初中数学压轴题训练

初中数学压轴 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 训练 平行四边形存在问题 21.(2010.遵义)如图，已知抛物线y=x+bx+c (a?0)的顶点坐标为Q(2，,1)，且与轴交于点C(0，y 3)，与轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动x (点P与A不重合)，过点P作PD?轴，交AC于点D( y (1)求该抛物线的 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数关系式; (2)当?ADP是直角三角形时，求点P的坐标; (3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四x 边形,若存在，求点F的坐标;若不存在，请说明理由( 2解:(1)?抛物线的顶点为Q(2，-1)?设y=a(x,2),1 222将C(0，3)代入上式，得3=a(0,2),1 ?a=1?y=(x,2),1， 即y=x,4x+3 (2)分两种情况: 2?当点P为直角顶点时,点P与点B重合(如图) 令y=0, 得x,4x+3=0 11 解之得x=1,x=3?点A在点B的右边, ?B(1,0), A(3,0)?P(1,0) 121?当点A为?APD的直角顶点是(如图) 2 ?OA=OC, ?AOC=90?, ??OAD=45? 2 当?DAP=90?时, ?OAP=45?, ?AO平分?DAP22222 又?PD?y轴, ?PD?AO, ?P、D关于x轴对称. 222222 设直线AC的函数关系式为y=kx+b 03,，kbk,,1,,将A(3,0), C(0,3)代入上式得, ??y=,x+3 ,,b,33,b,,22?D在y=,x+3上, P在y=x,4x+3上,?设D(x,,x+3), P(x,x,4x+3) 2222 22?(,x+3)+(x,4x+3)=0 x,5x+6=0, ?x=2,x=3(舍) 12 22?当x=2时, y=x,4x+3=2,4×2+3=,1 ?P的坐标为P(2,-1)(即为抛物线顶点)?P点坐标为P(1,0), P(2,-1) 2212 (3) 由题(2)知,当点P的坐标为P(1,0)时,不能构成平行四边形 1 当点P的坐标为P(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x轴于点E,交抛物线于点F. 2 当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形 2?P(2,-1), ?可令F(x,1)?x,4x+3=1解之得: x=2,2, x=2+2. 12?F点有两点,即F(2,2,1), F(2+2,1) 12 1 (,4,0)(0,,4)(2,0)2((2010河南)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点( (1)求抛物线的解析式; (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，?AMB的面积为S(求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值( (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、Oy,,x 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标( y 16a,4b，c,0,, ,2解:(1)设抛物线的解析式为～则有 c,,4,y,ax，bx，c(a,0), ,4a，2b，c,0., OACx1,a,,,21,2解得 ?抛物线的解析式为( y,x，x,4b,1,,MB2,c,,4.,, 12(m,n)(2)过点M作MD?轴于点D，设M点的坐标为( 则 AD,m，4,MD,,n,n,m，m,4.x2 111? S,S，S,S,(m，4)(,n)，(,n，4)(,m),，4，4,AMD,ABO梯形DMBO222 ,,2n,2m,8 12,,2(m，m,4),2m,82 2,,m,4m (-4,,0)( m ?S,4( 最大值 (3)满足题意的Q点的坐标有四个，分别是:(-4，4)，(4，-4)， ( (,2，25,2,25),(,2,25,2，25) 2l3.(2007年浙江省)如图，抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线与yxx,,,23 抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。 (1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值; (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形,如果存在，求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在，请说明理由。 