常微分方程教程丁同仁第二版答案完整版

常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x2−1)dx+(2x+1)dy=0解：P(x,y)=3x2−1，Q(x,y)=2x+1，则∂∂Py=0，∂∂Qx=2，所以∂∂Py≠∂∂Qx即，原方程不是恰当方程．２．(x+2y)dx+(2x+y)dy=0解：P(x,y)=x+2y,Q(x,y)=2x−y,则∂∂Py=2,∂∂Qx=2,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程则xdx+(2ydx+2xdy)−ydy=0,22两边积分得：x+2xy−y=C.223．(ax+by)dx+(bx+cy)dy=0(a,b和c为常数)．解：P(x,y)=ax+by,Q(x,y)=bx+cy,则∂∂Py=b,∂∂Qx=b,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程则axdx+bydx+bxdycydy=0,（）+两边积分得：ax2+bxy+cy2=C.224．(ax−by)dx+(bx−cy)dy=0(b≠0)解：P(x,y)=ax−by,Q(x,y)=bx−cy,则∂∂Py=−b,∂∂Qx=b,因为b≠0,所以∂∂Py≠∂∂Qx，即，原方程不为恰当方程-1­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案５．(t2+1)cosudu+2tsinudt=0解：P(t,u)=(t2+1)cosu,Q(t,u)=2tsinu则∂∂Pt=2tcosu,∂∂Qx=2tcosu,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程则(t2cosudu+2tsinudt)+cosudu=0,两边积分得：(t2+1)sinu=C.６．(yex+2ex+y2)dx+(ex+2xy)dy=0解：P(x,y=yex+2ex+y2,Q(x,y)=ex+2xy，则∂∂Py=ex+2y,∂∂Qx=ex+2y,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程则2exdx+[(yex+y2)dx+(ex+2xy)dy]=0,两边积分得：(2+y)ex+xy2=C.７．(y+x2)dx+(lnx−2y)dy=0x解：P(x,y)=y+x2Q(x,y)=lnx−2y,x则∂∂Py=1x,∂∂Qx=1x,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程则(ydx+lnxdy)+x2dx−2ydy=0x3两边积分得：x3+ylnx−y2=C.８．(ax2+by2)dx+cxydy=0(a,b和c为常数)解：P(x,y)=ax2+by2,Q(x,y)=cxy,则∂∂Py=2by,∂∂Qx=cy,所以当∂∂Py=∂∂Qx，即2b=c时，原方程为恰当方程-2­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案则ax2dx+(by2dx+cxydy)=03两边积分得：ax+bxy2=C.3而当2b≠c时原方程不是恰当方程．９．2s−1ds+s−2s2dt=0tt解：P(t,s)=2s−1,Q(t,s)=s−2s2,tt则∂∂Pt=1−t22s,∂∂Qs=1−t22s,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程,两边积分得：s−s2=C．t10．xf(x2+y2)dx+yf(x2+y2)dy=0,其中f(⋅)是连续的可微函数．解：P(x,y)=xf(x2+y2),Q(x,y)=yf(x2+y2),则∂∂Py=2xyf′,∂∂Qx=2xyf′,所以∂∂Py=∂∂Qx，即原方程为恰当方程,两边积分得：∫f(x2+y2)dx=C,即原方程的解为F(x2+y2)=C(其中F为f的原积分)．-3­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-21.求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dyx2(１)dx=y解：原方程即为：ydy=x2dx两边积分得：3y2−2x3=C,y≠0．dyx2(２)dx=y(1+x)32解：原方程即为：ydy=1+xx3dx两边积分得：3y2−2ln1+x3=C,y≠0,x≠−1．(３)dy+y2sinx=0dx解：当y≠0时原方程为：dy+sinxdx=0y2两边积分得：1+(c+cosx)y=0．