10_数学分析简明教程答案(尹小玲_邓东皋)[1]

10_数学分析简明教程答案(尹小玲_邓东皋)[1] 第十章 数项级数 ?1 级数问题的提出 ,,,xy，y，xy,01(证明:若微分方程有多项式解 2n， y,a，ax，ax，？，ax012n 则必有( a,0(i,1,2,？,n)i 2n证明 由多项式解得 y,a，ax，ax，？，ax012n 2n,1,， y,a，2ax，3ax，？，nax123n 2n,2,,. y,2a，6ax，12ax，？，n(n,1)ax234n 23n,1,,从而 ， xy,2ax，6ax，12ax，？，n(n,1)ax234n 23n,1nn，1且 . xy,ax，ax，ax，？，ax，ax，ax012n,2n,1n ,,,xy，y，xy,0将上述结果代入微分方程，得 23 a，(a，4a)x，(a，9a)x，(a，16a)x1021324 2n,1nn，1. ，？，(a，na)x，ax，ax,0n,2nn,1n 比较系数得递推公式如下: ,,a0,1,a，4a,0,02, ,a，9a,0,13, ？？, ,2，,ana0,n,2n, ,a,0,n,1,a,0.n, 由此解得，因而( a,a,a,？,a,0a,0(i,0,1,2,？,n)012ni ,nax2(试确定系数，使满足勒让德方程 a,a,？,a,？,n01nn,0 2,,,. (1,x)y,2xy，l(l，1)y,0 ,,,nn,1n,2,,,y,axy,naxy,n(n,1)ax解 设，则，，故 ,,,nnnn0n,2,n,1 ,,,22n2n2n,,,,(1,x)y,(1,x)n(n,1)ax,n(n,1)ax,n(n,1)ax， ,,,nnnn2n2n2,,, ,,n1n,,,2xy,,2xnax,,2nax， ,,nnn1n1,, ,,nnl(l，1)y,l(l，1)ax,l(l，1)ax. ,,nnn0n0,, 2,,,将上述结果代入勒让德方程，得 (1,x)y,2xy，l(l，1)y,0 2,,, 0,(1,x)y,2xy，l(l，1)y ,,,,n2nnn,,n(n,1)ax,n(n,1)ax,2nax，l(l，1)ax ,,,,nnnnn2n2n1n0,,,, ,,,,nnnn,(n，2)(n，1)ax,n(n,1)ax,2nax，l(l，1)ax. ,,,,n2nnn，n0n2n1n0,,,, 比较系数，得递推公式如下: (，1)，2,0,llaa,02,(,1)(，2)，6,0,llaa13, ,(,2)(，3)，12,0,llaa24,？？ , ,(,(,1))(，)，(，1),0,lnlnannan,1n，1, (l,n)(l，n，1)a，(n，2)(n，1)a,0,,nn，2,？？., 由此解得 l(l，1),a,,a,20,2,(l,2)(l，3)(l,2)l(l，1)(l，3),a,,a,a,420,4，34，3，2,？？, ,(,2，2)(,2，4)？(，1)(，3)？(，2,1)lklkllllkka,(,1)a,,k20(2k)!, ,？？,,(l,1)(l，2),,,,aa31,3，2 ,(l,3)(l，4)(l,3)(l,1)(l，2)(l，4),a,,a,a,5315，45，4，3，2, ,？？,(l,2k，1)(l,2k，3)？(l,1)(l，2)(l，4)？(l，2k)k,aa,(,1),2k，11,k(2，1)!,,？？ , 从而可以得到 ,，，(22)(24)(1)(21),，,，，，,lklk？ll？lkkk2 (1),，,yaax,00,,(2)!kk,1，， ,，，(21)(23)(1)(2)(2),，,，,，，lklk？ll？lkkk2，1. (1)，，,axax,11,,(21)!，kk,1，， 其中取任何常数( a,a01 ?2 数项级数的收敛性及其基本性质 1(求下列级数的和: ,1(1); ,(5n,4)(5n，1)n1, ,1(2); ,24n,1n1, ,n1,,(1)(3); ,,n12,n1 ,21n,(4); ,n2n1, ,nrsinnx,r,1(5); ,n1, ,nrcosnx,r,1(6)( ,n1, 1111,,,,解(1)由于，故 ,,(5n,4)(5n，1)55n,45n，1,, 111S,，，，？ n1，66，11(5n,4)(5n，1) 111111,,,1,，,，？，, ,,566115n,45n，1,, 111,,,1,,(n,,)， ,,55n，15,, 1所以级数的和. S,5 1111,,,,2)由于(，故 ,,2nn22,12，1n4,1,, 111111111,,,,S,1,，,，？，,,1,,(n,,). ,,,,n23352n,12n，122n，12,,,, 1所以级数的和. S,2 n,1n,1,,(1)112,,,,,,,(3)( ,,,,n,11232,,,,n,1n,11,,,,2,, n,,,,2,1212nnn,,(4)，因此欲求原级数的和，只需计算级数,,,,1,,,,,,nnn2222,,1111n,n,n,n, ,,nn222462n即可(对级数，设其部分和，则 ,，，，？，S,,nnn23n222222,1,1nn 1246222,nn， ,，，，，，S？n234nn，1222222 故 1122222n1 ,,,，，，，，,SSS？nnn234nn，12222222 11112n,,12,，，，，，,？ ,,234nn，122222,, n,1,,11,,,,1,,,2,,22,,2n,,. ,，,12n，1121,2 ,,2n,12n1,,1,4,1,3limS,4从而，即，因此原级数( limS,2,,nnnnn,,n,,22211n,n, nkS,rsinkx(5)由于级数的部分和，故 ,n,1k nn，1，1kk,,2rcosxS,2rsinkxcosx,rsin(k，1)x，sin(k,1)x ,,n,1,1kk nn，1，1kk,rsin(k，1)x，rsin(k,1)x ,,,1,1kk n，1n,1k2k,rsinkx，rrsinkx ,,k,2k,0 n，12n， ,(S，rsin(n，1)x,rsinx)，r(S,rsinnx)nn 从中解得 21n，n，rsinx，rsinnx,rsin(n，1)xS,. n21，r,2rcosxn，2n，2n，1n，1rsinnx,r,0,rsin(n，1)x,r,0又由于当时，，故 n,, rsinxlimS,， n2,,n1，r,2rcosx ,rsinxnrsinnx,因此( ,21，r,2rcosxn1, nkS,rcoskx(6)级数的部分和，从而 ,n,1k nn，1，1kk,,2rcosxS,2rcoskxcosx,rcos(k，1)x，cos(k,1)x ,,n,1,1kk nn，1，1kk,rcos(k，1)x，rcos(k,1)x ,,,1,1kk n，1n,1k2k,rcoskx，rrcoskx ,,k,2k,0 n，12n， ,(S，rcos(n，1)x,rcosx)，r(S，1,rcosnx)nn 从中解得 2122n，n，rcosx，rcosnx,rcos(n，1)x,rrcosx,rlimS,lim,. n22n,,n,,1，r,2rcosx1，r,2rcosx 2,rcosx,rnrcosnx,因此( ,21，r,2rcosxn1, 2(讨论下列级数的敛散性: ,n(1); ,2n,1n1, ,11,,，(2); ,,,nn23,,n1, ,,cos(3); ,2n，1n1, ,1(4); ,(3n,2)(3n，1)n1, ,1(5)( ,n(n，1)(n，n，1)n1, n1解(1)由于通项，故原级数发散( ,,0(n,,)2n,12 nn,,,,1111,,,,(2)由于，均收敛，故原级数收敛( ,,,,,,,,,,nn2323,,,,n1n1n1n1,,,, ,(3)由于通项，故原级数发散( cos,cos0,1,0(n,,)2n，1 (4)由于 1111,,,,， ,,(3n,2)(3n，1)33n,23n，1,, 从而部分和 111S,，，，？ n1，44，7(3n,2)(3n，1) 111111,,,1,，,，？，, ,,34473n,23n，1,, 111,,,1,,(n,,)， ,,33n，13,, 因而原级数收敛( ,,1n，1,n11(5)由于,,,,,，从而时， n,,,,n(n，1)(n，n，1)nn，1nn，1,, 1111111S,,，,，？，,,1,,1， n1223nn，1n，1 故原级数收敛( 3(证明定理10.2( ,,, uv(u,v)定理10.2 若级数,收敛，则级数也收敛，且 ,,,nnnnn,1n1n,1, ,,, (u,v),u,v. ,,,nnnnn1n1n1,,, nn ,,S,u,S,vs,s明 设，则由已知条件知，存在有限数，使得 证,,nknk,1,1kk nn ,,limS,limu,s,limS,limv,s， ,,nknk,,,,,,,,nnnn,1,1kk, (u,v)设级数的部分和数列为，则 ,,nnnn1, nnn ,,,,(u,v),u,v,S,S,s,s(n,,)， ,,,nkkkknn,1,1,1kkk ,,,, (u,v)(u,v),u,v所以也收敛，且( ,,,,nnnnnnn1n1n1n1,,,, ,, uU4(设级数各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数，即 ,,nnn,1n,1 U,u，u，？，u,n,0,1,2,？， n，1k，1k，2knnn，1 , U其中，若收敛，证明原来的级数也收敛( k,0,k,k,k,？,k,k,？,n0012nn，1n,1 nn S,u,,,U证明 设，则 ,,nknk,1,1kk n ,,U,U，U，？，U ,nk12n,k1 ,(u，u，？，u)，(u，u，？，u)12kk，1k，2k1112 . ，？，(u，u，？，u),Sk，1k，2kkn,1n,1nn , U由于收敛，故有界，即{}有界，即存在，使得，都有.SM,0,n,NS,M{,},nkknnnn,1 , u又由于是正项级数，故，而且{}单调上升，由单调有界原理可知，S,S,MS,nnknnn,1 , u原级数收敛( ,nn,1 ?3 正项级数 1(判别下列级数的收敛性: ,1(1); ,2n1,n，n ,1(2); ,,2n1(2n,1)2,n1 ,n,n(3); ,2n,1n1, ,,sin(4); ,n2n,1 ,1(a,1)(5); ,n1，an1, ,1(6); ,nnnn,1 n,1,,(7); ,,,2n1，,,1,n ,1(8); ,n,,ln(n，1)n1, n,，,2(1)(9); ,n2,n1 ,,n2sin10); (,n3,1n ,,nn(3(1))sin，,(11); ,n5n1, 1,nsin2(12); ,n!n,1 ,1,,n1,cos(13); ,,,n,,n1, ,1cos(14); ,n,1n ,,,11(15); ,，,ln1,,,nnn1,,, ,nln(1，)(16); ,2nn1, ,11sinarcsin(17); ,nnn,1 ,,arctann(18); ,n2n,1 ,,,1,,11，,(19); ,,,nn,1,, 2,，，1,,，,(20)( 11,,,,,2n,,n1,,,，， 1 ,,,2111nn，lim,1解(1)(由于，而发散，所以级数发,,,22n,,1n,1nn1n1,n，n,n，n n 散( ,1(2)(对任意正整数，都成立关系式 n,,2n1(2n,1)2,n1 112， ,,2n,12n,12n(2n,1)222 ,2而级数收敛，由比较判别法知，原级数收敛( ,2n2,1n ,,n,nnn,1n,nlim,,0(3)(由于，所以级数发散( ,,n,,n2,122n,12n,1n1n1,, ,sin,,,n,,12sinsin(4)(由于，而收敛，故收敛( lim,,,,,nnnn,,1222,1nnn,1,1n2 nn,,11111,,,,,,(5)(由于，故，而收敛，由比较判a,1,,,,,,nnn1，aaa1，aa,,,,n1,n1, ,1别法知，级数收敛( ,n1，an1, 1 ,,,n1111nn(6)(由于，而发散，故发散( lim,lim,1,,,nnnn,,n,,1nnnnnn,1nnn,1,1 n nnn,,1111,,,,,,n(7)(由于lim,lim,0,1，故级数,,,,,,,,n,,n,,nn2，12，12n12n1，，,,,,,,11,,nn 收敛( n,,,111n(8)(由于，故原级数收敛( ,,lim,lim,0,1,n,,n,,n,,nnln(，1)ln(，1),,ln(n，1)n1,,, n,，,2(1)(9)( ,n2,n1 nnn,,,,,2(1)1(1)，,,,1(1),，，而和均收敛，故方法1因为,,,,,,1nn1nn,n22222,1,n1n1n1n1n,,, n,，,2(1)收敛( ,n2n1, nn,,，,2(1)2，(,1)33,方法2 由于对一切都成立，而收敛，故收敛( n,,nnnn2222,1n1n, ,,nnn2sin2sin,,nn,2,,n332sin(10)(由于limlim，而收敛，故,,,,,,,nnn,,n,,133n,1,,n2n1,,,2,n,,33,,原级数收敛( ,,,,nnnn(3(1))sin，,4sin11)(由于，因此，若收敛，则原(3，(,1),4,,nn55,1n1,n ,,nnn4sin4sin,,nn,4,,n554sin级数收敛.