2019-2020年中考试卷分类汇编：二次函数
一、选择
题
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1. （2014•上海，第3题4分）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
A．
y=x2﹣1
B．
y=x2+1
C．
y=（x﹣1）2
D．
y=（x+1）2
考点：
二次函数图象与几何变换．
专题：
几何变换．
分析：
先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答：
解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），
所以所得的抛物线的表达式为y=（x﹣1）2．
故选C．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种
方法
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：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2. （2014•四川巴中，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A．
abc＜0 B．
﹣3a+c＜0
C．
b2﹣4ac≥0
D．
将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c
考点：二次函数的图象和符号特征．
分析：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0．
B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y＜0，即可判断；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0；
D．把二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式，再求出平移后的解析式即可判断．
解答：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；
B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；
C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
D．y=ax2+bx+c=，∵=2，∴原式=，向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；故选：B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
3. （2014•山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；
该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，故②正确；
当x=1时，y=2a+b+c，
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴，b=2a，
又∵c=0，
∴y=4a，故③错误；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又x=﹣1时函数取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b=2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
4. （2014•山东枣庄，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
A．
y轴
B．
直线x=
C．
直线x=2
D．
直线x=
考点：
二次函数的性质
分析：
由于x=1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
解答：
解：∵x=1和2时的函数值都是﹣1，
∴对称轴为直线x==．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．
5. （2014•山东烟台，第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：二次函数的图象与性质．
解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵对称轴为直线x=2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．故选B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6.（2014山东济南，第15题，3分）二次函数
的图象如图，对称轴为
．若关于
的一元二次方程
（为实数）在
的范围内有解，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解析】由对称轴为
，得
，
再由一元二次方程
在
的范围内有解，得
，
即
，故选C．
7. （2014•山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，
其中正确的是（ ）
A．
①②③
B．
①③④
C．
①②④
D．
②③④
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
解答：
解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
b=2a，
∴b﹣2a=0，∴①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），
∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，∴②错误；
∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，
又∵b=2a，
∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，
∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，∴③正确；
∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），
∵（，y2），1＜，
∴y1＞y2，∴④正确；
即正确的有①③④，
故选B．
点评：
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
8．(2014年贵州黔东南9．（3分）)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ）
A．
2012
B．
2013
C．
2014
D．
2015
考点：
抛物线与x轴的交点．菁优网
分析：
把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．
解答：
解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
解得 m2﹣m=1．
∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．
故选：D．
点评：
本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．
9. (2014年贵州黔东南9．（4分）)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0
其中正确结论的有（ ）
A．
①②③
B．
①②④
C．
①③④
D．
②③④
考点：
二次函数图象与系数的关系．菁优网
分析：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；
把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；
故选B．
点评：
本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．
10.
考点：
二次函数的图象；一次函数的图象．
分析：
本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．
解答：
解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；
B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；
C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；
正确的只有D．
故选：D．
点评：
此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
11. （2014•江苏苏州,第8题3分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（ ）
A．
﹣3
B．
﹣1
C．
2
D．
5
考点：
二次函数图象上点的坐标特征．
分析：
把点（1，1）代入函数解析式求出a+b，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答：
解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣1=1，
∴a+b=2，
∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．
12. (2014•年山东东营,第9题3分)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0
B．
0或2
C．
2或﹣2
D．
0，2或﹣2
考点：
抛物线与x轴的交点．菁优网
分析：
分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．
解答：
解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，
解得：m=±2，
②当函数时一次函数时，m=0，
此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
13. （2014•山东临沂,第14题3分）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（ ）
A．
1个
B．
1个或2个
C．
1个或2个或3个
D．
1个或2个或3个或4个
考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
根据关于原点对称的关系，可得C2，根据直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点，可得答案．
解答：
解：函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，
C2图象是x=﹣y2﹣2y，a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，共有一个交点；
直线y=a经过C1的顶点时，共有两个交点；
直线y=a（a为常数）与C1、有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点；
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换，先求出C2的图象，再求出交点个数．
14. （2014•山东淄博,第8题4分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣x﹣2
B．
y=x2﹣x+2 C．
y=x2+x﹣2
D．
y=x2+x+2
考点：
待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网
专题：
计算题．
分析：
将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．
解答：
解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，
∴A（﹣2，4），
将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，
解得：b=﹣1，c=﹣2，
则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．
故选A．
点评：
此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15. （2014•山东淄博,第12题4分）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）
A．
6
B．
5
C．
4
D．
3
考点：
二次函数的性质．菁优网
专题：
计算题．
分析：
根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h＜4．
解答：
解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，
∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，
∴x=h＜4．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
16．（2014•四川南充，第10题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．
其中正确的有（ ）
A．①②③
B．
②④
C．
②⑤
D．
②③⑤
分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，
∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，
∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17.（2014•甘肃白银、临夏,第9题3分）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ）
A．
（﹣1，﹣1）
B．
（1，﹣1）
C．
（﹣1，1）
D．
（1，1）
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
此题可将b+c=0代入二次函数，变形得y=x2+b（x﹣1），若图象一定过某点，则与b无关，令b的系数为0即可．
解答：
解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x﹣1），
则它的图象一定过点（1，1）．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把b当做变量，令其系数为0进行求解．
18．（2014•甘肃兰州,第6题4分）抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．
y轴
B．
直线x=﹣1
C．
直线x=1
D．
直线x=﹣3
考点：
二次函数的性质．
分析：
根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．
解答：
解：抛物线y=（x﹣3）2﹣1的对称轴是直线x=3．
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．
19．（2014•甘肃兰州,第11题4分）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．
y=﹣2（x+1）2+2
B．
y=﹣2（x+1）2﹣2
C．
y=﹣2（x﹣1）2+2
D．
y=﹣2（x﹣1）2﹣2
考点：
二次函数图象与几何变换
分析：
根据图象右移减，上移加，可得答案．
解答：
解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
20．（2014•甘肃兰州,第14题4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ）
A．
c＞0
B．
2a+b=0
C．
b2﹣4ac＞0
D．
a﹣b+c＞0
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
压轴题．
分析：
本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．
解答：
解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；
B、由已知抛物线对称轴是直线x=1=﹣，得2a+b=0，正确；
C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；
D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x=﹣1时，y＜0，即y=ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，错误．
故选D．
点评：
在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
21. （ 2014•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．
函数有最小值
B．
对称轴是直线x=
C．
当x＜，y随x的增大而减小
D．
当﹣1＜x＜2时，y＞0
考点：
二次函数的性质．
分析：
根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；
根据图形直接判断B；
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；
根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．
解答：
解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．
22. （2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：
先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．
解答：
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．
23．(2014年四川资阳，第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
解答：
解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
点评：
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
24．(2014年天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A． 0
B．
1
C．
2
D．
3
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；
先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；
一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．
解答：
解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴x=﹣＞0，
∴ab＜0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故②正确；
③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，
∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，
由图可得，m＞2，故③正确．
故选D．
点评：
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
25．（2014•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．
开口向下
B．
对称轴是x=﹣1
C．
顶点坐标是（1，2）
D．
与x轴有两个交点
考点：
二次函数的性质．
专题：
常规题型．
分析：
根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
解答：
解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选C．
点评：
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．
26．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．
﹣
B．
或
C．
2或
D．
2或﹣或
考点：
二次函数的最值
专题：
分类讨论．
分析：
根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
解答：
解：二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，
解得m=﹣，m=（舍去）；
③当m＞1时，x=1时，二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选C．
点评：
本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．
27.（2014•毕节地区，第11题3分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（ ）
A．
开口向下
B．
对称轴是y轴
C．
都有最低点
D．
y随x的增大而减小
考点：
二次函数的性质
分析：
根据二次函数的性质解题．
解答：
解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；
（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；
（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．
故选B．
点评：
考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
28.（2014•孝感，第12题3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点
专题：
数形结合．
分析：
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
解答：
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选C．
点评：
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
29．（2014·台湾，第26题3分）已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？( )
A．1
B．3
C．5
D．7
分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，
∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．
故选D．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
30．（2014·浙江金华，第9题4分）如图是二次函数
的图象，使
成立的x的取值范围是【 】
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D．
【解析】
试题分析：由图象可知，当
时，
或
. 故选D．
考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.数形结合思想的应用
31．（2014•浙江宁波，第12题4分）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）
A．
（﹣3，7）
B．
（﹣1，7）
C．
（﹣4，10）
D．
（0，10）
考点：
二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化－对称．
分析：
把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可．
解答：
解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，
∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，
a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，
（a+2）2+4（b﹣1）2=0，
∴a+2=0，b﹣1=0，
解得a=﹣2，b=1，
∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，
2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，
∴点A的坐标为（﹣4，10），
∵对称轴为直线x=﹣=﹣2，
∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变化﹣对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键．
32.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
动点问题的函数图象．
专题：
数形结合．
分析：
分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
解答：
解：当0＜x≤1时，y=x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD=x，则AD=2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM=2﹣x，
∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，
∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，
∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，
∴y=，
故选A．
33.（2014•济宁，第8题3分）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．
m＜a＜b＜n
B．
a＜m＜n＜b
C．
a＜m＜b＜n
D．
m＜a＜n＜b
考点：
抛物线与x轴的交点．
分析：
依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．
解答：
解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故选A．
点评：
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．
34．（2014年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（ ）
A．BCD．
分析：
根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．
解：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，
所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），
反比例函数y=的图象位于第二四象限，
纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．
点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．
35.（2014年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
X
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（ ）
A．4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
解：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；
∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；
∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．
故选B．
点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
36.（2014•滨州，第9题3分）下列函数中，图象经过原点的是（ ）
A．
y=3x
B．
y=1﹣2x
C．
y=
D．
y=x2﹣1
考点：
二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
分析：
将点（0，0）依次代入下列选项的函数解析式进行一一验证即可．
解答：
解：∵函数的图象经过原点，
∴点（0，0）满足函数的关系式；
A、当x=0时，y=3×0=0，即y=0，∴点（0，0）满足函数的关系式y=3x；故本选项正确；
B、当x=0时，y=1﹣2×0=1，即y=1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=1﹣2x；故本选项错误；
C、y=的图象是双曲线，不经过原点；故本选项错误；
D、当x=0时，y=02﹣1=﹣1，即y=﹣1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=x2﹣1；故本选项错误；
故选A．
点评：
本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上的点的坐标特征．经过函数图象上的某点，该点一定满足该函数的解析式．
37. （2014•山西，第6题3分）我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）
A．演绎
B．数形结合
C．抽象
D．公理化
考点：
二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
专题：
数形结合．
分析：
从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．
解答：
解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣，时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
38. （2014•丽水，第8题3分）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（ ）
A．
（﹣3，﹣6）
B．
（1，﹣4）
C．
（1，﹣6）
D．
（﹣3，﹣4）
考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得目标函数图象，再根据顶点坐标公式，可得答案．
解答：
解：函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象y=2（x﹣2）2+4（x﹣2）﹣3﹣1，
即y=2（x﹣1）2﹣6，
顶点坐标是（1，﹣6），
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象的平移规律：上加下减，左加右减．
39．(2014年广西南宁，第10题3分）如图，已知二次函数y=﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A． a＞1
B．
﹣1＜a≤1
C．
a＞0
D．
﹣1＜a＜2
考点：
二次函数与不等式（组）．.
分析：
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列式即可．
解答：
解：二次函数y=﹣x2+2x的对称轴为直线x=1，
∵﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，
∴a≤1，
∴﹣1＜a≤1．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数与不等式，求出对称轴解析式并准确识图是解题的关键．
40．(2014年贵州安顺，第18题4分)如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个．
其中正确的结论是 ③④ ．（只填序号）
考点：
抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系；等腰三角形的判定．.
分析：
先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB=4，
∴对称轴x=﹣=1，
即2a+b=0．
故①错误；
②根据图示知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．
故②错误；
③∵A点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，
∴a+2a+c=0，即c=﹣3A．
故③正确；
④当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，
把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，
∴D点坐标为（1，﹣2），
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形．
故④正确；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
当AB=BC=4时，
∵AO=1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=﹣，
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；
同理当AB=AC=4时
∵AO=1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=﹣
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2，
在△BOC中BC2=c2+9，
∵AC=BC，
∴1+c2=c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤错误．
综上所述，正确的结论是③④．
故答案是：③④．
点评：
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
41. （2014•海南,第13题3分）将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A．
向左平移2个单位
B．
向右平移2个单位
C．
向上平移2个单位
D．
向下平移2个单位
考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
根据图象左移加，可得答案．
解答：
解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位，
故选：A．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
42. （2014•黑龙江绥化,第17题3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（ ）
A．
b2＞4ac
B．
ac＞0
C．
a﹣b+c＞0
D．
4a+2b+c＜0
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
数形结合．
分析：
根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可C选项进行判断；由于x=2时，函数值小于0，则有4a+2b+c＞0，于是可对D选项进行判断．
解答：
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以C选项错误；
∵当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以D选项错误．
故选A．
点评：
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
43. （2014•湖北宜昌,第15题3分）二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象．
专题：
数形结合．
分析：
先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而确定该选项是否正确．
解答：
解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，所以A选项错误；
B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以B选项正确；
C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，所以C选项正确；
D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以D选项错误．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了反比例函数的图象．
44. （2014•江西，第6题3分）已知反比例函数
的图像如右图所示，则二次函数
的图像大致为（ ）．
【答案】 D.
【考点】 二次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质．
【分析】 反比例函数的图像作用是确定k的正负，从双曲线在二、四象限可知k<0。要确定二次函数y=ax2+bx+c的图像，一看开口方向(a >0或a<0)，二看对称轴位置，三看在y轴上的截距（即c），四看与x轴的交点个数（根据根的判别式的正负来确定）。本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜－1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
【解答】 解：∵函数
的图像的图象经过二、四象限，
∴k＜0，由图知，当x=－1时，y=－k＞1，
∴k＜－1，
∴抛物线y=2kx2-4x+k2开口向下，
∵对称轴为
∴对称轴在－1与0之间，故选D．
【点评】 本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，要求对二次函数和反比例函数的图像和性质有比较深刻地理解，并能熟练地根据二次函数图像中的信息作出分析和判断，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．
45、（2014•宁夏，第11题8分）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
二次函数的图象；正比例函数的图象．
分析：
本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）
解答：
解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），错误；
B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，错误；
C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），正确；
D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，错误．
故选C．
点评：
函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．
46．(2014•陕西,第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A． c＞﹣1
B．
b＞0
C．
2a+b≠0
D．
9a+c＞3b
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
数形结合．
分析：
由抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方得到c＜﹣1；由抛物线开口方向得a＞0，再由抛物线的对称轴在y轴的右侧得a、b异号，即b＜0；由于抛物线过点（﹣2，0）、（4，0），根据抛物线的对称性得到抛物线对称轴为直线x=﹣=1，则2a+b=0；由于当x=﹣3时，y＜0，所以9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3B．
解答：
解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方．
∴c＜﹣1；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣＞0，
∴b＜0；
∵抛物线过点（﹣2，0）、（4，0），
∴抛物线对称轴为直线x=﹣=1，
∴2a+b=0；
∵当x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＞0，
即9a+c＞3B．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
47．（2014•四川成都,第9题3分）将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．
y=（x+1）2+4
B．
y=（x+1）2+2
C．
y=（x﹣1）2+4
D．
y=（x﹣1）2+2
考点：
二次函数的三种形式．
分析：
根据配方法进行整理即可得解．
解答：
解：y=x2﹣2x+3，
=（x2﹣2x+1）+2，
=（x﹣1）2+2．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟记配方法的操作是解题的关键．
48．（2014•黑龙江哈尔滨,第8题3分）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．
y=﹣2（x+1）2﹣1
B．
y﹣2（x+1）2+3
C．
y=﹣2（x﹣1）2+1
D．
y=﹣2（x﹣1）2+3
考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
根据图象右移减，上移加，可得答案．
解答：
解；将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3，[来源:学科网]
故选：D．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是：左加右减，上加下减．
49. (2014年湖北黄石) （2014•湖北黄石,第7题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
第2题图
A． x＜﹣1
B．
x＞3 C．﹣1＜x＜3 D． x＜﹣1或x＞3
考点：
二次函数与不等式（组）．
分析：
根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．
解答：
解：由图可知，x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
50. （2014•湖北荆门,第4题3分）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A． y=（x﹣4）2﹣6
B． y=（x﹣4）2﹣2
C． y=（x﹣2）2﹣2
D．y=（x﹣1）2﹣3
考点：
二次函数图象与几何变换．
专题：
几何变换．
分析：
先把y=x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答：
解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
51．（2014•莱芜，第12题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2
其中正确的个数有（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
二次函数图象与系数的关系．
专题：
数形结合．
分析：
由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2．
解答：
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x=﹣＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵﹣1＜﹣＜0，
∴2a﹣b＜0，所以②正确；
∵当x=﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以③正确；
∵当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，所以④正确．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
52. （2014•青岛，第8题3分）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：
本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
解答：
解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误．
故选：B．
点评：
本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
二、填空题
1. （2014•浙江杭州，第15题，4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2 ．
考点：
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
分析：
根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．
解答：
解：∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，
当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+k，
则，
解得，
所以，y=（x﹣1）2+=x2﹣x+2，
当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+k，
则，
解得，
所以，y=﹣（x﹣3）2+=﹣x2+x+2，
综上所述，抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．
故答案为：y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．
2. *( 2014年河南9．（4分）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．若点A的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为 .
答案：8.
解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，∴AB=8.
