信号第4变换拉氏变换性质——复习

信号第4变换拉氏变换性质——复习拉氏变换性质——复习和例题线性1s尺度变换特性L[]()fat=Faa−[]−−=st0特性Lf(tt)0(ut0)t(F)es−频移特性Lf([)teαt=]F(s+α)df(t=)−[]=−dF(s)微分和积分特性L(sF)s(f−0)L(tf)t(1)dtds()−1∞t(F)sf(−0)f()t初值和终值定理L(τf)dτ=+L=F()sds−∞ssts卷积定理1线性尺度变换特性特性频移特性微分和积分特性lim(f)t=(f+0=l...

拉氏变换性质——复习和例题 线性1s尺度变换特性L[]()fat=Faa−[]−−=st0特性Lf(tt)0(ut0)t(F)es−频移特性Lf([)teαt=]F(s+α)df(t=)−[]=−dF(s)微分和积分特性L(sF)s(f−0)L(tf)t(1)dtds()−1∞t(F)sf(−0)f()t初值和终值定理L(τf)dτ=+L=F()sds−∞ssts卷积定理1线性尺度变换特性特性频移特性微分和积分特性lim(f)t=(f+0=lim)sF()st→0+→s∞初值和终值定理limf()t=limsF()s→t∞s→0卷积定理[]∗=Lf()()()()t1ft2F1s2Fs1Lft[]()()f⋅t=()()F∗sFs122πj122衰减余弦的拉氏变换f(t)=e−βt[cosωt]sL[]cosωt=2+2sω频移特性s+βF(s)=(s+β)2+ω23−−求teat和ttena的拉氏变换−1L[]eat=s+a对s微分特性'−11L[]teat=−=s+as()+a2'−12L[]t2eat=−=23s()+a()s+a[]n−at=n!Lten+1s()+a思考：还可以用什么求？4矩形周期信号拉氏变换第一周期的信号τLT=1−−sτ/2f()()(t=ut−u−)tF1()s(1e)12sLT−⇔−snT线性性质、ft()()1nTe1Fs无穷级数求和∞LT∞F1()s−=−⇔snTF()s−sTft()()1nT1Fse1−en=0n=0−−sτ/2F()s=1e=1−−−sT1−esTs(1e)5 总结：周期信号的拉氏变换LT⇔第一周期的拉氏变换f()()t1F1sLT利用特性−⇔−snTft()()1nTe1Fs∞LT∞−⇔−snTft()()1nT1Fse利用无穷级数求和n=0n=0F()1s=61−e−sT求全波整流信号的拉氏变换f(t)1ω(1+e−Ts/2)1s2+ω21−e−Ts/20TTtf0(t)212πTtsint[u(t)−u(t−)]0TT2LT2π−ω=2ω(1+eTs/2)T22TTTs+ωsinωt⋅u(t−)=−sinω(t−)⋅u(t−)2227−f(t)包络函数et1(1−e−(s+1))(s+1)(1+e−(s+1))12乘衰减指数1−1(1−es)2s1−e2s周期对称方波单对称方波1−−(1−2es+e2s)−−+−u(t)2u(t1)u(t2)s8抽样信号的拉氏变换∞抽样序列δ)n=0∞抽样序列的拉氏变换−1δ()s=esnT=T−−sTn=01e时域抽样信号=δf()()()stftTt∞∞.抽样信号的拉氏变换F()(s=fnT−)e−stdts0n=0∞=f()nT−snTen=094.3拉斯逆变换*拉斯逆变换：由象函数求原函数1σ+j∞f()t=F()esstds2πjσ−j∞计算利用已知的拉氏变换对和拉氏变换的性质部分分式法利用留数定理——围线积分法10dt1↔s↔F(s)的形式dt−∞s通常F()s具有如下的有理分式形式:−A()assma+sm+1+a+saF()=s=mm−110+nn−+1++B()bssnbn−1s1bs0b<(ai,bi为实数，m,n为正整数。m当n,Fs真分式A()ass−(z)(s−)()zs−z分解F()=s=m12m−−−B()bssn(p1)(s)()2psnp零点是()的根=称为()的零点zz1,,2z3zmA0s,Fs极点()=()pp1,,2p3pn是B0的根s称为,Fs的极点11部分分式分解(m 表求f()t12第一种情况：实数极点A()sF()s=不相等、−−−实根s(p1)(s)()p2snpkkk⎯⎯→F()s=1+2++ns−ps−ps−p12n=p1+tp2t++pnt(t≥0)ft()ke1k2e...nke=−ki()()spiFs=psi−Lf([)teαt=]F(s+α)1u()t↔s1310(s+2)(s+5)求F(s)=的逆变换s(s+1)(s+3)解：因F(s)是真分式，且极点为三个相异实数，故可设：KKKFs()=+12+3()K为实数ss()++13()si分别求K1,K2,K3，有：10××25100KsFs===()1s=013×3KsFs=+()()120=−2s+=1010KsFs=+()()3=−3s+=303100−−10故：ft()=−10ett−e3()t≥03314第二种情况：极点为共轭复数A(s)F(s)=D(s)(s+α−jβ)(s+α+jβ)kk⎯⎯→F(s)=1+2+s+α−jβs+α+jβ=+α−β=+k1(sj)F(s)s=−α+jβAjB共轭=+α+β=−k2(sj)F(s)s=−α−jβAjB=+−αt+jβt+−−αt−jβtfc(t)(AjB)e(AjB)e=e−αt[A(e+jβt+e−jβt)+jB(e+jβt−e−jβt)]=2e−αt[Acos(βt)−Bsin(βt)]15s2+3求F(s)=的逆变换(s2+2s+5)(s+2)KKKFs()=+12+3s++−++21212()sj()sjα−jβ−+−−7===12jj*12K=KKK232,1555A+jB7−=2t+−t−1−2≥f(t)e2ecos(2t)sin(2t)(t0)5552e−αt[Acos(βt)−Bsin(βt)]16第三种情况：有重根A()sF()s=−kD(s)(s1)pkkkE()s⎯⎯→F()s=11+12++1k+−k−k−1−()()()sp1sp1sp1D()stk−1tk−2f()t=kep1t+kep1+t...