2解:(1)令y=0，解得或?A(,1，0)B(3，0);将C点的横坐标x=2代入x,,1x,3yxx,,,2312 得y=,3，?C(2，,3)?直线AC的函数解析式是y=,x,1 2 (2)设P点的横坐标为x(,1?x?2)(注:x的范围不写不扣分) 2则P、E的坐标分别为:P(x，,x,1)，E( (,23)xxx,, 22?P点在E点的上方，PE=(2分) (1)(23)2,,,,,,,，，xxxxx 19?当时，PE的最大值= x,42 FFFF(1,0),(3,0),(47),(47),，,(3)存在4个这样的点F，分别是 1234 24.(09福建莆田)已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点yaxaxca,，，,3(0) 在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B( (1)、抛物线的解析式; (2)、点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值: (3)、点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存 在，求点P的坐标;若不存在，请说明理由( 33a解:(1)?对称轴 又?OC=3OB=3，，?C(0，,3) a,0x,,,,22a c,,3,32方法一:把B(1,0)、C(0，,3)代入得: 解得:?yaxaxc,，，3ac,,,，3,4aac，，,30, 392 yxx,，,344 3yaxx,，,(4)(1)方法二:?B(1，0)，?A(-4，0)可令 把C(0，-3)代入得: a,4 3392? yxx,，,(4)(1),，,xx3444 (2)方法一:过点D作DM?y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。 15115SSS,，? , ,，，，，,，DMANONDM()2ABCACD四边形ABCD222 3 ykxb,，?A(-4，0)，C(0，-3)设直线AC的解析式为代入求得: 3 yx,,34 3932令， Dxxx(3)，，,Mxx(3)，,,444 339322 DMxxxx,,,,，,,,，，3(3)(2)34444 当时，DM有最大值3 x,,2 27此时四边形ABCD面积有最大值。 2 方法二:过点D作DQ?y轴于Q，过点C作?x轴交抛物线于，从图象中可判断当嗲D在下方CCCCC111的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。则 311= SSSS,,，，，，，,，，,(4)(3)DQOQDQOQOBCDQC四边形梯形ABCDAOQD222 33392 令 =，，2OQDQDxxx(3)，，,2244 339332722则当x,,2时，四边形ABCD面积有最大值Sxxxx,,，,,,,，，2(3)(2)四边形ABCD244222 27。 2 (3)如图所示，讨论:?过点C作?x轴交抛物线于点，过点作?AC交x轴于点，此时CPPEPPE111111 392四边形为平行四边形，?C(0，-3)令得:?。?xx,,03，ACPECP,3xx，,,,331112144 P(33),,，1 ?平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，? 3922Px(3)，xx，,,380C(0，-3)?可令，由得: xx，,,3344 ,，341,,341,，341,341,x,x,P(3)， P(3)， 解得或，此时存在点和 322222 ,，341,341,P(3)， P(3)， 综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是，， P(33),,，32122 4 25((2008广东深圳)如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为Dy,ax，bx，c(a,0) 点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，OB,OC ，tan?ACO1( ,3 (1)求这个二次函数的表达式( (2)经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形,若存在，请求出点F的坐标;若不存在，请说明理由( (3)如图10，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到y y什么位置时，?APG的面积最大,求出此时P点的坐标和?APG的最大面积. AOBxE AOBx CG CD 图 9D 图 10解:(1)方法一:由已知得:C(0，,3)，A(,1，0) 将A、B、C三点的坐标代入得 a,b，c,0a,1,, ,,9a，3b，c,0b,,2,, ,,2c,,3c,,3y,x,2x,3,,解得: 所以这个二次函数的表达式为: y,a(x，1)(x,3)方法二:由已知得:C(0，,3)，A(,1，0) 设该表达式为: 将C点的坐标代入 2y,x,2x,3a,1得: 所以这个二次函数的表达式为: y,,x,3(2)方法一:存在，F点的坐标为(2，,3) 理由:易得D(1，,4)，所以直线CD的解析式为:?E点的坐标为(,3，0)由A、C、E、F四点的坐标得:AE,CF,2，AE?CF?