均值不等式均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式
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为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。中文名均值不等式外文名meaninequality
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达式Hn≤Gn≤An≤Qn应用学科数学适用领域范围不等式定义 被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。其中： ，被称为调和平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。证明关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设A≥0，B≥0，则 ，且仅当B=0时取等号。注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。原题等价于： ,当且仅当 时取等号。当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即 ,当且仅当 时取等号。那么当n=k+1时，不妨设 是 、 ...... 中最大者，则 设 ， ，根据引理 ，当且仅当 且 时，即 时取等号。利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。推广一般形式设函数 ( )； 。 是 上的连续单调递增函数。 时， 。可以注意到，min{an}≤Hn≤Gn≤An≤Qn≤max{an}仅是上述不等式的特殊情形。特例⑴对实数a,b，有 （当且仅当a=b时取“=”号）， （当且仅当a=-b时取“=”号）⑵对非负实数a,b，有 ，即 ⑶对非负实数a,b，有 ⑷对非负实数a,b，a≥b,有 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数a,b，有 ⑺对实数a,b,c，有 ⑻对非负数a,b，有 ⑼对非负数a,b,c，有 在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：当n=2时，上式即：当且仅当 时，等号成立。根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即 。
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