考虑级数，由于,,，且收,limlim,,,,nnn,,n,,155n,1,,n4n1,,,,4n,,55,, ,,n4sin敛，故收敛，因而原级数收敛( ,n5,1n 1n,,nsin21sin21(12)(由于，而收敛，因而原级数收敛( ,,,n!n!n!n!,1nn,1 1,,12n1cos,,,2sin,,111n,,,,n2n1,coslimlim(13)(由于,,，而发散，,,,,n,,n,,11nn2,,,1n1n,2nn 因而原级数发散( ,11cos(14)(由于，由级数收敛的必要条件知，原级数发散( limcos,1,0,n,,nn,1n ,,,,111ln,1，,ln,1，,,,,,,,n,,111nn,,,,(15)(由于，而收lim,lim,1,，,ln1,,3,,n,,n,,11nn,1nn1,,,2n3n2n敛，故原级数收敛( 1nln(1，),,2nln(1，)nln(1，)1nlim,lim,0(16)(由于，而级数收敛，,,23n,,n,,1nnn1,,1n2n3 2n故原级数收敛( 11sinarcsin,,111nnsinarcsin(17)(由于，而级数收敛，故原级数lim,1,,2n,,1nnn,1nn,12n 收敛( ,narctan,,n,n2arctann(18)(由于极限，而对于级数，根据lim,,,,nnn,,n22,1nn,1n2 ,n1nnlim,,1，故由根式判别法知，级数收敛，因而原级数收敛( ,nnn,,222,1n ,,,1,,11(19)，,(对通项进行分子有理化可得 ,,,nn,1,, 1 11111n1，,1,,,,,， n2(n，1)1112n(n，1)1，，1n，n1，2n1，nnn ,1由于发散，故原级数发散( ,2(n，1)n,1 22,,,，，211121,,,,,(20)，,(由于，而级数均1，,1,，11,,,,,,,,,242242nnnnnn,,nn,1,1,,n1,,,，， 收敛，因而原级数收敛( 2(判别下列级数的敛散性: n,n(1); ,n!,1n ,nlnn(2); ,n2n,1 n,!2n(3); ,nn,1n n,!3n(4); ,nn,1n n,!ne(5); ,nn,1n 2,n(6); ,n,n11,,n，,,n,, n,22n，1,,7); (,,,3n,2,,n,1 n,n(8); ,n1，n1,22(3n，n) n,x(9); (x,0),2n？(1，x)(1，x)(1，x)n1, 33,53,5,73,5,7,9(10)( ，，，，？11,41,4,71,4,7,10 ，n1(n，1)nnn,,nnn，1(n，1)!,,lim,lim,e,1解(1)(由于，所以发散( ,,,,n,,,,nnn!n!nn,,,1,1nn n! ,nlnn(2)(由于 ,n2n,1 nnn(，1)ln(，1)，1,,ln,,n，1nnn，1ln(，1)，11,,n2,,， lim,lim,lim,lim1，,,1,,n,,n,,n,,n,,nlnnnnnn2ln2ln2,,,,,,n2,, 根据达朗贝尔判别法知，原级数收敛( ，n1(n，1)!2nnnn，1,,!2!2nnn2(n，1),,lim,2lim,,1(3)(由于，故收敛( ,,,,nnn,,,,nnnnn，1en!2,,,1,1nn nn ，n1(n，1)!3nnnn，1,,!3!3nnn3(n，1),,lim,3lim,,1(4)(由于，故发散( ,,,,nnn,,,,nnnnn，1en!3,,,1,1nn nn n,!ne(5)(这个级数不能用达朗贝尔判别法和柯西判别法判别，也不能用拉阿比,nn,1n 判别法判别，但由斯特林公式可知 n,n,,12n， n!,2n,e(0,,,1),,e,, n,n,,n12n,2nee,,,nn!ee,,12n因而，通项的极限不为0，由级数收敛的,,2n,e,2n,nnnn n,!ne必要条件知原级数发散( ,nn,1n 2222n,,nn()nn(6)(因为，故收敛( lim,lim,0,1,,nnn,,,,nn1n,,n11n111,,,,,,n，n，n，n，,,,,,,nnnn,,,,,, nn,222n，1nn2，12，12,,,,n(7)(由于，由柯西判别法lim,lim,,1,,,,,n,,n,,,3n2nn3,23,23,,,,,n1 知，原级数收敛( nnn,nnn1(8)(由于，,,0(n,,),n1n，1n，2n1,3n，n222222(3n，n)(3n，n)(3n，n) nn,,nn因此，如果级数收敛，则原级数也收敛.考虑级数，由于,,nnn1n1,,2222(3n，n)(3n，n) nnn1lim,lim,,1，故它收敛，因而原级数也收敛( nn2n,,n,,3nn3，22nn(3，) n,x(9)(当时，级数显然收敛;当时，x,0x,0(x,0),2n？(1，x)(1，x)(1，x)n1, 由于 n，1xx,0x1,,,,2n，1,？x1(1x)(1x)(1x)，，，limlim,x1,,,, ,nn，1n,,n,,2x1x，,0,x1.,2n,？(1x)(1x)(1x)，，， n,x因而x,0收敛，因此原级数对一切收敛( ,2n(1，x)(1，x)？(1，x)n1, 3,5,7？(2n，1)33,53,5,73,5,7,9u,(10)(级数的一般项，，，，，？n1,4,7？(3n,2)11,41,4,71,4,7,10由于 ？n3,5,7(2，3) u？nn2，321,4,7(3，1)1n，lim,lim,lim,,1， n,,n,,n,,？3,5,7(2n，1)un3，13n ？n1,4,7(3,2)因而原级数收敛( 3(判别级数的敛散性: ,1(1); ,lnnn,1n ,1(2); ,lnn(lnn),1n ,1(3); ,lnn2,1n ,1(4); ,lnn3n,1 ,1(5); ,n3,1n ,n(6); ,n3,1n ,lnn(7)(是任意实数); p,pn,1n ,1(8)(是任意实数)( p,pnlnnn,2 ,,1111n,9lnn,2n,9解(1)(当时，故当时，而收敛，由,,,ln2nlnn2nnnn,1,1nn 比较判别法知，原级数收敛( ,111ln(lnn),，,(n,,),(2)(由于，且，故存在N，,lnnlnnln(lnn)(lnn)nn(ln),1n ,1ln(lnn)2lnn2ln(lnn),2n,nn,Nn,N当时，从而，即当时，，而级数(lnn),n,2n,1n 收敛，故原级数收敛( ,1(3)( ,lnn2,1n 方法1 由于 1,,1,,ln1，,,1,,,,n,,,,ln1，n,,ln,,u21,nn2,,,,,,,,nnn， lim1lim1lim21lim,,,,,,,,nnnn,,,,,,,,,,11u,,n，1,,,,,,n，ln(1)n2,, 0该极限为型极限，由L,hospital法则得 0 1,,ln1，,,11,,1n,,,,ln1，2,ln2,,,,,,2n1,,1，n2,1,,n， lim,lim,ln2,1nn,,,,11,2nn 由Raabe判别法知，原级数发散( ,111lnnlnn2,e,n方法2 由于，所以，而级数发散，由比较判别法知，原,,lnnnn2,1n,1级数发散. ,lnn2,1n 1,ln(1，),,,,u1nn,,,,limn,1,limn3,1,ln3,1(4)(由于，由Raabe判别法,lnn,,,,n,,n,,3un,1n，1,,,, 知，原级数收敛( ,1lnnlnn(a,0)a,e,n一般地，对，当0,a,e时，对一切n,N，成立，,lnnan1, ,,,u111n,,所以，从而发散;当时，由于，由Raabe,limn,1,lna,1a,e,lnnlnn,,n,,anau,1nn，1,, ,1判别法知，级数收敛( ,lnna,1n ,nn21lim,，,,(5)(由于，所以存在N,0，当n,N时，有，,nn,,lnnlnnln33,1n ,,1111n2,即，从而，故，而收敛，故收敛( nln3,2lnn3,n,,22nnnn33,1,1nn ,nn3nlim,，,,(6)(由于，所以存在N,0，当n,N时，有，,nn,,lnnlnnln33,1n ,,1nn1n3,即，从而，故，而收敛，故收敛( nln3,3lnn3,n,,22nnnn33,1,1nn ,,ln1n1lnn(7)(是任意实数)(由于当时，，所以若发散，n,3,p,,ppppnnnn,1nn,1 ,,1lnnp,1p,1则原级数必发散，而时发散，因而时，原级数发散( ,,ppnn,1nn,1 p,1当时，由于 xxxlnt11lnx111,p,p，1dt,lnt,tdt,lntdt,,，， pp,12p,12,,,1111,p1,ptx(1,p)x(1,p) x，,lntlnx1limdt,dx,因而，利用柯西积分判别法知，原级数收敛( pp2,,11x,,tx(1,p) ,,1111p,1,(8)(是任意实数)(当时，由于且收敛，p,,ppppnlnnnnlnnnnn,2,2 p,1故原级数收敛;当时，由于 xx11， dt,dlnt,ln(lnx),ln(ln2),,22tlntlnt x，,11p,1lim因而，由柯西积分判别法知，原级数发散;当时，dt,dx,，,,,22x,,lnlnttxx ,111p,1,由于，而就是前面时的级数，已证得它发散，因而原级数,pnlnnnlnnnlnnn,2 发散( 4(利用Taylor公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性: pn,，，1,,,，(1)e; 1,,,,,n,,n1,,,，， p,，，1ln(2); ,,,,cos,n3n，， ,n,1p(n，1,n)ln(3); ,n，1n1, ,24(n，a,n，n，b)(4)( ,n1, pnx,，，111,,,,,,lnf(x),xln1，,，f(x),1，e解(1)(令，则，从而 1,,,,,,,,,xnx,,,,,,n1,,,，， 1，，x,2,,，，1111,,,,,,x,， f(x),f(x)ln1，，x,1，ln1，,,,,,,,,,,,1xxxx，1,,,,,,，，,,1，,,x，， 因此 nn，，111,,,,1,,0,1，ln1，,,，,,,,e1,,n,,,,0nnn，1，，111n,,,,,,,,,,,,，，2lim,lim,limn1，ln1，,,,,,,,,,,,,,,,nnn11nnn，1,,,,,,，，,,,2nn n,,，，111111,,,,,,2 ,limn1，,，，,,,,,,,,,,233,,nnnn，12n3nn,,,,,,，，,, n,,，，11111,,,,,,2 ,，,，，,lim1n,,,,,,,,233,,n，nn(n1)2n3nn,,,,,,，，,, n2,,，，11111ne,,,,,,. lim1,，,，，,,,,e,,,,,,,,,,n(1)2322，nnnnn,,,,,,，，,, n,111,,p,1该极限为有限数，因而与是同阶无穷小量，由于当时收敛，e,1，,,,pnnn,,n,1 pn,，，1,,p,1p,1p,1,，时发散，因而原级数e当时收敛，时发散( 1,,,,,n,,n1,,,，， p,，，1ln(2)(由于 ,,,,cos,n3n，， 111,,,,,22lnlnseclnsecln1tan,,,， ,,,cosn2n2n,,n 22,,,(tan)1,,,,22n,,,tan,，,tan， ,,,,nn22,,,, 2，，1111,故limln，这是一个有限数，从而与是同阶无穷小量，因ln,,,22,,n,,coscos2nnnn，， p,,，，1112p,1ln此原级数与的收敛性一致，所以当即时，原级数收敛，p,,,,,2p,cosn2,1,nn3n，， 12p,1而当即时，原级数发散( p,2 ,n,1n,1pp(n，1,n)ln(3)(由于，，故原级数(n，1,n),0ln,0,n，1n，1n1, 是负项级数，又由于 p,,n,112,,p (n，1,n)(,1)ln,,,ln1，,,,,n，1n,1n，1，n,,,, p,,,,121,,， ,,,,，,,,,,,,,n,1n,1n，1，n,,,,,, n,1p1pp,0故(n，1,n)ln与是同阶无穷小量，因而当，即时，原级，1,1p，1n，122n p,0时，原级数发散( 数收敛， ,24(n，a,n，n，b)(4)(因为 ,n1, 2(n，a),n，n，b24 n，a,n，n，b,24n，a，n，n，b 2(2a,1)n，a,b,， 224(n，a，n，n，b)(n，a，n，n，b) 1111因而当时，上式与是同阶无穷小量，故原级数收敛;当时，上式与是a,a,312222nn 同阶无穷小量，故原级数发散( 5(讨论下列级数的收敛性: ,1(1); ,pn(lnn),2n ,1(2); ,n,lnn,lnlnnn2, ,1(,,0)(3); ,1,，nnn(ln)lnlnn2, ,1(4)( ,pqn(lnn)(lnlnn)n,2 ,11[2,，,)f(x),解(1)(令函数，则该函数在非负、连续且单,ppn(lnn)x(lnx),2n 调下降( xx11p,1当时，由于，因limdt,limdlnt,lim(ln(lnx),ln(ln2)),，,,,22x,,x,,x,,tlntlnt 而原级数发散( p,1当时，由于 xxx1,p limf(t)dt,limdt,lim(lnt)dlnt,,,p222,,,,,,xxxt(lnt) 11,p1,p,lim，，(lnx),(ln2) x,,1,p ，,,,p1,,,1,p(ln2) ,,,,p1.,,p1, p,1p,1因而由柯西积分判别法知，当时级数发散，当时级数收敛( ,1p,1p,1综上可知，级数在时收敛，在时发散( ,pn(lnn),2n ,11f(x),(2)(根据级数通项，可令函数，则u,nn,lnn,lnlnnx,lnx,lnlnxn2, f(x)[2,，,)且在非负、连续且单调下降，由于 u,f(n),(n,2)n xxx11 limf(t)dt,limdlnt,limdlnlnt,,,222,,,,,,xxxlntlnlntlnlnt ,lim,,lnlnlnx,lnlnln2,，,. x,, 由柯西积分判别法知，原级数发散( ,1(,,0)limlnlnn,，,(3)(由于，故当充分大时，n,1,，n,,nnn(ln)lnlnn2, ,111,lnlnn,1，因而，由(1)知收敛，从而原级,,1,，1，,1，n(lnn)n(lnn)lnlnnn(lnn)n,2数收敛( ,1(4)( ,pqn(lnn)(lnlnn)n,2 ，,，,11p,1q,1dx,dln(lnx)当时，由于，故时级数收qq,,22xlnx(lnlnx)(lnlnx) q,1敛，时级数发散( p,1，2,(,,0)p,1时，令，则 当 11u， ,,npq1，,,qn(lnn)(lnlnn)n(lnn)(lnn)(lnlnn) q,q,由于，故存在，任意时，，N,0n,N(lnn)(lnlnn),1lim(lnn)(lnlnn),，,n,, ,11从而u,，而由(1)知收敛，从而原级数收敛( ,n,1，,1，n(lnn)n(lnn)n,1 p,1,2,(,,0)p,1当时，令，则 ,1(lnn)， u,,npq1,,qn(lnn)(lnlnn)n(lnn)(lnlnn),,(lnn)1n(ln)u,由于，从而当充分大时，，从而，而由,，,n,1n1,,qqn(lnn)(lnlnn)n(lnln),1(1)知发散，因此原级数发散( ,,1,n(lnn)n,1 ,1p,1,q,1p,1综上可知，原级数的收敛情况是:当或时收,pqn(lnn)(ln(lnn)),2n p,1,q,1p,1敛，当或时发散( 6(利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性( p,，，(2n1)!!,(1) (是实数); p,,,(2n)!!n1,，， ,,,,？n(，1)(，,1)1(,,0,,,0)(2)( ,,n!nn1, pp,，，，，(2n,1)!!(2n1)!!,u,解(1)级数的通项，因而根据二项展开式得 ,n,,,,(2n)!!(2n)!!n1,，，，， p，，,,,,u,，nn(21)!!(22)!!n,,,,,,,,nn,, lim1lim1,,,,nn,,,,unn，(2)!!(21)!!,,,,n1，,,，， p，，2n，2n,,pp ,,,limn,1,lim(2n，2),(2n，1),,,,p,,,,nn2n，1(2n，1),,,,，， npp,1ppp,1,,，，，，,lim(2n)，p(2n),2，？，2,(2n)，p(2n)，？，1pn,,(2n，1) pp,1(2)(21)，，,,,npn？p . lim,,pn,,2(21)，n 2n，21(上式也可以在第二个等式处将化为直接使用二项展开式)，所以当1，2n，12n，1ppp,2p,2即时，原级数收敛，当即时，原级数发散( ,1,122 p,2当时，Raabe判别法失效，此时，由于对一切， n 22令，，u,111nn，,,,nn11， ,，,，，,,，，,,,,,222u2n1nn，n(2n1)n，,,，1，，n ,,1,,,1即而且,,1，因而根据高斯判别法知，原级数发散( n ,,,,？n(，1)(，,1)1(,,0,,,0)2)(. ,,n!nn1, 根据原级数的通项知 ,,,u？(，1)(，n,1)1(n，1)!,n,,(n，1) ,,,？,un!(，1)(，n)nn，1 ,,(n，1)(n，1)n，11,,， ,,1，,,,,n，n,(，n)n,, 因而 ,1,,,n，，,n,(1)1,,,，，,,un，11n,,,,n,,n,,n，,,n lim1lim11lim,,,,,,n,,n,,n,,un，,nn，,,,,,n，1,,，， ,,,1,,,,(n，1),1，，,,n,,,,,nn,,,,,lim,1,,，,， n,,,1，n 1,,，,,11,,，,,1,,,,,,所以当，即时级数收敛;当，即时级数发散, ,,,当时，Raabe判别法失效，此时由于 ,u,,，，,n11n1,,(,1)11,,,,n ,，,,，，，,,11,,,,,22,，，unnnn2nn,,,,,,,,n，1 ,,,,,，，,，，,，n1(n1)(n1)(1)n11,, ,，，，,,,,22,,,，，，nn(n)n,，2n(n)n,, 令，，,11(n，1)(,1)n，1,,,n， ,1，，，,,(1),，，,,,22n2(n，)n，nnn,,，，,,1,,,1即而且显然有界，因而根据高斯判别法可知，原级数发散( ,n ,,,, uvmax(u,v)min(u,v)7(已知两正项级数和发散，问，两级数的,,,,nnnnnnn,1n1,1n,1n, 收敛性如何, ,, max(u,v)u答 级数一定发散(事实上，，而发散，max(u,v),u,0,,nnnnnn1n,n,1, max(u,v)故发散( ,nn1n, nn,,,，,,,1(1)1(1),min(u,v)可能收敛，也可能发散(例如均发散，但由,,,nn22,,n1n1n,1 , min(u,v)于对一切都成立，故收敛( min(u,v),0n,nnnnn,1 ,aana，2，，？12na8(若正项级数收敛，证明:( lim,0,n,,nnn,1 , a证明 设正项级数的部分和，则下述两式成立: S,a，a，？，a,nn12nn,1 ， (*) S，S，？，S,(n,1)a，(n,2)a，？，a12n,112n,1 ， (**) nS,na，na，？，nan12n用(**)减去(*)得 ， nS,(S，S，？，S),a，2a，？，nan12n,112n两端同时除以可得 n nSSSSaana,(，，？，)，2，？，n12n,112n， ,nn nSSSSSaana(,1)，，？，，，2，？，n12n,1n12n即 ， ,,nnn , alimSlimS,s由于正项级数收敛，因而存在，假设，根据收敛数列的算术平均数,nnnn,,,,nn,1 S，S，，S？12n构成的新数列收敛，且与原数列极限相等可知，，因此 lim,s,,nn a，2a，，na(n,1)SS，S，，S，S？？,,12nn12n,1n， lim,lim,,s,s,0,,n,,n,,nnn,, 从而结论成立( 1,2,,,,,1,2,,ankk？n2,,n9(设 ,1,a,,k,1,2,？,22k,k, , alimna,0求证:(1) 收敛;(2) ( ,nnn,,n,1 ,,,,,111a,证明(1)由于收敛，故收敛，而收敛，从a,2,,,,,n222knk22n,1nk1k1,,n1,nkn1,nk,,,, ,,, a而收敛，即收敛( a，a2,n,,nk2n,1k1,n1,nk,, 1222limna,0kak{ka}(2)考虑的一个子列，则，即( nalim,lim,122nn2kkn,,n,,n,,k a，1nnlim,l10, 设，且，求证(反之是否成立? a,0lima,lnn,,n,,nan ,,an证明 令,，构造数列u，则的前项的几何平均数可构成一个a,1{}{u}n,,n0nan,1,, 新数列，由于新数列收敛且与数列极限相同，故 {u}n an，1n，1l,lim,limu,limuu？u n，1n，1n1n,,n,,n,,an ，1naaaaa，1n，121nnn，1n,lim,？,,lim,lima， n1，n,,,,,,nnnaaaa1,110nn 因而结论成立( n,，,2(1)反之不真，反例如级数，由于 ,n2n1, nnn112，(,1)31nn， ,,,,,ann22222 1n故lim,，而 ann,,2 m,m212aa323121mm，221， ,,,,,,,mm，221a12a3622m,m212a1n，1,从而，因此反之结论不一定成立( limn,,a2n 11(利用级数收敛的必要条件证明: nn(1); lim,02,,nn(!) (2n)!(2)( lim,0(a,1)n!,,na nn,nn证明(1)(考虑级数，由于 lim,0,22,,nn(n!)(!)n,1 nu11,,，1n， ,1，,0(n,,),,u1，nn,,n nn,nn故级数收敛，因而( lim,0,22,,n(n!)n(!)n,1 ,(2)!n(2n)!(2)(考虑级数，由于 lim,0(a,1),!nn!,,naa,1n u(2n，2)(2n，1)n1，,,0(n,,)， n!nuan ,(2)!n(2n)!