以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?存在点F，坐标为(2，,3) y,,x,3方法二:易得D(1，,4)，所以直线CD的解析式为:?E点的坐标为(,3，0) ?以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?F点的坐标为(2，,3)或(―2，―3)或(,4，3) 代入抛物线的表达式检验，只有(2，,3)符合?存在点F，坐标为(2，,3) 2y,,x,1x,2x,3(3)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G(2，,3)，直线AG为( 设P(x，)， 112x,S,S，S,(,x，x，2)，3,APG,APQ,GPQ2,,x，x，222则Q(x，,x,1)，PQ( 当时，?APG的面积最大 115,,27,,,,的最大值为S,APG24,,8此时P点的坐标为，( 5 6.(2010陕西)如图，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0)，B(3,0)C(0，-1)三点。 (1)求该抛物线的表达式; (2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标. 【分析】(1)已知三个点求抛物线的解析式可以设为一般式求解。(2)分两种情况解决?AB为边，则利用PQ?AB且PQ,AB，从而可知P的横坐标是4或者-4，然后代人二次函数解析式，求出点P坐标;?如果AB为对角线，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1?点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P，将x,2代人二次函数解析式即可求出. 3 解:(1)设该抛物线的表达式为y=ax?+bx+c根据题意，得 1a+b+c=0 a= 3 29a+3b+c=0 解之，得 b= ,3 12c=-1 c=-1 ?所求抛物线的表达式为y=x?-x-1 ,33 (2)?AB为边时，只要PQ?AB且PQ=AB=4即可。 又知点Q在y轴上，?点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P,P. 12 5而当x=4时，y=;当x=-4时，y=7， 3 5此时P(4，)P(-4,7) 123 ?当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可 又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1 ?点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3 而且当x=2时y=-1 ，此时P(2，-1) 3 5综上，满足条件的P为P(4，)P(-4,7)P(2，-1) 1233 6 等腰三角形、直角三角形、梯形存在问题 121.(2010重庆潼南)如图， 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的y,x，bx，c2 坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，,1)( (1)求抛物线的解析式; (2)点E是线段AC上一动点，过点E作DE?x轴于点D，连结DC，当?DCE的面积最大时，求点 D的坐标; (3)在直线BC上是否存在一点P，使?ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说 明理由( y y D xAoB xoABE CC 26题图备用图 2，2b，c,0,,12(1)?二次函数的图像经过点A(2，0)、C(0，,1)，? y,x，bx，c,2c,,1., 1112解得: b,,， c,,1(?二次函数的解析式为( y,x,x,1222 (2)设点D的坐标为(m，0) (0,m,2)? OD,m ( ?AD,2,m( ADDE2,mDE2,m,,由?ADE??AOC得， ( ?(?DE,( AOOC212 211mm2,m12,，(1)??CDE的面积,××m,,( ,m,，422244 当m,1时，?CDE的面积最大(?点D的坐标为(1，0)( 112(3)存在(由(1)知:二次函数的解析式为( y,x,x,122 112设y,0则 解得:x,2 x,,1(?点B的坐标为(,1，0)， C(0，,1)( 0,x,x,11222 设直线BC的解析式为:y,kx，b( ,k，b,0,,? 解得:k,,1 b,,1(?直线BC的解析式为: y,,x,1( ,b,,1., 0在Rt?AOC中，?AOC,90 ， OA,2 ， OC,1(由勾股定理得:AC,( 5 0?