专题05 利用导数证明函数不等式（二）-2020高考数学尖子生辅导专题（公众号：卷洞洞）

专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题五利用导数证明函数不等式（二）本专题 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 了利用导数证明含有两个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力．模块1整理方法提升能力对于两个未知数的函数不等式问题，其关键在于将两个未知数化归为一个未知数，常见的证明方法有以下4种：方法1：利用换元法，化归为一个未知数方法2：利用未知数之间的关系消元，化归为一个未知数方法3：分离未知数后构造函数，利用函数的单调性证明方法4：利用主元法，构造函数证明对数平均值不等式链我们将两个正数a和b的对数平均值定义为：,,lnln,ababLababaab，对数平均值不等式链为：222,1122abababLabab．对数平均值不等式链的指数形式为：2222eeeeeee1122eeabababababab，其中ab．例1已知函数1lnfxxaxx．（1）讨论fx的单调性；（免费资料公众号中学生上分）（2）若fx存在两个极值点1x，2x，证明：12122fxfxaxx．【解析】（1）定义域为0,，222111axaxfxxxx．①若0a，则0fx，fx在0,上递减．专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2②若240a，即02a时，0fx，fx在0,上递减．③若240a，即2a时，由0fx，可得224422aaaax，由0fx，可得2402aax或242aax，所以fx在240,2aa，24,2aa上递减，在2244,22aaaa上递增．综上所述，当2a时，fx在0,上递减；当2a时，fx在240,2aa，24,2aa上递减，在2244,22aaaa上递增．【证明】（2）法1：由（1）知，fx存在两个极值点，则2a．因为1x，2x是fx的两个极值点，所以1x，2x满足210xax，所以12xxa，121xx，不妨设1201xx．11221212121211lnlnxaxxaxfxfxxxxxxx21121212121212121212lnlnlnlnlnln112xxxxaxxaxxaxxxxxxxxxxxx，于是121212212121222lnlnlnln2ln222111fxfxaxxxxxaaxxxxxxxx22212ln0xxx．构造函数12lngxxxx，1x，由（1）知，gx在1,上递减，所以10gxg，不等式获证．法2：由（1）知，fx存在两个极值点，则2a．因为1x，2x是fx的两个极值点，所以1x，2x满足210xax，不妨设1201xx，则2214xxa，121xx．专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！311221212121211lnlnxaxxaxfxfxxxxxxx22111122122221212124lnlnln14124aaxxxxaxxaaxxxxaaxxxxxxa，于是22212222124ln44222ln444aaafxfxaaaaaaaxxaaa22222444ln4ln222aaaaaa．设242at，则244at，构造函数2ln1tttt，0t，则2222112111011tttttt，所以t在0,上递增，于是00t，命题获证．法3：仿照法1，可得12121212lnln21fxfxxxaxxxx，因为121xx，所以1212121121212122211212lnlnlnln11lnlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，令120,1xtx，构造函数12lnhtttt，由（1）知，ht在0,1上递减，所以10hth，不等式获证．【点评】1x、2x和a之间的关系为12xxa，121xx，我们可以利用其关系式对不等式进行消元，化归为只含有一个未知数的不等式．法1消去1x和a留下2x，法2消去1x和2x留下a，由于所证的不等式等价于1212lnln1xxxx，该不等式不含a，因此法1比法2简单．由等价的不等式1212lnln1xxxx，容易联想到对数平均值不等式121212lnlnxxxxxx，将专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4不等式进一步改造后，通过换元化归为只含一个未知数的不等式．