所以级数收敛，因而( lim,0(a,1),!nn!,,naa,1n ,2a12(设，且数列有界，证明级数收敛( {na}a,0,nnnn,1 Ma证明 由数列有界知，存在M,0，对,n,N，都有，从而，{na},na,Mnnnn 2,,1M22a,a进一步可得，又由于收敛，因而由比较判别法知，级数收敛( ,,nn22nnn,1,1n ,, aaa13(设正项级数收敛，证明也收敛( ,,nnn，1n,1n,1 ,,1aaaa证明 由于对任意，均成立，而级数和级数均,(a，a)n,,n，1nn，1nnn，12n,1n,1 ,, (a，a)aa收敛，从而级数也收敛，由比较判别法知，级数收敛( ,,nn，1nn，1n1,n,1 lima,l14(设，求证: nn,, ,1(1)当时，收敛; l,1,annn,1 ,12)当(l,1时，发散( ,annn,1 问时会有什么结论, l,1 l,1lima,l证明(1)当时，令，则由知，存在，时，有 l,1N,n,N,,0,nn,,2 l,1l，1， a,l,,,l,,,1n22 ,111,从而当时，，而收敛，故原级数收敛( n,N,，1l，1lannn,122nn 1,llima,lM(2)当时，令，则由知，存在，时，有 l,1,n,M,,0,nn,,2 1,ll，1， a,l，,,l，,,1n22 ,111,从而当n,M时，而发散，故原级数发散( ,，1l，1lannn,122nn plnlnn,1，plnlnn1plnnn(lnn),na,1，当l,1时，考虑级数，由于，令，,npn(lnn)lnnn,2 p,1p,1lima,1则，此即为本题l,1的情形，但由第5题(1)知，该级数在时收敛，nn,, ,1l,1时发散，从而当时，级数可能收敛也可能发散( ,annn,1 ?4 一般项级数 1(讨论下列级数的收敛性: ,nn(1); (,1),n，100n1, ,lnnn,sin2); (,2nn,1 111？1，，，，,nn23,(1)(3); ,nn1, n,(,1)(4); ,nn，(,1)n2, ,2sin(,n，1)(5); ,n,1 n(n1),,2(1),(6); ,n3n1, n,(,1)(p,0)(7); ,pnn1, ,1n,sin(8); ,n32n1, ,ncos2n,(1)(9); ,nn1, 2,sinnn(,1)(10); ,nn,1,xn(,1)sin(x,0)(11); ,nn1, n,(,1)n(12); ,2(n，1),n1111111,，,，？，,，？(13); 2,12，13,13，1n,1n，1 n1，,(,1)a(a,0)(14); ,nn1，an1, 1,,n，sin,,,n,,(15); ,nn1, 2,sinn,sinn(16)( ,n,n1 ,n100,xxn,f(x),解(1)(令，则f(x),，显然当(,1),2x，100n，1002x(x，100)n1, ,f(x),0f(x)时，即单调下降并趋向于0(由于级数前有限项的值不影响该级数x,100 的敛散性，因而由Leibniz判别法知原交错级数收敛( ,lnnn,sin(2)(由于 ,2nn,1 ，,,,0,n2k,kZ,n,,sin ,k，1，2(,1),n,2k,1,k,Z,, ,,lnnnln(2k,1)lnx,k1，sin,(,1)f(x),舍去偶数项，原级数变成交错级数(令，,,n22k,1xn1k1,, 1,lnx,,f(x),0f(x)则，显然当时，即单调下降并趋向于0(因而从第3x,3f(x),2x lnn,,项开始，数列单调下降并趋向于0，故取奇数时该数列也是单调下降并趋向于0n,,n,, 的，由Leibniz判别法知，原交错级数收敛( 111，，，？，1,n23n(,1)(3)(由于数列的前项的算术平均数构成的新数列极限n,nn1, 111，，，，1？,,1,,23n与原数列极限相等，故根据数列单调递减趋向于0知，数列单调,,,,nn,,,, 递减趋向于0，又因为原级数是一个交错级数，由Leibniz判别法知原交错级数收敛( n,(,1)(4)(由于 ,nn，(,1)n2, ,,nnnnn，，,,,,,(1)(1)1(1)(1)1(1)11,,,,,,,,，,,，1OO， ,,,,n3,,nnn,(1)，,n(1)nnnn,,,,，，2，1n,,n n,,,(,1)11而级数及收敛，但级数发散，因而原级数发散( ,,,3nn,,2n2n,2n2n ,2sin(,n，1)5)(由于 (,n1, 22n2sin(,n，1),sin(n,，,(n，1,n)),(,1)sin,(n，1,n) ,n,(,1)sin， 2n，1，n ,,,sin又由于单调下降趋于0，故由Leibniz判别法知原级数收敛( ,,2n，1，n,, n(n1),,n(n1),,,22(1)(,1)1,,(6)(由于收敛，故原级数绝对收敛，因而自身,,,nnn333,,n1n1n1, 收敛( n,(,1)1(p,0)(7)(由于单调递减趋向于0，根据Leibniz判别法知原级数收,ppnnn1, 0,p,1p,1敛(进一步可知:当时级数条件收敛，当时级数绝对收敛( ,,1n,1n,11sinsin,(8)(由于，而收敛，故原级数收敛且绝对收,,nnnn223333,1n1,n 敛( ,cos2nn,(1)(9)(由于 ,nn1, n 2sin1cos2k,2sin1cos2，2sin1cos4，？，2sin1cos2n ,,1k ,(sin3,sin1)，(sin5,sin3)，？，(sin(2n，1),sin(2n,1)) ,sin(2n，1),sin1， ,nsin(21)sin111，,n,,cos2n故，即的部分和数列有界，而数列单cos2,,k,,,,n2sin1sin1,,n,1,1k ,,ncos2ncos2n,(1)调趋于0，由Dirichlet判别法知级数收敛，即收敛，从而原级,,nnnn1,1, 数收敛( 2,nsinn,(1)(10)(由于 ,nn1, 2,,,,sinn1cos2n1cos2n,nnnn(,1),(,1),(,1),(,1)， ,,,,n2n2n2nn1n1n1n1,,,, ,,1cos2nnn(,1)(,1)又由于收敛，由上题知亦收敛，因此原级数收敛( ,,2n2nn1n1,, ,xn(,1)sin(x,0)(11)( ,nn1, xxx,若，则存在，当时，0，从而sin,sin，即当x,0n,N,,n,NNxxx2n，1nn ,xxx,,nsin时，单调下降，又，因而由Leibniz判别法知，级数收(1)sinlimsin,0,,,,n,,nnn,,nN,x ,xn(,1)sin敛，因而原级数收敛. ,nn1, xxx,,,,sin,sin若，则存在，当时，，从而，即当x,0n,N,,,0n,NNxxxn，1n2n ,x,,nsin(,1)时，数列单调趋于0，又的部分和数列有界，由Dirichlet判别法知，原级,,,n,,,n1 数收敛( 综上可知当x,0时，原级数收敛( n,,,nn，1(,1)nn,(12)(不难验证，故数列单调下降趋于0，,,,2222(n，1)(n，2)(n，1)(n，1)n1,,,由Leibniz判别法知原级数收敛( 111111,，,，？，,，？(13). 2,12，13,13，1n,1n，1 11n，1,n，12,,,由于，设该级数部分和数列为，则,,Snn,1n,1n,1n，1 11111111,,？？S,,，,，，,,21，，，，,,n2n,12,12，13,13，1n,1n，1,,limS,，,即，从而部分和数列发散，因此原级数发散( ,,Snnn,, n1，,(,1)a(a,0)(14)( ,nn1，an1, aaa,,,,，由于，故，从而数列有界.又因先考虑数列a,00,,a,,,,nnn1a1a，，1，a,,,, aa,,,,为时，关于单调下降;时，关于单调增加，因而数a,10,a,1nn,,,,nn1a1a，，,,,, ，n1,a(,1),,列单调有界.又因为级数显然收敛，因此由Abel判别法知，当时，a,0,,,nn1a，,,,n1 原级数收敛( 1,,n，sin,,,111,,n,,sinn，,sinncos，cosnsin(15)(由于，故 ,,,nnnn,,n1, 1,,n，sin,,,,nnsin1cos1n,,,,,，， cossin,,,,nnnnn,,n1n1,, ,nsin1,,cos由本节例4知级数收敛，又数列单调上升且有界，由Abel判别法知，级,,,nn,,n,1 ,,nnsin1cos1cossin数收敛.同理级数亦收敛，因而原级数收敛( ,,nnnnn1n1,, 2,sin,sinnn12(16)(取a，，则数列单调下降趋于0，b,sinn,sinn,,a,,nnnnn,n1 , b级数的部分和数列满足 ,,B,nnn,1 nnn1222 ,,B,b,sink,sink,cos(k,k),cos(k，k),,,nk2,1,1,1kkk n1 ,,,cosk(k,1),cosk(k，1),2,1k 1 ,cos0,cos2，cos2,cos6，？，cosn(n,1),cosn(n，1)2 1， ,cos0,cosn(n，1),12 2,,,nnsin,sinab,b即的部分和数列有界，由Dirichlet判别法知原级数收敛( ,,,nnnnn,1n1n1,, 2(讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛: n,(1),(1); ,n，x,n1 n,sin(2x)(2); ,n!,1n ,sinnx(0,x,,)(3); ,nn1, ,cosnx(0,x,,)(4); ,pnn1, n,(,1)lnn(5); ,n,n1 nn,,,3(1)，,(6); sinn,n5n1, ,1nnn,(1)sin(7); ,nn1, nn,,(1)1,,(8); ，1,,,nn,,1,n n,(,1)(9); (p,0),1pn1,n，n n,(,1)(10); (p,0),pnn2,,,n，(,1) n,(,1)(11); ,1p，n1,nn n2n,x2sinn1,,(1)(12); ,nn1, n,,,x,,,lima,a,0(13); ,n,,,,na1,nn,, ,nn，n(,1)r(r,0)(14); ,n1, n,x,,(15); n!,,,n,,n1, n,，，,(1)p,0(16)，其中; ，ln1,,,pnn1,，， n,(,1)(17); ,pn1,n1,,,n，(,1) n,sin,4(18)( ,npn,1，nsin,4 n,(1),解(1)( ,n，x,n1 1,,由于x,R是一定值，故当充分大时，数列单调下降趋于0，因而由Leibnizn,,n，x,, 判别法知，原级数收敛( 1n,,,1,(1)1nx，,再考虑级数，由于，而发散，故由比较判别lim,1,,,n,,1nn，xn，x,1nn1n1,, n n,,(1)法的极限形式知，级数发散(因而原级数条件收敛( ,n，xn1, nn,,1sin(2x)sin(2x)1n,N,x,R(2)(由于，这对一切都成立，而级数,,,n!n!n!n!,1nn,1 n,sin(2x)收敛，由比较判别法知，级数收敛，即原级数绝对收敛( ,n!n,1 ,,nxsinnxsin(0,x,,)(3)(由本节例4知级数收敛，又因为 ,,nnnn1,1, 2sinnxsinnx1cos2nx1cos2nx,,,,,， nn2n2n2n ,,,cos2nx1cos2nx1,,,而级数发散，收敛，因而级数发散，由比较判别法知,,,,,2n2n2n2n,,,1nnn1,1, ,sinnx级数发散，即原级数条件收敛( ,nn,1 ,cosnx(0,x,,)(4)( ,pnn1, ,,cosnx11cosnx,p,1当时，对任，由于，而收敛，故级数0,x,,,,ppppnnnnnn,1,1收敛，因而原级数绝对收敛( ,1,,0,p,1cosnx当时，由于单调下降趋于0，且部分和有界，从而由Dirichlet,,,pn,,n,1 2,,nxcosnxcosnx1cos2nxcos1,,，收敛(但由于，而发判别法知级数,,ppppppnn2n2n2nnnn,1,1 ,,cos2nxcosnx0,p,1散，收敛，因而发散(从而当时，原级数对一切0,x,,,,pp2nnnn,1,1 条件收敛( 2p,0limcosnx,0当时，由于对一切0,x,,，有(如若不然，则，milcosnx,0x,,x,, 1cos2111，nx120limcoslimlimcos2从而，矛盾)，而，故,1,nx,,，nx,px,,x,,x,,2222n nxcos，由级数收敛的必要条件知原级数发散( lim,0px,,n 