3. (2014年湖北咸宁15．（3分）)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
温度t/℃
﹣4
﹣2
0
1
4
植物高度增长量l/mm
41
49
49
46
25
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ﹣1 ℃．
考点：
二次函数的应用．菁优网
分析：
首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，在利用二次函数最值公式求法得出即可．
解答：
解：设 y=ax2+bx+c （a≠0），选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组
，
解得：，
所以y与x之间的二次函数解析式为：y=﹣x2﹣2x+49，
当x=﹣=﹣1时，y有最大值50，
即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．
故答案为：﹣1．
点评：
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式，得出二次函数解析式是解题关键．
4. （2014•株洲，第16题，3分）如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是 a＜﹣5 ．
考点：
抛物线与x轴的交点
分析：
函数图象经过四个象限，需满足3个条件：
（I）函数是二次函数；
（II）二次函数与x轴有两个交点；
（III）二次函数与y轴的正半轴相交．
解答：
解：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：
（I）函数是二次函数．因此a﹣1≠0，即a≠1①
（II）二次函数与x轴有两个交点．因此△=9﹣4（a﹣1）=﹣4a﹣11＞0，解得a＜﹣②
（III）二次函数与y轴的正半轴相交．因此＞0，解得a＞1或a＜﹣5③
综合①②③式，可得：a＜﹣5．
故答案为：a＜﹣5．
点评：
本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与x轴的交点、二次函数与y轴交点等知识点，解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足的条件．
5. （2014年江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围是 ．
考点：二次函数与不等式
分析：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．
解答：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．
点评：本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键．
6. （2014•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 0 ．
（第3题图）
考点：
抛物线与x轴的交点
分析：
依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．
解答：
解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），
∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，
∴4a﹣2b+c=0，
故答案为：0．
点评：
本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．
7．（2014•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _______．
考点：
二次函数综合题．
专题：
代数几何综合题；压轴题．
分析：
设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．
解答：
解：设设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2=a，解得x=，
∴点B（，a），
=a，
则x=，
∴点C（，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴y1=2=3a，
∴点D的坐标为（，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴=3a，
∴x=3，
∴点E的坐标为（3，3a），
∴DE=3﹣，
==3﹣．
故答案为：3﹣．
点评：
本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．
8. （ 2014•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 直线x=2 ．
考点：
二次函数的性质
分析：
点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．
解答：
解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，
∴这两点一定关于对称轴对称，
∴对称轴是：x==2．
故答案为：直线x=2．
点评：
本题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称．
9．(2014年云南，第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是 ．
考点：
二次函数的性质．
专题：
计算题．
分析：
已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
解答：
解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，
∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
点评：
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．
10．（2014•浙江湖州，第16题4分）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是 ．
分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．
解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，
∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键．
11. （2014•浙江绍兴,第13题5分）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 y=﹣（x+6）2+4 ．
考点：
二次函数的应用[来源:Z,xx,k.Com]
分析：
根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
解答：
解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，
解得：a=﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．
故答案为：y=﹣（x+6）2+4．
点评：
此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
12．(2014•黑龙江牡丹江, 第19题3分)已知二次函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣1与x轴交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），则对于下列结论：
①当x=﹣2时，y=1；
②方程kx2+（2k﹣1）x﹣1=0有两个不相等的实数根x1，x2；
③x2﹣x1=．
其中正确的结论有 ①② （只需填写序号即可）．
考点：
抛物线与x轴的交点．
分析：
直接根据抛物线与x轴的交点问题、根与系数的关系对各小题进行逐一分析即可．
解答：
解：①当x=﹣2时，y=4k﹣2×（2k﹣1）﹣1=4k﹣4k+2﹣1=1，故本小题正确；
②∵抛物线x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2），
∴方程kx2+（2k﹣1）x﹣1=0有两个不相等的实数根x1、x2，故本小题正确；
③∵二次函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2），
∴x1+x2=，x1•x2=﹣
∴x2﹣x1====，故本小题错误，
故答案为：①②．
点评：
本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．
13. （ 2014•安徽省,第12题5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= a（1+x）2 ．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．
解答：
解：∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为a×（1+x），
∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．
故填空答案：a（1+x）2．
点评：
此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．
三、解答题
1. （2014•上海，第24题12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；
（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴；
（2）分两种情况：当AC∥EF时；当AF∥CE时；两种情况讨论得到点F的坐标；
（3）△BDP和△CDP的面积相等，可得DP∥BC，根据待定系数法得到直线BC的解析式，根据两条平行的直线k值相同可得直线DP的解析式，进一步即可得到t的值．
解答：
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣2），
∴，
解得．
故抛物线的表达式为：y=x2﹣x﹣2=（x﹣1）2﹣，对称轴为直线x=1；
（2）由（1）可知，点E（1，0），A（﹣1，0），C（0，﹣2），
当AC∥EF时，直线AC的解析式为y=﹣2x﹣2，
∴直线EF的解析式为y=﹣2x+2，
当x=1时，y=0，此时点F与点E重合；
当AF∥CE时，直线CE的解析式为y=2x﹣2，
∴直线AF的解析式为y=2x+2，
当x=1时，y=4，此时点F的坐标为（1，4）．
综上所述，点P的坐标为（1，4）；
（3）点B（3，0），点D（1，﹣），
若△BDP和△CDP的面积相等，
则DP∥BC，
则直线BC的解析式为y=x﹣2，
∴直线DP的解析式为y=x﹣，
当y=0时，x=5，
∴t=5．
点评：
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，待定系数法求直线的解析式，两条平行的直线之间的关系，三角形面积，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
2. （2014•山东威海，第25题12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；
（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E的坐标；
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，由BC∥AD设BC的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出结论．
解答：
解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．
将A（﹣1，0），B（4，0）代入，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．
在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC==．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，
∴h=．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴=，∴y=±2
将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，得x1=0，x2=3．
当y=﹣2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，
∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
∴，
yBC=﹣x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得
0=﹣×（﹣1）+n
∴n=﹣，
yAD=﹣x﹣．
∴﹣x2+x+2=﹣x﹣，
解得：x1=﹣1，x2=5
∴D（﹣1，0）与A重合，舍去，D（5，﹣3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=，BC=2，
∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF=，
在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．
点评：
本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
4. （2014•山东枣庄，第25题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．
（1）求∠OBC的度数；
（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；
（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）由抛物线已知，则可求三角形OBC的各个顶点，易知三角形形状及内角．
（2）因为抛物线已固定，则S四边形OCDB固定，对于坐标系中的不
规则
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图形常用分割求和、填补求差等方法求面积，本图形过顶点作x轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角形，面积易得．由此可得E点坐标，进而可求ED直线方程，与抛物线解析式联立求解即得P点坐标．
（3）PF的长度即为yF﹣yP．由P、F的横坐标相同，则可直接利用解析式作差．由所得函数为二次函数，则可用二次函数性质讨论最值，解法常规．
解答：
解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+2），
∴由题意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．
在Rt△OBC中，
∵OC=OB=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°．
（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，此时S四边形OCDB=S梯形OCDH+S△HBD，
∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，
∴S梯形OCDH=•（OC+HD）•OH=，S△HBD=•HD•HB=4，
∴S四边形OCDB=．
∴S△OCE=S四边形OCDB==，
∴OE=5，
∴E（5，0）．
设lDE：y=kx+b，
∵D（1，﹣4），E（5，0），
∴，
解得，
∴lDE：y=x﹣5．
∵DE交抛物线于P，设P（x，y），
∴x2﹣2x﹣3=x﹣5，
解得 x=2 或x=1（D点，舍去），
∴xP=2，代入lDE：y=x﹣5，
∴P（2，﹣3）．
（3）如图2，
设lBC：y=kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得 ，
∴lBC：y=x﹣3．
∵F在BC上，
∴yF=xF﹣3，
∵P在抛物线上，
∴yP=xP2﹣2xP﹣3，
∴线段PF长度=yF﹣yP=xF﹣3﹣（xP2﹣2xP﹣3），
∵xP=xF，
∴线段PF长度=﹣xP2+3xP=﹣（xP﹣）2+，（1＜xP≤3），
∴当xP=时，线段PF长度最大为．
点评：
本题考查了抛物线图象性质、已知两点求直线解析式、直角三角形性质及二次函数最值等基础知识点，题目难度适中，适合学生加强练习．
5. （2014•山东潍坊，第24题13分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
考点：二次函数综合题．
分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）设存在点K，使得四边形ABFC的面积为17，根据点K在抛物线y=－x2+2x+3上设点K的坐标为：（x，－x2+2x+3），根据S四边形ABKC=S△AOC+S梯形ONKC+S△BNK得到有关x的一元二次方程求出x即可.．
（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y的值，确定出D坐标，将x=1代入直线BC解析式求出y的值，确定出E坐标，求出DE长，将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标，将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ，由DE与QP平行，要使四边形PEDQ为平行四边形，只需DE=PQ，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可．
解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4,① ∵对称轴x= =1，∴b=－2a，②，
又抛物线过点A（一2，O）∴0=4a－2b+c，③
由①②③ 解得：a=, b=1 ,c=4． 所以抛物线的解析式是y=x+x+4
(2)假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF．
过点F分别作FH⊥x轴于H , FG⊥y轴于G．
设点F的坐标为（t, t2+t+4），其中O
4时，PQ=（一m+4）一（一m2++m+4)= m2—2m,
由m2—2m=，解得m=2±，经检验适合题意，
此时P2（2+，2一），P3（2一，2+）．
综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1 (3,1)，P2（2+，2 －），P3（2—，2十）.
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．
6. （2014•山东烟台，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．
考点：二次函数综合题.
分析：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．
（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD∽△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．
（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．
解答：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，解得a=，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．
（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°
∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCF=90°，∴∠ACO=∠CBF，
∵∠AOC=∠CFB=90°，∴△AOC∽△CFB，∴=，
设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，解得m=m=1，∴OC=OF=1，
当x=0时y=﹣，∴OD=，∴BF=OD，
∵∠DOC=∠BFC=90°，∴△OCD∽△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，
∴点B、C、D在同一直线上，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．
（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，
解得k=﹣，
∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．
解得x=2或x=﹣2，
当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，
∴点E的坐标为（﹣2，），∵tan∠EDG===，
∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===，∴∠OAC=30°，
∴∠OAC=∠EDG，∴ED∥AC．
点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握．
7.（2014•江西抚州，第23题，10分） 如图，抛物线
(
)位于
轴上方的图象记为
1 ，它与
轴交于
1 、
两点，图象
2与
1关于原点
对称，
2与
轴的另一个交点为
2 ，将
1与
2同时沿
轴向右平移
1
2的长度即可得
3与
4 ；再将
3与
4 同时沿
轴向右平移
1
2的长度即可得
5与
6 ； ……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象
1 ,
2 ,…… ，
n ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.
⑴ 当
时，
① 求图象
1的顶点坐标；
② 点
(2014 , －3) 不在 (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象
n 的顶点
n的横坐标为201，则图象
n 对应的解析式为
，其自变量
的取值范围为
.
⑵ 设图象
m、
m+1的顶点分别为
m 、
m+1 (m为正整数),
轴上一点Q的坐标为(12 ,0).试探究：当
为何值时，以
、
m 、
m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.
解析：(1)当
时，
①
，∴F1的顶点是（-1,1)；
②由①知：“波浪抛物线”的
值的取值范围是-1≤
≤1，
∴点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上；
由平移知：F2：
F3：
，…，
∵Fn的顶点横坐标是201，∴Fn的解析式是：
，
此时图象与
轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0),
∴200≤
≤202 .
(2)如下图，取OQ的中点O′,连接Tm Tm+1 ,
∵四边形OTmQTm+1是矩形，
∴Tm Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm+1 经过O′, ∴OTm+1=6,
∵F1：
∴Tm+1的纵坐标为
，
∴(
)2+12 =62 , ∴
=±
,
已知
＜0 ， ∴
.
∴当
时，以以O、Tm 、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形.
此时m=4.
8．（2014山东济南，第28题，9分）（本小题满分9分）如图1，抛物线
平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与
轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积
；
（2）如图2，直线AB与
轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，
为直角，边MN与AP相交于点N，设
，试探求：
①为何值时
为等腰三角形；
②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．
【解析】（1）设平移后抛物线的解析式
，
将点A（8，,0）代入，得
.顶点B（4,3），
=OC×CB＝12.
（2）直线AB的解析式为
，作NQ垂直于x轴于点Q，
①当MN＝AN时， N点的横坐标为
，纵坐标为
，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知
,得
，解得
（舍去）.
当AM＝AN时，AN＝
,由三角形ANQ和三角形APO相似可知
EMBED Equation.DSMT4 ,
MQ＝
，由三角形NQM和三角形MOP相似可知
得：
，解得：
＝12（舍去）.
当MN＝MA时，
故
是钝角，显然不成立.
故
.
②方法一：作PN的中点C，连接CM，则CM＝PC＝
PＮ，
当CM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，
此时＝3，证明如下：
假设＝3时M记为
，C记为
若M不在
处，即M在
左侧或右侧，
若C在
左侧或者C在
处，则CM一定大于
,而PC却小于
，这与CM＝PC矛盾，
故C在
右侧，则PC大于
,相应PN也会增大，
故若M不在
处时 PN大于
处的PN的值，
故当＝3时，MQ＝3,
,根据勾股定理可求出PM＝
与MN＝
,
．
故当＝3时，PN取最小值为
．
方法二：由
所在直线方程为
，与直线AB的解析式
联立，
得点N的横坐标为
，即
，
由判别式
，得
或
，又
，
所以
的最小值为6，此时＝3，
当＝3时，N的坐标为（6，
），此时PN取最小值为
．
9. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：
①存在函数，其图象经过（1，0）点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．
考点：
二次函数综合题
分析：
①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；
②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；
③根据二次函数的增减性，即可作出判断；
④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断．
解答：
解：①真，将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，
解得：k=0．
运用方程思想；
②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；
③假，如k=1，﹣=，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；
④真，当k=0时，函数无最大、最小值；
k≠0时，y最==﹣，
∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；
当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．
点评：
本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般．
10.(2014年贵州黔东南24．（14分）)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
考点：
二次函数综合题．菁优网
分析：
（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
（3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=﹣x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；
解答：
解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx﹣4上，
∴，
∵c=6，
∴a=2，b=﹣8，
∴y=2x2﹣8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
=﹣2n2+9n﹣4，
=﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，
∴当n=时，线段PC最大且为．
（3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b，
把A（，）代入得： =﹣+b，解得：b=3，
∴直线AC解析式：y=﹣x+3，
点C在抛物线上，设C（m，2m2﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m2﹣8m+6=﹣m+3，
整理得：2m2﹣7m+3=0，
解得；m=3或m=，
∴P（3，0）或P（，）．
点评：
此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识；
11.（2014•遵义27．（14分））如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．
（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．
（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．
解答：
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，
解得 ，
∴y=x2﹣x﹣4．
∴C（0，﹣4）．
（2）存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0）
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC==5，AQ=4．
∵QD∥OC，
∴，
∴，
∴QD=，AD=．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=﹣x，
∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2=x2，解得 x=，
∴OA﹣AE=3﹣=﹣，
∴E（﹣，0）．
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD=，
∴AE=，
∴OA﹣AE=3﹣=﹣，
∴E（﹣，0）．
③当AE=AQ=4时，
∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，
∴E（﹣1，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）．
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（﹣，﹣）．理由如下：
如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴，
∴，
∴AF=，FQ=，
∴Q（3﹣，﹣），
∵DQ=AP=t，
∴D（3﹣﹣t，﹣），
∵D在二次函数y=x2﹣x﹣4上，
∴﹣=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，
∴t=，或t=0（与A重合，舍去），
∴D（﹣，﹣）．
点评：
本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．
12.（2014•十堰10．（3分））已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：
①a﹣b+c=0；
②b2＞4ac；
③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；
④抛物线的对称轴为x=﹣．
其中结论正确的个数有（ ）
A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
考点：
二次函数图象与系数的关系
分析：
将点（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，即可判断①正确；
将点（1，1）代入y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，又由①得a﹣b+c=0，两式相加，得a+c=，两式相减，得b=．由b2﹣4ac=﹣4a（﹣a）=﹣2a+4a2=（2a﹣）2，当a=时，b2﹣4ac=0，即可判断②错误；
③由b2﹣4ac=（2a﹣）2＞0，得出抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1•x==﹣1，即x=1﹣，再由a＜0得出x＞1，即可判断③正确；
④根据抛物线的对称轴公式为x=﹣，将b=代入即可判断④正确．
解答：
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1），∴a+b+c=1，又a﹣b+c=0，
两式相加，得2（a+c）=1，a+c=，
两式相减，得2b=1，b=．
∵b2﹣4ac=﹣4a（﹣a）=﹣2a+4a2=（2a﹣）2，
当2a﹣=0，即a=时，b2﹣4ac=0，故②错误；
③当a＜0时，∵b2﹣4ac=（2a﹣）2＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，
则﹣1•x===﹣1，即x=1﹣，
∵a＜0，∴﹣＞0，
∴x=1﹣＞1，
即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；
④抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=﹣，故④正确．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质，不等式的性质，难度适中．
13.（2014•十堰25．（12分））已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．
（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；
（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．
考点：
二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性．
专题：
压轴题；存在型．
分析：
（1）由抛物线的顶点式易得顶点A坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）根据平移法则求出抛物线C2的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组求出抛物线C2与直线AB的交点C、D的坐标，就可以求出S△OAC：S△OAD的值．
（3）设直线m与y轴交于点G，直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变化而变化，故需对点G的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式．
解答：
解：（1）∵抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，
∴点A的坐标为（﹣1，﹣2）．
∵抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2经过点B（﹣2，﹣1），
∴a（﹣2+1）2﹣2=﹣1．
解得：a=1．
∴抛物线C1的解析式为：y=（x+1）2﹣2．
（2）∵抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得，
∴抛物线C2的解析式为：y=（x+1）2﹣2﹣2=（x+1）2﹣4．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1），
∴
解得：
∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3．
联立
解得：或．
∴C（﹣3，0），D（0，﹣3）．
∴OC=3，OD=3．
过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点A作AF⊥y轴，垂足为F，
∵A（﹣1，﹣2），
∴AF=1，AE=2．
∴S△OAC：S△OAD
=（OC•AE）：（OD•AF）
=（×3×2）：（×3×1）
=2．
∴S△OAC：S△OAD的值为2．
（3）设直线m与y轴交于点G，与直线l交于点H，
设点G的坐标为（0，t）
当m∥l时，CG∥PQ．
∴△OCG∽△OPQ．
∴=．
∵P（﹣4，0），Q（0，2），
∴OP=4，OQ=2，
∴=．
∴OG=．
∴t=时，直线l，m与x轴不能构成三角形．
∵t=0时，直线m与x轴重合，
∴直线l，m与x轴不能构成三角形．
∴t≠0且t≠．
①t＜0时，如图2①所示．
∵∠PHC＞∠PQG，∠PHC＞∠QGH，
∴∠PHC≠∠PQG，∠PHC≠∠QGH．
当∠PHC=∠GHQ时，
∵∠PHC+∠GHQ=180°，
∴∠PHC=∠GHQ=90°．
∵∠POQ=90°，
∴∠HPC=90°﹣∠PQO=∠HGQ．
∴△PHC∽△GHQ．
∵∠QPO=∠OGC，
∴tan∠QPO=tan∠OGC．
∴=．
∴=．
∴OG=6．
∴点G的坐标为（0，﹣6）
设直线m的解析式为y=mx+n，
∵点C（﹣3，0），点G（0，﹣6）在直线m上，
∴．
解得：．
∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6，
联立，
解得：或
∴E（﹣1，﹣4）．
此时点E在顶点，符合条件．
∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6．
②O＜t＜时，如图2②所示，
∵tan∠GCO==＜，
tan∠PQO===2，
∴tan∠GCO≠tan∠PQO．
∴∠GCO≠∠PQO．
∵∠GCO=∠PCH，
∴∠PCH≠∠PQO．
又∵∠HPC＞∠PQO，
∴△PHC与△GHQ不相似．
∴符合条件的直线m不存在．
③＜t≤2时，如图2③所示．
∵tan∠CGO==≥，
tan∠QPO===．
∴tan∠CGO≠tan∠QPO．
∴∠CGO≠∠QPO．
∵∠CGO=∠QGH，
∴∠QGH≠∠QPO，
又∵∠HQG＞∠QPO，
∴△PHC与△GHQ不相似．
∴符合条件的直线m不存在．
④t＞2时，如图2④所示．
此时点E在对称轴的右侧．
∵∠PCH＞∠CGO，
∴∠PCH≠∠CGO．
当∠QPC=∠CGO时，
∵∠PHC=∠QHG，∠HPC=∠HGQ，
∴△PCH∽△GQH．
∴符合条件的直线m存在．
∵∠QPO=∠CGO，∠POQ=∠GOC=90°，
∴△POQ∽△GOC．
∴=．
∴=．
∴OG=6．
∴点G的坐标为（0，6）．
设直线m的解析式为y=px+q
∵点C（﹣3，0）、点G（0，6）在直线m上，
∴．
解得：．
∴直线m的解析式为y=2x+6．
综上所述：存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似，
此时直线m的解析式为y=﹣2x﹣6和y=2x+6．
点评：
本题考查了二次函数的有关知识，考查了三角形相似的判定与性质、三角函数的定义及增减性等知识，考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，考查了通过解方程组求两个函数图象的交点，强化了对运算能力、批判意识、分类讨论思想的考查，具有较强的综合性，有一定的难度．
14.（2014•娄底26．（10分））如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）利用根与系数的关系，等式x12+x22+x1x2=7．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1．代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式．
（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．
解答：
解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，
∵x1+x2+x1x2=7，
∴（x1+x2）2﹣x1x2=7，
∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7，
即m2﹣m﹣6=0，
解得m1=﹣2，m2=3，
∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合题意
∴m=﹣2
抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）能
如图，设p是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．
若∠POC=∠PCO
则PD应是线段OC的垂直平分线
∵C的坐标为（0，﹣3）
∴D的坐标为（0，﹣）
∴P的纵坐标应是﹣
令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=
因此所求点P的坐标是（，﹣），（，﹣）
点评：
本题考查了根与系数的关系是：x1+x2=﹣，x1x2=，以及线段的垂直平分线的性质，函数图象交点坐标的求法等知识．
15.（2014•娄底27．（10分））如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？
考点：
相似形综合题
分析：
（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出=，从而求出AB，再根据=，得出PH=3﹣t，则△AQP的面积为： AQ•PH=t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案；
（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，=，求出AE=﹣t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可；
（3）由（1）知，PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=﹣t+4，从而求出PQ=，
在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ，即=t，③当PQ=AP，即=5﹣t，再分别计算即可．
解答：
解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∵AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
∴=，
∴PH=3﹣t，
∴△AQP的面积为：
S=×AQ×PH=×t×（3﹣t）=﹣（t﹣）2+，
∴当t为秒时，S最大值为cm2．
（2）如图乙，连接PP′，PP′交QC于E，
当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∴△APE∽△ABC，
∴=，
∴AE===﹣t+4
QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4，
QE=QC=（4﹣t）=﹣t+2，
∴﹣t+4=﹣t+2，
解得：t=，
∵0＜＜4，
∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是s；
（3）由（1）知，
PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣t+4
∴PQ===，
在△APQ中，
①当AQ=AP，即t=5﹣t时，解得：t1=；
②当PQ=AQ，即=t时，解得：t2=，t3=5；
③当PQ=AP，即=5﹣t时，解得：t4=0，t5=；
∵0＜t＜4，
∴t3=5，t4=0不合题意，舍去，
∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．
点评：
此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．
16.(2014年湖北咸宁23．（10分）)如图1，P（m，n）是抛物线y=﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．
【探究】
（1）填空：当m=0时，OP= 1 ，PH= 1 ；当m=4时，OP= 5 ，PH= 5 ；
【证明】
（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
【应用】
（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
考点：
二次函数综合题．菁优网
分析：
（1）m记为P点的横坐标．m=0时，直接代入x=0，得P（0，﹣1），则OP，PH长易知．当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP﹣（﹣2）．
（2）猜想OP=PH．证明时因为P为所有满足二次函数y=﹣1的点，一般可设（m，﹣1）．类似（1）利用勾股定理和PH=yP﹣（﹣2）可求出OP与PH，比较即得结论．
（3）考虑（2）结论，即函数y=﹣1的点到原点的距离等于其到l的距离．要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OB＞AB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB≥6，即A、B两点到l距离的和≥6，进而最小值即为6．
解答：
（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．
如图1，记PH与x轴交点为Q，
当m=0时，P（0，﹣1）．此时OP=1，PH=1．
当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4，
∴OP==5，PH=yP﹣（﹣2）=3﹣（﹣2）=5．
（2）猜想：OP=PH．
证明：过点P作PQ⊥x轴于Q，
∵P在二次函数y=﹣1上，
∴设P（m，﹣1），则PQ=|﹣1|，OQ=|m|，
∵△OPQ为直角三角形，
∴OP=====，
PH=yP﹣（﹣2）=（﹣1）﹣（﹣2）=，
∴OP=PH．
（3）解：
如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离．
则有OB=BD，OA=AC，
在△AOB中，
∵OB+OA＞AB，
∴BD+AC＞AB．
当AB过O点时，
∵OB+OA=AB，
∴BD+AC=AB．
综上所述，BD+AC≥AB，
∵AB=6，
∴BD+AC≥6，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．
点评：
本题考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习．
17. ( 2014年河南) (23. 11分）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B(5,0）两点，直线y=－x+3与y轴交于点C，，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE =5EF,求m的值；
（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)∵抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A (－1,0) , B(5,0)两点，
∴ ∴
∴抛物线的解析式为y=－x2+4x+5．………3分
（2）点P横坐标为m，
则P(m,－m2＋4m＋5）,E(m,－m+3)，F(m,0),
∵点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧，∴ 0＜m＜5.