例2已知函数exfx，xR．（1）设0x，讨论曲线yfx与曲线2ymx（0m）公共点的个数；（2）设ab，比较2fafb与fbfaba的大小，并说明理由．【解析】（1）exy与2ymx的公共点的个数等价于2exyx与ym的公共点的个数．令2exhxx，则3e2xxhxx，由0hx可得02x，由0hx可得2x，所以hx在0,2上递减，在2,上递增，所以hx在0,上的最小值为2e24h=．当0x时，hx，当x时，hx．当2e04m时，2exyx与ym没有公共点，即exy与2ymx没有公共点；当2e4m时，2exyx与ym有一个公共点，即exy与2ymx有一个公共点；当2e4m时，2exyx与ym有两个公共点，即exy与2ymx有两个公共点．（2）结论：2fafbfbfaba，证明如下．法1：eeeeee222eeabbababafafbfbfabababae12e1bababa．令xba，则0x，即证e12e1xxx．构造函数e12e1xxxx，则222e112e02e12e1xxxxx=，所以x在0,上递增，于是00x．命题获证．法2：eeeeee222eeabbababafafbfbfabababae12e1bababa．令xba，则0x，即证e12e1xxx，该不等式等价于22exxx．构造函数22exhxxx，则11exhxx，令gxhx，则e0xgxx，专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5于是gx在0,上递增，所以00gxg，即0hx，所以hx在0,上递增，于是00hxh．命题获证．法3：eeee22abbafafbfbfababa．令eam，ebn，则mn，且不等式1lnln2ln22lnln1nnmnmnmnmnmnnmnmmm，令ntm，1t，则不等式21ln1ttt，这是与lnx有关的常用不等式，命题获证．【点评】第（2）小问的不等式含有两个未知数a、b，其解题思路主要是利用换元法将两个未知数a、b化归为一个未知数，常见的换元手法有xab，xab，xab，axb．所证不等式为eeee2abbaba，这是对数平均值不等式的指数形式，法3通过换元将其转化为对数平均值不等式再进行证明．例3已知函数21ln1fxaxax．（1）讨论函数fx的单调性；（2）设1a，如果对任意12,0,xx，12124fxfxxx，求a的取值范围．【解析】（1）fx的定义域为0,．21212aaxafxaxxx．当0a时，0fx，所以fx在0,上递增；当1a时，0fx，所以fx在0,上递减；当10a时，由0fx可得102axa，由0fx可得12axa，所以fx在10,2aa上递增，在1,2aa上递减．（2）不妨设12xx，因为1a，所以由（1）可知fx在0,上递减，于是12fxfx，于是对任意12,0,xx，12124fxfxxx等价于对任意12,0,xx，21124fxfxxx．专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6法1：（分离未知数后构造函数）21122211444fxfxxxfxxfxx．构造函数4gxfxx，则只需证明gx在0,上是减函数．2214axagxx，要使gx在0,上是减函数，则22140axax在0,上恒成立，所以24121xax．令24121xhxx，则2222242141442112121xxxxxhxxx，由0hx可得12x，由0hx可得102x．所以hx在10,2上递减，在1,2上递增，所以当12x时，hx有最小值2，于是a的取值范围是,2．法2：（主元法）由21124fxfxxx可得222211121ln1ln4axaxaxaxxx，以2x为主元构造函数221111ln41ln4Fxaxaxxaxaxx（10xx），则124aFxaxx2241axxax．令2241Gxaxxa，则Gx是开口方向向下，对称轴为1xa的抛物线，其812aa．①若2a，则0，此时0Gx，即0Fx，所以Fx在10,x上递减，于是10FxFx，即21124fxfxxx．②若21a，则0，此时0Gx有两个根，不妨设为m、n，且mn．由0Fx可得mxn，由0Fx可得0xm或xn．因为2x是任意的，不妨设2mxn，于是Fx在0,m上递减，在2,mx上递增，于是在2,mx上，有10FxFx，即21124fxfxxx不成立．综上所述，a的取值范围是,2．