第2课时 函数的导数与最值 必备知识·素养奠基1.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上取得最值的条件如果在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条_________的曲线,那么它必有最大值和最小值.连续不断【思考】(1)在闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)有极值一定有最值,反之成立吗?提示:反之不成立,在闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)有极值一定有最值,但有最值不一定有极值.(2)函数的极值与最值有什么区别?提示:①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最值是函数在给定区间的整体概念.②函数极值只能在区间内部取得,函数最值可能在区间端点取得.2.求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【思考】函数的最值一定在区间端点处取得吗?提示:不一定,当函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是单调函数时,函数最值在区间端点取得,否则,函数最值不一定在区间端点取得.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值.( )(2)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值.( )(3)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值.( )(4)若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值.( )提示:(1)×.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值.(2)×.闭区间上的连续的单调函数只有最值,没有极值.(3)×.(4)√.若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值.2.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A.5,15B.5,-4C.5,-16D.5,-15【解析】选D.由y=2x3-3x2-12x+5得y′=6x2-6x-12,令y′=0得x=-1(舍去)或x=2.故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值,而f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,故最大值为5,最小值为-15.3.已知函数f(x)=sinx-2x-a,若f(x)在[0,π]上的最大值为-1,则实数a的值是______. 【解析】由f(x)=sinx-2x-a,得f′(x)=cosx-2<0,所以函数f(x)在[0,π]上单调递减,所以f(x)的最大值是f(0)=-a=-1,故a=1.答案:1关键能力·素养形成类型一 求函数的最值【典例】(2020·阳泉高二检测)当x∈[-1,1]时,函数f(x)=的最大值是________. 【思维·引】求导,求极值,求区间端点的函数值,通过比较求函数的最值.【解析】由f(x)=可得,f′(x)=,因为-1≤x≤1,所以2-x>0,当-1≤x<0时,f′(x)=<0,函数单调递减,当0
0,函数单调递增,又f(1)=,f(-1)=e,故当x=-1时,函数取得最大值e.答案:e【内化·悟】求函数在给定闭区间上的最值需要注意什么问题?提示:特别要注意自变量的取值范围.【类题·通】求函数最值的四个步骤第一步,求函数f(x)的定义域.第二步,求f′(x),解方程f′(x)=0.第三步,列出关于x,f(x),f′(x)的变化
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
.第四步,求极值、端点值,确定最值.警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.【习练·破】1.(2020·和平高二检测)函数f(x)=elnx-x在(0,2e]上的最大值为( )A.1-eB.-1C.-eD.0【解析】选D.根据条件可得f′(x)=-1,令f′(x)=0可得x=e,则当00,f(x)单调递增,当ef(2)>f(-2),所以m=3,最小值为f(-2)=-37.【加练·固】函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是______,最小值是______. 【解析】因为f′(x)=,令f′(x)=0可得x=1或-1.又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以最大值为2,最小值为-2.答案:2 -2类型二 含参数的最值问题【典例】已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间.(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.【思维·引】(1)求导,求单调区间.(2)讨论函数在[1,2]上的单调性,求最值.【解析】(1)f′(x)=-a(x>0),①当a≤0时,f′(x)=-a>0,即函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=,当00;当x>时,f′(x)=<0,故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.②当≥2,即00,所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.(3)若a≥,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b.综上所述,当a≤时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=1-b;当时,f′(x)>0,函数单调递增.所以当a≤时,函数有最小值=2a2-lna;当a>时,函数有最小值+ln2.角度2 探究问题【典例】(2020·桂林高二检测)已知函数f(x)=x-alnx+b(a≠0,b∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)是否存在正实数a,b,且b≤,使得函数f(x)在区间[1,e]的值域为[2,e]?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.【思维·引】(1)先求导,再根据a的不同取值情况讨论;(2)借助函数的单调性,分别表示出值域后求a,b的值.【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞).f′(x)=1-,①当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;②当a>0时,令f′(x)>0,则x>a,故函数f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.