2020届高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示教师用书（PDF，含解析）

第五章平面向量真题多维细目 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 真题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养２０１９北京文ꎬ９５填空题易向量的坐标运算两向量垂直的坐标运算公式法数学运算２０１８北京ꎬ６５选择题中数量积的综合应用①数量积的运算②向量的模公式法数学运算２０１８北京文ꎬ９５填空题易数量积的定义及模、夹角运算数量积的坐标运算公式法数学运算２０１７北京ꎬ６５选择题中数量积的综合应用数量积的运算直接法逻辑推理２０１７北京文ꎬ１２５填空题中数量积的综合应用数量积的运算转化法数学运算２０１６北京ꎬ４５选择题易数量积的定义及模、夹角运算向量的模及向量的运算直接法数学运算２０１６北京文ꎬ９５填空题中数量积的定义及模、夹角运算①数量积的坐标运算②求向量的夹角直接法数学运算２０１５北京ꎬ１３５填空题易向量的线性运算及几何意义向量的线性运算数形结合法数学运算命题规律与趋势０１考查内容１.主要考查平面向量的线性运算ꎬ数量积的定义及模、夹角运算及平面向量数量积的综合应用.２.有时向量也作为解答题的一个条件出现ꎬ与解析几何、三角函数等综合考查.０２考频赋分分值为５分.０３题型难度形式上会以选择题、填空题的形式直接考查ꎬ难度中等偏下.０４解题方法直接法、公式法、转化法、数形结合法.０５核心素养以考查数学运算为主.０６命题趋势从近五年高考试题分析ꎬ高考在这一章以考查基础题为主ꎬ考查形式也很稳定ꎬ预计２０２０年不会有大的改变ꎬ因此复习时抓住基础即可.最新真题示例５６　　　５年高考３年模拟Ｂ版(教师用书)§５.１　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示对应学生用书起始页码Ｐ９４考点一向量的线性运算及几何意义高频考点　　１.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(１)交换律:ａ＋ｂ＝ｂ＋ａꎻ(２)结合律:(ａ＋ｂ)＋ｃ＝ａ＋(ｂ＋ｃ)减法求ａ与ｂ的相反向量－ｂ的和的运算三角形法则ａ－ｂ＝ａ＋(－ｂ)数乘求实数λ与向量ａ的积的运算(１)｜λａ｜＝｜λ｜｜ａ｜.(２)当λ>０时ꎬλａ与ａ的方向相同ꎻ当λ<０时ꎬλａ与ａ的方向相反ꎻ当λ＝０时ꎬλａ＝０(１)结合律λ(μａ)＝(λμ)ａꎻ(２)分配律(λ＋μ)ａ＝λａ＋μａꎻλ(ａ＋ｂ)＝λａ＋λｂ　　２.向量共线的判定定理和性质定理(１)判定定理:ａ是一个非零向量ꎬ若存在一个实数λ使得ｂ＝λａꎬ则向量ｂ与ａ共线.(２)性质定理:若向量ｂ与非零向量ａ共线ꎬ则存在唯一一个实数λꎬ使得ｂ＝λａ.通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量ꎬ注意待定系数法与方程思想的运用.考点二平面向量的基本定理及向量的坐标运算高频考点　　１.平面向量基本定理如果ｅ１ꎬｅ２是同一平面内的两个不共线向量ꎬ那么对于这一平面内的任意向量ａꎬ有且只有一对实数λ１ꎬλ２ꎬ使ａ＝λ１ｅ１＋λ２ｅ２.我们把不共线的向量ｅ１、ｅ２叫做表示这个平面内所有向量的一组基底.