PE=－m2＋4m＋5－(－m＋3)= －m2＋m＋2……4分
分两种情况讨论：
①当点E在点F上方时，EF=－m＋3.
∵PE=5EF，∴－m2＋m＋2=5(－m＋3)
即2m2－17m＋26=0，解得m1=2，m2=（舍去）……………6分
②当点E在点F下方时，EF=m－3.
∵PE=5EF，∴－m2＋m＋2=5(m－3)，
即m2－m－17=0，解得m3=，m4=（舍去），
∴m的值为2或……………………………………………8分
(3),点P的坐标为P1(－，),P2(4，5), P3(3－，2－3).………11分
【提示】∵E和E/关于直线PC对称，∴∠E/CP=∠ECP;
又∵PE∥y轴，∴∠EPC=∠E/CP=∠PCE, ∴PE=EC,
又∵CE＝CE/，∴．四边形PECE/为菱形．
过点E作EM⊥y轴于点M,∴△CME∽△COD，∴CE=.
∵PE=CE,∴－m2＋m＋2=m或－m2＋m＋2=－m，
解得m1=－，m2=4， m3=3－，m4=3+（舍去）
可求得点P的坐标为P1(－，),P2(4，5), P3(3－，2－3)。
18. （2014•江苏苏州,第29题10分）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代数式表示a；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）由C在二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与c的关系式．
（2）求证为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比．而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值．
（3）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中=，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．
解答：
（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），
则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），
解得 a=．
（2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．
由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，
解得 x1=﹣m，x2=3m，
则 A（﹣m，0），B（3m，0）．
∵CD∥AB，
∴点D的坐标为（2m，﹣3）．
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM=∠EAN，
∵∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN．
∴==．
设E坐标为（x，），
∴=，
∴x=4m，
∴E（4m，5），
∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
∴==，即为定值．
（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．
连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．
∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，
∴=，
∴OG=3m．
∵GF===4，
AD===3，
∴=．
∵=，
∴AD：GF：AE=3：4：5，
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．
点评：
本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总体来说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目．
19. （2014•江苏徐州,第26题8分）某种上屏每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
考点：
二次函数的应用．菁优网
分析：
（1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案；
（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．
解答：
解；（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴，
解得，
y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）
当x=10时，y最大=25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；
（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，
可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），
又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
点评：
本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集．
20. （2014•江苏盐城,第28题12分）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．
（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．
（3）计算易得，BC=，因为Q为BC的中点，PQ=恰为半径，则易作圆，P点必在圆上．此时连接PB，PC，PA，因为BC为直径，故BP2+CP2=BC2为定值，而PA不固定，但不超过BC，所以易得结论BP2+CP2≥PA2，题目要求考虑三种情况，其中P在抛物线上时，P点只能与B或C重合，此时，PA，PB，PC可求具体值，则有等量关系．
解答：
解：
（1）
如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，
∵△CDA≌△AOB，
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（﹣1，﹣3）．
将B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3）代入抛物线y=x2+bx+c，
解得 b=，c=﹣3，
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3．
（2）
设lBC：y=kx+b，
∵B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），
∴，
解得 ，
∴lBC：y=﹣3x﹣6，
设M（xM，﹣3xM﹣6），N（xN， xN2+xN﹣3），
∵xM=xN（记为x），yM≥yN，
∴线段MN长度=﹣3x﹣6﹣（x2+x﹣3）=﹣（x+）2+，（﹣2≤x≤﹣1），
∴当x=﹣时，线段MN长度为最大值．
（3）
答：P在抛物线外时，BP2+CP2≥PA2；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，BP2+CP2≥PA2．
分析如下：
如图2，以Q点为圆心，为半径作⊙Q，
∵OB=2，OA=1，
∴AC=AB==，
∴BC==，
∴BQ=CQ=，
∵∠BAC=90°，
∴点B、A、C都在⊙Q上．
①P在抛物线外，
如图3，在抛物线外的弧BC上任找一点P，连接PB，PB，PA，
∵BC为直径，
∴BP2+CP2=BC2，BC≥PA，
∴BP2+CP2≥PA2．
②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，
∵AC=AB=，
∴AP=，
∵BP+CP=BC=，
∴BP+CP=AP．
③P在抛物线内，同理①，
∵BC为直径，
∴BP2+CP2=BC2，BC≥PA，
∴BP2+CP2≥PA2．
点评：
本题考查了三角形全等、抛物线图象与性质、函数性质及圆的基础知识，是一道综合性比较强的题目．
21. (2014•年山东东营,第25题12分)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．
考点：
二次函数综合题．菁优网
分析：
（1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
（2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，﹣a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论．
解答：
解：（1）∵y=2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
当y=0时，x=﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），
∴
解得：，
∴y=﹣x2+x+2；
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；
（2）存在．
如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．
∵MN垂直于x轴，
∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．
∵y=﹣2x+2，
∴y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1．
∵B（0，2），
∴OB=2．
当△BOC∽△MON时，
∴，
∴，
解得：a1=1，a2=﹣2
M（1，2）或（﹣2，﹣4）；
如图2，当△BOC∽△ONM时，
，
∴，
∴a=或，
∴M（，）或（，）．
∵M在第一象限，
∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）；
（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．
如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，
∴BO=PH=2．
∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．
∴2=﹣b2+3b
∴b1=1，b2=2．
当b=1时，P（1，2），
当b=2时，P（2，0）
∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．
点评：
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
22 ．（2014•山东临沂,第26题13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A到直线CD的距离；
（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）首先求出点C坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设直线CD与x轴交于点E，求出点E的坐标，然后解直角三角形（或利用三角形相似），求出点A到直线CD的距离；
（3）△GPQ为等腰直角三角形，有三种情形，需要分类讨论．为方便分析与计算，首先需要求出线段PQ的长度．
解答：
解：（1）直线y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则点C坐标为（0，﹣1）．
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵点A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1．
（2）如答图2所示，直线y=2x﹣1，当y=0时，x=；
设直线CD交x轴于点E，则E（，0）．
在Rt△OCE中，OC=1，OE=，由勾股定理得：CE=，
设∠OEC=θ，则sinθ=，cosθ=．
过点A作AF⊥CD于点F，
则AF=AE•sinθ=（OA+OE）•sinθ=（1+）×=，
∴点A到直线CD的距离为．
（3）∵平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上，
∴设P（t，2t﹣1），则平移后抛物线的解析式为y=（x﹣t）2+2t﹣1．
联立，化简得：x2﹣（2t+2）x+t2+2t=0，
解得：x1=t，x2=t+2，即点P、点Q的横坐标相差2，
∴PQ===．
△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：
i）若点P为直角顶点，如答图3①所示，则PG=PQ=．
∴CG====10，
∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9，
∴G（0，9）；
ii）若点Q为直角顶点，如答图3②所示，则QG=PQ=．
同理可得：Q（0，9）；
iii）若点G为直角顶点，如答图3③所示，此时PQ=，则GP=GQ=．
分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为点M、N．
易证Rt△PMG≌Rt△GNQ，
∴GN=PM，GM=QN．
在Rt△QNG中，由勾股定理得：GN2+QN2=GQ2，即PM2+QN2=10 ①
∵点P、Q横坐标相差2，∴NQ=PM+2，
代入①式得：PM2+（PM+2）2=10，解得PM=1，
∴NQ=3．
直线y=2x﹣1，当x=1时，y=1，∴P（1，1），即OM=1．
∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，
∴G（0，4）．
综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为（0，4）或（0，9）．
点评：
本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，需要认真分析计算．第（3）问中，G、P、Q三点均为动点，使得解题难度增大，首先求出线段PQ的长度可以降低解题的难度．
23．（2014•四川遂宁，第25题，12分）已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．
（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．
（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，就可以得出﹣=0，由待定系数法求可以求出抛物线的解析式；
（2）由（1）设出P的坐标，由勾股定理就可以求出PE和PQ的值而得出结论；
（3）①由（2）的结论就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的内角和定理记平行线的性质就可以求出∠MON=90°而得出结论；
②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论．
解答：
解：（1）由题意，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=
（2）如图①，设P（a， a2﹣1），就有OE=a，PE=a2﹣1，
∵PQ⊥l，
∴EQ=2，
∴QP=a2+1．
在Rt△POE中，由勾股定理，得
PO==，
∴PO=PQ；
（3）①如图②，∵BN⊥l，AM⊥l，
∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM，
∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°．
∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，
∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°
∴2∠BON+2∠AOM=180°，
∴∠BON+∠AOM=90°，
∴∠MON=90°，
∴ON⊥OM；
②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，
∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O，
∴四边形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D
∴EG=F′H，
∴DE＜DF′，
∴DE+GE＜HF′+DF′，
∴DG＜F′O+DF′，
∴FO+FD＜F′O+DF′，
∴F是所求作的点．
∵D（1，1），
∴F的横坐标为1，
∴F（1，）．
点评：
本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
24．（2014•四川凉山州，第28题，12分）如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．
①满足此条件的函数解析式有 无数 个．
②写出向下平移且经点A的解析式 y=﹣x2﹣1 ．
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）①根据实际情况可以直接写出结果；
②设平移以后的二次函数解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入即可求得c的值，得到函数的解析式；
（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（3）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、EE、F，求得△ABC的面积，然后分当点P位于点G的下方和上方，两种情况进行讨论求解．
解答：
解：（1）①满足此条件的函数解析式有无数个；
②设平移以后的二次函数解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入得：﹣1+c=﹣2，
解得：c=﹣1，
则函数的解析式是：y=﹣x2﹣1；
（2）设l2的解析式是y=x2+bx+c，
∵l2经过点A（1，﹣2）和B（3，﹣1），
根据题意得：，
解得：，
则l2的解析式是：y=﹣x2+x﹣，
则顶点C的坐标是（，﹣）．
（3）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=．
得：S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=．
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=x﹣，则点G的坐标为（0，﹣），设点P的坐标为（0，h）
①当点P位于点G的下方时，PG=﹣﹣h，连结AP、BP，则S△AEF=S△EFG﹣S△AFG=﹣﹣h，
又∵S△ABC=S△ABP=，得h=﹣，点P的坐标为（0，﹣）．
②当点P位于点G的上方时，PG=+h，同理h=﹣，点PP的坐标为（0，﹣）．
综上所述所求点P的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）
点评：
本题是待定系数法求函数的解析式，以及函数的平移的综合题，正确理解平移时，函数解析式的变化规律是关键．
25．（2014•四川泸州，第25题，12分）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；
（2）联立y1与y2得，求出点C的坐标为C（，），因此使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值；
（3）第1步：首先确定何时四边形DEFG的面积最大．
如答图1，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标；
第2步：利用几何性质确定PD+PE最小的条件，并求出点P的坐标．
如答图2，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，与x轴交于点P．根据轴对称及两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．利用待定系数法求出直线D′E的解析式，进而求出点P的坐标．
解答：
解：（1）∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2﹣，0），
∴，
解得
∴l：y1=x+1；
C′：y2=﹣x2+4x+1．
y2=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，
∴ymax=5；
（2）联立y1与y2得： x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x=，
当x=时，y1=×+1=，
∴C（，）．
使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜，
∴s=1+2+3=6．
代入方程得
解得a=；
（3）∵点D、E在直线l：y1=x+1上，
∴设D（p， p+1），E（q， q+1），其中q＞p＞0．
如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q﹣p，DH=（q﹣p）．
在Rt△DEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[（q﹣p）]2=（）2，
解得q﹣p=2，即q=p+2．
∴EH=2，E（p+2， p+2）．
当x=p时，y2=﹣p2+4p+1，
∴G（p，﹣p2+4p+1），
∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（p+1）=﹣p2+p；
当x=p+2时，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，
∴F（p+2，﹣p2+5）
∴EF=（﹣p2+5）﹣（p+2）=﹣p2﹣p+3．
S四边形DEFG=（DG+EF）•EH= [（﹣p2+p）+（﹣p2﹣p+3）]×2=﹣2p2+3p+3
∴当p=时，四边形DEFG的面积取得最大值，
∴D（，）、E（，）．
如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（，﹣）；
连接D′E，交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．
设直线D′E的解析式为：y=kx+b，
则有，
解得
∴直线D′E的解析式为：y=x﹣．
令y=0，得x=，
∴P（，0）．
点评：
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、函数最值、分式方程的解、勾股定理、轴对称﹣最短路线等知识点，涉及考点众多，难度较大．本题难点在于第（3）问，涉及两个最值问题，第1个最值问题利用二次函数解决，第2个最值问题利用几何性质解决．
26．（2014•四川内江，第28题，12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
考点：
二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．
专题：
压轴题；存在型．
分析：
（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式．
（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题．
（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．
解答：
解：（1）如图1，
∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．
（2）如图2，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，
∴
解得：
∴直线AB的解析式为y=x+．
设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴yP=t+，yQ=﹣t2+t+4．
∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣（t+）
=﹣t2+t+4﹣t﹣
=﹣t2++
=﹣（t2﹣2t﹣15）
=﹣ [（t﹣1）2﹣16]
=﹣（t﹣1）2+．
∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，
∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．
∴线段PQ的最大值为．
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．
∴xH=xG=xM=．
∴yG=×+=．
∴GH=．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，
∴△AHG∽△MHA．
∴．
∴=．
解得：MH=11．
∴点M的坐标为（，﹣11）．
②当∠ABM=90°时，如图4所示．
∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，
∴BG=
=
=．
同理：AG=．
∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH∽△MGB．
∴=．
∴=．
解得：MG=．
∴MH=MG+GH
=+
=9．
∴点M的坐标为（，9）．
综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．
点评：
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的性质与判定、二次函数的最值等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强．
27．（2014•四川南充，第25题，10分）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
分析（1）由x=0时带入y=x﹣1求出y的值求出B的坐标，当x=﹣3时，代入y=x﹣1求出y的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S四边形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可．
（3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD就可与求出结论，如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，就有，可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA由相似三角形的性质就可以求出结论．
解：（1）∵y=x﹣1，∴x=0时，y=﹣1，∴B（0，﹣1）．
当x=﹣3时，y=﹣4，∴A（﹣3，﹣4）．
∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，∴，∴，
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1；
（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）
如图1①，作BE⊥PC于E，
∴BE=﹣m．
CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，
∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2，
∴，
解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=﹣；
如图1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=﹣m．
PD=1﹣4m﹣m2+1﹣m=2﹣4m﹣m2，
∴，
解得：m=0（舍去）或m=﹣3，
∴m=﹣，﹣2或﹣3时S四边形OBDC=2S△BPD；
（3））如图2，当∠APD=90°时，设P（a，a2+4a﹣1），则D（a，a﹣1），
∴AP=m+4，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，
∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2．
在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，∴（1，0），∴OF=1，
∴CF=1﹣m．AF=4．∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD，，
∴，
解得：m=1舍去或m=﹣2，
∴P（﹣2，﹣5）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°．CE=﹣3﹣m，EF=4，AF=4，PD=1﹣m﹣（1﹣4m﹣m2）=3m+m2．
∵PC⊥x轴，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，∴AE∥CD．∴，
∴AD=（﹣3﹣m）．∵△PAD∽△FEA，∴，∴，
∴m=﹣2或m=﹣3
∴P（﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）与点A重合，舍去，
∴P（﹣2，﹣5）．
点评：
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点．
28．（2014•四川宜宾，第24题，12分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△MAB的形状，并说明理由；
（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）待定系数法即可解得．
（2）由抛物线的解析式可知OA=OB=OC=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°从而得出△MAB是等腰直角三角形．
（3）分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，设D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），通过FG∥DH，得出=，从而求得m、n的关系，根据m、n的关系，得出△CGM∽△MHD，即可求得结论．
解答：
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），
∴b=0，c=﹣1，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1．
（2）△MAB是等腰直角三角形，
由抛物线的解析式为：y=x2﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），
∴OA=OB=OC=1，
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°，
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°
∵y轴是对称轴，
∴A、B为对称点，
∴AM=BM，
∴△MAB是等腰直角三角形．
（3）MC⊥MF；
分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，
设D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），
∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，
∵OM=1，
∴CG=n2，DH=m2，
∵FG∥DH，
∴=，
即=
解得m=﹣，
∵==﹣n，==，
∴=，
∵∠CGM=∠MHD=90°，
∴△CGM∽△MHD，
∴∠CMG=∠MDH，
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°，
∴∠CMD=90°，
即MC⊥MF．
点评：
本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．
29.（2014•福建福州,第22题14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.