0,p,1p,0p,1综上可知，原级数当时绝对收敛、当时条件收敛、当时发散( n,(,1)lnn(5)( ,n,n1 lnn,,由于数列单调递减并趋向于0，由Leibniz判别法知原级数收敛;再考虑级数,,n,, nn,,,1lnn1nn(,1)ln(,1)ln，由于，而发散，因而级数lim,limlnn,，,,,,n,,n,,nnnnn,1nn1n1,,发散，即原级数条件收敛( nnnnnn,,,,3(1)4,,3，(,1)4，,,,,,(6)sinn(由于，而收敛，因而sinn,,,,,,,nn5555,,,,n1n1,, 原级数绝对收敛( ,1111,,nnnn,(1)sinn(7)(由于当时，，而当充分大时，数列n,,nsin~,,,nnnn,,n1, ,1n,(1)单调递减趋于0，由Leibniz判别法知，级数收敛，从而原级数收敛;再考虑级,nn1, 1nnsin,,,111nnnnnn,,(1)sinsin数，由于，而发散，因而级数lim,1,,,,,n1nnn,1n1n1n,, n,1nnn,(1)sin发散，即原级数条件收敛( ,nn1, nnn,,,11ee,(1)1,,,,,,,,,,(8)(由于数列与是等价无穷小量，而单，，11,,,,,,,,,,,nnnnnn,,,,,,,,,,1,n,, nnn,,,(1)111,,,,调递减趋于0，由Leibniz判别法知原级数收敛;再考虑，，,，11,,,,,,nnnn,,,,n1n1,, n11,,1，,,nn,,1,(1)1nn,,,,,e由于lim，而发散，因而级数发散，即原级数条件，1,,,,n,,1nnn,1n,,n1, n 收敛( n,(,1)(9)( (p,0),1pn1,n，n n,1(,1)11p,1当时，由于对任意，都有，而级数收敛，故原,,n,pp11nnppn,1n，n，nn级数绝对收敛( n,1(,1)110,p,1当时，由于,,对一切成立，而级数发散，n,11n，1n，1ppn,1n，n，nn n,1(1),由比较判别法知，级数发散;另一方面，考虑函数f(x),，由于当充x,11pp,n1，x，nxn ,, ,,1,,,f(x),0分大时，因而数列单调递减趋于0，由Leibniz判别法知原级数收敛，,,1p,,n，,,n,, 因而原级数条件收敛( 0,p,1p,1综上可知，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛( n,(,1)(10)( (p,0),pnn2,,,n，(,1) n,(,1)111p,1当时，由于，而收敛，故原,,,ppppnn(n,1)(n,1)n,2,,,,n，(,1)n，(,1) 级数绝对收敛( n,(,1)110,p,1当时，由于，而发散，由比较判别法知，,,pppn(n，1)(n，1)n,2,,n，(,1) n,(,1)发散;另一方面，当时，由Taylor公式知: 级数x,0,pnn2,,,n，(,1) ,,(,1),22， (1，x),1，,x，x，？,1，,x，O(x)2 从而 ,pnnnn，，(,1)(,1)(,1)(,1),,1， ,,pppnnnn,,n，(,1)，，，，(,1)pn1，,,n，， nnn，，p,,,(1)(1)1(1)1,,,,pOO， ,,，,,，1,,,,,,p2pp，1p，2nnnnnn,,,,，， n,,,(,1)p1,由Leibniz判别法知收敛，又由于都收敛，故原级数收敛(因而,,,pp，1p，2nnn,n2nn,2,2 0,p,1原级数当时条件收敛( 0,p,1p,1综上可知，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛( n,(,1)(11)( ,1p，n1,nn n,1(1)11,p,1当时，由于，而级数收敛，故原级数绝对收敛( ,,,p11p，，ppnnn,1nnnn n,1(1)1111,0,p,1当时，由于，而级数发散，因而,,,,,111n，，，pp1n2nnn,1nnnnnnn nnnn,,(,1)(1)(1)1,,(,1)级数发散;另一方面，由于，而级数收敛，数列,,,,p11pnp，，npn,nn1n1,nnnn n,,,1(,1)单调上升且有界，由Abel判别法知原级数收敛(所以原级数条件收敛( ,,,1np，nn1,,,nn nn(,1)11(,1)p,0当时，，因而通项的极限，由,,,1(n,,)lim,0111nn,,，，ppp，nnnnnnn 级数收敛的必要条件知原级数发散( 0,p,1p,0p,1综上可知，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散( n2n,x2sinn1,,(1)(12)( ,nn1, 2n2n2sinxx2sin2,n1nlimu,lim,2sinxu,,级数通项(1)，由于，所以当nnnn,,n,,nn n2n,x,,2sin2n1,2sinx,1，即时，级数收敛，从而k,,x,k，(k,Z),(1),,,n44n1, ,1,,2n12sinx,1(,1)原级数绝对收敛;当，即时，原级数变为，x,k,(k,Z),,n4,n1 3,,2n2sinx,1显然条件收敛;当，即时，由于，k，,x,k，(k,Z)limu,1,,nn,,44 2nn2sinx,,,1u,,,1故可选取，使，当充分大时，有，即，即u,,,nnn limu,0，由级数收敛的必要条件知，原级数发散( nn,, ,,,综上可知，原级数在时绝对收敛，在时条件收敛，k,,x,k，x,k,,,,4443,,在时发散，其中k,Z( k，,x,k，,,44 n,,,x,,,lima,a,0(13)( ,n,,,,na1,nn,, xxn由于，所以当时，原级数绝对收敛;当时，原级x,ax,aulim,lim,nnn,,,,aan npa,nlima,a,1,0数发散;当时，级数可能收敛，也可能发散，例如令，则，x,ann,,nn,,,,a1,,p,1p,1但级数当时收敛，时发散( ,,,p,,pnnn1n1,,n,, ,nn，n(,1)r(r,0)(14)( ,n1, 11，nn由于limu,limr,r，所以当时，原级数绝对收敛;当r,1时，级0,r,1nnn,,,, ,n(,1)r,1数通项的极限不为0，故原级数发散;当时，级数变成，显然发散( ,,n1 1n，x,,(n1)!，,,nn,xux1n1，,,,,,,1n，lim,lim,lim1,x,(15)n(由于，!,,,,,nnnn,,,,,,un1e，n,,,,xn1,n,,n!,,n,, x,ex,ex,e因而当时原级数绝对收敛;当时，原级数发散;当时，此时级数变为 nn,,ne!!nen,(1)或，这两个级数不能用达朗贝尔判别法判别，但由斯特林公式知: ,,nnnn,1nn1, n,n,,12n， n!,2,ne(0,,,1),,e,, n,n,,n12n,2nee,,,nn!ee,,12n因而,,2,ne,2,n，通项的极限不为0，由级数收敛的nnnn nn,,!!nenen(,1)必要条件知和都发散( ,,nnnn,1,nn1 x,ex,e综上可知，原级数当时绝对收敛，当时发散( n,，，,(1)p,0(16)，其中( ，ln1,,,pnn1,，， nnn,,,(,1)(1)(1)1,,,,,,p,1ln1,当时，由Taylor公式知，由于级数绝，,，,,,pppp,,nnnn,n1,,,, 对收敛，因而原级数绝对收敛( nn,,1,,(1)(1)11,,,,当时，由Taylor公式知，又因为级,p,1，,,，ln1,,,pp2p2p,,2nnnn2,,,, n,,(,1)1数条件收敛，收敛，从而原级数条件收敛( ,,2ppn2n,,1n1n 1mp,1,(m，1)p当时，令是满足的任一正整数(显然)，这时根0,p,m,2m2 据Taylor公式有: nn3nmn,,,,,,(1)(1)1(1)1(1)1,,m,1,, O，,,，,，,，ln1？(1),,pp2p3pmp(m，1)p,,mnnnnnn23,,,, n3n,,,,(1)(1),,？由于在上式中所有奇数项构成的级数均条件收敛，而所有偶数项构,,p3pn3n,,n1n1 ,,11,,？成的级数均发散，故原级数发散( ,,24ppnn2411n,n, 11p,1综上，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛，当0,p,时发散( ,p,122 n,(,1)(17)(由于 ,pn1,n1,,,n，(,1) ,p1nnnn,,,,,,,(1)(1)(1)(1),,， ,,，1ppp,,1n,1n,n，，,,,,n，,(1),,,(1)2n,,n，1,,,,n,,，，根据Taylor公式知， ,p,,nn,1nn,1n,,,,,,p,,,,,(1)(1)(1)(1)1(1)1,,,,,,p,,， ，,,，,,,，，11,,pppn，1n，1,,,,,,nnn,,,,,,,,22222nnnnn,, n,,p,(1)p,2,1,p,2因此，当时，由于级数均绝对收敛，故原级数绝对收敛;当,,pp，1n1n1,,22nn n,,(,1)p0,p,1时，由于级数条件收敛，绝对收敛，故原级数条件收敛;当时，,,pp，1n1n,1,22nn n,,(,1)pp,0由于级数条件收敛，发散，故原级数发散;当时，原级数通项的极,,p，1pn,1n1,22nn 限不是0，故原级数发散( p,21,p,2p,1综上，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散( n,sin,4p,1p,0(18)(显然当时级数绝对收敛，当时级数发散，故以下,npn1,，sin,n4 0,p,1只考虑的情形(将通项化为 1,nnnnn,,，，sin,sin,sin,sin,sin,,,,,1,,44444,,,，,,， O11,,,,2pppppnnnnnn,,p,,,,，nsin,,,,,,,，，4 nn2sin,sin,1,,44,,，O. ,,p2p3pnnn,, 12p,1当，即时，由于上式中第二、三项组成的级数均绝对收敛，而对于级,p,12 nsin,,n1k,,4,sin，由于数列单调下降趋于0，且部分和数列有界，由Dirichlet数,,,,ppn4n,,nk,1,1 判别法知它是收敛的(另一方面，由于 nnnn2sinsin1coscos,,,,,,,,,,14422， ,,,,,,,,,pppppnn2n2n2nn1n1n1n1n1,,,,, nncos,sin,,,,1124而且级数发散，收敛，故级数发散(综上可知，当,p,1,,,ppp2n2n2nn,1n,1n,1 nsin,,4时，级数条件收敛，因而原级数也条件收敛( ,pnn,1 10,p,当时，仿照(16)小题方法知级数发散( 2 11p,1综上可知，原级数当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散( ,p,1p,223(利用Cauchy收敛原理判别下列级数的敛散性: n2a，aq，aq，？，aq，？,q,1,a,A(n,0,1,2,？)(1); nn012 11111(2)( 1，,，，,，？23456 n解(1)由于，故，由极限的定义知，对，存在，q,1,,,0N,0,n,Nmilq,0n,, q1,n，1，q,时，都有，对于时，都有 ||,,n,N,,p,ZA n，1n，2n，pu，u，？，u,aq，aq，？，aq n，1n，2n，pn，1n，2n，p n，1n，2n，p,aq，aq，？，aq n，1n，2n，p n，1n，2n，pn，1n，2,A，，，，|q|，|q|，？，|q|,A|q|，|q|，？ n，1qAq||1,||,A,,,,, . qqA,,1||1|| 因而由Cauchy收敛原理知原级数收敛( 1n,3N,N,p,3N,n(2)取，对任意，取，这时 N,,,006 u，u，？，u,u，u，？，u n，1n，2n，p3N，13N，23N，3N 111111,,,, ,，,，，,，？,,,,3N，13N，23N，33N，43N，53N，6,,,, 111,, ，，,,,3N，3N,23N，3N,13N，3N,, 111111,,,,,，,，，,，？ ,,,,3N，13N，23N，33N，43N，53N，6,,,, 111,,，，, ,,6N,26N,16N,, 111,，， 3N，13N，46N,2 111,，， 3(N，1)3(N，2)3(N，N) 111111N,,,，，,,,,,， ,,0312326N，N，N，NN,, 11111由Cauchy收敛原理知级数发散( 1，,，，,，？23456 ,,2a(a,0)a4(求证:若级数收敛，则级数收敛(但反之不成立，请举出例,,nnnn,11n, 子( , alima,0证明 由于级数收敛，故，从而当充分大时，又由于，a,1a,0n,nnnnn,,n,1 ,22a，因此当充分大时，由比较判别法知级数收敛( 故a,a,a,a0,a,1n,nnnnnnn,1 ,,111反之不成立，如令，则级数收敛，但发散( a,,,n2nnn,1,1nn,,bnablim,15(若级数收敛，且，问是否能判断出也收敛,研究例子 ,,nnn,,an,1n,1n n(,1)1aba,,,，( nnnnn n,,(,1)1aba,,,，ba解 不能断定也收敛(如果令，则显然收敛，又,,nnnnnnnn,1n,1 nn,,,1(,1)1(,1)1ba,，,，b，由收敛，发散知发散(但此时有 ,,,nnnnnnnn,,1n,1n1n n,,b(,1)n,,， lim,lim1，,1,,,,,,nnan,,n ,, bb因此由已知条件不能断定也收敛(事实上，也不能断定发散，例如在题设下，,,nnn,1n,1 ,bnblim,1取，则，但收敛( b,a,nnnn,,an,1n ,, a(A)b(B)6(证明:若级数及都收敛，且，则级数a,c,b(n,1,2,？),,nnnnnn1n1,, , c(C)(A)(B)(C)也收敛(若级数与都发散，问级数的收敛性如何, ,nn1, ,, ab,,,0,，Nn,N证明 由于级数与均收敛，故由Cauchy收敛原理知，当,,nnn,1n,1 ，时，对，有 ,p,Z a，a，？，a,b，b，？，b,,,，， n，1n，2n，pn，1n，2n，p 从而，，再由已知条件知 ,,,a，a，？，ab，b，？，b,,n，1n，2n，pn，1n，2n，p ,,,a，a，？，a,c，c，？，c,b，b，？，b,,n，1n，2n，pn，1n，2n，pn，1n，2n，p c，c，？，c,,(C)即，由Cauchy收敛原理知级数收敛( n，1n，2n，p ,, (A)(B)(C)(,1)1若级数与都发散时，级数可能收敛，也可能发散(如级数与都,,,,1n1n ,,110发散，对一切，均有，但级数发散，而收敛( ,1,,1,,1,0,1n,,nn,1,1nn ,,,aaannn7(证明:若收敛，则当时，也收敛(若发散，则当x,xx,x,,,00xxx00nnn,1,1n,1nn,an时， 也发散( ,xnn,1 ,,,,aaaa1,,nnnn证明 若收敛，当时，，由于级数收敛，x,x,,,,,,0,,xxxxxx,0000nnnnn,1,1nnn1n1,,,, ,a1,,n而数列单调有界，由Abel判别法知级数也收敛( ,,,xx,x0nn,,n,1 ,,,aaannn若发散，假设时收敛，则由第一步已证结论知，级数也收x,x,,,0xxx00nnn,1,1n,1nn ,an敛，矛盾～故当时，也发散( x,x,0xnn,1 ,, n(a,a)a8(求证:若数列有极限，收敛，则也收敛( ,,na,,nn,1nnn,1n,1 n,n,*S,aaS,k(a,a)n(a,a)证明 设是的部分和，是级数,,,,nknnkk,1nn,1,1,1n,1kn,1k ,***n(a,a),,S的部分和，由于收敛，故数列收敛，设，由于 limS,s,nn,1nn,,nn,1 n*S,k(a,a) ,nkk,1,1k ,(a,a)，2(a,a)，3(a,a)，？，n(a,a)102132nn,1 ,,a,a,a,？,a，na012n,1n ， ,,S,a，nan,10n ***所以S,na,a,S，从而，limS,limna,a,limS,limna,a,s,,n1n0nnnnn100,,,,,,,,nnnn ,, aalimnamilS存在，故也存在，即的部分和数列有极限，因而级数收敛( 由于,,nnnn,1n,,n,,n,1n,1 ,,, (a,a)bab9(求证:若绝对收敛，收敛，则收敛( ,,,nnn,1nnn,1n1n,1, , (a,a)证明 由于绝对收敛，因而它收敛，设是它的部分和，则S,a,aS,nn,1nn0nn1, lima有极限，即存在，故数列有界，设a,M(n,1,2,？)( {a}nnnn,, ,, (a,a)b,,,0,，N再根据绝对收敛和收敛，由Cauchy收敛原理知，，,,nnn,1n,1n1, n，pn，p，a,a,,当时，对，有及(因而 n,N,p,Zb,,,1kk,,k1k,n，1k,n， n，p ab,ab，ab，？，ab,kkn，1n，1n，2n，2n，pn，pk,n，1 ,ab，,,(a,a)，ab，？ n，1n，1n，2n，1n，1n，2 ,,，(a,a)，(a,a)，？，(a,a)，ab n，pn，p,1n，p,1n，p,2n，2n，1n，1n，p n，pn，p ,ab，(a,a)b，？，(a,a)b,,n，1kn，2n，1kn，pn，p,1n，pk,n，1k,n，2 n，pn，p ,ab，a,ab，？，a,ab,,n，1kn，2n，1kn，pn，p,1n，pk,n，1k,n，2 n，p,,,, ,，，,，，,,，,M,aa,？aa,,Maa,2111n，n，n，pn，p,kk,,,2k,n，,, ,,(M，,)， , ab由Cauchy收敛原理知级数收敛( ,nnn,1 ,,22ab10(求证:若级数和都收敛，则级数 ,,nnn,1n,1 ,,,an2ab(a，b)，， ,,nnnn,nn,1n1,n,1 也收敛( 22,,a，b22nnabab,证明 这里每个级数都是正项级数，由于，而与均收,,nnnn2n,1n,1 , ab敛，因而收敛;又因为 ,nnn,1 22a，b2222222nn()22a，b,a，ab，b,a，b，ab,a，b，， nnnnnnnnnnnn2,,,a1111,,22n2(a，b)a因而也收敛;最后，由于，而 与,,,，aa,,,,,nnnnn22nnn2nn,1,1n1n,,, ,an都收敛，由比较判别法知，级数也收敛( ,nn,1 ,,,xn,,11(设正项数列单调上升且有界，求证:收敛( ,,x1,,n,,xn1,n1，,, limx,a证明 由于正项数列单调上升且有界，故由单调有界原理知其收敛，设，,,xnn,,n,,,,x1n,,级数xx，由于 ,,,1(),,n1n，,,xxn1n1,,n1n1,,，， n lim(x,x),lim(x,x),a,x， ,k，1kn，111n,,n,,k,1 ,,,,,,x1n,,(x,x)故级数收敛，又单调有界，故由Able判别法知级数收1,,,,，n1n,,,xxn1,n1,n，1n1,,，,, 敛( n S,a12(对数列，,,，定义，，求证: ,,b,b,b,ba,nknnkk，1k,1k ,, ,bab(1)如果有界，收敛，且，则收敛，且有 ,,Sb,0(n,,),,nnnnnn1,n,1 ,, ab,,S,b. ,,nnnnn1n1,, ,,, a,bab(2)如果与都收敛，则收敛( ,,,nnnnn1,n,1n,1 证明(1)由于有界，故存在，使得对一切自然数，有S,M( M,0,,Snnn ,，,b对，由收敛知，存在，当时，对，有 ,,,0,p,ZN,0n,N,n11n1, n，p,,b,， (*) ,k4M1k,n， limb,0又由知，存在，当时，有 N,0n,Nn22n,, ,b. (**) ,n4M ，取，则，，(*)与(**)都成立，此时应用Able变,n,N,p,ZN,max{N,N}12 换可得 ，，,npnp1 ab,(S,S)(b,b)，b(S,S),,，，，kkknkk1npnpn,，,，kn1kn1 n，p,1 ,S,S,b，bS,S ,knkn，pn，pnk,n，1 1n，p, ,2M,b，2Mb ,kn，p1k,n， ,,， ,2M，2M,,4M4M , ab由Cauchy收敛原理知收敛(又由Abel变换得 ,nnn,1 nnn,1,1 ab,S(b,b)，bS,,S,b，bS， ,,,kkkkknnkknn，1kkk,1,1,1 ,, ab,,S,b，lim(bS)两端同时取极限得，再由已知条件有界及,,S,,nnnnnnnn,,n1n1,, ,, ab,,S,blimb,0lim(bS),0可得，因而( ,,nnnnnnnn,,n,,n1n1,, ,，a(2)由于收敛，故其部分和数列有界，即存在，都有,,SM,0,,n,Z,nn1n,1 ,n, ,b,b,,,b,b,b(又由收敛知，也收敛，故其部分和数列S,M,,,nnkn，11nn1,n1k,1,n1 ，极限存在，即数列极限存在，因而有界，即存在，有b,M( ,,,,bbM,0,,n,Zn2nn2 ，,n,Z取，则，S,M和b,M同时成立( M,max{M,M}nn12 ,, a,b对，由于，都收敛，由Cauchy收敛原理知，存在，当,,,0N,0n,N,,nnn1,n,1 ，时，对，有 ,p,Z n，pn，p,,aSS，， b,,,,,,,kn，pnk2M4M11k,n，k,n， 故由Able变换，可得 ，，,npnp1 ab,(S,S)(b,b)，b(S,S),,，，，kkknkk1npnpn,，,，kn1kn1 n，p,1 ,S,S,b，bS,S ,knkn，pn，pnk,n，1 n，p,1 ,2M,b，MS,S ,kn，pnk,n，1 ,,， ,2M，M,,4M2M , ab由 Cauchy收敛原理可知，级数收敛( ,nnn,1 ,,an(a,a)limna,013(设收敛，且，求证收敛，并且 ,,nnn，1nn,,n,1n,1 ,, n(a,a),a. ,,nn1n，n1n1,,,, an(a,a)lim,,s证明 由收敛知，其部分和数列极限存在，令(设,,,,,nnn，1nnn,,n,1n,1 的部分和为，则 Sn nn S,k(a,a),a,na,,,(n，1)a，a. ,,nkk，1kn，1nn，1n，1k,1k,1 , n(a,a),slim,,s,limna,0,lima,0由于，故对上式两端取极限得，,nnnnn，1，1n,,n,,n,,n,1 ,,,, n(a,a)a,sn(a,a),a即收敛且，因此( ,,,,nn1nnn，1n，n1n1n,1n,1,,14(下列是非题，对的请给予证明，错的请举出反例: (1)若，则收敛; a,a，a,a，a,a，？a,0n1122332)若，则收敛; (a,a，a,a，a,a，？a,0n112233 ,,na(,1)a(3)若收敛，则收敛; ,,nnn,1n,1 ,,23aa(4)若收敛，则绝对收敛; ,,nnn,1n,1 , a(5)若发散，则不趋于0; a,nnn,1 ,, aab(6)若收敛，，则收敛; b,1,,nnnnn,1n,1 ,, aab(7)若收敛，，则收敛; b,1,,nnnnn,1n,1 ,,2aa(8)若收敛，则收敛; ,,nnn,1n,1 , alimna,0(9)若收敛，，则( a,0,nnnn,,n,1 1,1，1,1，1,1，？答(1)错误(如，但发散( a,1,0n (2)正确(设级数的部分和级数为，则，故,,S,0,S,a,0(n,,)Sn2n2n，12n，1 数列收敛于0，因而原级数收敛( ,,Sn nn,,,(,1)(1)1,n(,1),(3)错误(如收敛，但发散( ,,,nnn,,,n1n1n1 ,22alima,0(4)正确(由于收敛，故，从而，由数列极限定义知，lima,0,nnnn,,n,,n,1 322存在，时，都有，故当时，有，由比较a,1N,0,n,Nn,Na,aa,annnnn ,,33aa判别法知收敛，因而绝对收敛( ,,nnn,1n,1 ,11(5)错误(例如发散，但( lim,0,n,,nn,1n nn,(,1)(,1),b,1，aa(6)错误(例如令，则收敛，令，则，但b,1,nnnnnnn,1 nnnn,,,,,,,,,,,,,(1)(1)(1)1(1)1,,,,ab却发散( ,，,，,，1,,,,,nn,,,,nnnnnnn1n1n1n1n1,,,,,,,,, ,，a(7)正确(对,,,0，由收敛知，存在，，都有 ,n,N,,p,ZN,0,n11n,1 a，a，？