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1+(c+cosx)y=0．dy22(４)dx=1+x+y+xy；解：原方程即为：1+dyy2=)(1+xdx2两边积分得：arctgy=x+x2+c，即y=tg(x+x22+c)．-4­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案(５)dy=(cosxcos2y)2dx解：①当cos2y≠0时原方程即为：(cosdy2y)2=(cosx)2dx两边积分得：2tg2y−2x−2sin2x=c．②cos2y=0，即y=kπ+π也是方程的解.(k∈N)24(６)xdy=1−y2dx解：①当y≠±1时dydx原方程即为：1−y2=x两边积分得：arcsiny−lnx=c．②y=±1也是方程的解.dyx−e−x(７)．dx=y+ey解．原方程即为：(y+ey)dy=(x−e−x)dx22两边积分得：y+ey=x+e−x+c，22原方程的解为：y2−x2+2(ey−e−x)=c.2.解下列微分方程的初值问题．(１)sin2xdx+cos3ydy=0,y(π)=π；23解：两边积分得：−cos22x+sin33y=c，即2sin3y−3cos2x=c因为y(π2)=π3,所以c=3.-5­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y−3cos2x=3．x(２)．xdx+ye−dy=0，y(0)=1；解：原方程即为：xexdx+ydy=0，两边积分得：(x−1)exdx+y22dy=c，因为y(0)=1，所以c=−12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x−1)exdx+y2dy+1=0．(３)．dr=r，r(0)=2；dθ解：原方程即为：dr=dθ，两边积分得：lnr−θ=c，r因为r(0)=2，所以c=ln2，所以原方程满足初值问题的解为：lnr−θ=ln2即r=2eθ．dylnx(４)．dx=1+y2,y(1)=0;解：原方程即为：(1+y2)dy=lnxdx,两边积分得：y3xxlny++−x=c,3因为y(1)=0，所以c=1，3所以原方程满足初值为：yxxlny++−x=132dy3(５)．1+xdx=xy，y(0)=1；dyx解：原方程即为：y3=1+x2dx，-6­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案2两边积分得：−12y−2=1+x+c，因为y(0)=1，所以c=−3，2所以原方程满足初值问题的解为：21+x2+y1=3．23.解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．(１)．dy=cosxdx解：两边积分得：y=sinx+c．积分曲线的简图如下：(２)．dxdy=ay，(常数a≠0)；解：①当y≠0时，原方程即为：aydy=dx积分得：a1lny=xc+，即y=ceax(c>0)②y=0也是方程的解．积分曲线的简图如下：y-7­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案(３)．dy=1−y2；dx解：①当y≠±1时，1+y原方程即为：(1−dyy2)=dx积分得：ln=2x+c，1−y即y=ce2x−1．ce2x+1②y=±1也是方程的解．积分曲线的简图如下：dyn1(４)．dx=y，(n=3,1,2)；解：①当y≠0时，1dyⅰ)n=3,2时，原方程即为yn=dx，积分得：x+1y1−n=c．n−1ⅱ)n=1时，原方程即为dyy=dx积分得：lny=x+c，即y=cex(c>0)．②y=0也是方程的解．积分曲线的简图如下：-8­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案4.跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．解：设B的运动轨迹为y=y(x),由题意及导数的几何意义，则有dyydxb2−y2，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足y(0)=b的解．=−解之得：x=12blnbb+−bb22+−yy22−b2−y2．5.设微分方程dy=f(y)(2.27)，其中f(y)在y=a的某邻域(例如，区间y−a<ε)dx内连续，而且f(y)=0⇔y=a，则在直线y=a上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，±εdy当且仅当瑕积分=∞(发散)．