【解析】根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象知，=−(−)=,∴T==π，ω=2；根据五点法画图知,2×(−)+φ=0,解得φ=；∴f(x)=sin(2x+)；对于①,函数f(x)的最小正周期是T=π，①错误；对于②,x∈[,]时,2x+∈[,]，f(x)在[,]上是减函数，②错误；对于③,x=时,2x+=，∴函数f(x)的图象关于直线x=对称，③正确；整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。10对于④,由f(x)=sin(2x+)=sin2(x+)知，函数f(x)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向左平移个单位长度得到，④错误；综上，正确的命题是③.故选：C.【方法总结☆全面提升】1.利用待定系数法求解析式.若设所求解析式为y=Asin(ωx+φ),可按以下规律来确定A,ω,φ：（1）一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|,或代入点的坐标解关于A的方程.(2)因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T,或者利用结论“相邻的两个最高点与最低点之间的距离为;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T等”来确定T.(3)代入点的坐标,通过先解三角方程,再结合图象确定φ.特别提醒:求y=Asin(ωx+φ)的解析式,最难的是求φ,第一零点常常用来求φ,只要找准第一零点的横坐标,列方程就能求出φ.若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,可用诱导公式变换,使其符合要求.2.图象变换理论:(1)平移变换①沿x轴平移,按“左加右减”法则;②沿y轴平移,按“上加下减”法则.(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变).特别提醒:对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少,尤其当x与y前的系数不为1时一定要先将系数提出来再判断.3.三角函数的综合性问题,常将三角函数与三角形及向量结合在一起,需要综合运用三角函数的性质,运用各种三角函数公式、三角恒等变换以及三角形的有关知识等方法求解.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。11(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【规范解答】(1)解:f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin.——————3分所以f(x)的最小正周期T==π.——————6分(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.————-10分所以sin≥sin=-.所以当x∈时,f(x)≥-.________14分【反思提升】解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 写步骤,分步得分.【误区警示】解答本题易出错之处有，一是不能正确的进行三角恒等变换；二是利用x的范围进一步确定23x的范围，并根据三角函数图象，正确对待三角函数的范围.考向三解三角形【高考改编☆回顾基础】1．【二倍角公式、余弦定理的应用】【2018年理数全国卷II】在中，，，，则A.B.C.D.【答案】A2.【正弦、余弦定理定理的应用】【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。12b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．【答案】33.【正弦定理、三角形面积】【2018年全国卷Ⅲ理】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）A.B.C.D.【答案】C4.【三角恒等变换、正弦定理、余弦定理】【2018年理数天津卷】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:①边和角的计算;②三角形形状的判断;③面积的计算;④有关的范围问题.（1）预计2019年高考将以正弦、余弦定理的直接应用为主要考查目标，以解答题形式出现的可能性较大，难度以中档题为主；（2）结合向量或几何知识构建综合性题目是可能的发展方向，复习时需加以关注.整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。13【典例分析☆提升能力】【例1】【2018年天津卷文】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，【趁热打铁】【2017·天津卷改编】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝5(a2－b2－c2)，则cosA的值为________．【答案】－55【解析】由asinA＝4bsinB及asinA＝bsinB，得a＝2b.由ac＝5(a2－b2－c2)及余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－55acac＝－55.【例2】【2018年理北京卷】在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1)∠A=(2)AC边上的高为整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。14（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．【趁热打铁】如图，在中，，点在边上，为垂足，（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.【答案】（I）；（II）.【解析】（Ⅰ）连接，由题意得，又，得．由余弦定理得，所以，边的长为．（Ⅱ）方法1：因为．由正弦定理知：，且，整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。15得，解得，．所以角的大小为．方法2：由正弦定理得，得．又，则，得，．所以角的大小为．【方法总结☆全面提升】利用正弦定理与余弦定理解题,经常需要转化思想,一种是边转化为角,另一种是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,在解题过程中常用到以下规律:(1)分析已知等式中的边角关系,若要把“边”化为“角”,常利用“2,2,2aRsinAbRsinBcRsinC”,若要把“角”化为“边”,常利用sinA=,sinB=,sinC=,cosC=等.(2)如果已知等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换.如果已知中含有形如222(bcabc为常数)的代数式,一般向余弦定理靠拢.(3)余弦定理与完全平方式相联系可有:2222221abcbccosAbcbccosA.可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边;与重要不等式相联系,由222bcbc,得22222221abcbccosAbcbccosAbccosA,可探求边或角的范围问题.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知△ABC三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+csinA-b-c=0,(1)求角A的值;(2)求函数f(x)=cos2x+4sinAsinx在区间的值域.整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。16【规范解答】(1)因为acosC+csinA-b-c=0,由正弦定理得sinAcosC+sinCsinA-sinB-sinC=0,即sinCsinA-cosAsinC-sinC=0;——3分因为sinC≠0,得sinA-cosA=1,所以sin.所以A-或A-(舍去),解得A=.