【高二数学】高中数学选修(人教版)椭圆公式大全（共3页）

【高二数学】高中数学选修(人教版)椭圆公式大全（共3页） 椭 圆 1. 点P处的切线PT平分?PFF在点P处的外角. 12 2. PT平分?PFF在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为12 直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 1 22xxyyxy005. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. Pxy(,)，,1P，,100002222abab 22xy6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切Pxy(,)，,11200022ab xxyy00点弦PP的直线方程是. ，,11222ab 22xy7. 椭圆 (a,b,0)的左右焦点分别为F，F，点P为椭圆上任意一点，,11 222ab ,2，则椭圆的焦点角形的面积为. ，,FPF,Sb,tan12,FPF122 22xy8. 椭圆(a,b,0)的焦半径公式: ，,122ab ,( , ). ||MFaex,，||MFaex,,Fc(,0),Fc(,0)Mxy(,)102012009. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和121 AQ交于点M，AP和AQ交于点N，则MF?NF. 221 22xy11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，,1(x,y)0022ab 2b， kk,,,OMAB2a2bx0即。 K,,AB2ay0 22xy12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是Pxy(,)，,100022ab 22xxyyxy0000. ，,，2222abab 22xy13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是Pxy(,)，,100022ab 22xxyyxy00. ，,，2222abab 推 导 22xy1. 椭圆(a,b,o)的两个顶点为,，与y轴平行的直，,1Aa(,0),Aa(,0)1222ab 22xy线交椭圆于PP时AP与AP交点的轨迹方程是. ,,1、12112222ab 22xy2. 过椭圆 (a,0, b,0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直，,1Axy(,)0022ab 2bx0线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且(常数). k,BC2ay0 22xy3. 若P为椭圆(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F, F是焦点, ，,11 222ab ac,,,, ，则. ，,PFF,，,PFF,tantco,1221ac22， 22xy4. 设椭圆(a,b,0)的两个焦点为F、F,P(异于长轴端点)为椭圆，,11222ab 上任意一点，在?PFF中，记, ,，则有，,FPF,，,PFF,，,FFP,12121212 sin,c,,. e，sinsina,, 22xy5. 若椭圆(a,b,0)的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当0，,11222ab ,e?时，可在椭圆上求一点P，使得PF是P到对应准线距离d与PF的21,12 比例中项. 22xy6. P为椭圆(a,b,0)上任一点,F,F为二焦点，A为椭圆内一定点，，,11222ab 则,当且仅当三点共线时，等号成2||||||2||aAFPAPFaAF,,，,，AFP,,2112立. 22()()xxyy,,007. 椭圆与直线有公共点的充要条件是AxByC，，,0，,122ab22222. AaBbAxByC，,，，()00 22xy8. 已知椭圆，,1(a,b,0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且22ab 2211114ab22(.1);(2)|OP|+|OQ|的最大值为;OPOQ,，,，222222ab，||||OPOQab 22ab(3)S的最小值是. ,OPQ22ab， 22xy9. 过椭圆(a,b,0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦，,122ab ||PFeMN的垂直平分线交x轴于P，则. ,||2MN 22xy 已知椭圆( a,b,0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平10.，,122ab 2222abab,,分线与x轴相交于点, 则. Px(,0),,,x00aa 22xy11. 设P点是椭圆( a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点，,11222ab 22b,2记，则(1).(2) . ，,FPF,,Sb,tan||||PFPF12,PFF1212,，21cos 22xy12. 设A、B是椭圆( a,b,0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，，,122ab , ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有，,PBA,，,BPA,，,PAB, 2222|cos|ab,2ab2(1).(2) .(3) . ,,,tantan1,,,,e||PAScot,PAB22222,,accosba, 22xy13. 已知椭圆( a,b,0)的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点EF，,1l22ab 的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经CBCx,l 过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相 应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与 焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 高中数学联赛几何定理 梅涅劳斯定理 BFAECD一直线截?ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F则。 ,,,1FAECBD BFAECD逆定理:一直线截?ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F若，,,,1FAECBD则D,E,F三点共线。 塞瓦定理 BDCEAF在?ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 =1。 ,,DCEAFB BDCEAF逆定理:在?ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果,,=1，DCEAFB那么直线AD，BE，CF相交于同一点。 托勒密定理 ABCD为任意一个圆内接四边形，则。 AB,CD，AD,BC,AC,BD 逆定理:若四边形ABCD满足，则A、B、C、D四点共AB,CD，AD,BC,AC,BD 圆 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。(此线常称为西姆松线)。西姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 相关的结果有: (1)称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 (2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 (3)若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 (4)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 斯特瓦尔特定理 222设已知?ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB?DC+AC?BD-AD?BC,BC?DC?BD。 三角形旁心 1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。 2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。 费马点 在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 (1)若三角形ABC的3个内角均小于120?，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 (2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。 判定(1)对于任意三角形?ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。费马点的计算 (2)如果三角形有一个内角大于或等于120?，这个内角的顶点就是费马点;如果3个内角均小于120?，则在三角形内部对3边张角均为120?的点，是三角形的费马点。 九点圆:三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。通常称这个圆为九点圆(nine-point circle)， 欧拉线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 几何不等式 1托勒密不等式:任意凸四边形ABCD，必有AC?BD?AB?CD+AD?BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2埃尔多斯—莫德尔不等式:设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则 x+y+z?2(p+q+r) 2223外森比克不等式:设?ABC的三边长为a、b、c,面积为S,则a+b+c?4 3S4欧拉不等式:设?ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R?2r,当且仅当?ABC为正三角形时取等号。 圆幂 假设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂; 可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0; 根轴 1在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。 2另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。 相关定理 1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线; 2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线; 3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线; 4，蒙日定理(根心定理):平面上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者互相平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心; 19.