弹性力学徐芝纶课后习题答案

1习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2-1如果某一问题中，0zzxxy，只存在平面应力分量x，y，xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？(是)2-2如果某一问题中，0zzxzy，只存在平面应变分量x，y，xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？(是)2-3试分析说明，在不受任何面力作用的空间体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。(自由表面薄层中：000zyzxzxyxy近于平面应力问题)2-4试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图2-12，当板边上只受x，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。(000zyzyzxzyz只有0xyxy接近平面应变问题)2-5在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件0CM，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？(xyyx)3-1试考察应力函数3ay在图3-8所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。3-2取满足相容方程的应力函数为：（1）2axy，（2）2bxy，（3）2cxy，试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。3-3试考察应力函数223(34)2Fxyhyh能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。23-4试证2323334312410qxyyqyyyhhhh能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l，深度为h，体力不计）。3-5设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q，图3-10，试求应力分量。4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。4-2试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明,0BuAu可以满足此基本方程。4-4试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。4-5试由一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式［§4-3中的式(a)，(b)，(c)］。5-1长l悬臂梁，B端作用集中力P分别用1)最小势能原理2)(拉格郎日)位移变分方程求B端挠度(设2312vbxbx)6-6试求图6-25所示结构的结点位移和应力，取1,0tm。7-1试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个应力的平均值。7-2设某一物体发生如下的位移：012301230123uaaxayazvbbxbybzwccxcycz试证明：各个形变分量在物体内为常量（即所谓均匀形变）；在变形以后，物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面保持平行，平行线保持平行，正平行六面体变成斜平行六面体，圆球面变成椭球面。8-5半空间体在边界平面的一个圆面积上受有均布压力q。设圆面积的半径为a，试求圆心下方距边界为h处的位移。lABP33-1考察应力函数3ay在图示矩形板和坐标系能解决什么问题。解①4444224000xxyy满足双调和方程（相容方程）可作应力函数②应力分量(2-24)：22222600xyxyayyxxy③力边界条件(2-25)：xyxxyxyylmfmlf上下边界01:00xylmff左边界1060xxylmfayf右边界1060xxylmfayf④0a解决偏心拉伸问题0a解决偏心压缩问题3.2解：①2222022xyxyayaxyx力边界：xyxxyxyylmfmlf上边界0122xyylmfaxfay下边界0122xyylmfaxfay左边界1002xxyxylmffax右边界1002xyxylmfxfax②2222202xyxybxbyyx力边界：xyxxyxyylmfmlf上边界0120xyxyylmfbyf下边界0120xyxylmfbyf左边界1022xxyxylmfbxfby右边界1022xyxylmfxbxfby4③222222603xyxycxycyyxxy力边界：xyxxyxyylmfmlf上边界20130xyxyylmfcyf下边界20130xyxylmfcyf左边界21063xxyxylmfcxyfcy右边界21063xyxylmfxcxyfcy3-3、3-4解：1、将两种函数分别代入式中，得知能满足双调和方程，因此，可作为应力函数。2、由应力函数，可求得应力分量，考虑各边界条件后，可求得面力（或合力），从而得知各自能解决的问题，见表3-12所列。表3-12两种应力函数所对应的应力、面力、合力应力函数33232FxyFxyUhh(1)2323334321410qxyyqyyyUhhhh(2)应力分量32312,0632xyxyFxyhFyFhh23333323643543121232xyxyqxyqyqyhhhqyyhhqxyhh边界条件上边/2/2()0,()0yyhxyyh/2/2(),()0yyhxyyhq下边/2/2()0,()0yyhxyyh/2/2()0,()0yyhxyyh边界条件左端/2/2/2/2/2/2()0,()()hhxxlxyxlhhhxxlhdydyFydyFl/2/2/2/2/22/2()0,()()/2hhxxlxyxlhhhxxlhdydyqlydyql右端/2/2/2/2/2/2()0,()()hhxxlxyxlhhhxxlhdydyFydyFl/2/2/2/2/22/2()0,()()/2hhxxlxyxlhhhxxlhdydyqlydyql面力（合力）解决问题悬臂梁一端受集中力和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用，上边受均布载荷作用53-5解1、半逆解法确定主要边界0,()0xxb故可设0x即221220()()()xxfxfxyfxfxyyy444441444224()()00dfxdfxyxdxdxxyy40即44144()()0dfxdfxydxdx对y的任意值均成立则有：44()0dfxdx32()fxAxBxCx(略去了与应力无关的常数项)414()0dfxdx321()fxExFx(略去了与应力无关的常数项及次项)故3232()yAxBxCxExFx2、应力22220(62)62xxyyfxfyyAxBExFgyyx22(32)xyAxBxCxy3、边界条件定常数：0()00xyxC223200()(32)()000xyxbbxyyqAqAbBbqbqdxAbBbAbBBb上端面即0000()03200()020byybyydyEbFEFxdxEbF则2330(1)(2)xyxyqxqxxygybbbb4-1解：①物理方程完全相似，因为极坐标和直角坐标都是正交坐标等。