§2.3 反函数的导数,复合函数的求导法则
一、反函数的导数
设是直接函数,是它的反函数,假定在内单调、可导,而且,则反函数在间内也是单调、可导的,而且
(1)
证明: ,给以增量
由 在 上的单调性可知
于是
因直接函数在上单调、可导,故它是连续的,且反函数在上也是连续的,当时,必有
即:
【例1】试证明下列基本导数公式
证1、设为直接函数,是它的反函数
函数 在 上单调、可导,且
因此,在 上, 有
注意到,当时,,
因此,
证2
设,
则,
在 上单调、可导且
故
证3
类似地,我们可以证明下列导数公式:
二、复合函数的求导法则
如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且导数为
证明:因,由极限与无穷小的关系,有
用去除上式两边得:
由在的可导性有:
,
即
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述:
若在开区间可导,在开区间可导,且时,对应的 ,则复合函数在内可导,且
(2)
复合函数求导法则是一个非常重要的法则,特给出如下注记:
弄懂了锁链规则的实质之后,不难给出复合更多层函数的求导公式。
【例2】,求
引入中间变量, 设 ,,于是
变量关系是 ,由锁链规则有:
(2)、用锁链规则求导的关键
H:\fanwen caiji two\发展××农产品流通与推进农业产业化的研究.doc引入中间变量,将复合函数分解成基本初等函数。还应注意:求导完成后,应将引入的中间变量代换成原自变量。
【例3】求的导数。
解:设 ,则,,由锁链规则有:
【例4】 设 ,求。
由锁链规则有
(基本初等函数求导)
( 消中间变量)
由上例,不难发现复合函数求导窍门
中间变量在求导过程中,只是起过渡作用,熟练之后,可不必引入,仅需“心中有链”。
然后,对函数所有中间变量求导,直至求到自变量为止,最后诸导数相乘。
请看下面的演示过程:
【例5】证明幂函数的导数公式 ,(为实数)。
证明:设
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