点B(,1，0) 、 点C(0，,1)，?OB,OC ，?BCO,45( 7 ?当以点C为顶点且PC,AC,时，设P(k， ,k,1)，过点P作PH?y轴于H(??HCP,?BCO5 21010220，，5,45(CH,PH,?k? 在Rt?PCH中k，k, ( 解得k,， k,,( 1222 10101010,1,1?P(，,)， P(,，)( 122222 ?以A为顶点，即AC,AP,(设P(k， ,k,1)，过点P作PG?x轴于G( 5 22222AG,?2,k?， GP,?,k,1?(在Rt?APG中 AG，PG,AP((2,k)，(,k,1),5( 解得:k,1，k,0(舍) (?P(1， ,2) ( 123 ?以P为顶点，PC,AP设P(k， ,k,1)，过点P作PQ?y轴于点Q，PL?x轴于点L(?L(k，0) ( ??QPC为等腰直角三角形( PQ,CQ,k(由勾股定理知CP,PA,k( ?AL,?k,2?， PL2 557222,,,k,1,(在Rt?PLA中(k),(k,2)，(k，1)(解得:k,?P(，,)( 24222 10101010,1,1综上所述: 存在四个点:P(，,)，P(,，)， P(1， ,2)，1232222 57P(，,)( 422 。 8 22.(2010四川乐山)如图(13(1)，抛物线y,x+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连 接AC，若tan?OAC,2( (1)求抛物线对应的二次函数的解析式; (2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使?APC,90?，若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由; (3)如图(13(2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′?l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t(当t为何值时，?BCN的面积最大,最大面积为 多少, 解:过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示, OC2(1)?抛物线y=x，bx，c过点C(0，2)( ?c=2又?tan?OAC==2, ?OA=1,即A(1,0)( OA 222又?点A在抛物线y=x，bx，2上( ?0=1，b×1，2,b=,3?抛物线对应的二次函数的解析式为y=x,3x，2 (2)存在 b,3331,,,?x=,(?AE=OE-OA=-1=,??APC=90?, 222212a， 3 PECD13PE2,,?tan?PAE= tan?CPD?,即，解得PE=或PE=， 1EADP222,PE 2 3133?点P的坐标为(，)或(，)((备注:可以用勾股定理或相似解答) 2222 (3)如图，易得直线BC的解析式为:y=-x，2， ?点M是直线l′和线段BC的交点，?M点的坐标为(t，-t+2)(0,t,2) 22?MN=-t+2-(t,3t，2)=- t，2t 11?S= S+S=MN?t+MN?(2-t) ?BCM?MNC?MNB22 12=MN?(t+2-t)=MN=- t，2t(0,t,2), 2 22?S?BCN=- t，2t=-(t-1)+1?当t=1时，S?BCN的最大值为1( 9 3.(2010龙岩，24，13分)在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(10，0)，(2，4). (1)若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的解析式; (2)若P为抛物线上异于C的点，且?OAP是直角三角形，请直接写出点P的坐标; (3)若抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点M，探究:抛物线对称轴上是否存在异于D的点Q，使?AQD是等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 解:(1)?B(2,4)，?C(2，-4). 设过O、C、A三点的抛物线解析式为y=ax(x-10)， 1将(2，-4)代人，得=, Ca4 152所以，抛物线解析式为y=x-x. 42 (2)存在P(8，-4). 152(3)存在点Q使的?DQA为等腰三角形.由(1)抛物线解析式为y=x-x.可求得顶点D的坐标(5，42 25541-).则|AD|=. 44 2525(5，若|QA|=|DA|，则由对称性知满足条件的Q点坐标为(5，)，记为Q); 144 54125,54125，,若|QD|=|DA|，则结合图形，可求得满足条件的Q点坐标为(5，)，(5，) 44 54125,54125，,记为Q(5,),Q(5,); 2344 25252yy，,，25若|QD|=|QA|，则设Q(5,y)，由解得y=， 2,48 2525所以满足条件的Q点坐标为(5，)，记为Q(5,) 2,2,488 54125,54125，2525,(5(5，(5所以，满足条件的点Q有 Q，)，Q)，Q，)，Q(5,) 2,12344448 10 4.