∫aaf(y)证明：(⇒)首先经过域R1：−∞<x<+∞,a−ε≤y<a和域R2：−∞<x<+∞,-9­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案a<y≤a+ε内任一点(x0,y0)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定dy=x−x0.(*)∫yy0f(y)这些积分曲线彼此不相交.其次，域R1(R2)内的所有积分曲线∫fdy(y)=x+c都可由其中一条，比如∫fdy(y)=x+c0沿着x轴的方向平移而得到。因此只需详细考虑经过R1内某一点(x0,a−ε)的积分曲线，它由(*)式确定.dydy若收敛，即存在x=x1，使得=x1−x0,∫−aaε∫aa−εf(y)f(y)即所讨论的积分曲线当x=x1时达到直线y=a上点(x1,a).由(*)式易看出，所论积分曲线在(x1,a)处与y=a相切，在这种情形下，经过此直线上的dy⇐一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以发散.()∫−aaεf(y)dy若积分发散，此时由(*)式易看出，所论的经过(x0,a−ε)的积分∫−aaεf(y)曲线，不可能达到直线y=a上，而以直线y=a为渐近线，又注意到y=a也是(２.13)的积分曲线，所以(2.13)过(x0,a−ε)的解是唯一的.注：对于R2内某点(x0,a+ε)完全可类似地证明.6.作出下列微分方程积分曲线族的大致图形．(１)．dy=；ydx-10­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案lnyy≠0dyy(２)．dx0==y0-11­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-31.求解微分方程：(１)dy+2y=xe−x;dx解：p(x)=2,q(x)=xe−x，由公式得：y=e−2x(c+∫xe−xe2xdx)=ce−2x+xe−x−e−x，原方程的解为：y=ce−2x+xe−x−e−x．dy(２)dx+ytgx=sin2x；解：p(x)=tgx,q(x)=sin2x，sinxd(cosx)+c，则有p(x)dx=tgxdx=dx=−dx=−lncosx∫∫∫∫cosxcosxlncosx−lncosxy=e(c+sin2xedx)∫sin2x=cosx(c+dx)=cosx(c−2cosx)=ccosx−2cos2x∫cosx原方程的解为：y=ccosx−2cos2x．dy1(３)xdx+2y=sinx,y(π)=π；dy2sinx2sinx解：原方程即为：dx+xy=x，则p(x)=x,q(x)=x，∫p(x)dx=∫2dx=lnx2+c，则有x−lnx2sinxlnxy=e(c+e2)∫x12∫=(c+xsinxdx)x1=2(c−xcosx+sinx)x因为y(π)=1，所以c=0．π原方程满足初值问题的解为：y=−1cosx+1sinx．2xxdy1(４)dx−1−x2y=1+x，y(0)=1；-12­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案12x−1解：p(x)=1−1x2,q(x)=1+x,∫p(x)dx=lnx+111−1122lnxx+1lnxx−+1dx)则y=e(c+∫(1+x)ex+1(c+∫x2−1dx)x>1x−1=x+1(c+∫1−x2dx)x<11−x要求满足初值问题y(0)=1的解x+1只需求(c+∫1−x2dx)x<11−xx+111=(c+arcsinx+x1−x2)1−x22代入初值得c=1x+111所以满足初值问题的解为y=(1+arcsinx+x1−x2).1−x222.将下列方程化为线性微分方程：dyx2+y2(１)dx=2y；解：令y2=z，则原方程化为：dz=z+x2．dx(２)dy=y；dxx+y2dxx+y2dx1解：由原方程得：，dy=y,即dy=yx+y．(３)3xy2dy+y3+x3=0；dx3dz12解：令y=z，则原方程化为：dx=−xz−x．-13­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案(４)dy=1+xtgy；dxcosydy1siny解：原方程即为：dx=cosy+xcosy即cosydy=1+xsiny.令z=siny，则dz=xz+1．dxdx03.设y=φ(x)满足微分不等式y′+a(x)y≤0,(x≥0)．