高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题一选择题1.如果集合A.B同时满足A∪B={1.2.3.4}A∩B={1},A={1},B={1}就称有序集对(A,B)为“好集对”。这里的有序集对(A,B)意指当A=B，(A,B)和(B,A)是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个A64B8C6D2２.设函数f(x)=lg(10−x1),方程f(−2x)=f−1(2x)的解为( )A.log2(lg2)−1B.lg(log210)−1C.lg(lg2)1D.log2(log210)13.设A=100101102⋯499500是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( ) 4.在直角△ABC中,∠C=90∘,CD为斜边上的高,D为垂足.AD=a,BD=b,CD=a−b=1.设数列{uk}的通项为uk=ak−ak−1bak−2b2−⋯(−1)kbk,k=1,2,3,⋯,则( )A.u2008=u2007u2006B.u2008=u2007−u2006C.2007u2008=2008u2007D.2008u2008=2007u20075.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{an},易见a1=1,a2=3,a3=7,a4=9,a5=13⋯那么a2007=____________A.9597B.5519C.2831D.27596.设A=1cos301cos701cos110⋯1cos870B=1−cos301−cos701−cos110⋯1−cos870则A:B=()A.22−2B.222C.2−1D.21二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种.8.设n≥2007,且n为使得an=(2−2i22)n取实数值的最小正整数,则对应此n的an为9.若正整数n恰好有4个正约数,则称n为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中,顶点A出发的三条棱AA1,AB,AD的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60∘那么这个平行六面体的四条对角线AC1,BD1,DB1,CA1的长度(按顺序)分别为___________________11.函数f(x),g(x)的迭代的函数定义为f(1)(x)=f(x),f(2)(x)=f(f(x)),⋯f祓其中n=2,3,4…设f(x)=2x−3,g(x)=3x2,则方程组祓的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,BD=23,则平行四边形ABCD绕直线AC旋转所得的旋转体的体积为_______________三解答题13.已知椭圆Γ:3x24y2=12和点Q(q,0),直线l过Q且与Γ交于A,B两点(可以重合).1)若∠AOB为钝角或平角(O为原点),q=4,试确定l的斜率的取值范围.2)设A关于长轴的对称点为A1,F为椭圆的右焦点,q=4,试判断A1和F,B三点是否共线,并
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
理由.3)问题2)中,若q=4,那么A1,F,B三点能否共线?请说明理由.14.数列{xn}由下式确定:xn1=2xn21xn,n=1,2,3,⋯,x1=1,试求lgx2007整数部分k=[lgx2007].(注[a]表示不大于a的最大整数,即a的整数部分.)15.设给定的锐角△ABC的三边长a,b,c,正实数x,y,z满足xayzybzxzcxy=p,其中p为给定的正实数,试求s=(bc−a)x2(ca−b)y2(ab−c)z2的最大值,并求出当s取此最大值时,x,y,z的取值.
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