§4.3实对称矩阵的特征值和特征向量定义4.5给定Rn中向量实数称为向量和的内积.记为T.则和的内积为(一）向量的内积2)T=故向量和的内积记为两个n维实向量的内积是一个实数.3)只有维数相同的两个向量才有内积.和的内积为T说明1)例和的内积为内积具有如下性质：4）T≥0,T=0（分配律）（交换律）（二）向量的长度定义4.6对Rn中向量非负实数称为向量的长度,或向量的范数,记为（k为实数）向量的长度具有以下性质：3）对任意向量和，有对Rn中任意非零向量，事实上，用非零向量的长度去除向量,得到一个通常称为把向量单位化。单位向量,与同方向的定义4.7如果向量和的内积等于零,(三)正交向量组例如即T=0,则称向量和互相正交(垂直).例零向量与任一向量垂直.一般地,在Rn中即Rn中的单位向量组1,2,…,n两两正交.1,2,…,n称为Rn中的单位正交向量组.一般地，时定义4.8如果Rn中非零向量组则称向量组1,2,…,s如向量组是R3中的正交向量组.注意：两两正交,即为正交向量组.则1,2,…,s都不是零向量。若1,2,…,s为正交向量组，定理4.7证设一般地，1,2,…,s线性无关.Rn中的正交向量组是Rn中的正交向量组.时，线性无关.施密特正交化方法：设向量组是正交向量组,且和向量组线性无关，令等价.例用施密特正交化方法,把向量组变成单位正交的向量组.解令再将1,2,3,4单位化两两正交，等价.与且与1,2,3,4等价1,2,3,4两两正交，再将1，2，3,4单位化1,2,3,4是且与1,2,3,4等价例用施密特正交化方法,把向量组变成单位正交的向量组.单位正交向量组，(四)正交矩阵定义4.9设n阶实矩阵Q满足则称Q为正交矩阵.说明1)正交矩阵必是实矩阵,例单位矩阵I为正交矩阵例QTQ=Q是正交矩阵即正交矩阵的元素都是实数.2)由Q可逆，正交矩阵具有下列性质：1）若Q是正交矩阵，证2）若Q为正交矩阵，3）若P，Q都是n阶正交矩阵，证则Q的行列式的值等于1或－1则Q可逆，且则PQ也是正交矩阵.∴PQ是正交矩阵。定理4.8设Q为n阶实矩阵,是单位正交向量组.是单位正交向量组.则Q为正交矩阵的充要条件是Q的列(行)向量组是单位正交向量组.两两正交,且两两正交,且（五）实对称矩阵的特征值和特征向量定理4.9实对称矩阵的特征值定理4.10实对称矩阵的定理4.11设A是实对称矩阵,Q－1AQ是对角矩阵.定理4.11′设A是实对称矩阵,QTAQ是对角矩阵.都是实数.对应于不同特征值的特征向量是相互正交的.A是n阶实对称矩阵,A的两个特征值则则存在正交矩阵Q,使得则存在正交矩阵Q,使得A是n阶实对称矩阵,A的两个特征值则是一个数，A是n阶实对称矩阵，而设互不相同A的特征值(2)(1)求Ａ的特征值．(3)即将相同特征值对应的特征向量正交化，(4)特征值:特征值:Q为正交矩阵.例特征值:解:基础解系分别为:两两正交将1,2,3单位化:为单位正交向量组为正交矩阵令求正交矩阵使得为对角矩阵。例Q-1AQ为对角矩阵.求正交矩阵Q,使特征值将正交化.令再将单位化.特征值:两两正交.再将它们单位化.两两正交,为单位向量.Q为正交矩阵.对应于对应于令作业：问题解答?
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