求证：φ(x)≤φ(0)e−∫xa(s)ds,(x≥0)a()证明：将y′+a(x)y≤0两边同乘e∫0xsds则有∫x∫xa(s)dsa(s)dse0y′+e0a(x)y≤0ax(s)ds∫0即d(eφ(x))≤0从０到x积分得：dxe∫0xa(s)dsφ(x)≤φ(0)，得证．4.用常数变易法求解非齐次线性方程dy+p(x)y=q(x)．dx−p(x)dx解：设方程有形如y=c(x)e∫的解，将其代入方程则有−p(x)dx解：设方程有形如y=c(x)e∫的解，将其代入方程则有dc(x)−∫p(x)dx−∫p(x)dx−∫p(x)dxe−c(x)p(x)e+c(x)p(x)e=q(x)dx即dc(x)e−∫p(x)dx=q(x)，则c(x)=∫q(x)e∫p(x)dx+c，dx−p(x)dxp(x)dx所以方程的解为y=e∫(∫q(x)e∫+c).5.考虑方程dy+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是以ω>0为周期的连续函数．dx试证：(１)若q(x)=0，则方程的任一非零解以ω为周期⇔p(x)的平均值ωp=1∫p(x)dx=0．ω0(２)若q(x)≠0，则方程的有唯一的ω周期解⇔p≠0．试求出此解．-14­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案证明：(１)设y=φ(x)是方程的任一非零解xx+wdx−dx则y=ce−∫0()xxp,且y=ce∫x0)(+wxp,也是解xx+wxx+w−∫dx−dx−p(x)dx−p(x)dxxxp0()∫x0)(+wxp∫x0∫x⇔e=e,=eeωp(x)dxω∫0⇔e=1⇔∫0p(x)dx=0−∫p(x)dx−∫dt(2)方程的通解为y=ce0x+∫xptsqse0()()x选择常数c使y(x)成为ω周期函数，即y(x+w)=y(x)(*)我们先来证明，要使(*)对所有x成立，其实只需对某一特定x(例如x=0)成立,即只需y(ω)=y(0).事实上，由于y(x)是方程的解，且p(x+w)=p(x)q(x+w)=q(x)，所以y(x+w)也是解.因此，函数u(x)=y(x+w)−y(x)是相应齐次方程y′+p(x)y=0满足初始条件y(0)=0的解。又因为此齐次方程的解或者恒等于０，或者恒不等于０，所以u(x)=0，从而y(w)=y(0)，由x的任意性，则有y(x+w)=y(x)。0即ce−∫pw(x)dx+∫qsew−0()0()∫wxptdtds=c.所以c=1∫−wxdxpxdxpqxew0()()0()∫wdx.∫01−e6.连续函数f(x)在区间−∞<x<+∞上有界，证明：方程y′+y=f(x)在区间−∞<x<+∞有并且只有一个有界解．试求出这个解．并进而证明：当f(x)还是以ω为周期函数时，这个解也是以ω为周期的周期函数.证明：显然方程为一阶线性微分微分方程，由一阶线性微分微分方程解的求解公式得其解 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式为：−∫0∫dxy=cedsx∫sefxs−0)(()sefxdxs∫−+011()x，=ce−x+xds0因为f(x)有界，所以要使y有界，当且仅当c=∫−∞f(s)eds．从而原方程的唯一有界解为-15­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案x0xxy=ce−x+∫sefxs−0)()(ds=∫−∞−()sefsxds+∫sefxs−0)()(ds=∫−∞f(s)e(s−x)ds．下面说明当f(x)是以ω为周期函数时，这个解也是以ω为周期的周期函数．y(x+ω)=∫ωsefxxs+−∞−−()(ω)ds，令t=s−ω，则ωxxy(x+ω)=∫+−∞−−sefxxs()(ω)ds=∫−∞f(t+ω)e(t−x)dt=∫−∞()(ftet−x)dt=y(x)，所以此解为一周期函数．7.令空间H0=｛f(x)｜f是以2π为周期的连续函数｝．易知H0关于实数域,构成一个线性空间.∀f∈H0，定义它的模f=f(x)．证明H0是一个完备的空间．利max≤x≤2π0用式(2.40)可以在空间H0中定义一个变换φ，它把f变成y．试证：φ是一个从H0到H0的线性算子，而且它是有界的．证明：(１)先证H0是一个完备的空间．设{fn(x)}是(H0,⋅)中的一个基本列.那么∀ε>0,∃N(ε),∋∀m,n>N(ε)有fm(x)−fn(x)=maxfm(x)−fn(x)<ε0≤x≤2π所以∀0<x<2π，fm(x)−fn(x)<ε(*)，固定x∈[0,2π]，则{fn(x)}是基本的，从而limn→∞fn(x)存在，记为f0(x)，在(∗)中令m→∞，得到f0(x)−fn(x)<ε，所以fn(x)一致收敛到f0(x)，从而在H0中fn收敛到f0，所以定义的空间是完备的。