【点评】得到二元不等式21124fxfxxx后，有三种方法解决，一是分离未知数后构造函数，进而利用函数的单调性进行证明，二是利用换元法，把二元化归为一元，三是把其中一个元看成主元，进而再求导，法1是分离未知数后构造函数法，法2是主元法．专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7例4已知函数22e1xfxxax有两个零点．（1）求a的取值范围；（2）设1x、2x是fx的两个零点，证明：122xx．【解析】（1）法1：22e01xxfxax，于是fx有两个零点等价于ya与22e1xxgxx有两个交点．因为23e451xxxgxx，由0gx可得1x，由0gx可得1x，于是gx在,1上递增，在1,上递减．当x时，0gx；当1x时，gx；当1x时，gx；当x时，gx．于是当0a时，ya与gx有两个交点，所以a的取值范围是0,．法2：1e211e2xxfxxaxxa．①当0a时，2exfxx，只有1个零点．②当0a时，e20xa，由0fx可得1x，由0fx可得1x，所以fx在,1上递减，在1,上递增．1e0f，20fa，当x时，21ax，2e0xx，所以fx，所以fx有两个零点．③当0a时，由0fx可得1x或ln2xa．（i）当e2a时，ln21a，由0fx可得1x或ln2xa，由0fx可得1ln2xa，所以fx在,1、ln2,a上递增，在1,ln2a上递减．因为1e0f，所以fx没有两个零点．专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8（ii）当e2a时，ln21a，所以0fx恒成立，即fx在R上递增，所以fx没有两个零点．（iii）当e2a时，ln21a，由0fx可得ln2xa或1x，由0fx可得ln21ax，所以fx在,ln2a、1,上递增，在ln2,1a上递减．当1x时，0fx，所以fx没有两个零点．综上所述，a的取值范围是0,．【证明】（2）法1：（极值点偏移）构造函数2222ee211xxxxGxgxgxxx222ee1xxxxx（1x），令22eexxxxx，则21eexxxx，因为1x，所以10x，2xx，2ee0xx，所以0x，于是x在,1上递增，于是10x，于是20Gxgxgx，即2gxgx．不妨设12xx，由（1）可知1,1x，21,2x，于是112gxgx，而12gxgx，所以212gxgx．因为121,x，且gx在1,上递减，所以212xx，即122xx．法2：（极值点偏移）构造函数222eexxFxfxfxxx（1x），则21eexxFxx，因为1x，所以10x，2xx，2ee0xx，所以0Fx，于是Fx在,1上递增，于是10FxF，于是2fxfx．不妨设12xx，由（1）可知1,1x，21,2x，于是112fxfx，而12fxfx，所以212fxfx．因为121,x，且fx在1,上递增，所以212xx，即122xx．（免费资料微信搜：中学生上分）【点评】对于函数yfx在区间,ab内只有一个极值点0x，方程0fx的解分别专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9为1x、2x，即12fxfx，且12axxb，很多极值函数由于极值点左右的“增减速度”不同，函数图象不具有对称性，常常有极值点1202xxx的情况，出现了“极值点偏移”．对于极值点偏移问题，解题可沿循着如下处理策略：①构造一元差函数02Fxfxfxx；②对差函数Fx求导，判断函数符号，确定Fx的单调性；③结合00Fx，判断Fx的符号，从而确定fx、02fxx的大小关系；④由12fxfx（或）022fxx，结合fx的单调性得到1x（或）022xx，从而122xx（或）0x．模块2练习巩固整合提升练习1：已知函数lnfxaxxx的图象在点ex（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若kZ，且1fxkx对任意1x恒成立，求k的最大值；（3）当4nm时，证明：mnnmmnnm．【解析】（1）因为lnfxaxxx，所以ln1fxax，所以e3f，即lne13a，所以1a．（2）由（1）知，lnfxxxx，所以1fxkx对任意1x恒成立，即ln1xxxkx对任意1x恒成立．当2x时，有22ln23.3821k，猜想k的最大值为3，下面进行证明．ln3331ln23lnln201xxxxxxxxxxxxx，令3ln2gxxx，则22133xgxxxx，由0gx可得3x，由0gx可得13x，所以gx在1,3上递减，在3,上递增，所以min3ln310gxg，命题获证，整数k的最大值是3．