(2010福建三明)如图?，抛物线经过点A(12，0)、B(,4，0)、C(0，,12)。顶点为M，过点A 的直线y,kx,4交y轴于点N。 (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴;(5分) (2)试判断?AMN的形状，并说明理由;(5分) (3)将AN所在的直线l向上平移。平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E(如图?)。当直线l平移时(包括l与直线AN重合)，在抛物线对称轴上是否存在点P，使得?PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形,若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由。(4分) y y l D O B A A O E A x x N N C M M (第23题图?) (第23题图?) 2(1)设抛物线的函数关系式为y,ax，bx，c.?抛物线过点C(0，,12)，?c,,12. 1,14412120ab，,,，a,，,,y 又?它过点A(12，0)和点B(,4，0)，?解得 4,,164120.ab,,,,,b,,2., B O 12?抛物线的函数关系式为y,x,2x,12.抛物线的对称轴为x,4. A x 4N (2)解法一:?在y,kx,4中，当x,0时，y,,4. 1122?y,kx,4与y轴的交点N(0，,4). ?y,x,2x,12,(x,4),16， 44222?顶点M(4，,16). ?AM,(12,4)，16,320， F M 222222AN,12，4,160.MN,4，(16,4),160. 222?AN，MN,160，160,320,AM. AN,MN. ??AMN是等腰直角三角形. 图23,1 解法二:过点M作MF?y轴于点F，则有 MF,4，NF,16,4,12，OA,12，ON,4. y ?MF,ON，NF,OA. l 又??AON,?MFN,90?， ??AON??NFM. E ??MNF,?NAO，AN,MN. ??NAO，?ANO,90?， A D K ??MNA,90.??AMN是等腰直角三角形. O x (3)存在.点P的坐标分别为 N (4，,16)，(4，,8)，(4，,3)，(4，6)………14分 P Q 参考解答如下: M 11 111?y,kx,4过点A(12，0).?k,直线l与y,x,4平行，设直线l的解析式为y,x，b. 333 则它与x轴的交点D(,3b，0)，与y轴交点E(0，b).?OD,3OE. 设对称轴与x轴的交点为K (?)以点E为直角顶点如图23,1. ?根据题意，点M(4，,16)符合要求; ?过P作PQ?y轴.当?PDE为等腰直角三角形时，有Rt?ODE?Rt?QEP. ?OE,PQ,4，QE,OD. ?在Rt?ODE中，OD,3OE， ?OD,12，QE,12.?OQ,8.?点P的坐标为(4，,8) (?)以点D为直角顶点.同理在图23,2中得到P(4，6).在图23,3中可得P(4，,3). 综上所得:满足条件的P的坐标为(4，,16)，(4，,8)，(4，,3)，(4，6). y y P l l O D D O K K A x E E A x P N N M M 图23,3 图23,2 5.湛江市2009已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为轴，O为坐标原点建 x P立平面直角坐标系;点是OA边上的动点(与点OA、不重合)，现将?POC沿PC翻折得到?PEC， ABPD再在边上选取适当的点D，将?PAD沿翻折，得到?PFD，使得 直线重合( PEPF、 E(1)若点落在BC边上，如图?，求点PCD、、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式; OPxADy,,，，E(2)若点落在矩形纸片OABC的内部，如图?，设当为何值时，y取得最大值, x Q，?PDQPD(3)在(1)的情况下，过点PCD、、三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直 Q角三角形,若不存在，说明理由;若存在，求出点的坐标 y y E B B C C F E F D D O P O P x x A A 解:(1)由题意知，?、?POCPAD均为等腰直角三角形， 图? 图? PCD(30)(03)(41)，、，、，可得 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 12 第28题图 y y E B B C C F E F D D O P O P x x A A 图? 图? 1,第28题图 a, ,2 c,3,,5,,2b,,？设过此三点的抛物线为则 yaxbxca,，，,(0)，930abc，，,,,2,,1641abc，，,,, ,c,3, 152过PCD、、三点的抛物线的函数关系式为 ？