(２)证φ是一个线性有界算子。1π①φ(cffccffc()22112)22211+=++)(s)dsexxsxaa(∫−−πe−11π1=c∫−−exxsxaa(π+f12)21(s)ds+cπexxsxaa(∫−−πf22)22+(s)dse−1e−1=c1φ(f1)+c2φ(f2)所以φ是一个线性算子。-16­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案12)0+≤≤πexxsxaax(22∫−−ππ②φ(f)=maxf(s)dse−11≤max+≤π2ds)0esdsfxxsxaxsxax∫−−+≤≤≤πππ(222()maxe−1≤f=kf2eaaππ41e−1a所以φ是有界算子.-17­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-41.(１)(２)(３)(４)求解下列微分方程：y′=22xy−−yx；解：令y=ux，则原方程化为xdu+u=2u−1，dx2−u1−u1即u22−−u1du=dxx，积分得：ln−lnu2−1=lnx+c1+u2还原变量并化简得：(y−x)=c(x+y)3y′=22xy−−yx−+45；解：由22xy−−yx−+54==00得xy==1−2令u=x−1,v=y+2，则有dv=2v−u，由第一题的结果知此方程解为(v−u)=c(u+v)3，du2u−v还原变量并化简得：y−x+3=c(x+y+1)3.y′=2xx++24yy+−11；dvdyv+1解：令v=x+2y，则dx=1+2dx=1+22v−1，即dv=4v+1，此方程为变量分离方程，dx2v−1分离变量并积分得：12v−83ln4v+1=x+c，还原变量并化简得：8y−4x−3ln4x+8y+1=c．y′=x3y3−xy．解：①当y≠0时，方程两边同时乘以−2y−3,则−2y−3y′=−2x3+2xy−2，令-18­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案2z=y−2，则dz=2xz−2x3,此方程为一阶线性方程，由公式得：z=cex+x2+1dx还原变量得：y2=(cex2+x2+1)−1.②y=0也是方程的解．2.利用适当的变换，求解下列方程：(１)y′=cos(x−y)；dudy解：令u=x−y，则dx=1−dx=1−cosu，①当cosu≠1时，有du=dx，即du=dx，1−cosu2u2sin21u两边积分得：2ctg2=x+c还原变量化简得：cosx−2y=2xsinx−2y+csinx−2y．②当cosu=1时，即y=x+2kπ(k∈Z)也是方程的解．(２)(3uv+v2)du+(u2+uv)dv=0；解：方程两边同时乘以u则原方程化为：(3u2v+uv2)du+(u3+u2v)dv=0，即(3u2vdu+u3dv)+(uv2du+u2vdv)=0此方程为全微分方程，则原方程的解为：u3v+1u2v2=c．222dyx2(３)(x+y+3)dx=2x(2y−y)；解：原方程即为2ydy=4y2−2x2，令x2=v,y2=u，2xdxx2+y2+3则du=4u−2v,由4u−2v=0得u=−1，令m=u+1，则有dvu+v+3u+v+3=0v=−2n=v+2dm4m−2nmdmdz4z−2dn=m+n令n=z，则m=zn，dn=dnn+z=z+1，-19­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案则有dzn=(1−z)(z−2)，此方程为变量分离方程，dnz+1分离变量并积分得：ln(z−1)32=c+lnn，2−z还原变量并化简得：(x2−y2+1)2=c(−2x2+y2−3)3.dy2x3+3xy2−7x(４)dx=3xy+2y−8y．23解：原方程即为2ydy=2x2+3y2−7，令u=y2,v=x2,2xdx3x2+2y2−8则du=2v+3u−7，由2v+3u−7=0⇒u=1，令m=u−1，dv3v+2u−83v+2u+8=0v=2n=v−2则dm=2n+3m，令m=z，可将方程化为变量分离形方程，dn3n+2mn1+z1(3+2z)dz=dn，两边积分得：3ln=lnn+c，−ln1−z21−z2还原变量并化简得：(x2−y2−1)5=c(x2+y2−3)．2−2z2n43.求解下列微分方程：(１)．y′=−y2−41x2；解：令z=xy，则原方程可化为：dz=1(−z2+z−1)，dxx4z≠12时，即xy≠12时方程为−11)2dz=dxx，此方程为变量分离方程，(z−2两边积分得：11=lnx+cz−2还原变量并化简得：y=1+1；2xxlnx+cx11当z=2时，y=2x是方程的特解．