专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10【证明】（3）lnlnlnlnlnlnmnnmmnmmnnmnmmnnmnnmnmmnnmmnlnlnlnlnmnnmmmnmnn．法1：（分离未知数后构造函数）lnlnlnlnmnnmmmnmnnlnln1ln1ln11nnmmnmnmnmnm．构造函数ln1xxkxx，4x，则221ln1ln1ln11xxxxxxkxxx，令11lnkxxx，则111kxx，因为4x，所以10kx在4,上恒成立，即1kx在4,上递增，而143ln40k，于是0kx在4,上恒成立，所以kx在4,上递增．而4nm，所以lnln11nnmmnm，不等式获证．法2：（主元法）以n为主元构造函数lnlnlnlnfxmxxmmmxmxx，则1ln1lnfxmxmmm．因为4xm，所以1ln1ln1ln0fxmmmmmmm，所以函数fx在,m上递增．因为nm，所以fnfm，所以lnlnlnlnmnnmmmnmnn22lnlnlnln0mmmmmmmm，即lnlnlnlnmnnmmmnmnn，不等式获证．练习2：已知函数ln1fxxx，lngxxx．（1）求函数fx的最大值；（2）设0ab，证明：02ln22abgagbgba．【解析】（1）函数fx的定义域为1,．111fxx，由0fx可得10x，由0fx可得0x，于是fx在1,0上递增，在0,上递减，于是当0x时，fx有最大值，且最大值为00f．【证明】（2）以b为主元构造函数．设()22axFxgagxg，其中,xa，则专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！112lnln22axaxFxgxgx．因为xa，所以0Fx，因此Fx在,a上为增函数．而ba，所以0FbFa，即()202abgagbg．设ln2GxFxxa，其中,xa，则lnlnln2lnln2axGxxxax．当xa时，0Gx，因此Gx在,a上为减函数，而ba，所以0GbGa，即2ln22abgagbgba．综上所述，02ln22abgagbgba．练习3：设aR，函数lnfxxax有两个零点1x、2x，且120xx．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：212exx．【解析】（1）ln0xfxax，所以0fx有两个零点ya与lnxgxx有两个交点．21lnxgxx，由0gx可得0ex，由0gx可得ex，所以gx在0,e上递增，在e,+上递减．又因为当0x时，gx；当x时，0gx；1eeg，所以实数a的取值范围为10,e．【证明】（2）法1：（化二元为一元）依题意，有11ln0xax，22ln0xax，于是1212lnlnxxaxx，1212lnlnxxaxx，所以12121212lnlnlnlnxxxxxxxx．12121221212121212lnln2elnln22lnlnxxxxxxxxxxxxxxxx12112221ln1xxxxxx，令120,1xtx，则上式等价于21ln1ttt，这是与lnx有关的常用专题五利用导数证明函数不等式（二）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12不等式，证明如下：构造21ln1thttt，01t，则222114011thttttt，于是ht在0,1上递增，于是10hth，命题获证．法2：（化二元为一元）依题意，有1212lnlnxxxx，即1122lnlnxxxx，设1122ln0,1lnxxtxx，则1222lnlnlnlnlnxtxtxtx，于是2lnln1txt，因此21212elnln2xxxx221ln21lnln22ln11ttttxxttt，下同法1．法3：（极值点偏移）21212elnln2xxxx，令11lntx，22lntx，则1t、2t是函数etgtta的两个零点，且120tt，该问题不是极值点偏移问题，因为gt的极值点不是1，需要把etgtta改为ettkta，问题才转化为极值点偏移问题．1ettkt，由0kt可得1t，由0kt可得1t，所以kt在,1上递增，在1,上递减，于是1201tt．构造函数222e2e22eeettttttttKtktkt（01t），则221ee0etttKt，于是Kt在0,1上递增，于是10KtK，即2ktkt，于是112ktkt，而12ktkt，所以212ktkt．因为21t，121t，且kt在1,上递减，所以212tt，即122tt，命题获证．