不同借贷利率下投资组合有效前沿的推导

不同借贷利率下投资组合有效前沿的推导 不同借贷利率下投资组合有效前沿的推导 《经济师))2006年第3期?金融研究 摘要:文章运用一种几何方法推导出了 不同借贷利率下投资组合有效前沿的方程.我 们首先把Markowitz模型的有效前沿用投资组 合的权重向量表示出来,然后将不同借贷利率 下的资本市场线(CML)也用投资组合的权重向 量表示出来.接着根据CML的定义在 Markowitz模型的有效前沿上分别求出不同借 贷利率下资本市场线与Markowitz模型有效前 沿的切点,同时也得到了不同借贷利率下 不同借贷利率下投资 组合有效前沿的推导 的斜率.这样就推出了不同借贷利率下投资组 合的有效前沿. 关键词:投资组合有效前沿资本市场线 中田分类号:F830.5文献标识码:A 文章编号:1004491412006}03—251—02 一 ,引言 20世纪50--60年代.美国的华尔街发生了两次数学革命,数学规 划和随机方程等数学工具和方法在金融实践中得到了很大的应用. 1952年,Harry.M.Markowltz发表了着名的 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 "PortfolioSelection".标 志着华尔街第一次数学革命的开始.该文章提出的均值一方差分析首 次定量地分析了投资组合中风险与收益之间的内在关系.使得人们可 以系统地描述和解决投资组合的最优化问题.Markowltz模型指明了 投资者应该如何去行动,这一行动需要解决如下问题:(1)证券的价格 行为;(2)投资者期望的风险一回报率关系的类型;(3)衡量证券风险的 适当方法.1964—1966年.Sharp,Lintner和Mcx~sin分别独立地发现了 资本资产定价模型(CAPM),这是一个一般均衡模型,它试图为这些问 题提供更加明确的答案. CAPM不仅使人们提高了对市场行为的理解,而且还提供了实践 上的便利.同时也为评估风险调整中的业绩提供了一种实用的方法. 然而.CAPM假定投资者可以无限制地以同样的无风险利率借入和贷 出.这在现实的市场运作中是不可能的.金融中介机构在贷出资金时 的利率会比借入时高,这样投资者的利差中包括了自身的边际利润和 对信用风险的补偿收益,因此借入资金需要支付比贷出资金更高的利 率.所以探讨不同利率下的投资组合问题在金融理论和实践活动中都 具有实际意义. 二,Markowitz模型的有效前沿 投资组合的构建就是选择纳入投资组合的证券并确定其适当的权 重.即各证券所占该投资组合的比例.Markowitz模型表明,构建投资 组合的合理目标应该是在给定风险水平下形成一个具有最高回报率的 投资组合.或者是在给定回报率水平下形成一?个具有最小风险的投资 组合.具有这种特征的投资组合就叫做有效投资组合.它们位于下列 模型的解集中. fnfinXEX (1)rno.KE(rv)=XTR … rl =1 1l 其中R:[RI.?.…R.R.E(ri)是第i种资产的预期回报率,x = [xl.x2.…)【I1]是投资组合权重向量.三=[ii]一是n种资产问的协方 差矩阵.Rv=E(rp)和ap=Vat(rp)分别是投资组合的回报率期望和方 差.a为回报率的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差.表示投资组合的回报率rD偏离E()的幅 度.被Markowitz用于度量投资组合的风险. 我们知道.模型(I)的解集合在一R空问中是图1中的抛物线 AB,被称为投资组合的有效前沿. 圈1有效前沿圈2资本市场线 设n种证券组合的权重是x一,l,(=1xl…-x一.),则投 资组合的预期收益率R方羞罐分别为:R=xIRI+x2R2+…xlRI +(1一xI一…Xn1)R(1.1) ?孙建辉吴健 罐=占Il+建占22+…十xl8ii+(1一Xl一…Xn—1)8m +2xlx2812+…2xlx一l占I一I+2xI(1Xl一…一)【Il1)占Il1+…+ 2x一l(1一X1一…一x一1)8一I.