高考电磁感应中“单双棒”问题归类经典例析

高考电磁感应中“单双棒”问题归类经典例析电磁感应中“单、双棒”问题归类例析一、单棒问题：1.单棒与电阻连接构成回路：例1、如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值为R的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R／2的金属导线ab垂直导轨放置（1）若在外力作用下以速度v向右匀速滑动，试求ab两点间的电势差。（2）若无外力作用，以初速度v向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab电量以及ab发生的位移x。2、杆与电容器连接组成回路例2、如图所示,竖直放置的光滑平行金属导轨,相距l,导轨一端接有一个电容器,电容量为C,匀强磁场垂直纸面向里,磁感应强度为B,质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动.现让ab由静止下滑,不考虑空气阻力,也不考虑任何部分的电阻和自感作用.问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？3、杆与电源连接组成回路例3、如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距l=0.5m，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m=0.1kg、电阻R=0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E=1.5V、内电阻r=0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？（2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ=7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．二、双杆问题：1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度例4、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？例5、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系例6、如图所示，abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、a/b/间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。现给导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？3、磁场方向与导轨平面不垂直例7、如图所示，ab和cd是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，ae和cf是平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。在水平导轨上有与导轨垂直的导体棒1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度为B，导轨间距为L，倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m，电阻均为R。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力F作用在棒1上，从静止开始拉动棒1，同时由静止开始释放棒2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间的作用，试求：（1）水平拉力F的大小；（2）棒1最终匀速运动的速度v1的大小。三、轨道滑模型例8、如图所示，abcd为质量m的U形导轨，ab与cd平行，放在光滑绝缘的水平面上，另有一根质量为m的金属棒PQ平行bc放在水平导轨上，PQ棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱e、f,U形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e、f的O1O2为界，右侧磁场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左，磁感应强度大小都为B，导轨的bc段长度为L,金属棒PQ的电阻R，其余电阻均可不计，金属棒PQ与导轨间的动摩擦因数为μ，在导轨上作用一个方向向右，大小F==mg的水平拉力，让U形导轨从静止开始运动．设导轨足够长．求：(1)导轨在运动过程中的最大速度υm(2)若导轨从开始运动到达到最大速度υm的过程中，流过PQ棒的总电量为q，则系统增加的内能为多少?练习：1、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4m，上、下两端各有一个电阻R0＝1Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2T.ab为金属杆，其长度为L＝0.4m，质量m＝0.8kg，电阻r＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R0产生的热量Q0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／s2)求：(1)杆ab的最大速度；(2)从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab的电荷量.2、光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。3、如图所示,两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻),由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成.其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒cd,质量为2m,电阻为2r.另一质量为m,电阻为r的金属棒ab,从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段,圆弧段MN半径为R,所对圆心角为60°,求：（1）ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？（2）cd棒能达到的最大速度是多大？（3）ab棒由静止到达最大速度过程中,系统所能释放的热量是多少？4、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？电磁感应中“单棒、双棒”问题归类例析 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一、单棒问题：1.单棒与电阻连接构成回路：例1.解析：（1）ab运动切割磁感线产生感应电动势E，所以ab相当于电源，与外电阻R构成回路。∴Uab=R+R/2​R​BLV=32​BLV（2）若无外力作用则ab在安培力作用下做减速运动，最终静止。动能全部转化为电热。Q=21​mv2。由动量定理得：Ft=mv即BILt=mv，q=It∴q=BLmv​。q=It=23​RΔϕ​=23​RBLx​=BLmv​，∴x=2B2L23mvR​。2、杆与电容器连接组成回路例2.解析：ab在mg作用下加速运动，经时间t，速度增为v，a=v/t产生感应电动势  E=Blv  电容器带电量   Q=CE=CBlv，感应电流I=Q/t=CBLv/t=CBla产生安培力F=BIl=CB2l2a，由牛顿运动定律 mg-F=mama=mg-CB2l2a ，a=mg/(m+CB2l2)∴ab做初速为零的匀加直线运动,加速度a=mg/(m+CB2l2)落地速度为3、杆与电源连接组成回路例3．解析（1）在S刚闭合的瞬间，导线ab速度为零，没有电磁感应现象，由a到b的电流I0​=R+rE​=1.5A，ab受安培力水平向右，此时瞬时加速度a0​=mF0​​=mBI0​L​=6m/s2ab运动起来且将发生电磁感应现象．