————6分(2)由(1)得sinA=,所以f(x)=cos2x+4sinAsinx=1-2sin2x+2sinx=-2.————9分因为x∈,所以sinx∈.故函数f(x)的值域为.————12分【反思提升】解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.【误区警示】特别提醒：在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角,如仰角、俯角、方位角,以防出错.有些时候也必须注意到三角形的特殊性,如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等.考向四平面向量的数量积及其应用【高考改编☆回顾基础】1．【平面向量的数量积、平面向量的坐标运算】【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，，，，.若点E为边CD上的动点，则的最小值为A.B.C.D.[整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。17【答案】A结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.2.【平面向量的数量积、夹角】【2017山东，理12】已知12,ee是互相垂直的单位向量，若123ee与12ee的夹角为60，则实数的值是.【答案】333.【平面向量的线性运算、平面向量的数量积】【2017天津，文理】在ABC△中，60A∠，3AB，2AC.若2BDDC，()AEACABR，且4ADAE，则的值为___________.【答案】3114.【平面向量的坐标运算】【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则________．【答案】5.【解析几何、平面向量的数量积】【2018年理新课标I卷改编】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=.【答案】8【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。18整理得：，解得，又，所以，从而可以求得.【命题预测☆看准方向】本部分内容在高考题中主要以选择题和填空题的形式出现,有时也以向量为工具在解答题中研究三角函数或圆锥曲线的性质,从近几年的高考试题来看,向量的线性运算、共线问题和平面向量的数量积、几何意义、模与夹角、垂直等问题是考查的重点,紧扣定义,理解其运算和性质的几何背景,学会应用是复习的重点.【典例分析☆提升能力】【例1】【北京市第八十中学2019届10月月考】已知向量，，.若，则实数m的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，则.因为，，，.选.【趁热打铁】已知向量1,1m，2,2n，若mnmn，则（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】mnmn，2222==+1+1-+2-4=0mnmnmn（）（），解得=-3.【例2】【江苏省无锡市2019届上期末】如图，已知平行四边形ABCD中，E，M分别为DC的两个三等分点，F，N分别为BC的两个三等分点，，，则＝____．【答案】90【解析】整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。19∵平行四边形中，，分别为的两个三等分点，，分别为的两个三等分点，，，∴，∴，解得，，∴，故答案为90．【趁热打铁】在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2，则的值为（）A．﹣15B．﹣9C．﹣6D．0【答案】C【解析】解法Ⅰ，由题意，2，2，∴2，∴BC∥MN，且BC＝3MN，整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。20又MN2＝OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°＝1+4﹣2×1×2×（）＝7，∴MN；∴BC＝3，∴cos∠OMN，∴•||×||cos（π﹣∠OMN）＝31×（）＝﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2，知3333，∴（﹣33）•＝﹣33•＝﹣3×12+3×2×1×cos120°＝﹣6．故选：C．【例3】【2017江苏，16】已知向量(cos,sin),(3,3),[0,π].xxxab（1）若a∥b,求x的值；（2）记()fxab,求()fx的最大值和最小值以及对应的x的值.【答案】（1）5π6x（2）0x时，取得最大值，为3；5π6x时，取得最小值，为23.【趁热打铁】【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知向量sin,cos,2cos,2cosaxxbxx，函数1fxab.整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。21（1）求fx的对称中心；（2）求函数fx在区间0,2上的最大值和最小值，并求出x相应的值.【答案】（1）,028kxkZ；（2）最大值为2，最小值为1.【解析】试题分析：（1）由12sin24fxabx，令2 4xkkZ，即可得对称中心；（2）由0,2x，得32,444x，进而根据正弦函数的图象即可得最值.试题解析：（1）因为212sincoscos2cos2sincos2cos1fxabxxxxxxxsin2cos22sin24xxx，令2 4xkkZ，，解得28kx，kZ.所以fx的对称中心为,028kkZ.（2）由（1）得sin2cos22sin24fxxxx，因为0,2x，所以32,444x，所以242x时，即38x，fx的最大值为2，当244x时，即0x时，fx的最小值为1.【方法总结☆全面提升】1.对于平面向量的线性运算问题,要注意其与数的运算法则的联系与区别,两者不能混淆.要灵活运用向量的几何表示,在图形中发现向量关系.同时要注意两个定理的运用:(1)平面向量基本定理:设a,b是两个不共线向量,c是平面上任意一个向量,则存在一组实数x,y,使得c=xa+yb,当c≠0时,这样的x,y是唯一的;(2)向量共线定理:设=x+y,则A,B,C三点共线,当且仅当x+y=1.整理公众号：麦田笔墨。欢迎关注，获取更多干货。22解决向量问题的常用方法有:一是基于“形”,通过作出向量,结合几何图形分析;二是基于“数”,借助向量的坐标形式,转化为解析几何问题.2.数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义(投影).3.可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.4.在数量积的运算中,以下恒等式是常用的:[()2-()2]=,其中C是AB中点.此恒等式也称之为极化恒等式.5.在平面向量与三角函数、平面几何相结合的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数和几何图形中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述几何图形条件,利用向量的模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数和平面几何的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,要根据题目的具体要求,在向量和三角函数、几何图形之间建立起联系,就可以解决问题.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知向量(1,2),(,1)abx，且向量a与b夹角为锐角，求x的范围.【规范解答】因为向量a与b夹角为锐角，所以ab=x+2＞0，解得x＞-2.当x=12时，a与b同向，故x的范围为11(2,)(,)22.【反思提升】(1)向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角形的某个边求其长．(2)求非零向量a，b的夹角一般利用公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．(3)当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量简单．【误区警示】从0ab出发解出x的值，忽视剔除,ab同向的情况