上海市长宁、嘉定区2018届高三一模数学试卷及答案解析

第1页（共15页）2018年上海市长宁区、嘉定区 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学一模试卷一.填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B=．2．（4分）不等式的解集为．3．（4分）已知，则=．4．（4分）=．5．（4分）已知球的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为16π，则该球的体积为．6．（4分）已知函数f（x）=1+logax，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为．7．（5分）若数列{an}为等比数列，且a5=3，则=．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=an•an+1（n∈N*）．若bn=（﹣1）n，则数列{bn}的前n项和Tn=．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”第2页（共15页）的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1D．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn﹣1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程fn（x）=x的根的个数为（）A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）第3页（共15页）18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g（a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{an}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{an}的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ；（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，且满足，试确定b1的值，使得数列{bn}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{cn}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{cn}．第4页（共15页）2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B={2，4}．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，∴A∩B={2，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）不等式的解集为（﹣1，0]．【解答】解：∵，∴或，解得：﹣1＜x≤0，故答案为（﹣1，0]．3．（4分）已知，则=．【解答】解：∵sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣4．（4分）=．【解答】解：==，第5页（共15页）∴=，故答案为：．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：=．故答案为：．6．（4分）已知函数f（x）=1+logax，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为4．【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+logax，∴2=1+loga4，即a=4．故答案为：4．7．（5分）若数列{an}为等比数列，且a5=3，则=18．【解答】解：根据题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，又由数列{an}为等比数列，且a5=3，则有a2•a8=a3•a7=9，则=9+9=18；故答案为：18．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）第6页（共15页）=ac，则B=．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，∴，又当x∈[2，4]时，，∴f（）=f（）=．故答案为：．11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=an•an+1（n∈N*）．若bn=第7页（共15页）（﹣1）n，则数列{bn}的前n项和Tn=﹣1+．【解答】解：∵2Sn=an•an+1（n∈N*）．当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣1•an，∴2an=2Sn﹣2Sn﹣1=an（an+1﹣an﹣1），∵a1=1，∴an≠0∴an+1﹣an﹣1=2，∴（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）=2，∴an﹣an﹣1=1，∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴an=1+（n﹣1）=n，∴bn=（﹣1）n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），数列{bn}的前n项和Tn=﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+），当n为偶数时，Tn=﹣1+，当n为奇数时，Tn=﹣1+﹣（+）=﹣1﹣，综上所述Tn=﹣1+，故答案为：﹣1+．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为2﹣4．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令，第8页（共15页）∴=f（t），f′（t）==，当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：﹣4．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件．故选：A．14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：第9页（共15页）∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1D．【解答】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，第10页（共15页）由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn﹣1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程fn（x）=x的根的个数为（）A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个【解答】解：当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；当x∈（，1]时，f1（x）=f（x）=2﹣2x=x，解得x=，∴f的1阶根的个数是2．当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；当x∈（，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x，解得x=；当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x，解得x=；当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x，解得x=．∴f的2阶根的个数是22．依此类推∴f的n阶根的个数是2n．故选C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）第11页（共15页）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）∵A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，∴S正方体ABCD=AB×BC=3×3=9，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积V==．（2）∵A1B∥D1C，∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），∵B1D1==3，B1C=D1C==5，∴cos∠D1CB1===，∴∠D1CB1=arccos．∴异面直线A1B与B1C所成角为．18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；第12页（共15页）（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），由已知可得：，即，解得或．∴z=1+i或z=﹣1﹣i；（2）当z=1+i时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面积S=×2×1=1；当z=﹣1﹣i时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面积S=×2×1=1．∴△ABC的面积为1．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．【解答】解：（1）∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴；（2）∵∴．第13页（共15页）∵θ∈（0，），L′＜0，L为减函数；θ∈（，），L′＞0，L为增函数；∴θ=时，L取最小值4，该最小值表示：超过则无法通过．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g（a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】证明：（1）∵函数f（x）=2x+2﹣x的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）是偶函数；解：（2）令t=f（x）=2x+2﹣x．则t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2y=22x+2﹣2x﹣2af（x）=t2﹣2at﹣2，当a≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a，无最大值；此时函数的值域为[2﹣4a，+∞），a＞2时，当t=a时，函数取最小值﹣a2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a2﹣2，+∞）；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m（2x+2﹣x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m≤=1﹣=1﹣在x∈（0，+∞）时恒成立当x=1时，2﹣x=，此时（2﹣x）2﹣2﹣x+1取最小值，故取最大值，第14页（共15页）故1﹣取最小值﹣故．21．（18分）已知数列{an}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，且满足，试确定b1的值，使得数列{bn}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{cn}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{cn}．【解答】解：（1），则﹣=4，n∈N*∴数列{}是以1为首项，以4为公差的等差数列，则=1+4（n﹣1）=4n﹣3，∴，∴数列{an}的通项公式；（2）由（1）可得，∵，∴（4n﹣3）Sn+1=（4n+1）Sn+16n2﹣8n﹣3，∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，首项为S1，公差为1．∴=b1+n﹣1，∴Sn=（b1+n﹣1）（4n﹣3），当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=（b1+n﹣1）（4n﹣3）﹣（b1+n﹣2）（4n﹣7），化为bn=4b1+8n﹣11，若数列{bn}为等差数列，则上式对于n=1时也成立，第15页（共15页）∴b1=4b1﹣3，解得b1=1．∴bn=8n﹣7为等差数列．∴b1=1，数列{bn}为等差数列；（3）证明：由（1）可得=4n﹣3．解法1：令等比数列{cn}的公比q=4m（m∈N*），则cn=c1qn﹣1=5×4m（n﹣1），设k=m（n﹣1），因为1+4+42+…+4k﹣1=，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{cn}有无数个．…（16分）解法2：设c2=4k2﹣3（k2≥3），所以公比q=．因为等比数列{bn}的各项为整数，所以q为整数，取k2=5m+2（m∈N*），则q=4m+1，故cn=5•（4m+1）n﹣1，由4kn﹣3=5•（4m+1）n﹣1得，kn=[5（4m+1）n﹣1+3]（n∈N*），而当n≥2时，kn﹣kn﹣1=[（4m+1）n﹣1﹣（4m+1）n﹣2]=5m（4m+1）n﹣2，即kn=kn﹣1+5m（4m+1）n﹣2，…（14分）又因为k1=2，5m（4m+1）n﹣2都是正整数，所以kn也都是正整数，所以数列{cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{cn}有无数个．…（16分）