yxx,,，322 (2)由已知平分平分且重合，则 PC，OPEPD，，APF，PEPF、，,CPD90? 又( ？，，，,OPCAPD90?，，，，,APDADP90?？，,，OPCADP x3OPOC,(即 ？RtRt???POCDAP？,，yx4,ADAP 11414422当x,2时，有最大值 y(？yxxxxxx,,,,，,,,，,,(4)(2)(04)333333 (3)假设存在，分两种情况讨论: ，,DPQ90?QQ?当时，由题意可知，,DPC90?，且点C在抛物线上，故点C与点重合，所求的点为(0，3) ，,DPQ90?DQDQQ，D?当时，过点作平行于PC的直线，假设直线交抛物线于另一点点 yx,,，3DQ，直线PC的方程为，将直线PC向上平移2个单位与直线重合，直？？PC(30)03，、(，) y DQyx,,，5线的方程为 Q yx,,，5,x,,1x,4,,,DQ(41)(16)，，，(？,由得或又点 ,15,,2y,1y,6yxx,,，3,,,,22 E B C (Q) Q(03)(16)，、，,故该抛物线上存在两点满足条件 F D A O x P 13 第28题图 122.(2009年漳州)如图1，已知:抛物线与轴交于AB、两点，与轴交于点C，经yxyxbxc,，，2 1BC、AC过两点的直线是，连结( yx,,22 BBC、C(1)两点坐标分别为(_____，_____)、(_____，_____)，抛物线的函数关系式为____________; (2)判断?ABC的形状，并说明理由; ?ABCDEFCDEF、、、G?ABC(3)若内部能否截出面积最大的矩形(顶点在各边上),若能， AB求出在边上的矩形顶点的坐标;若不能，请说明理由( 2,,bacb4,2 [抛物线的顶点坐标是] yaxbxc,，，,,,,24aa,, 14 y y O O A B A x B x C C 图1 图2(备用) 132C02)(，,(1)B(4，0)，(( yxx,,,222 2)是直角三角形( (?ABC 132？,A(10)，y,0证明:令，则((( ？,,,xx14，xx,,,201222 222？，,，,,ACBCAB52025解法一:((是直角三角？?ABC？,,,ABACBC5525，， 形( COAO1解法二:， ，,，,AOCCOB90?AOCOBO,,,？,,124，，，BOOC2 ((，(即？???AOCCOB？，,，ACOCBO，，，,CBOBCO90?？，，，,ACOBCO90?(是直角三角形( ，,ACB90?？?ABC ?ABH(3)能(当矩形两个顶点在上时，如图1，CO交GF于(GFAB?，？???CGFCAB( y GFCH( ？,ABCO 2D E 解法一:设，则，， GFx,DEx,CHx,O A B x 5 2F H G ( DGOHOCCHx,,,,,2C 5 22,,2？,,,,，Sxxxx?22 图1 ,,矩形DEFG55,, 225555,,S???ADGAOC=(当时，最大((， ,,，xx,？,,DEDG，1,,52222,, 1ADDG11,,E(20)，？,D，0(，( ？,？,？,,，，，ADODOE2,,2AOOC22,, 105,x105555,x22DGx,解法二:设，则(( ?DEGF,,？,,,，,,,，Sxxxx5(1)矩形DEFG22222 5x,1S???ADGAOC当时，最大((， ？？,,DGDE1，2 1ADDG11,,E(20)，？,D，0(，( ？,？,？,,，，，ADODOE2,,2AOOC22,, 15 y ?当矩形一个顶点在AB上时，F与重合，如图2，，( CDGBC?？???AGDACBGDAGD ( ？,O BCAFA B x G G 解法一:设，， GDx,？,,ACBC5,25C x( ？,,,,GFACAG5图2 2 2x115,,2?Sxxx,,,,，55=(当时，最大( S？x,5,,，x5，，,,矩形DEFG2222,, 3553,,22？D，0？,,GDAG5，，( ？,OD？,，,ADAGGD,,2222,, 解法二:设，，，，(( DEx,？,GCxAC,5BC,25AGx,,5？,,GDx252 2,,5552x,=当时，S最大， ？？,,,,，Sxxxx?252225,,，2x,,，，矩形DEFG,,222,, 3553,,22D，0？,,GDAG5，(( ？？,，,ADAGGD？,OD.,,2222,, 1,,,，0AB综上所述:当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，(2，0); ,,2,, 3,,，0AB当矩形一个顶点在上时，坐标为 ,,2,, 12E01，,AB、4.