②平衡方程多了非微分项，这是由于ⅰ)微分体二径向边不平行，使对方向的平衡产生了影响。ⅱ)二环向边不等长使在方向，0在Q方向产生附加影响。③几何方程多了非微分项这是由于微分体二径向边平不平行，u引起周向应变uu引起剪应变uu4-2仿照直角坐标系的旋转变换cossinsincosuuuu介上式：cossinsincosuuuuu64-3轴对称位移问题，导出按位移求解的基本方程，并证明0BuAu满足此方程解：按位移轴对称条件（应力也轴对称）：0()0()0uuu代入平衡方程0dd(a)几何方程0uduud(b)物理方程22()()011EE(c)(c)代入(a)得1(1)()0dddd(d)(b)代入(d)得位移轴对称问题按位移求解基本方程：22210duududd或1()0ddudd4-4试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。由几何方程所得应变间的关系即相容方程：0duud中第2式微分21111dduudd即相容方程0dqqd5-1长l悬臂梁，B端作用集中力P分别用1)最小势能原理2)(拉格郎日)位移变分方程求B端挠度(设2312bxbx)解：1)2312bxbx满足位移边界条件0000xxdvvdx应变能2221220011(26)22lldvUEIdxEIbbxdxdx222311222(33)EIblbblbl外力势能23112()()xVPvPblbl总势能2223231122122(33)()UVEIblbblblPblbl由0得：2212102(23)0EIblblPlb解得12PlbEI23312202(36)0EIblblPlb26PbEI则挠曲线方程为2323()263BxlPlPPlvxxvvEIEIEI2)2312vbxbx满足位移边界条件00()00xxdvvdx，应变能222311222(33)UEIblbblbl711112222xlxlUvbPbbbUvbPbbb位移变分方程UW221122331222(23)22(36)6PlbEIblblPlEIPEIblblPlbEI6-6试求图示结构的结点位移和应力，取10tm解：1、离散化如图，建立坐标系0xy，划分单元①②，节点编号1，2，3，4单元节点编号节点坐标eijk节点号xy①142101②2312103114002、单元刚度矩阵单元①111()(01)222ijjiAbcbc(或111122Axx)应变矩阵00000101010000101002101101ijmijmiijjmmbbbBcccAcbcbcb弹性矩阵21020010020121001002EED应力矩阵0020200202002121101ESDB单元刚度矩阵1011010202001031211213014002020101101TTKBDBtAEBStA14221141241241011110ijmijmbbyybyybyyccxxcxxcxxK11K14K12K41K44K42K21K24K228单元②单刚与①相同B符号相反，S符号也相反1011010202001031211213014002020101101EK3、整体分析整体刚度矩阵111213142122232431323341424430012011031011020130112010030211021103100440011213001021003112010013KKKKKKKKEEKKKKKKKKK整体刚度方程4、位移边界条件处理111222334430012011031011020013011200100302112110310004011213000102100310120100130uFvuvFEuvuv5、方程求解，去除123344000000uuu六个方程得：12211222121(3)312131(3)2uFFuFEvFvFFE6、单元应力，设12FFF则，1222FFuvEE222200000000TTFFFFEEEE0020200220202000000021011010TxyxyEFFsEE0020202220202000000221011010TxyxyFEFFsFEEK22K23K21K32K33K31K11K13K12①②①+②①+②②①①①①①②②②①+②②①+②①①②②②①9平均应力120xyxyFF7-1试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个主应力的平均值。证：取坐标面与三个主平面重合，由题意13lmn由式(7-3)，2221231231()3nlmn7-2解：1)123xyzuvwabcxyz122331xyyzyxvuwvuwbacbacxyyzzx2)平面方程0AxByCzD，按题意平面上任一点(,,xyz)位移到(,,)xuyvzw代入方程后仍是平面方程111222333000()()()()0AabcxBabcyCabczDabc3)设直线方程：1111212200AxByCzDAxByCzD即二平面的交线变形后，按2)得二个新的平面的交线，仍为直线4)二个平行平面：1200AxByCzDAxByCzD法线的方向数ABC。点(,,)xyz用(,,)xuyzw代替整理后，二平面的法线的方向数仍相同，即平行。由此推论：正平行六面体变形后成为斜平行六面体(由于xyyzzx的存在单元体变斜)5)把二平行线定义为二平行平面的法线，变形后按4)二新的平行平面的法线仍平行6)园球面方程2222xyza，点(,,)xyz用(,,)xuyzw代入可得形如2222111AxByCza的方程，即椭球面。8-5解：按(8-6)微元集中力qdd产生zu对d积分后得22222(1)22(1)2zqdhduhzEhz11222222222222200(1)22(1)(1)2(1)()()2aazqdhqqhuhhhzEEEhz2222(1)2(1)(12)(12)qahhEah②①