-20­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案(２)．x2y′=x2y2+xy+1；解：原方程即为：y′=y2+y+1，2xx令z=xy，则dz=1(z+1)2，此方程为变量分离方程，dxx分离变量积分得：−z1+1=ln+c，x还原变量并化简得：y=−1−1．xxlnx+cx4.试把二阶微分方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0化为一个黎卡提方程．udxudxudxudx解：令y=e∫，则y′=ue∫，y′′=u2e∫+u′e∫，代入原方程可得：y′′+p(x)y′+q(x)y=u2e∫udx+u′e∫udx＋p(x)ue∫udx+q(x)e∫udx＝０，即有：u2+u′+p(x)u+q(x)=0，此方程为一个黎卡提方程．5.求一曲线，使得过这一曲线上任一点的切线与该点向径的夹角等于45．解：设此曲线为y=y(x)，由题意得：dyy−dxdyxy=tg45=1，化简得：dy=x+y，dxx−y1+dxx此方程为齐次方程，解之得：arctgy−1ln(x2+y2)=c．x26.探照灯的反光镜(旋转面)应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？解：取点光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，建立三维坐标系．设所求曲面由曲线y=f(x)绕x轴旋转而成,则求反射镜面问题归结为求xy平面上z=0的曲线y=f(x)的问题．由题意及光的反射定律，可得到函数y=f(x)所应满足的微分方程式：dy=xy2+y2，此方程为齐次方程，dxx+-21­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案解之得：y2=c(c+2x)，(其中c为任意正常数)．y2=c(c+2x)就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此反射镜面的形状为旋转抛物面y2+z2=c(c+2x)．-22­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-5１．求解下列微分方程：(１)．(3x2y+2xy+y3)dx+(x2+y2)dy=0；解：方程两边同乘3e3x，则(9e3xx2ydx+6e3xxydx+3e3xx2dy)+(3e3xy3dx+3e3xy2)dy=0，此方程为全微分方程，即3e3xx2y+e3xy3=c．(２)．ydx+(2xy−e−2y)dy=0；解：方程两边同乘1ye2y，则e2ydx+(2xe2y−1y)dy=0即(e2ydx+2xe2ydy)−1ydy=0y此方程为全微分方程，即有xe2y−ln=c．(３)．(3x+6)dx+(x2+3y)dy=0；yyx解：方程两边同乘xy，则232(3xy+6x)dx+(x+3y)dy=0即(3x2ydx+x3dy)+(6xdx+3y2dy)=0此方程为全微分方程，即有x3y+y3+3x2=c．(４)．(x2+2xdy=0;ydx−y+)1ydx−xdy解：方程两边同乘x+y，则x+y−dy=0，2222此方程为全微分方程，即arctgxy−y=c322(5)．2xydx+(xy−1)dy=0；-23­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案解：方程两边同乘12，则2xydx+(x122−)dy=0，yy此方程为全微分方程，即1y+x2y=c.(6)．y(1+xy)dx−xdy=0；解：方程两边同乘1，则xdx+(1dx−xdy)=0，y2yy2此方程为全微分方程，即xy+12x2=c.322(7)ydx+2(x−xy)dy=0；解：方程两边同乘x12y，则(y22dx−2ydy)+2dy=0，xxy此方程为全微分方程，即−y2+2lny=cxxx(8)．edx+(ectgy+2ycosy)dy=0解：方程两边同乘siny，则xx(esinydx+ecosydy)+ycsin2ydy=0，此方程为全微分方程，即xcosy−1y1sin2=eycos2+yc.242.证明方程(5.1)有形如µ=µ(φ(x,y))的积分因子的充要条件是∂P∂Q−Q∂∂Qy−P∂x∂P=f(φ(x,y))，并写出这个积分因子。