函数零点问题思维模式函数零点问题综述

函数零点问题思维模式函数零点问题综述函数零点问题思维模式函数零点问题综述函数零点问题思维模式方程的实根称为函数的零点，也即函数的图象与x轴交点的横坐标．这一新课标新增内容的概念，不仅要求学生具有方程与函数间转换的意识，而且展现了数形结合的思想方法，目前已成为高考命题的一个新亮点．本文按函数类型综述于后，试图探索出求解函数零点问题的一般思维模式． 1 二次函数零点的存在性及其符号问题，可转化为相应的二次方程问题，进而用判别式与韦达定理处之；若要求二次函数的零点都在某区间内、两零点都大（小）于某数、一个零点小于某数另一个零点大于该数、在...

函数零点问题思维模式函数零点问题综述函数零点问题思维模式方程的实根称为函数的零点，也即函数的图象与x轴交点的横坐标．这一新课标新增内容的概念，不仅要求学生具有方程与函数间转换的意识，而且展现了数形结合的思想方法，目前已成为高考命题的一个新亮点．本文按函数类型综述于后，试图探索出求解函数零点问题的一般思维模式． 1 二次函数零点的存在性及其符号问题，可转化为相应的二次方程问题，进而用判别式与韦达定理处之；若要求二次函数的零点都在某区间内、两零点都大（小）于某数、一个零点小于某数另一个零点大于该数、在某区间内恰有一个零点，则可借助于二次函数的图象探索出相应的充要条件；当二次函数的零点问题用二次方程与二次函数探求繁难时，可尝试对方程进行代数变形（如参数分离、换元等），构造出新的不含参数的函数，进而利用该函数的单调性或值域等知识常使问题获得简解． 1 2007 已知2a是实数，函数f（x）＝2ax＋2x－3－a，如果函数y＝f（x）在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．利用二次函数与二次方程相关知识解该题时（可参见标准答案），均需进行繁杂的讨论； 22而参数分离后构作新的函数则不然．事实上，由f（x）＝0得，（2x－1）a＝3－2x，因为x＝?不2 3－2x是方程的解，所以原方程同解于a＝． 22x－1 3－2x2构造函数g（x）＝（－1?x?1，x??），下求该函数的值域． 22x2－1 3－tt22t令3－2x＝t，则1?t?5，t?3?2，且x＝，故y＝g（x）＝＝，＝223－t7－6t＋7t22()－6 t＋－12t 3＋73＋77?27?t?8，?y?1或y?－，即函数g（x）的值域为（－?，－]?[1，＋?），＋22t 3＋7从而a的取值范围是（－?，－]?[1，＋?）． 2 由函数的概念知，方程f（x）＝a有解的充要条件是参数a在函数f（x）的值域内取值．本题还可用导数方法求值域． 2 借助于三次函数的性质可知，当三次函数不存在极值或极大值小于零或极小值大于零时，三次函数有唯一零点；当三次函数的极大值等于零或极小值等于零时，三次函数有二个零点；当三次函数的极大值大于零且极小值小于零时，三次函数有三个零点．第 1 页共 3 页 2 2007() 3已知a>0，且过点A（a，b）可作曲线C：y ＝ f（x）＝ x – x的三条切线，求证：－a < b < f（a）．三条切线即有三个切点，故问题可转化为关于切点横坐标的方程有三个解． 3－t－bf（t）－bt2为此，设切点为B（t，f（t）），则切线斜率k＝f ′（t）＝3t，－1，又k＝k＝＝ABt－at－a 3－t－bt232故3t，即2t－1＝－3at＋a＋b＝0． t－a 32构造函数g（t）＝2t－3at＋a＋b，下求其极值便可． 2g′(t)＝6t－6at＝6t（t－a），由g′(t)＝0，得t＝0或t＝a，当t<0或t>a时，g′(t)>0，g（t）是增函数；当00且g（a）＝－f（a）＋b<0，即－a < b < f（a）．数学家笛卡尔曾想把世间所有问题化归为数学问题，进而转化为方程问题，他的努力虽然“失败” 了，但却创立了解析几何．这一历史案例表明，大量的数学问题可转化为方程或函数零点问题，是 x3无可非议．下面的问题便如此，读者不妨试之：（1）已知函数f（x）＝e（x＋a）有三个极值点， x2试求a的取值范围（答：所求取值范围是（－4，0））；（2）函数f（x）＝e（x－2ax）在区间（―2，―13）上不是单调函数（或存在连线斜率为0的两点），求实数a的取值范围（答：a<－或a>0）． 243 一方面，可考虑转化为二、三次函数的零点问题；另一方面，可考虑利用研究二、三次函数零点问题展现出的数学思想方法，即在函数与方程的相互转换中寻找捷径． 3 2007 已知c?0，函数f（x）＝－cx232＋cx，g（x）＝x－cx＋cx，如果函数y＝f（x）与函数y＝g（f（x））有相同的零点，试求实数c的取值范围． 2 易见y＝f（x）的零点为x＝0，x＝1；由g（f（x））＝0得，f（x）＝0或f （x）－c f（x）12 ＋c＝0（*）．因x＝0，x＝1均不是（*）方程的解，故“函数y＝f（x）与函数y＝g（f（x））有相12 同的零点”的充要条件是“（*）方程无实根”． 1432若将（*）方程左边展开并分离参数，得x－2x＋2x－x＋＝0，则需用导数方法求函数h（x）c 1432322＝x－2x＋2x－x＋的值域．事实上，h′（x）＝4x－6x＋4x－1＝（2x－1）（2x－2x＋1），由h′c 111（x）＝0，得x＝，当x<时，h′（x）<0，h（x）为减函数；当x>时，h′（x）>0，h（x）为增222 第 2 页共 3 页 1313131函数；故h（x）＝ h（）＝＋，即h（x）的值域为[＋，＋?），从而由0?[＋，＋?），min2161616ccc 16得c的取值范围是（0，）． 3 1122若令t＝x－x?[－，＋?），则（*）方程可化为t＋t＋＝0 （**）． 4c 1这时，从方程角度思考，需（**）方程无实根或两根均小于－，求解过程从略；而从函数角度4 1131312思考，只需求出函数r（x）＝ t＋t＋在[－，＋?）上的值域[－＋，＋?），便知－＋>0,41616ccc 16从而所求的范围是（0，）． 3 可见，在函数零点的探讨中，不仅要动用多种知识与工具，还对思维的灵活性与创新性提出了较高的要求． 4 2008 试就a的值讨论函数f（x）＝x2－2alnx图象与函数g（x）＝2ax图象公共点的个数．因题中方程难以求解，故首先应将方程问题化归为函数零点问题，由方程f（x）＝ g（x） x＋lnx1实施参数分离，得＝（a?0）． 2x2a x＋lnx1－x－2lnx其次，构造函数h（x）＝，并研究其性质：h′（x）＝，由函数y＝1－x与函23xx 数y＝2lnx的图象知（图略），当00；当x＝1时，h′（x）＝0；当x>1时，h′（x）<0，故h（x）＝h（1）＝1． max 最后，尚需研究函数h（x）的取值情况：?lim h（x）＝0，lim h（x）＝－?，?当0时，有2个公共点；当>1即0

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