+kpe1t11(k−1)!12(k−2)!1kn!tn↔=−kn+1F()()()s1sp1Fssi−1n=1dt1k1i−F1()ss=p↔(i−1)!dsi1in!ns+1tn−11↔17(n−1)!nss−2求F(s)=的逆变换s(s+1)3KKKK解：将F(s)展开为：Fs()=+++1112132()ss++1132()()s+1s利用部分分式分解法，有：KsFs==−()22s=03s−2令：Fs()=+(s1)Fs()=1sd1d2====()=⋅()=则：KFs()3KFs2KFs1312111s=−11212dss=−12!dss=−13222n−1即：()=++−t1Fs32↔()ss++11()()s+1s(n−1)!sn3−−−故：ft()=++−≥te2ttt222tee()t0218F(s)两种特殊情况非真分式(m≥n)——长除法化为真分式＋多项式s3+5s2+9s+7求F(s)=的反变换s2+3s+2作长除法s+321F(s)=s+2+=s+2+−()()s+1s+2s+1s+2f(t)=δ'(t)+2δ(t)+2e−tu(t)−e−2tu(t)19含e-αs的非有理式——e-αs项不参加部分分式运算，利用性质−2se−求=F()se2s的逆变换s2+3s+211−1F()s=+1s+1s+2=−1[]=(−t−−2t)所以f()t1L(1F)seeut()()=()−=(−[2−t)−−2t(−]2)−所以ftf1t2eeu(t2)204.4用拉斯变换法分析电路、s域元件模型*用拉氏变换法分析电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型分析电路21用拉氏变换法分析电路的步骤列s域方程（可以从两方面入手）•列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；•直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程。F(s)→f(t)，得到时域解答。22微分方程的拉氏变换利用拉氏变换的微分和积分性质df(t)=−LsF(s)f(0−)dt2df(t)=[]()−()−′L2ssFsf0−f(0−)dt2′=sF(s)−sf(0−)−f(0−)23t<0时，开关位于“1”，且电路已经，t＝0时，开关从“1”跳到“2”，求vC(t)和vR(t)(1)求vC(t):1、列时域微分方程dvRCC+v=()vtdtC−=−v(c0)E(v)t=E[0++∞,)(v)t2=E(Δ)ut(−0+,0)24df(t)=−2、取拉氏变换，在s域求解LsF(s)f(0−)dt－EERC[sV(s)−v(0−)]+V(s)=cccs1E(−s)V(s)=RCc1s(s+)RC3、求拉氏逆变换E2EV(s)=−cs1(s+)RC−t=−RC≥vc(t)E2Ee(t0)25(2)求vR(t):1、列时域微分方程1dvdvv+R=RCRdtdtdv(v0−)=0=2Eδ(t)Rdt1+−−=、取拉氏变换(V)RssV(Rs)vR(0)E22RC2E0V()s=c1s+RC−t3、求拉氏逆变换=RC≥(v)ct2Ee(t0)dvdv思考：对0＋系统，=?,(v0+)=0=?,v(+0)=E−v(0+)=E2dtRdtRc0_系统的优点：在用拉氏变换求解系统响应时，可以直接0_时刻的起始状态{x(0_)}，而无需专门计算由0－到0＋的跳变，简化分析过程。26利用元件的s域模型分析电路电阻元件的s域模型()=()RIR(s)vRtRiRt+−VR(s)=VR(s)RIR(s)27电感元件的s域模型di()t()()=L()LsLiL0−vLtLILs−+dt运算感抗+()−VLs=−VL(s)IL(s)LsLiL(0−)附加电源I()sLs()=1t()LiLtvLtL−∞1i()0−sL=1+1IL(s)VL(s)iL(0−)Lss+V()s−附加电源L运算感纳28电容元件的s域模型1t11()v()t=i()τdtvC0−C−∞C()sCsCICs运算容抗11+−V(s)=I(s)+v(0−)V()sCCsCsCC附加电源1I()ssCdv()tCi()t=CCCdt()CvC0−=−IC(s)sCVC(s)CvC(0−)+()−运算容纳VCs附加电源29求响应的步骤•画0-等效电路，求起始状态；•画s域等效模型；（KVL、KVC）•列s域方程（代数方程）；•解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；•拉氏反变换求v(t)或i(t)。30t<0时，开关位于“1”，且电路已经，t＝0时，开关从“1”跳到“2”，求vC(t)E①v(−0=)E−Cs②11v()0③C−列s域方程sCs−1−Vc()sv(C0)−sE+V()sR+V()s=C1cssC1E(−s)④求s域表达式V()s=RCc1s(s+)RC−t⑤求反变换=−RC≥(v)ctE2Ee(t0)31t<0时，开关位于“1”，且电路已经，t＝0时，开关从“1”跳到“2”，求iL(t)①E1R(i−0=)−R12L12R1EE1LR02③列s域方程itL()1EE()=−−12+×sLIsL0111②sR12sR++RRsL02()IsL0i()0EL−RR2sL02sRs2EE1211=+−sRsRs112s+()τIsL()R+RLE其中τ=02(具体求解过程，略)I+1=IRRLL002sR132第4章1、2次课作业4-1(6),(10),(13),(18)4-4(4),(16),(19)33

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