零向量和共线向量不能作基底.２.平面向量的坐标运算(１)向量的坐标表示一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标ꎬ即若Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ＡＢ→＝(ｘ２－ｘ１ꎬｙ２－ｙ１).(２)平面向量共线的坐标表示.若ａ＝(ｘ１ꎬｙ１)ꎬｂ＝(ｘ２ꎬｙ２)ꎬｂ≠０ꎬ则ａ与ｂ共线⇔ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０.需注意的几点:①若ａ＝(ｘ１ꎬｙ１)ꎬｂ＝(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ａ∥ｂ的充要条件不能表示成ｘ１ｘ２＝ｙ１ｙ２.因为ｘ２ꎬｙ２有可能等于０ꎬ所以应表示为ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０.同时ꎬａ∥ｂ的充要条件也不能错记为ｘ１ｘ２－ｙ１ｙ２＝０ꎬｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０等.②若ａ＝(ｘ１ꎬｙ１)ꎬｂ＝(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ａ∥ｂ的充要条件是ａ＝λｂ(ｂ≠０)ꎬ这与ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０在本质上是没有差异的ꎬ只是形式上不同.(３)向量的坐标运算①若ａ＝(ｘ１ꎬｙ１)ꎬｂ＝(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ａ±ｂ＝(ｘ１±ｘ２ꎬｙ１±ｙ２)ꎻ②若ａ＝(ｘꎬｙ)ꎬλ∈Ｒꎬ则λａ＝(λｘꎬλｙ).(４)单位向量模为１个单位长度的向量叫做单位向量ꎬ常用ｅ表示ꎬ其他的表示方法:ｉꎬｊꎬｋꎬａ｜ａ｜ꎬｘｘ２＋ｙ２ꎬｙｘ２＋ｙ２æèçöø÷ꎬ(ｃｏｓθꎬｓｉｎθ)等.􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋对应学生用书起始页码Ｐ９４一、平面向量的线性运算　　用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功ꎬ除利用向量的加法、减法、数乘运算外ꎬ还应充分利用平面几何的一些定理ꎬ因此ꎬ在求向量时要尽可能地转化到平行四边形或三角形中ꎬ利用三角形中位线平行于第三边ꎬ且等于第三边的一半ꎬ相似三角形对应边成比例等平面几何的性质ꎬ把未知向量转化为与已知有直接关系的向量进行求解.(２０１５课标Ⅰꎬ７ꎬ５分)设Ｄ为△ＡＢＣ所在平面内一点ꎬＢＣ→＝３ＣＤ→ꎬ则(　　)Ａ.ＡＤ→＝－１３ＡＢ→＋４３ＡＣ→Ｂ.ＡＤ→＝１３ＡＢ→－４３ＡＣ→Ｃ.ＡＤ→＝４３ＡＢ→＋１３ＡＣ→Ｄ.ＡＤ→＝４３ＡＢ→－１３ＡＣ→解析　ＡＤ→＝ＡＢ→＋ＢＤ→＝ＡＢ→＋ＢＣ→＋ＣＤ→＝ＡＢ→＋４３ＢＣ→＝ＡＢ→＋４３(ＡＣ→－ＡＢ→)＝－１３ＡＢ→＋４３ＡＣ→.故选Ａ.答案　Ａ　　１－１　在△ＡＢＣ中ꎬＧ为重心ꎬ记ＡＢ→＝ａꎬＡＣ→＝ｂꎬ则ＣＧ→＝(　　)Ａ.１３ａ－２３ｂＢ.