然后将结果应用到下列各种情形，得∂x∂y出存在每一种积分因子的充要条件:(1)µ=µ(x±y);(2)µ=µ(x2+y2);(3)µ=µ(xy);-24­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案y(4)µ=µ();(5)µ=µ(xαyβ).x证明：⇒若µ=µ(φ(x,y))是P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的积分因子,则∂(µ(φ(x,∂yy)P(x,y))=∂(µ(φ(x,∂yx)Q(x,y))，∂P∂φ∂Q∂φ即∂yµ(φ(x,y))+µ′(φ(x,y))∂yP=∂xµ(φ(x,y))+µ′(φ(x,y))∂xQ(⇐)以上过程可逆，故充分性显然.∂P∂Q∂P∂Q−−∂y∂x∂y∂x22(1)=f(x±y)(2)=f(x+y)QP2xQ−2yP∂P∂Q∂P∂Q−−∂y∂x∂y∂xy(3)=f(xy)(4)=f()yQ−xPy1x−Q−Px2x∂P∂Q−∂y∂xαβ(5)=f(xy)α−1βεβ−1αxyQ−βxyP3.证明齐次方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0有积分因子µ=xP+1yQ.证明：作变换y=ux，则由P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是齐次方程，我们有P(x,ux)dx+Q(x,ux)(udx+xdu)mmm+1=[xP(1,u)+uxQ(1,u)]dx+xQ(1,u)du=0方程两边同乘yQ1+xP=x[P(1,u)1+uQ(1,u)]，则有m+11dx+Q(1,u)du=0，显然此方程为全微分方程．xP(1,u)+uQ(1,u)4.证明定理６及其逆定理：在定理６的假定下，若µ1是微分方程(5.1)的另一个积分因子，则µ1必可表为µ1=µg(φ)的形式，其中函数g和φ的意义与在定理６中相同．-25­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案证明：(定理６)因为µ=µ(φ(x,y))是(5.1)的积分因子，且使得：µP(x,y)dx+µQ(x,y)dy=dφ(x,y)，则∂φ=µP(x,y)，∂φ=µQ(x,y)dy.∂x∂y要判断是否为积分因子，只需验证下列等式成立：∂(µP(x,y))φ′∂g(φ(x,y))+µP(x,y)g=∂y∂y∂(µQ(x,y))φ′∂g(φ(x,y))+µQ(x,y)g,∂x∂x显然∂(µP∂(yx,y))=∂(µQ∂(xx,y)),且µP(x,y)g′∂φ=µQ(x,y)g′∂φ，所以µ1=µg(φ)是(5.1)的积分因子．∂y∂x(逆定理)由定理条件假定µ也是(5.1)的积分因子且使得µP(x,y)dx+µQ(x,y)dy=dφ(x,y).设µ1是微分方程(5.1)的另一个积分因子,且设µ1=µf(x,y)µf(x,y)P(x,y)dx+µf(x,y)Q(x,y)dy=dϕ(x,y),则∂(µP∂(yx,y))=∂(µQ∂(xx,y)),即∂∂fyµP(x,y)+f(x,y)∂(µP∂(yx,y))=∂∂fyµQ(x,y)+f(x,y)∂(µQ∂(yx,y)),所以∂∂fyddxφ=∂∂fxddyφ,则f=g(φ(x,y))．５．设函数P(x,y),Q(x,y),µ1(x,y),µ2(x,y)都是连续可微的，而且µ1,µ2是微分方程(5.1)µ(x,y)µ的两个积分因子,µ21(x,y)≠常数。试证µ21≠c是方程(5.1)的一个通积分.证明：利用P47的定理６令g(φ(x,y))=φ(x,y)，-26­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案则µ1(x,y))=µ(x,y)φ(x,y)是(5.1)的积分因子，µ1(,)xy即µ(,)φ(,),显然有φxy)xy=xy(,是方程(5.1)的通积分.-27­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题2-6１．求下列各曲线族的正交轨线族：(１)x2+y2=c；解：由方程得：x2+y2=cx，消去c有:dy=y2−x2,(2x−c)dx+2ydy=0dx2xydy2xy则所求正交轨线的微分方程为dx=x2−y2，亦即2xydx−(x2−y2)dy=0，所以所求正交轨线族为x2+y2=cy．(２)．xy=c；解：由方程得：xy=c，消去c有:dy=−y,xdy+ydx=0dxxdyx则所求正交轨线的微分方程为dx=y，亦即ydx−xdy=0，所以所求正交轨线族为x2−y2=c．(３)．y2=ax3；y2=ax3dy3y解：由方程得：2ydy−3axdx=0，消去c有:=,2dx2x则所求正交轨线的微分方程为dy=−2x，dx3y亦即2xdx+3ydy=0，所以所求正交轨线族为2x2+3y2=c(４)．