(2009年莆田)已知，如图1，过点作平行于轴的直线l，抛物线上的两点xyx,，，4 ,ABFyAB、C的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线l的垂线，垂足分别为点、 12DPCFDF、ABF、、CFDF,，连接((1)求点的坐标;(2)求证:;(3)点是抛物线yx,4 16 PQPO??OPQQ对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与PPx 相似,若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由( ?CDF y y B B F F G A A H M O O x x l l E D E D C C (图1) (图2) 11,,y,4A,1，(1)解:方法一，如图1，当时, 当时, ? B44， x,,1x,4y,，，,,44,, 13,,k,,，,kb,,ykxb,，AB设直线的解析式为则 解得 44,, ,,b,144kb，,,, 3y,1AB?直线的解析式为 当时,？F01， x,0yx,，1，，4 AHBD,方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,,垂足分别为、H,交轴于点,AB、FGBD,GyN BGFG则四边形FOMG和四边形NOMH均为矩形,设FOx,???BGFBHA ？,BHAH44,x？F0，1 解得x,1 ？,，，154,4 22222CEEF,,1,2？,，,，,CFCEEF125(2)证明:方法一:在Rt?CEF中， ？,CF5 22222？,，,，,DFDEEF4220在Rt?DEF中，DEEF,,42， ？,DF25 22222？,,CD525？，,CFDFCDCD,,,1141，，，由(1)得？,CD5？，,CFD90? ，，，， CFDF? ？ 2355,,方法二:由 (1)知AFAC,，,,1，？,AFAC ,,444,, BFBD,？，,，ACFAFCACEF?？，,，ACFCFO？，,，AFCCFO同理: 同理:，,，BFDOFD？，,，，，,CFDOFCOFD90? 即CFDF? (3)存在. PQOP?？RtRt???OPMOQPMPMx?解:如图3，作轴，垂足为点又 17 PMOMPQPM？, ？,PQOPOPOM 11,,22Pxxx，,0设，则 PMxOMx,,，，，,,44,, 12xPQCF51PM14RtRt???QPOCFD?当时，解得 ？P21，x,2？,,,,,，，1OMx2OPDF225 12xPQDF25PM4RtRt???OPQCFD?当时， ？,,2,,,2OMxOPCF5 y P F O M Q x l E D C 图3 2ABAB5. (2009江西)如图，抛物线与轴相交于、两点(点在点的左侧)，与y轴yxx,,，，23x D相交于点C，顶点为. ABC(1)直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴; EPPFDE?P(2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交BCBC FP抛物线于点，设点的横坐标为; m PFPEDF?用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形, mm ?BCFSS?设的面积为，求与的函数关系式. my D 解:(1)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)抛物线的对称轴是:x=1 C (2)?设直线BC的函数关系式为:y=kx+b(把B(3，0)，C(0，3) 分别代入得: 18 x B A O (第24题) 30kb，,，,解得:k= -1，b=3( ,b,3, yx,,，3所以直线BC的函数关系式为:( 当x=1时，y= -1+3=2，?E(1，2)( ym,,，3,当时，，?P(m，m+3)( xm, 2y,4(在中，当时， ?D14，( x,1yxx,,，，23，， 22Fmmm，(,，，23当时，? ymm,,，，23，xm,，， 22?线段DE=4-2=2，线段PFmmmmm,,，，,,，,,，2333( ，， 2,，,mm32，PFED,PEDF??当时，四边形为平行四边形(由解得:PFDE?，mm,,21，12 PEDF(不合题意，舍去)(因此，当m,2时，四边形为平行四边形 PFMBO3000，，，，?设直线与轴交于点，由可得:? OBOMMB,，,3(SSS,，(x，，，，??BPFCPF 1111即( SPFBMPFOMPFBMOMPFOB,，,，,()y 2222 D 13922 ？Smmmmm,，,，,,，3303??(，，，，C 222 F E P 2A(10)，B(20)，C(02)，,6.(2009年包头)已知二次函数(a,0)的图象经过点，，，yaxbxc,，， D直线(m,2)与轴交于点( xm,xx B A O M (1)求二次函数的解析式; EE(2)在直线(m,2)上有一点(点在第四象限)，使得EDB、、为顶点的三角形与以xm,(第24题) EAOC、、为顶点的三角形相似，求点坐标(用含的代数式表示); m FABEF(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形,若存在， ABEF请求出的值及四边形的面积;若不存在，请说明理由( m abc，，,0，,y ,解:(1)根据题意，得 420abc，，,，,A B D ,c,,2.,x O (E) E12abc,,,,,132，，解得( )F (F21 C 2( ??????????????????????????????????? (2分) ？