求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）（5， 1）；（3，1）或..
【解析】
可得，即，联立二方程解得或，从而得到点Q
（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理得，
考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直角三角形两锐角的关系；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理和逆定理；7.切线的性质；8.二次函数的性质；9.解二元二次方程组.
30．（12分）（2014•甘肃白银、临夏,第28题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
（1）求点M、A、B坐标；
（2）联结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．
考点：
二次函数综合题．
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点M的坐标，令x=0求出A点的坐标，把x=3代入函数解析式求出点B的坐标；
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出∠BAM=90°，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方程求解即可．
解答：
解：（1）抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣3，
顶点M（1，﹣3），
令x=0，则y=（0﹣1）2﹣3=﹣2，
点A（0，﹣2），
x=3时，y=（3﹣1）2﹣3=4﹣3=1，
点B（3，1）；
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴==，
又∵∠BAM=180°﹣45°×2=90°，
∴tan∠ABM==；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，
∵y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2，
∴设点P（x，x2﹣2x﹣2），
①点P在x轴的上方时，=，
整理得，3x2﹣7x﹣6=0，
解得x1=﹣（舍去），x2=3，
∴点P的坐标为（3，1）；
②点P在x轴下方时，=，
整理得，3x2﹣5x﹣6=0，
解得x1=（舍去），x2=，
x=时，x2﹣2x﹣2=﹣×=﹣，
∴点P的坐标为（，﹣），
综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，﹣）．
点评：
本题是二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，难点在于作辅助线并分情况讨论．
31. （ 2014•安徽省,第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
考点：
二次函数的性质；二次函数的最值．
专题：
新定义．
分析：
（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．
（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．
解答：
解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，
当a=2，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．
∵2＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．
∵3＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），
∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．
整理得：m2﹣2m+1=0．
解得：m1=m2=1．
∴y1=2x2﹣4x+3
=2（x﹣1）2+1．
∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5
=（a+2）x2+（b﹣4）x+8
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1
=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞﹣2．
∴．
解得：．
∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．
∴y2=5x2﹣10x+5
=5（x﹣1）2．
∴函数y2的图象的对称轴为x=1．
∵5＞0，
∴函数y2的图象开口向上．
①当0≤x≤1时，
∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而减小．
∴当x=0时，y2取最大值，
最大值为5（0﹣1）2=5．
②当1＜x≤3时，
∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而增大．
∴当x=3时，y2取最大值，
最大值为5（3﹣1）2=20．
综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．
点评：
本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．
32. （ 2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
考点：
二次函数的性质；坐标与图形变化－旋转．
分析：
（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．
解答：
解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，
在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，
∴OB=OA′=1，
∴A′B=OB=，
∴A′点的坐标为（1，），
∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．
点评：
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．
33. （ 2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．
①判断
四边形DECF一定是什么形状？
②裁剪
当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；
（2）折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．
考点：
四边形综合题
分析：
（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．
（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．
解答：
解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形．
②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，
∵∠ACB=45°，AC=24cm
∴AG==12，
设DF=EC=x，平行四边形的高为h，
则AH=12h，
∵DF∥BC，
∴=，
∵BC=20cm，
即：=
∴x=×20，
∵S=xh=x•×20=20h﹣h2．
∴﹣=﹣=6，
∵AH=12，
∴AF=FC，
∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．
（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．
理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
点评：
本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．
34. （ 2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；
（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；
（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．
解答：
（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．
（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，解得：EF=10﹣t．
S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10
∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．
（3）解：存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示，
此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．
∵PF∥AD，∴，即，解得t=；
③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，
∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．
∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，
∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，
即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）
化简得：t2﹣35t=0，
解得：t=或t=0（舍去）
∴t=．
综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．
点评：
本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．
35. （ 2014•珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．
（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为： y=x2﹣x ；
（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．
（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0．
（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求三角形为两三角形的差．得关系式再代入，求解不等式即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．
解答：
解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，
∵A（2，0）、C（0，2），
∴OE=OA=2，OG=OC=2，
∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，
∴GI=sin30°•GO==，
IO=cos30°•GO==3，
JO=cos30°•OE==，
JE=sin30°•OE==1，
∴G（﹣，3），E（，1），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵经过G、O、E三点，
∴，
解得，
∴y=x2﹣x．
（2）∵四边形OHMN为平行四边形，
∴MN∥OH，MN=OH，
∵OH=OF，
∴MN为△OGF的中位线，
∴xD=xN=•xG=﹣，
∴D（﹣，0）．
（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，
∵G（﹣，3），E（，1），
∴，
解得 ，
∴y=﹣x+2．
∵Q在抛物线y=x2﹣x上，
∴设Q的坐标为（x，x2﹣x），
∵Q在R、E两点之间运动，
∴﹣＜x＜．
①当﹣＜x＜0时，
如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），
∵S△PKQ=•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xP），
S△HKQ=•（yK﹣yQ）•（xH﹣xQ），
∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xP）+•（yK﹣yQ）•（xH﹣xQ）
=•（yK﹣yQ）•（xH﹣xP）=•[﹣x+2﹣（x2﹣x）]•[0﹣（﹣）]=﹣x2+．
②当0≤x＜时，
如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），
同理 S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xP）﹣•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xH）
=•（yK﹣yQ）•（xH﹣xP）=﹣x2+．
综上所述，S△PQH=﹣x2+．
∵，
∴＜﹣x2+≤，
解得﹣＜x＜，
∵﹣＜x＜，
∴﹣＜x＜．
点评：
本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．
36. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，
）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
考点：
二次函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；
（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；
（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，
x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．
解答：
（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为y=ax2，
将点A（1，
）代入y=ax2得：a=
，
∴二次函数的解析式为y=
x2；
（2）证明：∵点P在抛物线y=
x2上，
∴可设点P的坐标为（x，
x2），
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=
x2﹣1，PB=x，
∴Rt△BPF中，
PF==
x2+1，
∵PM⊥直线y=﹣1，
∴PM=
x2+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥x轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，
∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴
x2+1=4，
解得：x=±2，
∴
x2=
×12=3，
∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．
点评：
本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．
37. （2014•广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．
（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．
①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）直线与抛物线的交点B与A关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很使用于韦达定理．由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得a值．
（2）①直线l：y=kx向上平移k2+1，得直线r：y=kx+k2+1．根据无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C：y=ax2+bx+1都只有一个交点，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0中△==0．这虽然是个方程，但无法求解．这里可以考虑一个数学技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最简单的1，2肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于a，b的方程组，则a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能满足k=1，2时，并不满足任意实数k，所以可以再代回△=中，若不能使其结果为0，则应舍去．
②求证OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图．发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出OP，PQ的值，再进行比较．这里也有数学技巧，讨论动点P在抛物线y=﹣x2+1上，则可设其坐标为（x，﹣x2+1），进而易求OP，PQ．
解答：
（1）解：
∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点，
∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0．
∵B与A关于原点对称，
∴0=xA+xB=，
∴k=1．
∵y=ax2+x+1=a（x+）2+1﹣，
∴顶点（﹣，1﹣）在y=x上，
∴﹣=1﹣，
解得 a=﹣．
（2）
①解：∵无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点，
∴k=1时，k=2时，直线r与抛物线C都只有一个交点．
当k=1时，r：y=x+2，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣1）x﹣1=0，
∵△==0，
∴（b﹣1）2+4a=0，
当k=2时，r：y=2x+5，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣2）x﹣4=0，
∵△==0，
∴（b﹣2）2+16a=0，
∴联立得关于a，b的方程组 ，
解得 或 ．
∵r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0，
∴△=．
当时，△===0，故无论k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．
当时，△==，显然虽k值的变化，△不恒为0，所以不合题意舍去．
∴C：y=﹣x2+1．
②证明：
根据题意，画出图象如图1，
由P在抛物线y=﹣x2+1上，设P坐标为（x，﹣x2+1），连接OP，过P作PQ⊥直线y=2于Q，作PD⊥x轴于D，
∵PD=|﹣x2+1|，OD=|x|，
∴OP====，
PQ=2﹣yP=2﹣（﹣x2+1）=，
∴OP=PQ．
点评：
本题考查了二次函数、一次函数及图象，图象平移解析式变化，韦达定理及勾股定理等知识，另涉及一些数学技巧，学生解答有一定难度，需要好好理解掌握．
38．(2014年四川资阳，第22题9分)某商家
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
考点：
二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
分析：
（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；
（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．
解答：
解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，
由题意得，，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；
（2）设总利润为W元，
y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，
=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，
=30x2﹣540x+12000，
=30（x﹣9）2+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
点评：
本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．
39．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．
（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．
解答：
解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则
，
解得．
故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）①当MA=MB时，M（0，0）；
②当AB=AM时，M（0，﹣3）；
③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．
所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．
（3）平移后的三角形记为△PEF．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
，
解得．
则直线AB的解析式为y=﹣x+3．
△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，
易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．
设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则
，
解得．
则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．
在△AOB沿x轴向右平移的过程中．
①当0＜m≤时，如图1所示．
设PE交AB于K，EF交AC于M．
则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，
联立，
解得，
即点M（3﹣m，2m）．
故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM
=PE2﹣PK2﹣AF•h
=﹣（3﹣m）2﹣m•2m
=﹣m2+3m．
②当＜m＜3时，如图2所示．
设PE交AB于K，交AC于H．
因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，
又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，
所以当x=m时，得y=6﹣2m，
所以点H（m，6﹣2m）．
故S=S△PAH﹣S△PAK
=PA•PH﹣PA2
=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2
=m2﹣3m+．
综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．
点评：
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
40．（2014•温州，第21题10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
（2）求△EMF与△BNE的面积之比．
考点：
抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质．
分析：
（1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；
（2）利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比．
解答：
解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，
解得：c=3，
∴y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4）；
（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点B（3，0），
∴EM=1，BN=2，
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF，
∴=（）2=（）2=．
点评：
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出△EMF∽△BNF是解题关键．
41．（2014•舟山，第22题10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x=5时，y=45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
考点：
二次函数的应用；反比例函数的应用
分析：
（1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200确定最大值；
②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．
解答：
解：（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，
∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；
②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0），
∴k=xy=45×5=225；
（2）不能驾车上班；
理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将x=11代入y=，则y=＞20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
点评：
此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．
42．（2014•舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．
（1）当m=时，求S的值．
（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．
（3）①若S=时，求的值；
②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．
考点：
二次函数综合题
专题：
综合题．
分析：
（1）首先可得点A的坐标为（m， m2），再由m的值，确定点B的坐标，继而可得点E的坐标及BE、OE的长度，易得△ABE∽△CBO，利用对应边成比例求出CO，根据轴对称的性质得出DO，继而可求解S的值；
（2）分两种情况讨论，（I）当0＜m＜2时，将BE•DO转化为AE•BO，求解；（II）当m＞2时，由（I）的解法，可得S关于m的函数解析式；
（3）①首先可确定点A的坐标，根据===k，可得S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，从而可得===k，代入即可得出k的值；
②可得===k，因为点A的坐标为（m， m2），S=m，代入可得k与m的关系．
解答：
解：（1）∵点A在二次函数y=x2的图象上，AE⊥y轴于点E且AE=m，
∴点A的坐标为（m， m2），
当m=时，点A的坐标为（，1），
∵点B的坐标为（0，2），
∴BE=OE=1．
∵AE⊥y轴，
∴AE∥x轴，
∴△ABE∽△CBO，
∴==，
∴CO=2，
∵点D和点C关于y轴对称，
∴DO=CO=2，
∴S=BE•DO=×1×2=；
（2）（I）当0＜m＜2时（如图1），
∵点D和点C关于y轴对称，
∴△BOD≌△BOC，
∵△BEA∽△BOC，
∴△BEA∽△BOD，
∴=，即BE•DO=AE•BO=2m．
∴S=BE•DO=×2m=m；
（II）当m＞2时（如图2），
同（I）解法得：S=BE•DO=AE•OB=m，
由（I）（II）得，
S关于m的函数解析式为S=m（m＞0且m≠2）．
（3）①如图3，连接AD，
∵△BED的面积为，
∴S=m=，
∴点A的坐标为（，），
∵===k，
∴S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，
∴===k，
∴k===；
②k与m之间的数量关系为k=m2，
如图4，连接AD，
∵===k，
∴S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，
∴===k，
∵点A的坐标为（m， m2），S=m，
∴k===m2（m＞2）．
点评：
本题考查了二次函数的综合，涉及了三角形的面积、比例的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练数形结合思想及转化思想的运用，难度较大．
43.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；
（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；
（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．
解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，
解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．
∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．
∵AD在x轴上，点M在抛物线上，
∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：
①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，
∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；
②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，
∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．
综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；
（3）结论：存在．
如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，
∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四边形ABCP1为梯形；
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．
∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x﹣6，
∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，
∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，
∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，
∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．
∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
44.（2014•毕节地区，第27题16分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；
（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）利用顶点式将（﹣1，﹣1）代入求出函数解析式即可；
（2）首先根据题意得出C点坐标，进而利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而联立二次函数解析式，即可得出B点坐标；
（3）首先求出直线EF的解析式，进而得出BP的解析式，进而将y=﹣2x﹣7和y=x+联立求出P点坐标即可．
解答：
解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）2﹣1，将（1，0）代入得：
0=a（1+1）2﹣1，
解得；a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2﹣1；
（2）∵A（﹣1，﹣1），
∴∠COA=45°，
∵∠CAO=90°，
∴△CAO是等腰直角三角形，
∴AC=AO，
∴C（﹣2，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
将A，C点代入得出：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2，
将y=（x+1）2﹣1和y=﹣x﹣2联立得：
，
解得：，，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2，B点坐标为：（﹣5，3）；
（3）过点B作BP⊥EF于点P，
由题意可得出：E（﹣5，﹣2），设直线EF的解析式为：y=dx+c，
则，
解得：，
∴直线EF的解析式为：y=x+，
∵直线BP⊥EF，∴设直线BP的解析式为：y=﹣2x+e，
将B（﹣5，3）代入得出：3=﹣2×（﹣5）+e，
解得：e=﹣7，
∴直线BP的解析式为：y=﹣2x﹣7，
∴将y=﹣2x﹣7和y=x+联立得：
，
解得：，
∴P（﹣3，﹣1），
故存在P点使得BP⊥EF，此时P（﹣3，﹣1）．
点评：
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式以及垂直的两函数系数关系等知识，求出C点坐标是解题关键．
45.（2014•武汉2014•武汉，第29题10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40
90
每天销量（件）
200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
考点：
二次函数的应用
分析：
（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
解答：
解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+200，
当50≤x≤90时，
y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，
综上所述：y=；
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）当20≤x≤60时，每天销售利润不低于4800元．
点评：
本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．
46.（2014•武汉，第25题12分）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点．
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；
（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．
考点：
二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；根与系数的关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质
专题：
压轴题．
分析：
（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得y的值与k无关即可．
（2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B的坐标．设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示△APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标．
（3）设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，从条件∠ADB=90°出发，可构造k型相似，从而得到m、n、t的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点D的坐标．由于直线AB上有一个定点C，容易得到DC长就是点D到AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．
解答：
解：（1）∵当x=﹣2时，y=（﹣2）k+2k+4=4．
∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（﹣2，4）．
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
（2）∵k=﹣，
∴直线的解析式为y=﹣x+3．
联立，
解得：或．
∴点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（2，2）．
过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，
过点A作AM⊥PQ，垂足为M，
过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．
设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．
∴yP=a2，yQ=﹣a+3．
∵点P在直线AB下方，
∴PQ=yQ﹣yP
=﹣a+3﹣a2
∵AM+NB=a﹣（﹣3）+2﹣a=5．
∴S△APB=S△APQ+S△BPQ
=PQ•AM+PQ•BN
=PQ•（AM+BN）
=（﹣a+3﹣a2）•5
=5．
整理得：a2+a﹣2=0．
解得：a1=﹣2，a2=1．
当a=﹣2时，yP=×（﹣2）2=2．
此时点P的坐标为（﹣2，2）．
当a=1时，yP=×12=．
此时点P的坐标为（1，）．
∴符合要求的点P的坐标为（﹣2，2）或（1，）．
（3）过点D作x轴的平行线EF，
作AE⊥EF，垂足为E，
作BF⊥EF，垂足为F，如图2．
∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AED=∠BFD=90°．
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE=90°﹣∠BDF=∠DBF．
∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，
∴△AED∽△DFB．
∴．
设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，
则点A、B、D的纵坐标分别为m2、n2、t2．
AE=yA﹣yE=m2﹣t2．
BF=yB﹣yF=n2﹣t2．
ED=xD﹣xE=t﹣m，
DF=xF﹣xD=n﹣t．
∵，
∴=．
化简得：mn+（m+n）t+t2+4=0．
∵点A、B是直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交点，
∴m、n是方程kx+2k+4=x2即x2﹣2kx﹣4k﹣8=0两根．
∴m+n=2k，mn=﹣4k﹣8．
∴﹣4k﹣8+2kt+t2+4=0，
即t2+2kt﹣4k﹣4=0．
即（t﹣2）（t+2k+2）=0．
∴t1=2，t2=﹣2k﹣2（舍）．
∴定点D的坐标为（2，2）．
过点D作x轴的平行线DG，
过点C作CG⊥DG，垂足为G，如图3所示．
∵点C（﹣2，4），点D（2，2），
∴CG=4﹣2=2，DG=2﹣（﹣2）=4．
∵CG⊥DG，
∴DC=
=
=
=2．
过点D作DH⊥AB，垂足为H，如图3所示，
∴DH≤DC．
∴DH≤2．
∴当DH与DC重合即DC⊥AB时，
点D到直线AB的距离最大，最大值为2．
∴点D到直线AB的最大距离为2．
点评：
本题考查了解方程组、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识，考查了通过解方程组求两函数交点坐标、用割补法表示三角形的面积等方法，综合性比较强．构造K型相似以及运用根与系数的关系是求出点D的坐标的关键，点C是定点又是求点D到直线AB的最大距离的突破口．
47.(2014•襄阳，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）填空：点A坐标为 （1，4） ；抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣1）2+4 ．
（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC=90°时；当∠PQC=90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；
（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ=﹣（t﹣2）2+1，依此即可求解．
解答：
解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4，
把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，
解得a=﹣1．
故抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（2）依题意有：OC=3，OE=4，
∴CE===5，
当∠QPC=90°时，
∵cos∠QPC==，
∴=，
解得t=；
当∠PQC=90°时，
∵cos∠QCP==，
∴=，
解得t=．
∴当t=或t=时，△PCQ为直角三角形；
（3）∵A（1，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
，
解得．
故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
∵P（1，4﹣t），将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，
∴Q点的横坐标为1+，
将x=1+代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣．
∴Q点的纵坐标为4﹣，
∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ
=FQ•AG+FQ•DG
=FQ（AG+DG）
=FQ•AD
=×2（t﹣）
=﹣（t﹣2）2+1，
∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
故答案为：（1，4），y=﹣（x﹣1）2+4．
点评：
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，三角形面积，二次函数的最值，以及分类思想的运用．
48.（10分）（2014•孝感，第22题10分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）试说明x1＜0，x2＜0；
（3）若抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．
考点：
抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系
分析：
（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，据此即可列不等式求得k的范围；
（2）利用根与系数的关系，说明两根的和小于0，且两根的积大于0即可；
（3）不妨设A（x1，0），B（x2，0）．利用x1，x2表示出OA、OB的长，则根据根与系数的关系，以及OA+OB=2OA•OB﹣3即可列方程求解．
解答：
解：（1）由题意可知：△=【﹣（2k﹣3）】2﹣4（k2+1）＞0，
即﹣12k+5＞0
∴．
（2）∵，
∴x1＜0，x2＜0．
（3）依题意，不妨设A（x1，0），B（x2，0）．
∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣（x1+x2）=﹣（2k﹣3），
OA•OB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1，
∵OA+OB=2OA•OB﹣3，
∴﹣（2k﹣3）=2（k2+1）﹣3，
解得k1=1，k2=﹣2．
∵，
∴k=﹣2．
点评：
本题考查了二次函数与x轴的交点，两交点的横坐标就是另y=0，得到的方程的两根，则满足一元二次方程的根与系数的关系．
49.（2014•孝感，第25题12分）如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x2﹣4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．