，a,,， n，1n，2n，p b,1,,b,1，,又由知，存在，时，都有，从而( b,1N,0,n,Nnnn22 ，取，则时，都有 ,n,N,,p,ZN,max{N,N}12 ab，ab，？，ab,ab，ab，？，ab n，1n，1n，2n，2n，pn，pn，1n，1n，2n，2n，pn，p ，，,a，a，？，a(1，),(1，),,,， n，1n，2n，p, ab故收敛( ,nnn,1 2nn,,,,,(,1)(,1)1,,,(8)错误(如收敛，但却发散( ,,,,,nnn,n1n,1n,1,,(9)错误(反例如本章第3节习题9( p,115(求下列极限(其中): ,,111,,lim？(1)，，，; ppp,,n,,(n1)(n2)(2n)，，,, ,,111,,(2)，，，( lim？n，1n，22n,,n,,ppp,, ,1p,1解(1)考虑级数，由于，故其收敛，由Cauchy收敛原理知，，,,,0,pnn,1 ，存在，时，都有 N,0,n,N,,q,Z 111， ？，，，,,ppp(n1)(n2)(nq)，，， 特别地，取，则上式变为 q,n 111， ？，，，,,ppp(n1)(n2)(2n)，， ,,111,,因此( ？lim，，，,0ppp,,n,,nnn(，1)(，2)(2),, ,1p,1(2)考虑级数收敛，由于，故其收敛，由Cauchy收敛原理知，，,,,0,np,1n ，存在，时，都有 N,0,n,N,,q,Z 111， ，，？，,,n，1n，2n，qppp 特别地，取，则上式变为 q,n 111， ，，，,,？n，1n，22nppp ,,111,,？因此( lim，，，,0n，1n，22n,,n,,ppp,, , alimna,016(若正项级数收敛，，求证:( a,a(n,1,2,？),nnn，1nn,,n,1 ,,,a,,,0证明 由于级数收敛，故对，都存在，当时，(又N,0n,Na,,n,11k2n,11k,N，1 根据已知条件知 ,,()， n,Na,a，a，？，a,a，a，？，a，？,a,,11212nN，N，nN，N，nk111121k,N，1 ,lima,0所以当时，na,Na，(又由于，故存在，当时，有n,Nn,NNnn1n122n,,2 ,,an,N(取，则当时，有 N,max{N,N}n122N1 ,,,naNaN， ,，,，,,11nnN2221 limna,0即( nn,, ?5 无穷级数与代数运算 ,, aa1(不用cauchy准则，求证:如果收敛，则也收敛( ,,nnn,1n,1证法1 设 a，aa,a，,nnnn,a,a,， nn22 ,,，,，0,a,a,0,,a,aaa由于，且收敛，故由比较判别法知，级数,,nnnnnnn,1n,1 ,,,,,，,(,a)aaa,a，a和均收敛，从而也收敛(又由于，所以亦收敛( ,,,nnnnnnn1,n,1n,1 ,1a0,b,a证法2 设，则，由于收敛，根据比较，，b,a，a,n,1,2,？,nnnnnn2n,1 ,, baa,2b,a,n,1,2,？判别法知，级数收敛，而，所以级数收敛( ,,nnnnnn,1n,1 , a2(设收敛，求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛，且具有相同的和数( ,nn,1 , alimS,s证明 由于收敛，则其部分和数列为有极限，设(又设将级数,,S,nnn,,nn,1 ,, ab相邻奇偶项交换后所成的级数为，其部分和数列为，则 ,,,,,nnnn,1n,1 ，， ,,S,s(n,,),,S,a，a,s(n,,)2n2n2n，12n，12n，12n，2 , blim,,s所以，即级数收敛，且具有相同的和数( ,nnn,,n,1 ,n1,(,1)3(求证:由级数重排所得的级数 ,n,n1 111111，,，，,，？ 32574发散( ,n1,(,1)111111，,，，,，？证明 级数的重排为，考虑它的一个加,n32574,n1 括号后的级数: ,,,,,,11111111， (*) ,1，,,，,，,,，？，,，,,，？,,,,,,325744n,34n,12n,,,,,, 111，,对于通项，由于 4n,34n,12n 111111112,11，,,，,,,,， 4n,34n,12n4n4n2nn2n2n ,1又因为发散，根据正项级数的比较判别法知，级数(*)发散，从而级数 ,nn,1 111111，,，，,，？ 32574也发散(否则若其收敛，则它加括号后得到的级数(*)也收敛，矛盾( , a4(证明:若条件收敛，则可把级数重排，使新级数部分和数列有一个子数列趋,nn,1 向于，有一子数列趋向( ，,,, ,a，aa,a，,nnnn,aa,a,证明 设，由于条件收敛，故只能有,nnn22n,1,,，,a,，,a,,,，而且，故可重排级数如下: ,,nnn1n1,, ,，aSS,1,S,1在中依顺序取项，使其和刚好大于等于1，(即);然后n,nnnn,11111n,1 ,,a,2S依次在中取足够多的项，使其与前面已取出的项的和相加刚好小于等于，n,nn11n,1 ,，aS,,2,S,,2设此时一共取出了项，则;回过头来，依次在中剩下的项中n,nnn,1222n,1 S取足够多的项，使其与的和刚好大于等于3，设此时一共取出了项，则nn32 ,,a;再取剩下的项，…，依次类推( S,3,S,3,nnn,133n,1 n,,, abS,bb这样便得到的一个重排，记为，其部分和，由级数的取,,,,nnnnkn,1n,1,1kn,1 limS,，,,limS,,,法可以看出，从而命题得证( nn2k，12k,,,,kk 11limr,05(已知，是 Euler常数，，求证: H,1，，？，,c，lnn，rcnnnn,,2n 111111(1); ，，？，,lnm，c，rm242m222 111(2)若把级数的各项重排，而使依次个正项的一组与依次个负p1,，,，？q234 1pln2，ln项的一组相交替，则新级数的和为( 2q 111111,,，，？，,1，，？，证明(1) ,,242m22m,, 1111. ,(lnm，c，r),lnm，c，rmm2222(2)由于重排后依次个正项的一组与依次个负项的一组相交替，设这个新级数为pq , u,n,，k(p，q)k,n,(p，q)(k，1)，并设其部分和数列为，由于对，使得(因,,S,nnn,1 而 S,u，u，？，un12n ，，,,,,11111,,,, ,1，，？，,，，？，,,,,,,32p,1242q,,,,，， ，，,,,,1111,,,, ，，？，,，？，，？,,,,,,2p，14p,12q，24q,,,,，， ，，,,,,1111,,,, ，，？，,，？，,,,,,,2p(k,1)，12pk,12q(k,1)，22qk,,,,，， ，，1， ，，，？un,,，2pk1，， 由于上式最后一项满足 ,,11111,,，(*) ,，，,，，u,，，？？？n,,2qk，22q(k，1)2pk，12pk，12p(k，1),1,, 先考虑不等式(*)的右端可以得到 ,,,,11111 ,,,,1？？S,，，，,，，，n,,,,32(1)1242pk，,qk,,,, ,,1111 ,,,1，，，？，，,,232p(k，1),12p(k，1),, ,,,,111111 ,,,,,，，？，,，，？，,,,,242p(k，1)242qk,,,, 11，，，， ,c，ln2p(k，1)，r,lnp(k，1)，c，r,lnqk，c，r2p(k，1)p(k，1)qk22 111ln2ln(1)ln(1)ln，， ,，pk，,pk，,qk，r,r，r2p(k，1)p(k，1)qk222 1(1)1pk，，，ln2ln,，，r,r，r， 2p(k，1)p(k，1)qk22qk (p，q)k,n,(p，q)(k，1)由于，故当时，因而在上式两端取极限得: k,,n,, ,,pkp1(，1)11， S,r，，rr,lim,limln2，ln，,，,ln2，lnn2p(k，1)p(k，1)qk,,n,,k,,qkq222,, 同理再考虑不等式(*)的左端得到 ,,,,11111,,,, S,1，，，,，，，？？n,,,,32pk,1242q(k，1),,,, ,,,,1111111,,,, ,1，，，？，，,，，？，,,,,232pk,12pk242pk,,,, ,,111p， ,,,，，？，,ln2，ln(k,,),,242q(k，1)q,, p1limS,ln2，ln因而由两边夹原理知，结论得证( n,,nq2 ，n1,(,1)6(求证:级数的平方(Cauchy乘积)是收敛的( ,n,n1 n1，,(,1)s,证明 记，则它的Cauchy乘积亦是级数，且 ,nn1, 2n，1,,,(,1)1111111111,,,,2,,s1？1？,,,，,，,，,,，,，,，， ,,,,,,,n2345623456,,,,n,1,, 将上式右端展开并分行写成如下形式: 2,s 1111,，,，？234 1111,，,，,？22，22，32，4 1111，,，,，？33，23，33，4 1111,，,，,？44，24，34，4 ？？？？？？ 上式右端按照对角线排列，可以写成 n1,,，，12n， s(1),,,,,,k(nk),n2k1,,，， 这是一个交错级数( ,n,1n112n,,c,s,(,1)cc,令，则，且，下证数c,0,,,nnn，1nk(n,k)k(n，1,k)n2,,1k,1k列单调递减趋于0( {c}n ?)先证数列单调递减(由于 {c}n n,1n11c,c,, ,,nn，1k(n,k)k(n，1,k),1,1kk 1111111,，，？，,,,？,,1,(n,1)2,(n,2)(n,1),11,n2,(n,1)(n,1),2n ,,,,1111111,,,,,, ,,，,，？，,,,,,,,,n,1n2(n,2)2(n,1)n,1(n,1),2n,,,,,, 1111,，，？，, 1,n,(n,1)2,(n,1),(n,2)(n,1),2,1n 1111,，，？，, (n,1)n(n,1)(n,1)(n,1)(n,2)(n,1),2,1n ,,11111,, ,，，？，,,,n,1n(n,1)(n,1)(n,2)2,1n,, 1111111,,,1,，,，？，,, ,,n,1223n,1nn,, 111,,,1,,,0， ,,n,1nn,, 因而，故数列单调递减( c,c,0{c}nn，1n ?)再证数列趋于0(将变形为 {c}cnn n,1n,1n,1n,1n,1,,111111121,, c,,，,，,,,,,,,,,,nknknknknknknk,,,(),,,,k,1k,1k,1k,1k,1 211121111,,,,,1，，，？，,1，，，？，，， ,,,,n23n,1n23n,1n,,,, 1,,,0由于当趋向于无穷时，数列，所以该数列前项的算术平均数构成的新数列nn,,n,, 1111,,1，，，？，,0(n,,)limc,0，又，故( c,0,,nnn,,n23n,, ,2n,,s,(,1)c由于是交错级数，且由??知数列单调递减趋于0，由Leibniz{c},nnn2, ，n1,(,1)2s判别法知收敛，即级数的平方(Cauchy乘积)是收敛的，结论得证( ,n,n1 n,xxx，yxy,ee,e,e7(令，求证. ,n!,n0 n，n1,xuxnx!n，1，由于对，有，证明 对级数,x,Rlim,lim,,mil,0,nn,,n,,n,,n!unnx(，1)!，1,0nn n,x故级数对一切绝对收敛(因而 x,n!,0n nnini,n,,,,,,,,,xyxyxy,,,,,,ee1 ,,,,，,,,,,,,,,,n!n!i!(ni)!,n0n0n10i,,,,,,,,,, nn,,,,1!1n,,iniiini,, 1,,1xycxy,，,，,,,,,,n,,!!