(1.2) o誓.---001o00111一…11l…0IQ=_..?…w……lI…0lL一一…一1TJIXI lx2 W=l… lxn L1 则(1,2)在点(xl,X2.….X一1)处的法向量可简化为(PIEQW. PzEQWr.…,PEQW,…,PlEQWT) 由临界线定义.可得临界线方程为 — PlEQ— Wr:— P2EQ— WT :.一— PkEQ— WT :…:— P.,E— QWT(13) Rl—RR2一RRk—RR一I—R… 由式(1.3)可得到n2个方程构成的线形方程组 fallxI+x2+…+al,n-?Xn-Itla2Ixla22x2+'?a2 ,n-,xn-'(1. 4)la … n- … 2. … 1XI … a … n- … 2:+…+. .一.=一 其=一 O"in—O'rm. dn—I.t1一d RR —b nl—n' (i=1.2,…,n一2.j=1,2,….n1) 三,不同借贷利率下的资本市场线(cML)及投资组合的有效前沿 在CAPM的理论里,决定有效组合风险与收益关系是一件简单的 事情.图2以图形的方式描述了它.rf代表无风险利率,有效组合在从 rf出发与原Markowitz模型有效前沿相切的直线上.(下转第253页) ---—— 251_.—— 《经济师》2o06年第3期?新人新作 (上接第251页)这条直线就是大家所知的资本市场线(CML),它的方程 n 是:RP=rf+KMrfR(2. 1) RM和分别是切点M的回报率期望与标准差. 我们将(2.1)式改写为如下形式:RP=rf+k8.(22) 下面我们来讨论不同借贷利率下的资本市场线.假设投资者的借 人利率为rfI,贷出利率为r.rf1>r 则不同借贷利率下的资本市场线分别是图3中的CML1和CML2, 它们的方程分别是:RP=rfl十kl6(2.3) Rp=rf2+k2a.(2.4) 因此,要求出不同借贷利率下的资本市场线.我们只需求出它们的 斜率k.和k2即可.将(2.3)转化为如下形式: = 1(衅一2RIrfI+'1)(2.5) 标准差 圈3 将模型(I)中的R=X'rR和=XEX代入(2.5).就得到: xEX[扁f1xrR+(x_rR)](2.6) 因为线性方程组(1.4)的秩是I3—2.所以它的基础解系的个数是1, 即x2?x3…xn—I都可由Xl表示.由于三I)【i1t因此Xnl乜可由Xl表示. 将xl,x2,x3…,xn代入(2.6)式,就得到关于xl的一元二沃方程,因为点 Ml是切点,所以x1只有一个根.由求根公式,就可求出k,和X.然后就 得到x2.X3,…x的值,这就得到点Ml处的权重了,同时也由k,的值得 到CML】方程.再由下面两式: Rp=XTR(27) 蹄=XEX(2l8) 我们就分别得到切点M,的回报率期望和方差R,. 同样地,由方程(2.4)可得kz,CML2方程及切点M2的回报率期望 和方差RM2,d. 得到不同借贷利率下的资本市场线CML1和CML2后,我们就能确 定不同借贷利率下投资组合的有效前沿,它就是图3中的实线 CM2MlF,这是由两条直线(CML2和CML1)和一段弧线(M2M1)组成的 折线.这时,投资者有三种可供投资选择的期望回报率:(1)当投资者的 期望回报率低于Rva时.他就贷出无风险资产和投资于风险资产;(2)当 投资者的期望回报率介于R和R-之间时,他就仅投资于风险资产; (3)当投资者的期望回报率高于R.时.他就借入无风险资产并投资于 风险资产. 四,结束语 本文尝试了一种方法去解决不同借贷利率下投资组合的有效前沿 问题.同时也给出了求不同借贷利率下资本市场线(CML)的一种方法. 这对投资组合理论的发展及其在实践中的具体应用都有重大意义. 参考文献: 1.黄奇辅,李兹森伯格着.宋逢明译.金融经济学基础清华大学出 版社 2.史树中.金融经济学十讲.上海人民出版社 3.[关]滋雏-博迪.亚历克斯-凯恩,爻伦-J-马科斯.投资学机械工 业出版杜 (作者系暨南大学2004级金融学硕士研究生广东广州510632) (责鳊:贾伟) ---—— 253