（1）请直接写出下列各点的坐标：A （0，3） ，B （4，3） ，C （4，﹣1） ，D （0，﹣1） ；
（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．
①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；
②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）令x=0，得到点A的坐标，再根据点A的纵坐标得到点B的坐标，根据抛物线的顶点式和矩形的性质可得C．D的坐标；
（2）①根据待定系数法可得直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x2﹣4x+3），则点H（x，x﹣1），点G（x，3）．分三种情况：1°当x≥1且x≠4时；2°当0＜x＜1时；3°当x＜0时；三种情况讨论可得点P的坐标；
②根据相似三角形的性质可得，再根据二次函数的增减性可得△KPH面积的最大值．
解答：
解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，﹣1），D（0，﹣1）．
（2）①设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），由于直线BD经过D（0，﹣1），B（4，3），
∴，
解得，
∴直线BD的解析式为y=x﹣1．（5分）
设点P的坐标为（x，x2﹣4x+3），则点H（x，x﹣1），点G（x，3）．
1°当x≥1且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图①．
∵PH=2GH，
∴（x﹣1）﹣（x2﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，
∴x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4．
当x2=4时，点P，H，G重合于点B，舍去．
∴x=3．
∴此时点P的坐标为（3，0）．
2°当0＜x＜1时，点G在PH的反向延长线上，如图②，PH=2GH不成立．
3°当x＜0时，点G在线段PH上，如图③．
∵PH=2GH，
∴（x2﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]，
∴x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4（舍去），
∴x=﹣1．此时点P的坐标为（﹣1，8）．
综上所述可知，点P的坐标为（3，0）或（﹣1，8）．
②如图④，令x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，
∴E（1，0），F（3，0），
∴EF=2．
∴S△AEF=EF•OA=3．
∵△KPH∽△AEF，
∴，
∴．
∵1＜x＜4，
∴当时，s△KPH的最大值为．
故答案为：（0，3），（4，3），（4，﹣1），（0，﹣1）．
点评：
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，抛物线的顶点式，矩形的性质，待定系数法求直线的解析式，相似三角形的性质，二次函数的增减性，分类思想，综合性较强，有一定的难度．．
50.（2014•邵阳，第26题10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）已知m，n的值，即已知抛物线解析式，求解y=0时的解即可．此时y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大．
（2）求∠ACB，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断，所以利用条件易得﹣1=mn，进而可以用m来表示A、B点的坐标，又C已知，则易得AB、BC、AC边长．讨论即可．
（3）△ABC是等腰三角形，即有三种情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC．由（2）我们可以用n表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n即可．
解答：
解：（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），
∴x=m或x=n时，y都为0，
∵m＞n，且点A位于点B的右侧，
∴A（m，0），B（n，0）．
∵m=2，n=1，
∴A（2，0），B（1，0）．
（2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），
∴﹣1=mn，
∴n=﹣，
∵B（n，0），
∴B（﹣，0）．
∵AO=m，BO=﹣，CO=1
∴AC==，
BC==，
AB=AO+BO=m﹣，
∵（m﹣）2=（）2+（）2，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°．
（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，
∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．
∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，
∴AC==，
BC==|n|，
AB=xA﹣xB=2﹣n．
①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；
②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣；
③当BC=AB时，|n|=2﹣n，
当n＞0时，n=2﹣n，解得n=，
当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．
综上所述，n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形．
点评：
本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识，总体难度适中，是一道非常值得学生加强联系的题目．
51．（2014•浙江宁波，第23题10分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
考点：
待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）
分析：
（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；
（2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；
（3）画出图象，再根据图象直接得出答案．
解答：
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，
∴，
∴a=，b=﹣，c=﹣1，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；
（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；
解得x1=2，x2=﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0）；
（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．
点评：
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题，是中档题，要熟练掌握．
52．（2014•四川自贡，第24题14分）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）由直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，则B、C坐标可求．进而代入抛物线y=ax2﹣x+c，即得a、c的值，从而有抛物线解析式．
（2）求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理．本题中未提及特殊角度，而已经A、B、C坐标，即可知AB、AC、BC，则显然可用勾股定理证明．
（3）在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点．讨论时可设矩形一边长x，利用三角形相似等性质表示另一边，进而描述面积函数．利用二次函数最值性质可求得最大面积．
解答：
（1）解：∵直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，
∴B（4，0），C（0，﹣2），
∵y=ax2﹣x+c过B、C两点，
∴，
解得 ，
∴y=x2﹣x﹣2．
（2）证明：如图1，连接AC，
∵y=x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点，
∴A（﹣1，0），
在Rt△AOC中，
∵AO=1，OC=2，
∴AC=，
在Rt△BOC中，
∵BO=4，OC=2，
∴BC=2，
∵AB=AO+BO=1+4=5，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC为直角三角形．
（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：
①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．
设GC=x，AG=﹣x，
∵，
∴，
∴GF=2﹣2x，
∴S=GC•GF=x•（2）=﹣2x2+2x=﹣2[（x﹣）2﹣]=﹣2（x﹣）2+，
即当x=时，S最大，为．
②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，
设GD=x，
∵，
∴，
∴AD=x，
∴CD=CA﹣AD=﹣x，
∵，
∴，
∴DE=5﹣x，
∴S=GD•DE=x•（5﹣x）=﹣x2+5x=﹣ [（x﹣1）2﹣1]=﹣（x﹣1）2+，
即x=1时，S最大，为．
综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．
点评：
本题考查了二次函数图象的基本性质，最值问题及相似三角形性质等知识点，难度适中，适合学生巩固知识．
53．（2014•浙江湖州，第23题分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣4，4）
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；
②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；
（2）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即=，再根据勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得横坐标为±c，纵坐标为c．
解：（1）
①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．∴点C的坐标是（0，4）
把A、C代入y═﹣x2+bx+c得， 得，解得；
②四边形AOBD是平行四边形；理由如下：
由①得抛物线的解析式为y═﹣x2﹣4x+4，∴顶点D的坐标为（﹣2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，则DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x轴，∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠BCO，∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．
（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2，2）或（2，2）
要使四边形AOBD是矩形；则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，
又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，∴OC=c，
∴A点坐标为（c，c），∴顶点横坐标=c，b=c，
∵将A点代入可得c=﹣+c•c+c，
∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，令c=2，
∴A点坐标可以为（2，2）或者（﹣2，2）．
点评：本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．
54. （2014•湘潭，第25题） △ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．
（第1题图）
考点：
相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形
分析：
（1）只需找到两组对应角相等即可．
（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．
（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．
解答：
解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，
∴△BDF∽△CEF．
（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，
∴sin60°==，cos60°==．
∵BF=m，
∴DF=m，BD=．
∵AB=4，
∴AD=4﹣．
∴S△ADF=AD•DF
=×（4﹣）×m
=﹣m2+m．
同理：S△AEF=AE•EF
=×（4﹣）×（4﹣m）
=﹣m2+2．
∴S=S△ADF+S△AEF
=﹣m2+m+2
=﹣（m2﹣4m﹣8）
=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．
∵﹣＜0，0＜2＜4，
∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．
∴S与m之间的函数关系为：
S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．
当m=2时，S取到最大值，最大值为3．
（3）如图2，
∵A、D、F、E四点共圆，
∴∠EDF=∠EAF．
∵∠ADF=∠AEF=90°，
∴AF是此圆的直径．
∵tan∠EDF=，
∴tan∠EAF=．
∴=．
∵∠C=60°，
∴=tan60°=．
设EC=x，则EF=x，EA=2x．
∵AC=a，
∴2x+x=a．
∴x=．
∴EF=，AE=．
∵∠AEF=90°，
∴AF==．
∴此圆直径长为．
点评：
本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．
55. （2014•湘潭，第26题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，
（1）求二次函数解析式；
（2）若=，求k；
（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．
（第2题图）
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）由对称轴为x=﹣，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式．
（2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．
（3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值．
解答：
解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，
∴﹣=2，0=0+0+c，
∴b=4，c=0，
∴y=﹣x2+4x．
（2）如图1，连接OB，OC，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F，
∵=，
∴=，
∴=，
∵EB∥FC，
∴==．
∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C，
∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，
∴△=（k﹣4）2﹣4•4=k2﹣8k，
∴x=，或x=，
∵xB＜xC，
∴EB=xB=，FC=xC=，
∴4•=，
解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1．
∴k=﹣1．
（3）∵∠BOC=90°，
∴∠EOB+∠FOC=90°，
∵∠EOB+∠EBO=90°，
∴∠EBO=∠FOC，
∵∠BEO=∠OFC=90°，
∴△EBO∽△FOC，
∴，
∴EB•FC=EO•FO．
∵xB=，xC=，且B、C过y=kx+4，
∴yB=k•+4，yC=k•+4，
∴EO=yB=k•+4，OF=﹣yC=﹣k•﹣4，
∴•=（k•+4）•（﹣k•﹣4），
整理得 16k=﹣20，
∴k=﹣．
点评：
本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识．题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握．
56. （2014•益阳，第20题，10分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
（第3题图）
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x﹣2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；
（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．
解答：
解：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴，解得，
故a，k的值分别为1，﹣1；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．
在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，
在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，
∵AQ=BQ，
∴1+m2=4+（3﹣m）2，
∴m=2，
∴Q点的坐标为（2，2）；
（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
又∵对称轴x=2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．
此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中．
57. （2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．
（第4题图）
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC•sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；
（2）若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90°时，求出AP，再根据在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，从而得到△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根据≠且≠，得出△PCB与△ADP不相似．
（3）先求出S1=x•，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=（x﹣1），在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣x+，最后根据S1=x•BM2代入计算即可．②当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣x+），最后根据S=S1+S2=x（x﹣）2+x即可得出S的最小值．
解答：
解：（1）过点C作CE⊥AB于E，
在Rt△BCE中，
∵∠B=60°，BC=4，
∴CE=BC•sin∠B=4×=2，
∴AD=CE=2．
（2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，
则△PCB必有一个角是直角．
①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，
∴AP=AB﹣PB=2．
又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，
∴∠DPA=60°，
∴∠DPA=∠CPB，
∴△ADP∽△CPB，
∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．
②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，
∴PB=2，PC=2，
∴AP=3．
则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．
（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=x•（）2=x•，
①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；
作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径．
在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，
∴BG=4，
∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，
∴GN=BG﹣BN=x﹣1．
在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN=（x﹣1）．
在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，
∴S1=x•BM2=x（x2﹣x+）．
②∵当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣x+）也成立，
∴S=S1+S2=x•+x（x2﹣x+）=x（x﹣）2+x．
∴当x=时，S=S1+S2取得最小值x．
点评：
此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论．
58. （2014•株洲，第24题，10分）已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）2．
（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；
（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．
（第5题图）
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）由判别式△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+＞0，即可证得无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）由抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，可得x1•x2=，x3=﹣（k+1），继而可求得答案；
（3）由CA•GE=CG•AB，易得△CAG∽△CBE，继而可证得△OAD∽△OBE，则可得，又由抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，可得OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2，继而求得点B的坐标为（0，k+1），代入解析式即可求得答案．
解答：
（1）证明：∵△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+，
∵（k﹣）2≥0，
∴△＞0，
∴无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）解：∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，
∴x1•x2=，
令0=（k+1）x+（k+1）2，
解得：x=﹣（k+1），
即x3=﹣（k+1），
∴x1•x2•x3=﹣（k+1）•=﹣（k+）2+，
∴x1•x2•x3的最大值为：；
（3）解：∵CA•GE=CG•AB，
∴，
∵∠ACG=∠BCE，
∴△CAG∽△CBE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
∴△OAD∽△OBE，
∴，
∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，
∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2，
∴OA•OB=OD，
∴，
∴OB2=OE，
∴OB=k+1，
∴点B（k+1，0），
将点B代入抛物线y=x2﹣（k+2）x+得：（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣=0，
解得：k=2，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．
点评：
此题属于二次函数的综合题，综合性很强，难度较大，主要考查了一次函数与二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
59. （2014年江苏南京，第24题）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
考点：二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用
分析：（1）求出根的判别式，即可得出答案；
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）解答：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，
把函数y=（x﹣m）2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的 顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
点评：本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．
60. （2014•泰州，第24题，10分）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．
（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？
（第7题图）
考点：
二次函数的应用
分析：
（1）首先求出yB函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出yA函数关系式；
（2）首先将y=120代入求出x的值，进而代入yB求出答案；
（3）得出yA﹣yB的函数关系式，进而求出最值即可．
解答：
解：（1）由题意可得出：yB=（x﹣60）2+m经过（0，1000），
则1000=（0﹣60）2+m，
解得：m=100，
∴yB=（x﹣60）2+100，
当x=40时，yB=×（40﹣60）2+100，
解得：yB=200，
yA=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，
解得：，
∴yA=﹣20x+1000；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，
120=﹣20x+1000，
解得：x=44，
当x=44，yB=（44﹣60）2+100=164（℃），
∴B组材料的温度是164℃；
（3）当0＜x＜40时，yA﹣yB=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x﹣20）2+100，
∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．
点评：
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．
61. （2014•扬州，第27题，12分）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？
（第8题图）
考点：
二次函数的应用；一次函数的应用．
分析：
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
（3）分类讨论40≤x≤58，或58≤x≤71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
解答：
解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y=k1x+b1，由图象可得
，
解得．
∴y=2x+140．
当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k2x+b2，由图象得
，
解得，
∴y=﹣x+82，
综上所述：y=；
（2）设人数为a，当x=48时，y=﹣2×48+140=44，
∴（48﹣40）×44=106+82a，
解得a=3；
（3）设需要b天，该店还清所有债务，则：
b[（x﹣40）•y﹣82×2﹣106]≥68400，
∴b≥，
当40≤x≤58时，∴b≥=，
x=﹣时，﹣2x2+220x﹣5870的最大值为180，
∴b，即b≥380；
当58＜x≤71时，b=，
当x=﹣=61时，﹣x2+122x﹣3550的最大值为171，
∴b，即b≥400．
综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．
点评：
本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，一次方程的应用，不等式的应用，分类讨论是解题关键．
62.（2014•呼和浩特，第25题12分）如图，已知直线l的解析式为y=x﹣1，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（m，0），B（2，0），D（1，）三点．
（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；
（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；
（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式，再根据A（m，0）在抛物线上，得到0=﹣m2﹣m+2，解方程即可得到m的值，从而得到A点的坐标；
（2）根据四边形PAFB的面积S=AB•PF，可得S=﹣（x+2）2+12，根据函数的最值可得S的最大值是12，进一步得到点P的坐标为；
（3）根据待定系数法得到PB所在直线的解析式为y=﹣x+1，设Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一点，则Q点关于x轴的对称点为（a，1﹣a），将（a，1﹣a）代入y=﹣x+1显然成立，依此即可求解．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点B（2，0），D（1，），
∴，
解得a=﹣，b=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，
∵A（m，0）在抛物线上，
∴0=﹣m2﹣m+2，
解得m=﹣4，
∴A点的坐标为（﹣4，0）．
如图所示：
（2）∵直线l的解析式为y=x﹣1，
∴S=AB•PF
=×6•PF
=3（﹣x2﹣x+2+1﹣x）
=﹣x2﹣3x+9
=﹣（x+2）2+12，
其中﹣4＜x＜0，
∴S的最大值是12，此时点P的坐标为（﹣2，2）；
（3）∵直线PB经过点P（﹣2，2），B（2，0），
∴PB所在直线的解析式为y=﹣x+1，
设Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一点，
则Q点关于x轴的对称点为（a，1﹣a），
将（a，1﹣a）代入y=﹣x+1显然成立，
∴直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，函数的最值问题，四边形的面积求法，以及关于x轴的对称点的坐标特征．
63.（2014•滨州，第23题9分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
考点：
抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的三种形式
分析：
（1）配方后求出顶点坐标即可；
（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．
解答：
解：（1）y=x2﹣4xx+3
=x2﹣4x+4﹣4+3
=（x﹣2）2﹣1，
所以顶点C的坐标是（2，﹣1），
当x≤2时，y随x的增大而减少；
当x＞2时，y随x的增大而增大；
（2）解方程x2﹣4x+3=0得：x1=3，x2=1，
即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），
过C作CD⊥AB于D，
∵AB=2，CD=1，
∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1．
点评：
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．
64.（2014•德州，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；
（3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标．
解答：
解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（﹣1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+x，
则，
解得：，
则抛物线的解析式是：y=﹣x2+3x+4；
（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP1=∠OAC=45°，
∴∠MCP1=∠MP1C，
∴MC=MP1，
设P（m，﹣m2+3m+4），则m=﹣m2+3m+4﹣4，
解得：m1=0（舍去），m2=2．
∴﹣m2+3m+4=6，
即P（2，6）．
第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P2N∥x轴，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP2N=45°，AO=OF．
∴P2N=NF，
设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）﹣1，
解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），
∴﹣n2+3n+4=﹣6，
则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；
（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
则AC==4，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF=OC=2，
∴点P的纵坐标是2．
则﹣x2+3x+1=2，
解得：x=，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（，0）或（，0）．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
65.（2014•菏泽，第21题10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．
（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（0，﹣5），求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，根据根的判别式b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）=36＞0，所以无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点．
（2）直接将C点（0，﹣5）代入y=x2﹣2mx+m2﹣9根据抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），求出m的值即可；
（3）假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP=∠CPD．再根据条件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，设C（x0，y0），则D（4﹣x0，y0），P（x0， y0）．根据PM=DC就有|2x0﹣4|=﹣y0，由C点在抛物线上有|2x0﹣4|=﹣（ x02﹣4x0﹣5），分两种情况求出x0的值就可以得出结论．
解答：
解：（1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，∵△=（﹣2m）2﹣4m2+36＞0，
∴无论m为何值时方程x2﹣2mx+m2﹣9=0总有两个不相等的实数根，
∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9的开口向上，顶点在x轴的下方，
∴该抛物线与x轴总有两个交点．
（2）∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与y轴交点坐标为（0，﹣5），
∴﹣5=m2﹣9．
解得：m=±2．
当m=﹣2，y=0时，x2+4x﹣5=0
解得：x1=﹣5，x2=1，
∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），
∴m=﹣2不符合题意，舍去．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；
（3）如图2，假设E点存在，
∵MC⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP=∠PCD=90°．
∴∠MEP+∠MPE=90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠MPE+∠DPC=90°
∴∠MEP=∠CPD．
在△EMP和△PCD中，
，
∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM=DC，EM=PC
设C（x0，y0），则D（4﹣x0，y0），P（x0， y0）．
∴|2x0﹣4|=﹣y0．
∵点C在抛物线y=x2﹣4x﹣5上；
∴y0═x02﹣4x0﹣5
∴|2x0﹣4|=﹣（x02﹣4x0﹣5）．
当2x0﹣4=﹣（x02﹣4x0﹣5）时，
解得：x01=3，x02=﹣7（舍去），
当4﹣2x0=﹣（x02﹣4x0﹣5）时，
解得：x03=1，x04=11（舍去），
∴x0=1或x0=3．
∴P（1，﹣2）或P（3，﹣2）．
∴PC=6．∴ME=PC=6．
∴E（7，0）或E（﹣3，0）．
点评：
本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物线与x轴的交点情况，以及运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时先运用待定系数法求出解析式是关键，解答中灵活运用直角三角形的性质是重点难点．
66.（2014•济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标；
（3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解．
解答：
解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣．
（2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D，
∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10）
∵点A和A′关于直线y=2x对称，
∴OC⊥AA′，A′D=AD．
∵OA=5，AC=10，
∴OC===．
∵S△OAC=OC•AD=OA•AC，
∴AD=．
∴AA′=，
在Rt△A′EA和Rt△OAC中，
∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，
∴∠A′AE=∠ACD．
又∵∠A′EA=∠OAC=90°，
∴Rt△A′EA∽Rt△OAC．
∴，即．
∴A′E=4，AE=8．
∴OE=AE﹣OA=3．
∴点A′的坐标为（﹣3，4），
当x=﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．
所以，点A′在该抛物线上．
（3）存在．
理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b，
则，解得
∴直线CA′的解析式为y=x+…（9分）
设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）．
∵PM∥AC，
∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC．又点M在点P的上方，
∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10．
解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）
当x=2时，y=﹣．
∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形．
点评：
本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解．
67．（2014年山东泰安，第29题）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），
根据题意得：，解得：，
则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；
（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）．
∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，
则当x=﹣时，MN的最大值为；
（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，
即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，
故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．
点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．
68．（2014•甘肃兰州,第28题12分）
如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；
（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，﹣ a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答：
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣ a+2），F（a，﹣ a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．
点评：
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
69．（2014•广州,第24题14分）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标．
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．
（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法;
(2)存在性问题,相似三角形;
(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短
【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:
抛物线解析式为
顶点横坐标,将代入抛物线得
(2)如图,当时,设,
则
过作直线轴,
(注意用整体代入法)
解得
,
当在之间时，
或时，为钝角.