x2+c2y2=1．2221dy−xy解：由方程得：2xxdx+c+2yc2=ydy=0，消去c有:dx=1−x2-28­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案则所求正交轨线的微分方程为dxdy=xyx21−，亦即ydy(+x−)1dxx=0，所以所求正交轨线族为x2+y2−2lnx=c．或者2x+2yln−2x=c.2.求与下列各曲线相交成45角的曲线族：(１)．xy−2=c；解：由方程得：−=−22dxdyyx=c0，消去c有:dxdy=21,则所求等角轨线的微分方程为dxdy=452114521tgtg−+，亦即3dx−dy=0，所以所求等角轨线族为x3−y=c．(２)．xy=c；xy=cdy−y解：由方程得：xdy+ydx=0，消去c有:dx=x,−ydy则所求等角轨线的微分方程为dx=x+ytg45，1−(−)tg45x亦即(x−y)dx−(x+y)dy=0，所以所求等角轨线族为x2−y2−2xy=c．(３)．y=xlnax；y=xlnaxdyx+y解：由方程得：dy−(lnax+1)dx=0，消去a有:dx=x,-29­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案x+y则所求等角轨线的微分方程为dy=1−(x+tg)tg4545，dxx+yx亦即(2x+y)dx+ydy=0，所以所求等角轨线族为ln(2x2+xy+y2)−2arctg(22y+x)=c77x(４)．y2=4ax．解：由方程得：y2=4ax，消去a有:dy=y,2ydy−4adx=0dx2xydy2x则所求等角轨线的微分方程为dx=1−(+ytg)tg4545，2x亦即(2x+y)dx−(2x−y)dy=0，所以所求等角轨线族为ln(2x2−xy+y2)−6arctg(22y−x)=c77x3.给定双曲线x2−y2=c，(其中c为任意常数)．设有一个动点P在平面(x,y)上移动，它的轨迹与和它相交的每条双曲线均成30角，又设此动点从P0(0,1)出发，试求这动点的轨迹．解：由题意知，此轨迹即为与双曲线x2−y2=c相交成30角的曲线族．由方程得：x2−y2=c，消去c有:dy=x2xdx−2ydy=0dxyx则所求轨线的微分方程为dy=y+tg30，所以所求轨线族为dxx1−tg30y3x2−3y2+3xy=c，又因为此轨迹过P0(0,1)点，所以c=−3，222所以所求轨迹为3x2−3y2+23xy+3=0．-30­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案4.追线：在xoy平面上，有某物P从原点出发，以常速a>0沿x轴的正方向运动．同时又有某物Q以常速b从点(0,1)出发追赶．设b>a，且Q的运动方向永远指向P．试求Q的运动轨迹，以及追上P的时间．解：设Q的运动轨迹为y=y(x)，由题意知y=y(x)即是下列初值问题的解．aadxyby−bdy=2−2，x(1)=0，aa1+1−此方程为一变量分离方程，解之得：x=2y(1b+−1)−2y(1b−−1)．aabb当P,Q在T时刻相遇时，即有x(aT)=0,代入其轨迹方程求得：T=2(b2b−a2)．5.逃逸速度：假设地球的半径为R=6437公里，地面上的重力加速度为9.8米/秒2，又设质量为的火箭在地面以初速v0垂直上升，假设不计空气阻力和其它任何星球的引力．试求火箭的逃逸速度，即：使火箭一去不复返的最小初速度v0．解：由物理学知识知，此逃逸速度满足下列式子：gmMmv2R2=R0(其中M为地球的质量)将数据代入上式求得：v0=7.94(公里／秒)．6.设某社会的总人数为N，当时流行一种传染病，得病人数为x．设传染病人数的扩大率与得病人数和未得病人数的乘积成正比．试讨论传染病人数的发展趋势，并以此解释对传染病人进行隔离的必要性．解：设传染病人数是时间t的函数，并设题中的正比例系数为p.则由题意得：xt()=pxt()(N−xt())pNtcNe此方程为一变量分离方程，分离变量并积分得：x(t)=1+cepNt-31­x常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案又因为最初得病人数为x，所以x(0)=x，代入求得c=Nx−x，所以传染病人数的发展趋势可表示为：pNtNex(t)=N−xx，(其中x为最初得病人数)．pNt1+eN−x由上式我们可以看出，当t→+∞时，x(t)→N，所以及时对传染病人进行隔离是必要的．-32­常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案习题3-