ab向右运动的速度为υ时，感应电动势，根据右手定则，ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，）将减小（小于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知：E−Blυm​=0所以υm​=BlE​=0.8×0.51.5​m/s=3.75m/s．（2）如果ab以恒定速度υ=7.5m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势V=3V由于＞E，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：A=1.5A直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为N=0.6N所以要使ab以恒定速度v=7.5m/s向右运动，必须有水平向右的恒力F=0.6N作用于ab．上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：①作用于ab的恒力（F）的功率：P=Fv=0.6×7.5W=4.5W②电阻（R+r）产生焦耳热的功率：W=2.25W③逆时针方向的电流，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：W=2.25W由上看出，，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．二、双杆问题：1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度例4．解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv0​=2mv    根据能量守恒，整个过程中产生的总热量Q=21​mv02​−21​(2m)v2=41​mv02​ （2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：mv0​=m43​v0​+mv1​。此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：E=(43​v0​−v1​)BL，I=2RE​。此时cd棒所受的安培力：F=IBL，所以cd棒的加速度为a=mF​    由以上各式，可得a=4mRB2L2v0​​  。例5．解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变ΔS=[(x−v2​Δt)+v1​Δt]+t−lx=(v1​−v2​)lΔt由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E=BΔtΔS​回路中的电流i=2RE​，杆甲的运动方程F−Bli=ma由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量(t=0时为0）等于外力F的冲量Ft=mv1​+mv2​。联立以上各式解得v1​=21​[mF1​​+B2F2R​(F−ma)] v2​=21​[mF1​​−B2I22R​(F−ma)]，代入数据得v1​=8.15m/s​​v2​=1.85m/s2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系例6．解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef的速度减小到v1，导体棒gh的速度增大到v2，则有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。对导体棒ef由动量定理得：−2BLI−Δt=2mv1​−2mv0​对导体棒gh由动量定理得：BLI−Δt=mv2​−0。由以上各式可得：v1​=31​v0​,v2​=32​v0​。3、磁场方向与导轨平面不垂直例7．解析（1）1棒匀速：F=BIL2棒匀速：BIL=mgtanθ解得：F=mgtanθ（2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t，过程中平均感应电流为Iˉ，据动量定理，对1棒：Ft−BIˉLt=mv1​−0；对2棒：mgsinθ⋅t−BIˉLcosθ⋅t=mv2​−0联立解得：v2​=v1​cosθ匀速运动后，有：E=BLv1​+BLv2​cosθ，I=2RE​ 解得：v1​=B2L2(1+cos2θ)2mgRtanθ​三、轨道滑模型例8.解析：(1)当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为υm。导轨在水平方向上受到外力F、水平向左的安培力F1和滑动摩擦力F2，则F−F1​−F2​=0，F1​=BIL,I=RE​,E=BLvm​，即F1​=RB2L2vm​​以PQ棒为研究对象，PQ静止，在竖直方向上受重力mg、竖直向上的支持力N和安培力F3，则N+F3​=mg,F3​=F1​,F2​=μN，得F2​=μ(mg−RB2L2vm​​)，将F1和F2代入解得0=(1−μ)(g−mRB2L2vm​​)，得vm​=B2L2mgR​(2)设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中，移动的距离为S，在这段过程中，经过的时间为t,PQ棒中的平均电流强度为I1，QPbC回路中的平均感应电动势为E1，则E1​=tΔϕ​,Δϕ=SLB,I1​=RE1​​,q=I1​t，得S=BLqR​。设系统增加的内能为ΔE，由功能关系得：FS=21​mvm2​+ΔE，则ΔE=BLmgqR​−2B4L4m3g2R2​练习：1.解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。（1）杆ab达到平衡时的速度即为最大速度v，这时mgsinθ—F—μN=0，N=mgcosθ∴F=mg（sinθ—μcosθ）总电阻R=2R0​​+r=1Ω，E=Blv，I=RE​，F=BILF=RB2L2v​，得v=B2L2mg(sinθ−μcosθ)R​=2.5m/s​克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即W=Q=2Q0​+2Q0​=1.5J，由动能定理：smgsinθ−W−μmgcosθ=21​mv2−0s=mg(sinθ−μcosθ)21​mv2+W​通过ab的电荷量　q=IΔt=RBLs​，代入数据得q＝2C2.解析：当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有：BLv=UC=q/C而对导体棒ab利用动量定理可得：-BLq=mv-mv0由上述二式可求得：v=m+B2L2Cmv0​​3、解析：(1)ab棒由静止从M滑下到N的过程中,只有重力做功,机械能守恒,所以到N处速度可求,进而可求ab棒切割磁感线时产生的感应电动势和回路中的感应电流.ab棒由M下滑到N过程中,机械能守恒,故有mgR(1−cos60∘)=21​mv2，解得v=gR​。进入磁场区瞬间,回路中电流强度I为(2)设ab棒与cd棒所受安培力的大小为F,安培力作用时间为t,ab棒在安培力作用下做减速运动,cd棒在安培力作用下做加速运动,当两棒速度达到相同速度v’时,电路中电流为零,安培力为零,cd达到最大速度.运用动量守恒定律得：解得(3)系统释放热量应等于系统机械能减少量,故有：解得4、解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变ΔS=[(x−v2​Δt)+v1​Δt]+t−lx=(v1​−v2​)lΔt由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E=BΔtΔS​回路中的电流i=2RE​，杆甲的运动方程F−Bli=ma由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量(t=0时为0）等于外力F的冲量Ft=mv1​+mv2​。联立以上各式解得v1​=21​[mF1​​+B2F2R​(F−ma)] v2​=21​[mF1​​−B2I22R​(F−ma)]，代入数据得v1​=8.15m/s​​v2​=1.85m/s