(3)依题意，且
设移动（向右，向左）
连接
则
又的长度不变
四边形周长最小，只需最小即可
将沿轴向右平移5各单位到处
沿轴对称为
∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时
，设过的直线为，代入
∴ 即
将代入，得：，解得：
∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
70．（2014•广东梅州,第23题11分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；
（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；
（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．
解答：
解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，
∴当y=0时， x2﹣x﹣3=0，
解得x1=﹣2，x2=4．
当x=0，y=﹣3．
∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵y=x2﹣x﹣3，
∴对称轴为直线x==1．
∵AD在x轴上，点M在抛物线上，
∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：
①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，
∵C点坐标为（0，﹣3），
∴M点坐标为（2，﹣3）；
②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．
当y=4时， x2﹣x﹣3=3，
解得x1=1+，x2=1﹣，
∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．
综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；
（3）结论：存在．
如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，
∴P1（﹣2，0）．
∵P1A=6，BC=2，
∴P1A≠BC，
∴四边形ABCP1为梯形；
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．
∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），
∴直线AB的解析式为y=x﹣6，
∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，
将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，
∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．
∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，
∴x2﹣x﹣3=x﹣3，
化简得：x2﹣6x=0，
解得x1=0（舍去），x2=6，
∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，
∴P2（6，6）．
∵AB∥CP2，AB≠CP2，
∴四边形ABCP2为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
71. （2014•海南,第24题14分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；
（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．
解答：
解：（1）∵对称轴为直线x=2，
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k．
将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：
，解得，
∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．
（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．
设P（x，﹣x2+4x+5），
如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2+4x+5，
∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．
S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME
=（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE
=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1
=﹣x2+x+
=﹣（x﹣）2+
∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，此时点P坐标为（，）．
（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为3．
令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．
∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．
四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．
如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；
作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；
连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．
设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：
，解得：m=，n=﹣，
∴y=x﹣．
当y=0时，解得x=．∴F（，0）．
∵a+1=，∴a=．
∴a=时，四边形PMEF周长最小．
点评：
本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．
72. （2014•黑龙江龙东,第23题6分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
考点：
抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．.
分析：
（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
解答：
解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
点评：
本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．
73. （2014•黑龙江绥化,第25题8分）如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则易推知CD∥AB，所以∠BCD=∠ABC=45°．利用直角等腰直角三角形的性质和图中相关线段间的和差关系求得BC=4，BE=BC﹣DE=．由正切三角函数定义知tan∠DBC==；
（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由点B、D的坐标得到BD⊥x轴，∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．
解答：
解：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，
解得 x1=﹣1，x2=4．
∴A（﹣1，0），B（4，0）．
当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，
∴D（3，4）．
如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．
∵C（0，4），
∴CD∥AB，
∴∠BCD=∠ABC=45°．
在直角△OBC中，∵OC=OB=4，
∴BC=4．
在直角△CDE中，CD=3．
∴CE=ED=，
∴BE=BC﹣DE=．
∴tan∠DBC==；
（2）过点P作PF⊥x轴于点F．
∵∠CBF=∠DBP=45°，
∴∠PBF=∠DBC，
∴tan∠PBF=．
设P（x，﹣x2+3x+4），则=，
解得 x1=﹣，x2=4（舍去），
∴P（﹣，）．
点评：
本题主要考查了二次函数综合型题目，其中涉及到了坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义以及二次函数图象上点的坐标特征等知识点．解题时，要注意数形结合的数学思想方法．
74. （2014•湖北宜昌,第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+C．
（1）填空：△AOB≌△ DNA或△DPA ≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0， 4﹣t ）；
（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；
（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；
（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣，顶点随着的增大向上移动时，求t的取值范围．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根据图中相关线段间的和差关系来求点A的坐标；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等易推知：OM=OB+BM=t+4﹣t=4，则C（4，t）．把点O、C的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c可以求得b=t﹣4a；
（3）利用待定系数法求得直线OD的解析式y=x．联立方程组，得，所以ax2+（﹣﹣4a）x=0，解得 x=0或x=4+．
对于抛物线的开口方向进行分类讨论，即a＞0和a＜0两种情况下的a的取值范围；
（4）根据抛物线的解析式y=ax2+（﹣4a）x得到顶点坐标是（﹣，﹣（t﹣16a）2）．结合已知条件求得a=t2，故顶点坐标为（2﹣，﹣（t﹣）2）．哟抛物线的性质知：只与顶点坐标有关，故t的取值范围为：0＜t≤．
解答：
解：（1）如图，∵∠DNA=∠AOB=90°，
∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．
在△AOB与△DNA中，，
∴△AOB≌△DNA（SAS）．
同理△DNA≌△BMC．
∵点P（0，4），AP=t，
∴OA=OP﹣AP=4﹣t．
故答案是：DNA或△DPA；4﹣t；
（2）由题意知，NA=OB=t，则OA=4﹣t．
∵△AOB≌△BMC，
∴CM=OB=t，
∴OM=OB+BM=t+4﹣t=4，
∴C（4，t）．
又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C，
∴，
解得 b=t﹣4a；
（3）当t=1时，抛物线为y=ax2+（﹣4a）x，NA=OB=1，OA=3．
∵△AOB≌△DNA，
∴DN=OA=3，
∵D（3，4），
∴直线OD为：y=x．
联立方程组，得，
消去y，得
ax2+（﹣﹣4a）x=0，
解得 x=0或x=4+，
所以，抛物线与直线OD总有两个交点．
讨论：①当a＞0时，4+＞3，只有交点O，所以a＞0符合题意；
②当a＜0时，若4+＞3，则a＜﹣．
又a＜0
所以 a＜﹣．
若4+＜0，则得a＞﹣．
又a＜0，
所以﹣＜a＜0．
综上所述，a的取值范围是a＞0或a＜﹣或﹣＜a＜0．
（4）抛物线为y=ax2+（﹣4a）x，则顶点坐标是（﹣，﹣（t﹣16a）2）．
又∵对称轴是直线x=﹣+2=2﹣，
∴a=t2，
∴顶点坐标为：（2﹣，﹣（1﹣4t）2），即（2﹣，﹣（t﹣）2）．
∵抛物线开口向上，且随着t的增大，抛物线的顶点向上移动，
∴只与顶点坐标有关，
∴t的取值范围为：0＜t≤．
[来源:Zxxk.Com]
点评：
本题考查了二次函数综合题型．此题难度较大，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数图象的性质等知识点，综合性比较强，需要学生对所学知识进行系统的掌握．
75. （2014•湖南衡阳,第28题10分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）如答图2，求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值；
（3）△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，所以△ACD必为直角三角形．本问分多种情形，需要分类讨论，避免漏解．
解答：解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）．
将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）=﹣3m，∴m=a，
∴抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x﹣1）=mx2+2mx﹣3m．
（2）当m=2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，则P（x，2x2+4x﹣6）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有
，解得，
∴y=﹣2x﹣6．
如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，﹣2x﹣6）．
∴PF=yF﹣yP=（﹣2x﹣6）﹣（2x2+4x﹣6）=﹣2x2﹣6x．
S=S△PFA+S△PFC=PF•AE+PF•OE=PF•OA=（﹣2x2﹣6x）×3
∴S=﹣3x2﹣9x=﹣3（x+）2+
∴S与x之间的关系式为S=﹣3x2﹣9x，当x=﹣时，S有最大值为．
（3）∵y=mx2+2mx﹣3m=m（x+1）2﹣4m，
∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m）．
如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA﹣OE=2；
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m．
由勾股定理得：
AC2=OC2+OA2=9m2+9；
CD2=CF2+DF2=m2+1；
AD2=DE2+AE2=16m2+4．
∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，
∴△ACD必为直角三角形．
i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，
即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，
整理得：m2=﹣，
∴此种情形不存在；
ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，
即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，
整理得：m2=，
∵m＞0，∴m=．
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=；
△BOC的三边长为：OB=1，OC=，BC=．
两个三角形对应边不成比例，不可能相似，
∴此种情形不存在；
iii）若点C为直角顶点，则AC2+CD2=AD2，
即：（9m2+9）+（m2+1）=16m2+4，
整理得：m2=1，
∵m＞0，∴m=1．
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=3；
△BOC的三边长为：OB=1，OC=3，BC=．
∵=，
∴满足两个三角形相似的条件．∴m=1．
综上所述，当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．
点评：
本题是二次函数综合题型，考查了函数的图象与性质、待定系数法、相似、勾股定理、图形面积计算等知识点，难度不大．第（2）问重点考查了图形面积的计算方法；第（3）问重点考查了分类讨论的数学思想．
76. （2014•湖南永州,第25题10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）当S△MFQ：S△MEB=1：3时，求点M的坐标．
考点：
二次函数综合题．.
专题：
压轴题．
分析：
（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后求解即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；
（2）根据点M的坐标表示出点Q、E的坐标，再设直线BM的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点F的坐标，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出△MFQ和△MEB的面积，然后列出方程并根据m的取值范围整理并求解得到m的值，再根据点M在抛物线上求出n的值，然后写出点M的坐标即可．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴y=﹣x2+x+2，
∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣3x+）++2=﹣（x﹣）2+，
∴顶点坐标为（，）；
（2）∵M（m，n），
∴Q（0，n），E（3﹣m，n），
设直线BM的解析式为y=kx+b（k≠0），
把B（4，0），M（m，n）代入得，
解得，
∴y=x+，
令x=0，则y=，
∴点F的坐标为（0，），
∴MQ=|m|，FQ=|﹣n|=||，ME=|3﹣m﹣m|=|3﹣2m|，
∴S△MFQ=MQ•FQ=|m|•||=||，
S△MEB=ME•|n|=•|3﹣2m|•|n|，
∵S△MFQ：S△MEB=1：3，
∴||×3=•|3﹣2m|•|n|，
即||=|3﹣2m|，
∵点M（m，n）在对称轴左侧，
∴m＜，
∴=3﹣2m，
整理得，m2+11m﹣12=0，
解得m1=1，m2=﹣12，
当m1=1时，n1=﹣×12+×1+2=3，
当m2=﹣12时，n2=﹣×（﹣12）2+×（﹣12）+2=﹣88，
∴点M的坐标为（1，3）或（﹣12，﹣88）．
点评：
本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，此题运算较为复杂，用m、n表示出△MFQ和△MEB的相应的边长，然后根据两个三角形的面积的关系列出方程是解题的关键．
77. （2014•河北，第24题11分）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G、H，O九个格点．抛物线l的解析式为y=（﹣1）nx2+bx+c（n为整数）．
（1）n为奇数，且l经过点H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；
（2）n为偶数，且l经过点A（1，0）和B（2，0），通过计算说明点F（0，2）和H（0，1）是否在该抛物线上；
（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．
考点：
二次函数综合题
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据﹣1的奇数次方等于﹣1，再把点H、C的坐标代入抛物线解析式计算即可求出b、c的值，然后把函数解析式整理成顶点式形式，写出顶点坐标即可；
（2）根据﹣1的偶数次方等于1，再把点A、B的坐标代入抛物线解析式计算即可求出b、c的值，从而得到函数解析式，再根据抛物线上点的坐标特征进行判断；
（3）分别利用（1）（2）中的结论，将抛物线平移，可以确定抛物线的条数．
解答：
解：（1）n为奇数时，y=﹣x2+bx+c，
∵l经过点H（0，1）和C（2，1），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+1，
y=﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点为格点E（1，2）；
（2）n为偶数时，y=x2+bx+c，
∵l经过点A（1，0）和B（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+2，
当x=0时，y=2，
∴点F（0，2）在抛物线上，点H（0，1）不在抛物线上；
（3）所有满足条件的抛物线共有8条．
当n为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3﹣1所示；
当n为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3﹣2所示．
点评：
本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，要注意（3）抛物线有开口向上和开口向下两种情况．
78、（2014•随州，第25题12分）平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点C的坐标为（﹣3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点．
（1）直接写出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCD的面积为S2，当S1≤S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；
（3）如图2，D（0，﹣）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A﹣B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t＜6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）求得菱形的边长，则A的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）首先求得菱形的面积，即可求得S1的范围，当S1取得最大值时即可求得直线的解析式，则n的值的范围即可求得；
（3）分当1＜t＜3.5时和3.5≤t≤6时两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求解．
解答：
解：（1）根据题意得：，
解得：，
则抛物线的解析式是：y=x2﹣x；
（2）设BC与y轴相交于点G，则S2=OG•BC=20，
∴S1≤5，
又OB所在直线的解析式是y=2x，OB==2，
∴当S1=5时，△EBO的OB边上的高是．
如图1，设平行于OB的直线为y=2x+b，则它与y轴的交点为M（0，b），与抛物线对称轴x=交于点E（，n）．
过点O作ON⊥ME，点N为垂足，若ON=，由△MNO∽△OGB，得OM=5，
∴y=2x﹣5，
由，
解得：y=0，
即E的坐标是（，0）．
∵与OB平行且到OB的距离是的直线有两条．
∴由对称性可得另一条直线的解析式是：y=2x+5．
则E′的坐标是（，10）．
由题意得得，n的取值范围是：0≤n≤10且n≠5．
（3）如图2，动点P、Q按题意运动时，
当1＜t＜3.5时，
OP=t，BP=2﹣t，OQ=2（t﹣1），
连接QP，当QP⊥OP时，有=，
∴PQ=（t﹣1），
若=，则有=，
又∵∠QPB=∠DOA=90°，
∴△BPQ∽△AOD，
此时，PB=2PQ，即2﹣t=（t﹣1），
10﹣t=8（t﹣1），
∴t=2；
当3.5≤t≤6时，QB=10﹣2（t﹣1）=12﹣2t，连接QP．
若QP⊥BP，
则有∠PBQ=∠ODA，
又∵∠QPB=∠AOD=90°，
∴△BPQ∽△DOA，
此时，PB=PB，即12﹣2t=（2﹣t），12﹣2t=10﹣t，
∴t=2（不合题意，舍去）．
若QP⊥BQ，则△BPQ∽△DAO，
此时，PB=BQ，
即2﹣t=（12﹣2t），2﹣t=12﹣2t，
解得：t=．
则t的值为2或．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
79、（2014衡阳，第28题10分）
已知某二次函数的图象与
轴分别相交于点
和点
，与
轴相交于点
，顶点为点
。
⑴求该二次函数的解析式（系数用含
的代数式表示）；
⑵如图①，当
时，点
为第三象限内抛物线上的一个动点，
设
的面积为
，试求出
与点
的横坐标
之间的函数关系式及
的最大值；
⑶如图②，当
取何值时，以
、
、
三点为顶点的三角形与
相似？
【考点】待定系数法求二次函数的表达式，三角形面积公式，梯形面积公式，相似三角形的判定定理.
⑵当
时，点
的坐标为
，该二次函数的解析式为
∵点
的坐标为
，点
的坐标为
∴直线
的解析式为
，即
过点
作
轴于点
，交
于点
∵点
为第三象限内抛物线上的一个动点且点
的横坐标为
EMBED Equation.DSMT4
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
，点
的坐标为
∴当
时，
有最大值
方法二
∴当
时，
有最大值
；
另解：
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
∴当
时，
有最大值
⑶∵
，∴点
的坐标为
∴
∵
是直角三角形，∴欲使以
、
、
三点为顶点的三角形与
相似，必有
②若在
中，
，则
，即
化简整理得：
，∵
，∴
（舍去负值）
此时，，
，
∴
虽然
，但是
，∴
与
不相似，应舍去；
∴综上所述，只有当
时，以
、
、
三点为顶点的三角形与
相似。
【答案】⑴该二次函数的解析式为
⑵当
时，
有最大值
⑶当
时，以
、
、
三点为顶点的三角形与
【点评】：本题综合性强，难度大，是代数、几何的综合题，每一问难度逐渐上升，第一问就是求二次函数表达式的一般问题，第二问虽然常见，但是在表示
的面积时，难度较大，计算量也大，一些学生会放弃，第三问分情况讨论，虽然3种情况容易想到，但是还是计算，往往造成会思路但不得分的情况.