,,，,yxx32 (x=m) AOCOAOCO???EDBAOC(2)当时，得或， ,,EDBDBDED AOCOBDm,,,,122，，?， 19 AOCO12m,2当时，得，?， ,,ED,EDm,2EDBD2 2,m,,Em，?点E在第四象限，?( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (4分) 1,,2,, AOCO12当时，得，?， EDm,,24,,mED,2BDED ?点E在第四象限，?( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (6分) Emm(42)，,2 3)假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则 ( EFAB,,1F，点的横坐标为， m,1 2,m2,m,,,,m，m,1，当点的坐标为时，点的坐标为， EF,,,,1122,,,, 2,m2?点在抛物线的图象上，?， F,,,，,,(1)3(1)2mm12 72211140mm,，,(27)(2)0mm,,,，?，?(舍去)， ?mm,,，22 5333,,F，,?，?( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? (9分) S,，,11,,ABEF2444,, (42)mm，,(142)mm,,，当点的坐标为时，点的坐标为， EF22 2?点在抛物线的图象上，?， F42(1)3(1)2,,,,，,,mmm2 2(2)(5)0mm,,,mm,，,7100?，?，?m,2(舍去)，m,5， ?，?( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (12分) S,，,166F(46)，,2ABEF 2?ABCBCx?8.(07龙岩市)如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点A在x轴yaxax,,，54 上，点C在y轴上，且AC=BC((1)求抛物线的对称轴;(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解 ?PAB析式;(3)探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在是等腰三角形(若存在，求出所有符合条件的点P坐标;不存在，请说明理由( 20 ,55a解:(1)抛物线的对称轴 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 x,,,22a A(30),，B(54)，C(04)，(2) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 12把点A坐标代入中，解得 ????????????????????????????????????????????????????? 6分 yaxax,,，54a,,6 152 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ？,,，，yxx466 y B , C A 1 , 1 0 , x P, 3 P 2 P 1 P(3)存在符合条件的点共有3个(以下分三类情形探索( M设抛物线对称轴与轴交于N，与CB交于( x 5BQx,QBQ,4AQ,8B过点作轴于，易得，，AN,5.5， BM,2ABA? 以为腰且顶角为角的有1个:( ?PAB?PAB1 22222 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 ？,，,，,ABAQBQ8480 19922222PNAPANABAN,,,,,,,80(5.5)在中， Rt?ANP1112,,5199？,P，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 ,,1,,22,, ABB?以为腰且顶角为角的?PAB有1个:( ?PAB2 252952222MPBPBMABBM,,,,,,,80在中， ???? 10分 Rt?BMP22242,,58295,？P， ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分 ,,2,,22,, ABP?PAB?以为底，顶角为角的有1个，即?PAB( 3 AB?ABCC画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点( P3 Ky过点作垂直轴，垂足为，显然RtRt???PCKBAQ( PPK333 21 PKBQ13？,,( CKAQ2 于是 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分 ？,CK5OK,1PK,2.53 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分 ？,P(2.51)，3 22