１３ａ＋２３ｂ􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第五章　平面向量５７　　　Ｃ.２３ａ－１３ｂＤ.２３ａ＋１３ｂ１－１答案　Ａ解析　∵Ｇ为△ＡＢＣ的重心ꎬ∴ＡＧ→＝１３(ＡＢ→＋ＡＣ→)＝１３ａ＋１３ｂꎬ∴ＣＧ→＝ＣＡ→＋ＡＧ→＝－ｂ＋１３ａ＋１３ｂ＝１３ａ－２３ｂ.故选Ａ.　　１－２　若Ｍ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上的一点ꎬ且ＣＭ→＝３ＭＢ→ꎬ设ＡＭ→＝λＡＢ→＋μＡＣ→ꎬ则λ的值为　　　　.１－２答案　３４解析　∵ＣＭ→＝３ＭＢ→ꎬ∴ＢＭ→＝１４ＢＣ→ꎬ而ＢＣ→＝ＡＣ→－ＡＢ→ꎬ∴ＡＭ→＝ＡＢ→＋ＢＭ→＝ＡＢ→＋１４ＢＣ→＝ＡＢ→＋１４(ＡＣ→－ＡＢ→)＝３４ＡＢ→＋１４ＡＣ→ꎬ∴λ＝３４ꎬμ＝１４.􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋二、平面向量的坐标运算　　平面向量坐标运算的技巧(１)利用向量的加、减、数乘运算的法则进行求解ꎬ若已知有向线段两端点的坐标ꎬ则先求向量的坐标.(２)解题过程中常利用“向量相等ꎬ则坐标相同”这一结论ꎬ由此可列方程(组)进行求解.(２０１７课标Ⅲꎬ１２ꎬ５分)在矩形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝１ꎬＡＤ＝２ꎬ动点Ｐ在以点Ｃ为圆心且与ＢＤ相切的圆上.若ＡＰ→＝λＡＢ→＋μＡＤ→ꎬ则λ＋μ的最大值为(　　)Ａ.３Ｂ.２２Ｃ.５Ｄ.２解析　分别以ＣＢ、ＣＤ所在的直线为ｘ轴、ｙ轴建立直角坐标系ꎬ则Ａ(２ꎬ１)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬＤ(０ꎬ１).∵点Ｐ在以Ｃ为圆心且与ＢＤ相切的圆上ꎬ∴可设Ｐ２５ｃｏｓθꎬ２５ｓｉｎθæèçöø÷.则ＡＢ→＝(０ꎬ－１)ꎬＡＤ→＝(－２ꎬ０)ꎬＡＰ→＝２５ｃｏｓθ－２ꎬ２５ｓｉｎθ－１æèçöø÷.又ＡＰ→＝λＡＢ→＋μＡＤ→ꎬ∴λ＝－２５ｓｉｎθ＋１ꎬμ＝－１５ｃｏｓθ＋１ꎬ∴λ＋μ＝２－２５ｓｉｎθ－１５ｃｏｓθ＝２－ｓｉｎ(θ＋φ)ꎬ其中ｔａｎφ＝１２ꎬ∴(λ＋μ)ｍａｘ＝３.答案　Ａ　　２－１　已知Ｏ为坐标原点ꎬ向量ＯＡ→＝(２ꎬ３)ꎬＯＢ→＝(４ꎬ－１)ꎬ且ＡＰ→＝３ＰＢ→ꎬ则｜ＯＰ→｜＝　　　　.２－１答案　７２解析　设Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ由题意可得ＡꎬＢ两点的坐标分别为(２ꎬ３)ꎬ(４ꎬ－１)ꎬ由ＡＰ→＝３ＰＢ→可得ｘ－２＝１２－３ｘꎬｙ－３＝－３ｙ－３ꎬ{解得ｘ＝７２ꎬｙ＝０ꎬ{故｜ＯＰ→｜＝７２.　　２－２　已知直角梯形ＡＢＣＤ中ꎬＡＤ∥ＢＣꎬ∠ＡＤＣ＝９０°ꎬＡＤ＝２ꎬＢＣ＝１ꎬＰ是腰ＤＣ上的动点ꎬ则｜ＰＡ→＋３ＰＢ→｜的最小值为　　　　.２－２答案　５解析　建立如图所示的平面直角坐标系ꎬ则Ａ(２ꎬ０)ꎬ设Ｐ(０ꎬｙ)ꎬＣ(０ꎬｂ)(０≤ｙ≤ｂ)ꎬ则Ｂ(１ꎬｂ)ꎬ则ＰＡ→＋３ＰＢ→＝(２ꎬ－ｙ)＋３(１ꎬｂ－ｙ)＝(５ꎬ３ｂ－４ｙ)ꎬ所以｜ＰＡ→＋３ＰＢ→｜＝２５＋(３ｂ－４ｙ)２(０≤ｙ≤ｂ).当ｙ＝３４ｂ时ꎬ｜ＰＡ→＋３ＰＢ→｜ｍｉｎ＝５.􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