80、（2014•无锡，第26题10分）如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．
（1）求点A的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）过点C作CM∥OA交y轴于M，则△BCM∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例得出==，即OA=4CM=4，由此得出点A的坐标为（﹣4，0）；
（2）先将A（﹣4，0）代入y=ax2+bx，化简得出b=4a，即y=ax2+4ax，则顶点F（﹣2，﹣4a），设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，化简得n=4k，即直线AB的解析式为y=kx+4k，则B点（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，得出3k=a﹣4a，化简得到k=﹣A．再由△FCD与直角△AED相似，则△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根据两点之间的距离公式得出FC2=CD2=1+a2，得出△FCD是等腰直角三角形，则△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形内角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，进而得到此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．
解答：
解：（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M．
∵AC：BC=3：1，
∴=．
∵CM∥OA，
∴△BCM∽△BAO，
∴===，
∴OA=4CM=4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）；
（2）∵二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0），
∴16a﹣4b=0，
∴b=4a，
∴y=ax2+4ax，对称轴为直线x=﹣2，
∴F点坐标为（﹣2，﹣4a）．
设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，
得﹣4k+n=0，
∴n=4k，
∴直线AB的解析式为y=kx+4k，
∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）．
∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，
∴3k=a﹣4a，
∴k=﹣A．
∵△AED中，∠AED=90°，
∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，
∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD∽△AED．
∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，
∴FC2=（﹣1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（﹣2+1）2+（2k﹣3k）2=1+a2，
∴FC=CD，
∴△FCD是等腰直角三角形，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∴∠OBA=45°，
∴OB=OA=4，
∴4k=4，
∴k=1，
∴a=﹣1，
∴此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，两点之间的距离公式、抛物线对称轴的求法，函数图象上点的坐标特征．综合性较强，有一定难度．（2）中得出△FCD是等腰直角三角形是解题的关键．
81、（2014•无锡，第28题10分）如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．
①试求S关于t的函数关系式；
②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．
考点：
相似形综合题
分析：
（1）如答图1，作辅助线，由比例式求出点D的坐标；
（2）①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论．
答图2﹣1，答图2﹣2表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解；
②画出函数图象，由两段抛物线构成．观察图象，可知当t=1时，S有最大值．
解答：
解：（1）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，
由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．
∵CE∥x轴，
∴，即，解得x=．[来源:学科网]
∴C点坐标为（，）；
∵PQ∥AB，
∴，即，
∴OP=2OQ．
∵P（0，2t），
∴Q（t，0）．
∵对称轴OC为第一象限的角平分线，
∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）．
（2）①当0＜t≤1时，如答图2﹣1所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S△CMN．
S△CMN=S四边形CMON﹣S△OMN
=（S△COM+S△CON）﹣S△OMN
=（•2t×+•t×）﹣•2t•t
=﹣t2+2t；
当1＜t＜2时，如答图2﹣2所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN．
设直线MN的解析式为y=kx+b，将M（2t，0）、N（0，t）代入得，
解得，
∴y=﹣x+t；
同理求得直线AB的解析式为：y=﹣2x+4．
联立y=﹣x+t与y=﹣2x+4，求得点D的横坐标为．
S△CDN=S△BDN﹣S△BCN
=（4﹣t）•﹣（4﹣t）×
=t2﹣2t+．
综上所述，S=．
②画出函数图象，如答图2﹣3所示：
观察图象，可知当t=1时，S有最大值，最大值为1．
点评：
本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点．难点在于第（2）问，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键．
82、（2014•江西，第24题8分）如图1，抛物线
的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。
（1）抛物线
对应的碟宽为____；抛物线
对应的碟宽为_____；抛物线
（a>0）对应的碟宽为____；抛物线
对应的碟宽____；
（2）若抛物线
对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
（3）将抛物线
的对应准蝶形记为Fn（n=1,2,3，…），定义F1，F2，…..Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若Fn与Fn-1的相似比为
，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.
①求抛物线y2的表达式
② 若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn。则hn=_______,Fn的碟宽右端点横坐标为_______；F1，F2，….Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。
【答案】 （1）4、、
；（3）①
；（2） EQ \F(2,a)
、；②
、
.
【考点】 二次函数解析式与图像性质，等腰直角三角形性质，探索规律.
【分析】 （1）根据准碟形的定义易算出含具体值的抛物线y=
亦可先根据
画出二次函数的大致图像，根据题意并从图像分析可知，其准碟形碟宽两端点A、B和抛物线的顶点M围成的△AMB是等腰直角三角形，进而知道A、B两点的纵坐标和横坐标绝对值相等，代入
即可求出二次项系数a与碟宽之间的关系式，而y=a(x-2)2+3（a＞0）为顶点式，可看成y=ax2平移得到，只与a有关。
（2）根据（1）中的结论，根据碟宽为6，列出方程
（3）①把(2)中求出的a代入，得出y1的解析式，易推出y2．
②结合画图，易知
，…，
，
都在直线x=2上，但证明需要有一般推广，可以考虑
∥
，且都过Fn-1的碟宽中点，进而可得．另外，画图时易知碟宽有规律递减，所以推理也可得右端点的特点．对于F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上，如果写出所有端点规律不可能，找规律更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻3个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反正结论成立．而最后一空的求直线表达式只需考虑特殊点即可．
【解答】 解：（1）4、
∵a＞0，∴y=ax2的图象大致如图1，其必经过原点O.
记线段AB为其准蝶形碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．
∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC＝
即△AOC=△BOC亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC．
∴
，即A、B两点x轴和y轴坐标绝对值相同．
代入
，得方程
，解得
.
∴由图像可知，A（－
，
），B（
，
），C（0，
），
即AC=OC=BC＝
，
∴AB=
·2＝
，
即
的碟宽为AB＝
.
∴①抛物线y=
EQ \F(1,2)
x2对应的，得碟宽
=4；
②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽
=
；
③抛物线
(a＞0)的碟宽为
；
④抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax2的准碟，
∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为
，
∴抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0），碟宽为
.
（2）解法一：
∵y=ax2―4ax－
∴同（1）得其碟宽为
∵y=ax2―4ax－
∴
∴y＝
解法二：
∵
可得，
，
又已知碟宽在x轴上，
∴碟高＝
＝
又∵a＞0，a＝－
(3) ①解法一：
∵F1的碟宽︰F2的碟宽=2：1，
∴
∵
∴
∵
的碟宽AB在x轴上（A在B左边），
∴A（-1，0），B（5，0），
∴F2的碟顶坐标为（2，0），
∴
解法二：
∵
，a＝
∴
，
即碟顶
的坐标为（2，－3）.
∵
的碟顶是的碟宽的中点，且
的碟宽线段在x轴上，
∴
的碟顶
的坐标为（2,0），设
，
∵
与
的相似比为
，
的碟宽为6，
∴
的碟宽为6×
＝3，即
＝3，
＝
.
∴
.
②∵
的准碟形为等腰直角三角形，
∴
的碟宽为2
，
∵
∴
.
∵
=3，
∴
·3.
∵
∥
，且都过
的碟宽中点，
∴
都在同一条直线上，
∵
在直线x=2上，
∴
都在直线x=2上，
∴
的碟宽右端点横坐标为2+
·3.
F1，F2，…，Fn的的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=-x+5．
理由：
考虑Fn-2，Fn-1，Fn情形，关系如图2，
Fn-2，Fn-1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；
且C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，
连接右端点，BE，EH．
∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，
∴四边形GFEH、四边形DCBE都是平行四边形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB都过E点， [来源:学,科,网]
∴HE，EB在一条直线上，
∴
的碟宽的右端点是在一条直线，
∴
的碟宽的右端点是在一条直线．
根据②中得出的碟高和右边端点公式，可知
准碟形右端点坐标为（5，0），
准碟形右端点坐标为
，即(3.5，1.5)
∴待定系数可得过两点的直线为y=－x+5，
∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=-x+5上．
【点评】 本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力．题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生对题意要清晰的理解比较困难。
83．(2014•陕西,第25题10分)已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？
考点：
二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．
分析：
（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；
（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．
解答：
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，
∴，解得，
故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，
∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，
∴M（﹣1，4）．
（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，
∴MN∥M′N′且MN=M′N′．
∴MN•NN′=16，
∴NN′=4．
i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；
ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．
∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．
点评：
本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需要分类讨论，避免漏解．
84．（2014•四川成都,第26题8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
考点：
二次函数的应用；一元二次方程的应用．
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性得出答案．
解答：
解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，
∴x（28﹣x）=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12m或16m；
（2）由题意可得出：S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∴x=15时，S取到最大值为：S=﹣（15﹣14）2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
点评：
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
85．（2014•四川成都,第28题12分）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与x轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；
（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF．如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．
解答：
解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），
令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），
∴﹣×4+b=0，解得b=，
∴直线BD解析式为：y=﹣x+．
当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，
∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，
∴k=．
（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=k，∴C（0，﹣k），OC=k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．
∴D（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，
解得：x=8或x=2（与点A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴，即，
解得：k=．
②若△ABC∽△ABP，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．
与①同理，可求得：k=．
综上所述，k=或k=．
（3）由（1）知：D（﹣5，3），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，
∴t=AF+FG，即运动时间等于折线AF+FG的长度．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，
∴y=﹣×（﹣2）+=2，
∴F（﹣2，2）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．
点评：
本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．
86．（2014•四川广安,第26题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析．如答图2﹣1，作辅助线，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；
②本问为存在型问题．如答图2﹣2，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得点D的坐标．
解答：
解：（1）把点A（﹣4，0）、B（﹣1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，
得，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+x+3．
（2）①如答图2﹣1，过点D作DH⊥x轴于点H．
∵S▱ODAE=6，OA=4，
∴S△AOD=OA•DH=3，
∴DH=．
因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，
∴x2+x+3=﹣，
解得：x1=﹣2，x2=﹣3．
∴点D坐标为（﹣2，﹣）或（﹣3，﹣）．
当点D为（﹣2，﹣）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；
当点D为（﹣3，﹣）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．
②假设存在．
如答图2﹣2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM：CN=：2．
设D（m，m2+m+3）（m＜0），则F（m，m+3）．
∴CN=﹣m，NF=﹣m
∴CF==﹣m．
∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，
∴△DMF∽△CNF，
∴，
∴DF=CF=﹣m．
∴DN=NF+DF=﹣m﹣m=﹣m．
又DN=3﹣（m2+m+3）=﹣m2﹣m，
∴﹣m2﹣m=﹣m
解得：m=﹣或m=0（舍去）
∴m2+m+3=﹣
∴D（﹣，﹣）．
综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（﹣，﹣）．
点评：
本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、相似三角形、平行四边形、菱形等知识点．第（2）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．
87．（2014•四川绵阳,第25题14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，再将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到BC==2．设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以当△PBC为等腰三角形时分两种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；
（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，0），C（0，），根据中点坐标公式求出B′（3，2），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y=x+，直线AC的解析式为y=﹣x+，然后解方程组，即可求出Q点的坐标．
解答：
解：（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，
将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，
解得a=﹣，
故所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；
（2）∵y=﹣x2﹣x+，
∴x=0时，y=，
∴C（0，）．
y=0时，﹣x2﹣x+=0，
解得x=1或x=﹣3，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC==2．
设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以
当CP=CB时，有CP==2，解得m=±；
当BP=BC时，有BP==2，解得m=±2．
综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；
（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，
所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．
连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，
∵B、B′关于直线AC对称，
∴QB=QB′，
∴QB+QM=QB′+QM=MB′，
又BM=2，所以此时△QBM的周长最小．
由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．
设直线MB′的解析式为y=kx+n，
将M（﹣2，），B′（3，2）代入，
得，解得，
即直线MB′的解析式为y=x+．
同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+．
由，解得，即Q（﹣，）．
所以在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，两函数交点坐标的求法等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
88．（2014•浙江绍兴,第20题8分）课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
考点：
相似三角形的应用；二次函数的最值．
分析：
（1）设PN=2ymm，则PQ=ymm，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；
（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
解答：
解：（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，由条件可得△APN∽△ABC，
∴=，
即=，
解得y=，
∴PN=×2=（mm），
答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；
（2）设PN=xmm，由条件可得△APN∽△ABC，
∴=，
即=，
解得PQ=80﹣x．
∴S=PN•PQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，
∴S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．
点评：
本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强，是道好题．
89．（2014•浙江绍兴,第22题12分）如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？
考点：
二次函数图象与几何变换；二次函数的性质
专题：
新定义．
分析：
（1）根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可；
（2）①首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案；
②分别求出两函数解析式，进而得出平移规律．
解答：
解：（1）由题意可得出：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）；
（2）①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=（x+2）2﹣5，
∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，
∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]；
②∵一个函数的特征数为[2，3]，
∴函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∵一个函数的特征数为[3，4]，
∴函数解析式为：y=x2+3x+4=（x+）2+，
∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到．
点评：
此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求函数解析式，利用特征数得出函数解析式是解题关键．
90．（2014•重庆A,第25题12分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．
（2）设M点横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=﹣m2﹣m+10，将﹣m2﹣m+10配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．
（3）设F（n，﹣n2﹣2n+3），根据已知若FG=2DQ，即可求得．
解答：
解：（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），
令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，
设M点的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，
∴当m=﹣2时矩形的周长最大．
∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为；y=kx+b，
解得k=1，b=3，
∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=•AM•EM=．
（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ=DC，
把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，
∴D（﹣1，4）
∴DQ=DC=，
∵FC=2DQ，
∴FG=4，
设F（n，﹣n2﹣2n+3），
则G（n，n+3），
∴|﹣n2﹣2n+3|﹣|n+3|=4，
即n2+2n﹣3+n+3=4，解得：n=﹣4或n=1，
∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
点评：
本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．
91．（2014•贵州黔西南州, 第26题16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
第1题图
考点：
二次函数综合题．[来源:学科网ZXXK]
分析：
（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．
（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△APE=•PE•yP，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．
（3）由最值时，P为（﹣，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将xP'坐标代入解析式，判断是否为yP'即可．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，
∴，
解得 ，
∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．
（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴设AD为解析式为y=kx+b，有 ，
解得 ，
∴AD解析式：y=2x+6，
∵P在AD上，
∴P（x，2x+6），
∴S△APE=•PE•yP=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），当x=﹣=﹣时，S取最大值．
（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE=∠FEN，
∵∠PFE=∠P′FE，
∴∠FEN=∠P′FE，
∴EN=FN，
设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．
在Rt△P′EN中，
∵（3﹣m）2+（）2=m2，
∴m=．
∵S△P′EN=•P′N•P′E=•EN•P′M，
∴P′M=．
在Rt△EMP′中，
∵EM==，
∴OM=EO﹣EM=，
∴P′（，）．
当x=时，y=﹣（）2﹣2•+3=≠，
∴点P′不在该抛物线上．
点评：
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固．
92. （2014•黑龙江哈尔滨,第27题10分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
第2题图
（1）求a，b的值；
（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）利用已知得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出a，b的值；
（2）利用已知得出AD=BD则∠BAD=∠ABD=45°，进而得出tan∠BOD=tan∠MPF，故==3，MF=3PF=3t，即可得出d与t的函数关系；
（3）首先利用S△ACN=S△PMN，则AC2=2t2，得出AC=2t，CN=2t，则M（4﹣2t，6t），求出t的值，进而得出△PMQ∽△NBR，求出R点坐标．
解答：
解：（1）∵y=﹣x+4与x轴交于点A，
∴A（4，0），
∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，
∴B（1，3），
∵抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），
∴，
解得：，
∴a=﹣1，b=4；
（2）如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，
∵B（1，3），A（4，0），
∴OD=1，BD=3，OA=4，
∴AD=3，
∴AD=BD，
∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，
∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAD=45°，
∴∠PNF=∠ANC=45°，
∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，
∴NF=PF=t，
∵∠DFM=∠ECM=90°，∴PF∥EC，
∴∠MPF=∠MEC，
∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，
∴∠MPF=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠MPF，
∴==3，
∴MF=3PF=3t，
∵MN=MF+FN，
∴d=3t+t=4t；
（3）如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，
∴S△PMN=MN×PF=×4t×t=2t2，
∵∠CAN=∠ANC，
∴CN=AC，
∴S△ACN=AC2，
∵S△ACN=S△PMN，
∴AC2=2t2，
∴AC=2t，∴CN=2t，
∴MC=MN+CN=6t，
∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，
∴M（4﹣2t，6t），
由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x，
将M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x2+4x得：
﹣（4﹣2t）2+4（4﹣2t）=6t，
解得：t1=0（舍），t2=，
∴PF=NF=，AC=CN=1，OC=3，MF=，PN=，PM=，AN=，
∵AB=3，
∴BN=2，
作NH⊥RQ于点H，
∵QR∥MN，
∴∠MNH=∠RHN=90°，
∠RQN=∠QNM=45°，∴∠MNH=∠NCO，
∴NH∥OC，
∴∠HNR=∠NOC，
∴tan∠HNR=tan∠NOC，
∴==，
设RH=n，则HN=3n，
∴RN=n，QN=3n，
∴PQ=QN﹣PN=3n﹣，
∵ON==，
OB==，
∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，
∵PM∥OB，
∴∠OBN=∠MPB，
∴∠MPB=∠BNO，
∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，
∴∠BRN=∠MQP，
∴△PMQ∽△NBR，
∴=，
∴=，
解得：n=，
∴R的横坐标为：3﹣=，R的纵坐标为：1﹣=，
∴R（，）．
点评：
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，得出△PMQ∽△NBR，进而得出n的值是解题关键．
93. (2014•黑龙江牡丹江, 第27题10分)某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．
第3题图
考点：
二次函数的应用；一次函数的应用
分析：
（1）利用待定系数法将图中点的坐标求出一次函数解析式即可；
（2）根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式；
（3）令函数关系式Q=600，解得x，然后得出销售单价x的范围．
解答：
解：（1）设y=kx+b，根据题意得解得：
k=﹣1，b=120．
所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．
（2）利润W与销售单价x之间的函数关系式为：Q=（x﹣50）（﹣x+120）=﹣x2+170x﹣6000；
Q=﹣x2+170x﹣6000=﹣（x﹣85）2+1225；
所以当试销单价定为85元时，该商店可获最大利润，最大利润是1225元．
（3）当600=﹣x2+170x﹣6000，
解得：x1=60，x2=90，
∵获利不得高于40%，
∴最高价格为50（1+50%）=75，
故60≤x≤75的整数．
故答案为：60≤x≤75的整数．
点评：
本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
94. （2014•湖北黄冈,第25题13分）已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．
第4题图
考点：
二次函数综合题．
专题：
压轴题．
分析：
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；
（2）根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出∠AOC=45°，然后判断出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；
（3）根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；
（4）求出点Q与点A重合时的t=1，点P与点C重合时的t=1.5，t=2时PQ经过点B，然后分①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，②1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解．
解答：
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x，
∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，
∴顶点M的坐标为（2，﹣）；
（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，
∴OP=2t，
∴点P的坐标为（2t，0），
∵A（1，﹣1），
∴∠AOC=45°，
∴点Q到x轴、y轴的距离都是OP=×2t=t，
∴点Q的坐标为（t，﹣t）；
（3）∵△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，
∴旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t，﹣2t），（3t，﹣t），