(2)①当10,故函数g(x)在(1,e)上单调递增.又由g(1)=0,故当12,不存在a使得2a-alna=2.②当a≥e时,f(x)在[1,e]上单调递减,得a=2e-3,b=e-1>,不合题意,舍去;③当a<0时,由(1)可知f(x)在[1,e]上单调递增,所以解得a=1,b=1,不合题意,舍去;④当00得x>2或x<0;由f′(x)=3x2-6x<0得00得sinx<,故0≤x<,解y′<0得sinx>,故0,函数f(x)单调递增,所以当x=-2时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(-2)=-e-2.答案:-e-2【新情境·新思维】若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=______. 【解析】f′(x)=3x2-3,得当x>1或x<-1时,f′(x)>0;当-1e时,y′<0;当00,所以y极大值=f(e)=e-1,在定义域内只有一个极值,所以ymax=e-1.3.(2020·开封高二检测)若函数f(x)=x+2sinx,则当x∈[0,π]时,f(x)的最大值为( )【解析】选D.f′(x)=1+2cosx,当00,f(x)单调递增;当1时,y′>0,y单调递增.所以当x=1时,ymin=ln1+=1>0,所以g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)=lnx具有M性质;对于B,f(x)=x2+1,则g(x)=exf(x)=ex(x2+1),g′(x)=ex(x2+1)+2xex=ex(x+1)2>0在实数集R上恒成立,所以g(x)=exf(x)在定义域R上是增函数,所以f(x)=x2+1具有M性质;对于C,f(x)=sinx,则g(x)=exsinx,g′(x)=ex(sinx+cosx)=,显然g(x)不单调;对于D,f(x)=x3,则g(x)=exf(x)=exx3,g′(x)=exx3+3exx2=ex(x3+3x2)=exx2(x+3),当x<-3时,g′(x)<0,所以g(x)=exf(x)在定义域R上先减后增;所以具有M性质的函数的选项为A,B,不具有M性质的函数的选项为C、D.二、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=3x+sinx在x∈[0,π]上的最小值为______. 【解析】f′(x)=3xln3+cosx.当x∈[0,π]时,3xln3>1,-1≤cosx≤1,即f′(x)>0.所以f(x)递增,于是f(x)min=f(0)=1.答案:16.函数f(x)=xe-x,x∈[0,2]的最大值是______. 【解析】f′(x)=当x∈[0,1)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当x∈(1,2]时,f′(x)<0,f(x)是减函数.所以f(x)的最大值为f(1)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知函数f(x)=x3+ax2+2,且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x=1对称.(1)求导函数f′(x)及实数a的值.(2)求函数y=f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+2得f′(x)=3x2+2ax.因为f′(x)的图象关于直线x=1对称,得-=1.所以a=-3,f′(x)=3x2-6x.(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+2,f′(x)=3x2-6x.令f′(x)=0得x1=0,x2=2.当x在[-1,2]上变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:由表可知,当x=-1或x=2时,函数有最小值-2,当x=0时,函数有最大值2.x-1(-1,0)0(0,2)2f′(x)+0-0f(x)-2↗2↘-28.(2020·济南高二检测)已知函数f(x)=ex-ax,x∈R,e是自然对数的底数.(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求a的值及f(x)的极值.(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值.【解析】(1)函数f(x)=ex-ax,x∈R,所以f′(x)=ex-a,因为函数f(x)在x=2处取得极值,所以f′(2)=0,所以a=e2,所以f′(x)=ex-e2,当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(2)=e2-2e2=-e2,无极大值.(2)f′(x)=ex-a,①当a≤0时,f′(x)>0恒成立,即函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=1;②当a>0时,令f′(x)=0得到x=lna,若lna≤0,即00,即函数f(x)在[0,lna)上单调递减,在(lna,1]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上的最小值为f(lna)=a-alna,综上所述,当a≤1时,函数f(x)在[0,1]上的最小值为1;当10,函数f(x)单调递增,且f(0)=2,画出函数f(x)的大致图象,如图所示:所以函数f(x)的最小值为2,故(2)错误,(3)正确,(4)错误.3.(5分)(2020·南通高二检测)函数f(x)=x-sinx,x∈[0,π]的最小值为________. 【解析】f′(x)=-cosx,所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增;所以f(x)min=答案:4.(5分)(2020·南京高二检测)函数f(x)=的最小值为________. 【解析】f′(x)==由f′(x)=0可得cosx=2sinx,即tanx=,又因为00时,若f(x)在区间上的最小值为-2,求a的取值范围.【解析】(1)a=1,f(x)=x2-3x+lnx,定义域为,又f′(x)=2x-3+=当x>1或00;当0,所以a≥-2x在[1,+∞)上恒成立,令h(x)=-2x,x∈[1,+∞),因为h′(x)=--2<0恒成立,所以h(x)在[1,+∞)上单调递减,h(x)max=h(1)=0,所以a≥0.(2)g(x)=2x3+ax-2,x>0,因为g′(x)=6x2+a,当a≥0时,g′(x)>0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,无最小值,不合题意,所以a<0,令g′(x)=0,则x=(舍负值),由此可得,g(x)在上单调递减,在上单调递增,则x=是函数的极小值点,g(x)最小=g=-6,解得a=-6,所以f(x)=2x+-6lnx.
浙公网安备 33021202002483