浅析高考中的函数零点问题
新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。
根据函数零点的定义:对于函数，把使成立的实数叫做函数y,f(x)(x,D)f(x),0x
的零点。即:方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标y,f(x)(x,D)f(x),0y,f(x),x,函数有零点。围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要?函数的零点的分布;?y,f(x)
函数的零点的个数问题;?利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析:
类型一:函数零点的分布
1 例1: (09天津)设函数则 yfx,()fxxxx()ln(0),,,,3
11A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。 (,1),(1,)e(,1),(1,)eee
1C在区间内有零点，在区间内无零点。 (1,)e(,1)e
1D在区间内无零点，在区间内有零点。 (1,)e(,1)e
解析:解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理:如果函数在区间上的图象y,f(x)[a,b]是连续不断的一条曲线，并且有，，，，，那么函数在区间内有零点。既存在y,f(x)(a,b)fa.fb,0
，使得，这个也就是方程的根。 c,(a,b)f(c),0c
1e11由题得，，1,e，，fx，，f(1),,fe,,1,0,f(),，1,0又33e3e，所以在
11x,3f`(x),,,，令f`(x),0得;令f`(x),0得;，故知函数f(x)在区间x,30,x,33x3x
1,,(0,3)上为减函数，在区间(3,，,)为增函数，所以y,f(x)在区间,1内无零点，故选择D。,,e,,
9fx,lgx,变式:函数，，的零点所在的大致区间是( ) x
，，，，，，，，A B C D 1,22,55,1010,，,
99由零点的存在性定理:我们只需求得，，，，，，，，，f1,,9,0f2,lg2,,0f5,lg5,,025
99，故选C. ，，f10,lg10,,1,,01010
类型二:函数零点的个数
x例2:(2009山东)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .,
解析:根据函数的零点与方程的根、函数图像三者之间的关系:方程的实数根函数f(x),0,
的图象与轴交点的横坐标函数的零点。我们可将上述函数的零点转换成两个函数y,f(x)y,f(x)x,
的图像的交点个数问题。即:
x,由图象可知当时,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线yaa,,(1)yxa,，0,a,1a,1
所过的点(0，a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是. {a|a,1}
我们可将方法简单总结如下:
1、构造函数(依据:构造的两个函数我们能准确的做出它的图像)
xx设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a,1)有两个零点, 就是a,1}yaa,,(0,yxa,，
x函数且与函数有两个交点 a,1}yaa,,(0,yxa,，
2、通过图像描绘题意: y
y
1
1
x 0
x 0
3、依图得条件——将形转化成数
x当时(如图1), 两函数只有一个交点,不符合;当时(如图2),因为函数yaa,,(1)0,a,1a,1
的图象过点
(0,1),而直线所过的点(0，a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的yxa,，
取值范围是. {a|a,1}
,x2变式:(08湖北卷13)方程的实数解的个数为 . 23，,x
1x2解析:由上述方法我们可将方程转化成的解的个数， (),,x，32
x1,,2令从而将原题转化成函数的交点个数，如图所示: ，，，，fx,,gx,,x，3，，，，y,fx,y,gx,,2,,
y 由图可知， 3
原方程有2个解。
1
0 x
类型三:两个函数图像的交点
3例3:(2009陕西卷节选)已知函数，若在处取得极值，直线fx()fxxaxa()31,0,,,,x,,1
的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。 y=m与yfx,()
解析:因为在处取得极大值， fx()x,,1
'2所以 faa(1)3(1)30,1.,,，,,,？,
3所以 ，，fx,x,3x,1
3令 ，，，，hx,fx,m,x,3x,1,m
2',则，由解得。 ，，xx,,,1,1hx,3x,3fx()0,12
,则的变化如下表: ，，，，x,hx,hx
，，(,1,1)1,，, x，，,,,,1,1 1
,，，hx+ 0 - 0 +
，，hx单增 极大值 单减 极小值 单增
y 当时，，，;当时，，， fx,,,fx,，,x,,,x,，,
-1 1 0 x
由上表可作出函数的草图:
由图像知，若直线y=m与的图象有三个不同的交点 yfx,()
h,1,3,2,m,0，，,则:解得: ,3,m,1,，，h1,,3,m,0,
变式:(1)若有两个交点呢, y
-1 1 0 x
h,1,1,m,0h,1,1,m,0，，，，,,则:或 ,,，，，，h1,,3,m,0h1,,3,m,0,,
(2)若有一个交点呢,
y h,1,3,2,m,0，，, ,，，h1,,3,m,0,-1 1 0 x
h,1,3,2,m,0，，,或 ,，，h1,,3,m,0,
因此，函数图像的交点个数问题及方程根的个数问题可转化成函数的零点问题，，，，，y,fx,y,gx
步骤如下:
1、构造函数:;2、求极值;3、作图;4、依图通过极值列条件 ，，，，，，hx,fx,gx
上述例子剖析了近三年数学高考中函数零点问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的零点是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”。
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