若顶点O在抛物线上，则×（2t）2﹣×（2t）=﹣2t，
解得t=，
若顶点Q在抛物线上，则×（3t）2﹣×（3t）=﹣t，
解得t=1，
综上所述，存在t=或1，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上；
（4）点Q与点A重合时，OP=1×2=2，t=2÷2=1，
点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，
t=2时，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此时PQ经过点B，
所以，分三种情况讨论：
①0＜t≤1时，S=×（2t）×=t2，
②1＜t≤1.5时，S=×（2t）×﹣×（t﹣）2=2t﹣1；
③1.5＜t＜2时，S=×（2+3）×1﹣×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+；
所以，S与t的关系式为S=．
点评：
本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（4）随着运动时间的变化，根据重叠部分的形状的不同分情况讨论，作出图形更形象直观．
95. （2014•湖北黄石,第25题10分）如图，在矩形ABCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10．
（1）求F点的坐标；
（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点O，F，且直线y=6x﹣36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；
（3）直线y=k（x﹣3）﹣与（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，﹣），求证：+为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M，N两点间的距离为|MN|=）
第5题图
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）根据折叠的性质得到AF=AD，所以在在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF的长度，然后由点F在x轴上易求点F的坐标；
（2）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以可以设抛物线的交点式方程y=a（x﹣0）（x﹣6），即y=ax（x﹣6）（a≠0）．根据抛物线的切线的定义知，直线y=6x﹣36与该抛物线有一个交点，则联立两个函数解析式，得到关于x的一元二次方程ax2﹣（6a+6）x+36=0，则该方程的根的判别式△=0；
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），假设x1＞3，x2＜3．根据抛物线与直线的交点坐标的求法得到：，根据根与系数的关系求得x1+x2=6+k，．利用两点间的距离公式推知+=，易求=4为定值．
解答：
解：（1）由折叠的性质得到：△ADE≌△AFE，则AF=AD．
又∵AD=10，AO=8，
∴，
∴F（6，0）；
（2）依题意可设过点O、F的抛物线解析式为y=a（x﹣0）（x﹣6），即y=ax（x﹣6）（a≠0）．
依题意知，抛物线与直线y=6x﹣36相切，
∴，
∴ax2﹣（6a+6）x+36=0 有两个相等的实数根，
∴△=（6a+6）2﹣4a×36=0，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为 y=x2﹣6x；
（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），假设x1＞3，x2＜3．
依题意得 ，
得 ，
∴x1+x2=6+k，．
∵
=
=
=
=
即=4为定值．
点评：
本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．解题时，要学生掌握数形结合的数学思想方法．另外，解答（3）题时，需要熟悉两点间的距离公式．
96. （2014•湖北荆门,第22题10分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；
（2）求售价x的范围；
（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
考点：
二次函数的应用．
分析：
（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；
（2）根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．
（3）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；
解答：
解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；y=﹣5x+2200．
（2）供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则300≤x≤350．
（3）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），
整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．
即当x=320时，最大值为72000．
点评：
本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．
97. （2014•湖北荆门,第23题10分）已知：函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数）．
（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；
（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x2﹣x1=2．
①求抛物线的解析式；
②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）根据a取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解．
（2）①函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，则x1，x2，满足y=0时，方程的根与系数关系．因为x2﹣x1=2，则可平方，用x1+x2，x1x2表示，则得关于a的方程，可求，并得抛物线解析式．
②已知解析式则可得A，B，C，D坐标，求sin∠DCB，须作垂线构造直角三角形，结论易得．
解答：
解：（1）函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数），
若a=0，则y=﹣x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；
若a≠0且图象过原点时，2a+1=0，a=﹣，有两个交点（0，0），（1，0）；
若a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y=0有：
△=（3a+1）2﹣4a（2a+1）=0，解得a=﹣1，有两个交点（0，﹣1），（1，0）．
综上得：a=0或﹣或﹣1时，函数图象与坐标轴有两个交点．
（2）①∵函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，
∴x1，x2为ax2﹣（3a+1）x+2a+1=0的两个根，
∴x1+x2=，x1x2=，
∵x2﹣x1=2，
∴4=（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣4•，
解得a=﹣（函数开口向上，a＞0，舍去），或a=1，
∴y=x2﹣4x+3．
②∵函数y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x1＜x2，
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵D为A关于y轴的对称点，
∴D（﹣1，0）．
根据题意画图，
如图1，过点D作DE⊥CB于E，
∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴△EDB为等腰直角三角形，
设DE=x，则EB=x，
∵DB=4，
∴x2+x2=42，
∴x=2，即DE=2．
在Rt△COD中，
∵DO=1，CO=3，
∴CD==，
∴sin∠DCB==．
点评：
本题考查了二次函数图象交点性质、韦达定理、特殊三角形及三角函数等知识，题目考法新颖，但内容常规基础，是一道非常值得考生练习的题目．
98．（2014•莱芜，第24题12分）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|x2﹣4x|；解方程|x2﹣4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；
（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S=﹣（t﹣1）2+；当t=1时，s有最大值为．
解答：
解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
∴，解得，
∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．
（2）存在．
设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入求得k=，
∴直线OD解析式为y=x．
设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，﹣x2+x），
∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|．
由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．
∴|x2﹣4x|=3．
若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；
若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x=．
∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或．
（3）∵C（1，3），D（3，1）
∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x．
如解答图所示，
设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．
设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．
设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），
则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．
设直线O′C′的解析式为y=3x+b，
将C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，
∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．
∴E（t，0）．
联立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t，t）．
过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．
∴S=S△OFQ﹣S△OEP=OF•FQ﹣OE•PG
=（1+t）（+t）﹣•t•t
=﹣（t﹣1）2+
当t=1时，S有最大值为．
∴S的最大值为．
点评：
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．
99. （2014•青岛，第22题10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
考点：
二次函数的应用．
分析：
（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．
解答：
解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500
=﹣5（x﹣80）2+4500
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，
解得x≥82．
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
点评：
本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
100. （2014•山西，第24题13分）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．
（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标；
（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值；
（3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、下方两种情况，分类讨论，避免漏解．设M（t，0），利用全等三角形求出点N的坐标，代入抛物线W′的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标．
解答：
解：（1）设抛物线W的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（﹣2，3）三点，
∴，解得：
∴抛物线W的解析式为y=x2﹣x．
∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣1，∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．
（2）由▱OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C点坐标为（﹣2，3），
∴B点的坐标为（2，3）．
如答图2，过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′=m．
∴BE=3，OE=2，∴EA=OA﹣OE=2．
∵C′B′∥x轴，
∴△BC′G∽△BEA，
∴，即，
∴C′G=m．
由平移知，▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形．
∴S=C′G•C′E=m（3﹣m）=﹣（x﹣）2+，
∴当m=时，S有最大值为．
（3）答：存在．
在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向下平移个单位，得到抛物线W′，
∵D（2，﹣1），∴F（6，﹣）；
∴抛物线W′的解析式为：y=（x﹣6）2﹣．
设M（t，0），
以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①若点N在x轴下方，如答题3所示：
过点D作DP∥y轴，过点F作FP⊥DP于点P，
∵D（2，﹣1），F（6，﹣），∴DP=，FP=4；
过点N作DQ⊥x轴于点Q，
由四边形FDMN为平行四边形，易证△DFP≌△NMQ，
∴MQ=FP=4，NQ=DP=，
∴N（4+t，﹣），
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=（x﹣6）2﹣，得：（t﹣2）2﹣=﹣，
解得：t=0或t=4，
∴点M的坐标为（0，0）或（4，0）；
②若点N在x轴上方，（请自行作图）
与①同理，得N（4﹣t，）
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=（x﹣6）2﹣，得：（t﹣10）2﹣=，
解得：t=6或t=14，
∴点M的坐标为（6，0）或（14，0）．
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．
点评：
本题是二次函数压轴题，难度较大．第（1）问考查了待定系数法及二次函数的性质；第（2）问考查了平移变换、平行四边形、相似三角形、二次函数最值等知识点，解题关键是确定重叠部分是一个平行四边形；第（3）问考查了平行四边形、全等三角形、抛物线上点的坐标特征等知识点，解题关键是平行四边形的判定条件．
101. （2014•乐山，第27题13分）如图，抛物线y=x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，﹣m）作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．.
分析：
（1）令y=0即可求得A点坐标，令x=1求得B点，根据对称轴的性质即可求得C点的坐标．
（2）分别求出PA、PC、AC的平方，根据勾股定理的逆定理即可求得m的值，
（3）先求出PC的斜率，根据互为垂直的两直线的斜率互为负倒数求出直线PE的斜率，然后求出解析式，分别求出与x轴的交点和与y轴的交点，从而求出PE的长，然后判断PE2是否等于PC2即可．
解答：
解：（1）若m=2，抛物线y=x2﹣2mx=x2﹣4x，
∴对称轴x=2，
令y=0，则x2﹣4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（4，0），
∵P（1，﹣2），令x=1，则y=﹣3，
∴B（1，﹣3），
∴C（3，﹣3）．
（2）∵抛物线y=x2﹣2mx（m＞0），
∴A（2m，0）对称轴x=m，
∵P（1，﹣m）
令x=1，则y=1﹣2m，
∴B（1，1﹣2m），
∴C（2m﹣1，1﹣2m），
∵PA2=（﹣m）2+（2m﹣1）2=5m2﹣4m+1，PC2=（2m﹣2）2+（1﹣m）2=5m2﹣10m+5．AC2=1+（1﹣2m）2=2﹣4m+4m2，
∵△ACP为直角三角形，
∴PA2=PC2+AC2，
即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2，整理得：2m2﹣5m+6=0，
解得：m=，m=1（舍去），
故m=．
（3）∵P（1，﹣m），C（2m﹣1，1﹣2m），设直线PC的解析式为y=kx+b，
∴，解得：k=﹣，
∵PE⊥PC，
∴直线PE的斜率=2，
设直线PE为y=2x+b′，
∴﹣m=2+b′，解得b′=﹣2﹣m，
∴直线PE：y=﹣2x﹣2﹣m，
令y=0，则x=﹣1﹣，
∴E（﹣1﹣m，0），
∴PE2=（﹣m）2+（﹣2﹣m）2=≠PC2
∴在x轴上不存在E点，
令x=0，则y=﹣2﹣m，
∴E（0，﹣2﹣m）
∴PE2=（﹣2﹣2m）2+12≠PC2，
∴y轴上不存在E点，
故坐标轴上不存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
点评：
本题考查了二次函数的交点的求法，以及直角三角形的判定，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等．
102. （2014•攀枝花，第24题12分）如图，抛物线y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．
（1）请直接写出A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；
（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）令y=ax2﹣8ax+12a=0，解一元二次方程，求出点A、B的坐标；
（2）由∠ACD=90°可知△ACD为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a的值，进而求出抛物线的解析式；
（3）△PAC的周长=AC+PA+PC，AC为定值，则当PA+PC取得最小值时，△PAC的周长最小．设点C关于对称轴的对称点为C′，连接AC′与对称轴交于点P，由轴对称的性质可知点P即为所求；
（4）直线m运动过程中，有两种情形，需要分类讨论并计算，避免漏解．
解答：
解：（1）抛物线的解析式为：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），
令y=0，即ax2﹣8ax+12a=0，
解得x1=2，x2=6，
∴A（2，0），B（6，0）．
（2）抛物线的解析式为：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），
令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12A．
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；
在Rt△COD中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12a）2+22=144a2+4；
在Rt△COD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；
即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，
解得：a=或a=﹣（舍去），
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x+．
（3）存在．
对称轴为直线：x=﹣=4．
由（2）知C（0，），则点C关于对称轴x=4的对称点为C′（8，），
连接AC′，与对称轴交于点P，则点P为所求．此时△PAC周长最小，最小值为AC+AC′．
设直线AC′的解析式为y=kx+b，则有：
，解得，
∴y=x﹣．
当x=4时，y=，∴P（4，）．
过点C′作C′E⊥x轴于点E，则C′E=，AE=6，
在Rt△AC′E中，由勾股定理得：AC′==4；
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC==4．
∴AC+AC′=4+4．
∴存在满足条件的点P，点P坐标为（4，），△PAC周长的最小值为4+4．
（4）①当﹣6≤t≤0时，如答图4﹣1所示．
∵直线m平行于y轴，
∴，即，解得：GH=（6+t）
∴S=S△DGH=DH•GH=（6+t）•（6+t）=t2+2t+6；
②当0＜t≤2时，如答图4﹣2所示．
∵直线m平行于y轴，
∴，即，解得：GH=﹣t+2．
∴S=S△COD+S梯形OCGH=OD•OC+（GH+OC）•OH
=×6×2+（﹣t+2+2）•t
=﹣t2+2t+6．
∴S=．
点评：
本题是典型的二次函数压轴题，综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知识点，难度不大．第（3）考查最值问题，注意利用轴对称的性质；第（4）问是动线型问题，考查分类讨论的数学思想，注意图形面积的计算．
103. （2014•丽水，第24题12分）如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）运用待定系数法和对称轴的关系式求出a、b的即可；
（2）由待定系数法求出直线AC的解析式，由抛物线的解析式构成方程组就可以求出B点的坐标，由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出E的坐标；
（3）分情况讨论当点B落在FD的左下方，点B，D重合，点B落在OD的右上方，由三角形的面积公式和菱形的性质的运用就可以求出结论．
解答：
解：（1）∵y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），且对称轴是直线x=﹣，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2+3x；
（2）如图1，
∵点A（1，4），线段AD平行于x轴，
∴D的纵坐标为4，
∴4=x2+3x，
∴x1=﹣4，x2=1，
∴D（﹣4，4）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴y=2x+2；
当2x+2=x2+3x时，
解得：x1=﹣2，x2=1（舍去）．
∴y=﹣2．
∴B（﹣2，﹣2）．
∴DO=4，BO=2，BD=2，OA=．
∴DO2=32，BO2=8，BD2=40，
∴BO2+BO2=BD2，
∴△BDO为直角三角形．
∵△EOD∽△AOB，
∴∠EOD=∠AOB，，
∴∠EOD﹣∠AOB=∠AOB﹣∠AOB，
∴∠BOD=∠AOE=90°．
即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A1
∴A1（4，﹣1），
∴E（8，﹣2）．
作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2，﹣8）．
∴当点E的坐标是（8，﹣2）或（2，﹣8）时，△EOD∽△AOB；
[来源:Z#xx#k.Com]
（3）由（2）知DO=4，BO=2，BD=2，∠BOD=90°．
若翻折后，点B落在FD的左下方，如图2．
S△HFP=S△BDP=S△DPF=S△B′PF=S△DHP=S△B′HF，
∴DH=HF，B′H=PH，
∴在平行四边形B′FPD中，PD=B′F=BF=BD=；
若翻折后，点B，D重合，S△HFP=S△BDP，不合题意，舍去．
若翻折后，点B落在OD的右上方，如图3，
S△HFP=S△BDP=S△BPF=S△DPF=S△B′PF=S△DHF=S△B′HP
∴B′P=BP，B′F=BF．DH=HP，B′H=HF，
∴四边形DFPB′是平行四边形，
∴B′P=DF=BF，
∴B′P=BP=B′F=BF，
∴四边形B′FPD是菱形，
∴FD=B′P=BP=BD=，根据勾股定理，得
OP2+OB2=BP2，
∴（4﹣PD）2+（2）2=（）2，[来源:学&科&网]
PD=3，PD=5＞4（舍去），
综上所述，PD=或PD=3时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的．
点评：
本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，分类讨论思想的运用．等底、等高的三角形的面积的运用，解答时运用三角形的面积关系求解是关键．
104．（2014•广西来宾，第25题12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
专题：
压轴题．
分析：
（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b的值，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；
（3）设AC、EF的交点为D，根据点C的坐标写出点D的坐标，然后分①点O是直角顶点时，求出△OED和△PEO相似，根据相似三角形对应边成比例求出PE，然后写出点P的坐标即可；②点C是直角顶点时，同理求出PF，再求出PE，然后写出点P的坐标即可；③点P是直角顶点时，利用勾股定理列式求出OC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD=OC，再分点P在OC的上方与下方两种情况写出点P的坐标即可．
解答：
解：（1）把点A（1，0）和B（4，0）代入y=ax2+bx+2得，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；
（2）抛物线的对称轴为直线x=，
∵四边形OECF是平行四边形，
∴点C的横坐标是×2=5，
∵点C在抛物线上，
∴y=×52﹣×5+2=2，
∴点C的坐标为（5，2）；
（3）设OC、EF的交点为D，
∵点C的坐标为（5，2），
∴点D的坐标为（，1），
①点O是直角顶点时，易得△OED∽△PEO，
∴=，
即=，
解得PE=，
所以，点P的坐标为（，﹣）；
②点C是直角顶点时，同理求出PF=，
所以，PE=+2=，
所以，点P的坐标为（，）；
③点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC==，
∵PD是OC边上的中线，
∴PD=OC=，
若点P在OC上方，则PE=PD+DE=+1，
此时，点P的坐标为（，），
若点P在OC的下方，则PE=PD﹣DE=﹣1，
此时，点P的坐标为（，），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，﹣）或（，）或（，）或（，），使△OCP是直角三角形．
点评：
本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对角线互相平分的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，难点在于（3）根据直角三角形的直角顶点分情况讨论．
105．(2014年广西南宁，第26题10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．.
分析：
（1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；
（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．
解答：
解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．
联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，
解得：x=﹣1或x=2，
当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（﹣1，0），B（2，3）．
（2）设P（x，x2﹣1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．
∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．
S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF
∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+
当x=时，yP=x2﹣1=﹣．
∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．
（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．
令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．
∴C（﹣k，0），OC=k．
假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．
∴EN=OE﹣ON=﹣．
∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，
∴△EQN∽△EOF，
∴，即：，
解得：k=±，
∵k＞0，
∴k=．
∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=．
点评：
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义．
106．(2014年广西钦州，第26题12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．
分析：
（1）将A（1，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣ m2﹣m+4），G（m，4），则PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；
（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x+4，于是得出H（m， m+4）．当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．
解答：
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+4；
（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
∴P（m，﹣ m2﹣m+4），G（m，4），
∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；
（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．
∵y=﹣x2﹣x+4，
∴当y=0时，﹣ x2﹣x+4=0，
解得x=1或﹣3，
∴D（﹣3，0）．
当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．
设直线BD的解析式为y=kx+4，
将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，
解得k=，
∴直线BD的解析式为y=x+4，
∴H（m， m+4）．
分两种情况：
①如果△BGP∽△DEH，那么=，
即=，
由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1；
②如果△PGB∽△DEH，那么=，
即=，
由﹣3＜m＜0，解得m=﹣．
综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，线段的表示，相似三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想及分类讨论是解题的关键．
107．（14分）(2014年贵州安顺，第26题14分)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB=2，连接AC．
（1）求出直线AC的函数解析式；
（2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；
（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．
考点：
二次函数综合题．.
分析：
（1）先在Rt△ABO中，运用勾股定理求出OB===2，得出B（﹣2，0），再根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为（4，0），又A（0，2），利用待定系数法即可求出直线AC的函数解析式；
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A，C，D三点的坐标代入，利用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式；
（3）先由点P（m，n）（n＜0）在抛物线y=﹣x2+x+2上，得出m＜﹣2或m＞4，n=﹣m2+m+2＜0，于是PM=m2﹣m﹣2．由于∠PMC=∠AOC=90°，所以当Rt△PCM与Rt△AOC相似时，有==或==2．再分两种情况进行讨论：①若m＜﹣2，则MC=4﹣m．由==，列出方程=，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（﹣4，﹣4）；由==2，列出方程=2，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（﹣10，﹣28）；②若m＞4，则MC=m﹣4．由==时，列出方程=，解方程求出m的值均不合题意舍去；由==2，列出方程=2，解方程求出m的值，得到点P的坐标为（6，﹣4）．
解答：
解：（1）由A（0，2）知OA=2，
在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，AB=2，
∴OB===2，
∴B（﹣2，0）．
根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为（4，0）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+n，
则，解得，
∴直线AC的函数解析式为y=﹣x+2；
（2）设过点A，C，D的抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，
则，解得，
∴y=﹣x2+x+2；
（3）∵点P（m，n）（n＜0）在抛物线y=﹣x2+x+2上，
∴m＜﹣2或m＞4，n=﹣m2+m+2＜0，
∴PM=m2﹣m﹣2．
∵Rt△PCM与Rt△AOC相似，
∴==或==2．
①若m＜﹣2，则MC=4﹣m．
当==时，=，
解得m1=﹣4，m2=4（不合题意舍去），
此时点P的坐标为（﹣4，﹣4）；
当==2时，=2，
解得m1=﹣10，m2=4（不合题意舍去），
此时点P的坐标为（﹣10，﹣28）；
②若m＞4，则MC=m﹣4．
当==时，=，
解得m1=4，m2=0，均不合题意舍去；
当==2时，=2，
解得m1=6，m2=4（不合题意舍去），
此时点P的坐标为（6，﹣4）；
综上所述，所求点P的坐标为（﹣4，﹣4）或（﹣10，﹣28）或（6，﹣4）．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰梯形的性质，相似三角形的性质，难度适中．利用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．
108．（2014•黔南州，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
考点：
二次函数综合题
专题：
压轴题．
分析：
（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．
解答：
解：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3=a（0﹣4）2﹣1，；
∴抛物线为；（3分）
（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当时，x1=2，x2=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x=4，
∴OB=2，AB==，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴=，即=，解得CE=，
∵＞2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）
（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为；（8分）
设P点的坐标为（m，），
则Q点的坐标为（m，）；
∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6
=﹣（m﹣3）2+；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为；
此时，P点的坐标为（3，）．（10分）
点评：
此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．
1
Ｂ
Ｏ
x
y
4
A
Ｂ
Ｃ
Ｄ
ｘ
y
O
第28题图1
P
A
B
C
M
N
x
y
O
第28题图2
图②
图①
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