()!!nin,inn10in10i,,,,,,,, ,,11,,,,nnx，y,1，(x，y),(x，y),e， ,,,,,,n!n!,,,,10n,n, 因此结论成立( 8(证明:若级数的项加括号后所成的级数收敛，并且在同一个括号内项的符号相同， n,,,(,1)那么去掉括号后，此级数亦收敛;并由此考察级数的收敛性( ,nn1, 证明 先证结论的第一部分( ,, vu，该级数的项加括号后所成的级数为，则可将此级数写成如下设原级数为,,nnn,1n,1形式: , u,(v，v，？v)，(v，v，？，v)，？，(v，v，？，v)，？ ,n12nn，1n，2nn，1n，2n1112k,1k,1kn,1 ,u，u，？，u，？12k 其中. v，v，？，v,u,k,1,2,？n，1n，2nkk,1k,1k ,, uv的括号去掉，得原级数，并设原级数的部分和为，对于任意，将级数Sn,,nnnn,1n,1 由于存在和，使得，且由知，当且仅当n,n,nn,，,(k,，,)nnn,，,kk，1kk，1k ，故 k,，, ,,S,(v，v，？v)，？，(v，v，？，v)，(v，v，？，v) n12nn，1n，2nn，1n，2n1k,1k,1kkk ,u，u，？，u，(v，v，？，v)， 12kn，1n，2nkk 由于加括号后同一个括号内项的符号相同，因而v,v,？,v的符号是相同的( n，1n，2nkk 若v,v,？,v的符号均为正，则;u，u，？，u,S,u，u，？，u，un，1n，2n12kn12kk，1kk 若v,v,？,v的符号均为负，则(不u，u，？，u，u,S,u，u，？，un，1n，2n12kk，1n12kkk 妨假设 ， u，u，？，u,S,u，u，？，u，u12kn12kk，1由于当且仅当k,，,，故在上式两端取极限得: n,，, ,, u,lim(u，u，？，u),limS,lim(u，u，？，u，u),u， ,,n12kn12kk1n，knk,,,,,,n1n1,, , limS,u因而由两边夹原理知，因而原级数收敛( ,nnn,,n1, n,,,(,1)下面考察级数的收敛性( ,nn1, 2222给该级数加括号，使第共计项包含在第个括号2k，1kk,k，1,k，2,？,(k，1),1 k内，则该括号内项的符号均与同号，这项的和为: 2k，1(,1) 令，，111kk， (,1)，，？，,(,1)ck,,222kk，1(k，1),1，， ,111k(,1)cc,，，？，,0故加括号后的级数为，其中，从而级数,kk222kk，1(k，1),1n1, ,2k，12k，1k(,1)climc,0,c,是交错级数，又由于，两端取极限得，因而如,kkk22k,,(k，1)kn1, n,,,(,1)果能证明数列单调递减，则由Leibniz判别法及本题第一步结论知级数收{c},knn1, 敛( 111c,，，，？下证数列单调递减，由于，故 {c}k，1k222(k，1)(k，1)，1(k，2),1，，，，111111cc,,，，？，,，，？，kk，1,,,,222222kk1(k1)1(k1)(k1)1(k2)1，，,，，，，,，，，，,,,,,,111111,,,,,, ？,,，,，，,222222,,,,,,kkkkkk(，1)，1(，1)，1(，1),1(，2),3,,,,,, 11,, 22(k，2),2(k，2),1 2k，12k，12k，1 ,，，？，222222,,,,,,k(k，1)(k，1)(k，1)，1(k，1),1,(k，2),3 11,, 22(k，2),2(k，2),1 ，，111 k？,(2，1)，，，,,222222,,,,,,kkkkkk(，1)(，1)(，1)，1(，1),1,(，2),3，， 11,, 22(k，2),2(k，2),1 ，，2k，12 ,(2k，1),,,222,,,,(k，1),1,(k，2),3(k，2),2，， 2(2k，1)2 ,,222,,,,(k，1),1,(k，2),3(k，2),2 22(2k，1)22k,4k,3， ,,,,0(k,3)22222(k，2),2,,,,(k，2),2(k，2),2 limc,0因而数列从第三项开始单调递减，又由于，根据Leibniz判别法知，原级数{c}kkk,, n,,,(,1)加括号后的级数收敛，根据本题第一步结论知级数收敛( ,nn1, ----------------下面是赠送的excel操作练习 不需要的下载后可以编辑删除 (Excel 2003部分) 1. 公式和函数 1. (1)打开当前 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 目录下文件excel-10.xls; ,2,利用函数计算每个人各阶段总成绩～并利用函数计算各阶段的平均成绩, ,3,“平均成绩”行数字格式都为带一位小数,例如0.0,格式, ,4,同名存盘。 步骤: a) 文件?在各阶段总成绩单元格内～点插入～点函数～在对话框中选择求和函数“SUM”～在对话中Number1内点右侧的按钮～将出现另外一个对话框～在文件中选择需要求和的单元格～然后点该对话框的右侧按钮～点确定,完成一个总成绩求和后～利用填充柄完成其他的总成绩求和～或者重复上面的顺序,?在平均成绩单元格内～点插入～点函数～选择算术平均值函数AVERAGE～出现对话框后～采用求和时的相同方法～完成操作?选中平均成绩行～点右键点设臵单元格～点数字～在分类项下点数值～设小数位为1～ b) 确定?保存 2. (1)打开当前试题目录下文件excel-13.xls; ,2,根据工作表中给定数据～按“合计=交通费+住宿费+补助”公式计算“合计”数～并计算交通费、住宿费和补助的合计数, ,3,所有数字以单元格格式中货币类的“,”货币符号、小数点后2位数表现,如:,2,115.00格式,, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-13.xls?在合计下的一个单元格内输入“=交通费,在该行的单元格～假如说是E3,+住宿费,同上,+补助,同上,”～回车,其他的合计可以采用填充柄完成～或者重复上面的顺序,?利用求和函数～参考1中的方法完成交通费、住宿费和补助的合计?选择文件中的所有数字单元格～点右键～点设臵单元格格式～点数字～点货币～选择货币符号为“,”～设臵小数点后为2位～确定?保存文件?本题完成 3. (1)打开当前试题目录下文件excel-2.xls; ,2,根据工作表中数据～计算“总成绩”列的数据。总成绩=一阶段成绩×0.3+二阶段成绩×0.3+三阶段成绩×0.4, ,3,“总成绩”列数据格式为小数点后2位小数,例:6.20,, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-2.xls?在总成绩下的一个单元格内输入“=一阶段成绩,在该行的单元格～假如说是E3,*0.3+住宿费,同上,*0.3+补助,同上,*0.4”～回车,其他的合计可以采用填充柄完成～或者重复上面的顺序,?选中总成绩列的数据单元格～点右键～点设臵单元格格式～点数字～点数值～设臵小数点后为2位～确定?保存文件?本题完成 4. (1)打开当前试题目录下文件excel-3.xls; ,2,计算“审定费”和“税后款”～“审定费=全书字数?1000×3～税后款=审定费-审定费×5%”, ,3,利用菜单将“审定费”和“税后款”列格式设臵为货币类的“,”货币符号、小数点1位,例,1,280.0,, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-3.xls?在审定费下的一个单元格内输入“=全书字数,在该行的单元格～假如说是E3,/1000*3”～回车,其他的审定费可以采用填充柄完成～或者重复上面的顺序,?在税后款下的一个单元格内输入“=审定费,在该行的单元格～假如说是F3,-审定费*5%”～回车,其他的税后款可以采用填充柄完成～或者重复上面的顺序,?选中审定费及税后款列的数据单元格～点右键～点设臵单元格格式～点货币～选择货币符号“,”～设臵小数点后为1位～确定?保存文件?本题完成 5. (1)打开当前试题目录下文件excel-8.xls; ,2,利用函数计算“总成绩”～利用公式“平均成绩=总成绩?3”来计算“平均成绩”, ,3,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-8.xls?在总成绩下的一个单元格～点插入～点函数～在对话框中选求和函数“SUM”～在对话中Number1内点右侧的按钮～将出现另外一个对话框～在文件中选择需要求和的单元格～然后点该对话框的右侧按钮～点确定,完成一个总成绩求和后～利用填充柄完成其他的总成绩求和～或者重复上面的顺序?在平均成绩下的一个单元格内～输入“=平均成绩,在该行的单元格～假如说是B3,/3”～回车,其他平均成绩可以采用填充柄完成～或者重复上面的顺序,?保存文件?本题完成 6. (1)打开当前试题目录下文件excel-1.xls; ,2,利用公式计算每个项目的“合计”, ,3,“合计”列数据的格式和其它数据的格式相同, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-1.xls?在合计下的一个单元格～点插入～点函数～在对话框中选求和函数“SUM”～在对话中Number1内点右侧的按钮～将出现另外一个对话框～在文件中选择需要求和的单元格～然后点该对话框的右侧按钮～点确定,完成一个总成绩求和后～利用填充柄完成其他的总成绩求和～或者重复上面的顺序?利用格式刷将合计的列的数据格式刷成与其他数据格式相同的格式,使用格式刷的方法是～先选中合计列外的其他任意一个单元格～点格式刷～然后再点需要刷成该样格式的单元格即可,?保存文件?本题完成 7. (1)打开当前试题目录下文件excel-6.xls; ,2,计算出“净资产收益率”～净资产收益率=净利润?净资产总额, ,3,“净资产收益率”行以保留三位小数的百分数形式表现,如:32.310%,, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-6.xls?在净资产收益率下的一个单元格～输入“=净利润,在该行的单元格～假如说是B3,/净资产总额”～回车,完成一个单元格后～可以利用填充柄完成其他的单元格的操作～或者重复上面的顺序,?选中净资产收益率列下的数据单元格～点右键～点设臵单元格格式～点数字～单百分比～将小数位数设为3位～确定?保存文件?本题完成 8. (1)打开当前试题目录下文件excel-7.xls; ,2,分别利用函数计算出“总成绩”、“平均成绩”, ,3,平均成绩设臵带两位小数格式,例如:78.00,, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下的excel-7.xls文件?在总成绩对应的单元格内～点插入～点函数～在对话框中选择求和函数“SUM”～在对话中Number1内点右侧的按钮～将出现另外一个对话框～在文件中选择需要求和的单元格～然后点该对话框的右侧按钮～点确定,如果有多个总成绩项～完成一个总成绩求和后～利用填充柄完成其他的总成绩求和～或者重复上面的顺序,?在平均成绩对应的单元格内～点插入～点函数～选择算术平均值函数AVERAGE～出现对话框后～采用求和时的相同方法～完成操作?选中平均成绩对应的单元格～点右键～点设臵单 元格～点数字～点数值～设小数位为2～确定?保存文件?本题完成 9. (1)打开当前试题目录下文件excel-16.xls; ,2,计算出“全套优惠价”～公式为:全套优惠价裸机价+入网费-送话费, ,3,所有数字都以单元格格式中货币类的“,”货币符号、小数点后1位小数表现,如:,1,450.00,, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-16.xls?在全套优惠价对应的单元格～输入“=全套优惠价裸机价,在该行的单元格～假如说是B3,+入网费,同上,-送话费”～回车,如果有多个全套优惠价项～可以利用填充柄完成～也可以重复上面的顺序,?选中所有的数字单元格～点右键～点设臵单元格格式～点数字～点货币～选择货币符号为“,”～设小数位为2位～确定?保存文件?本题完成 10. (1)打开当前试题目录下文件excel-71.xls; ,2,利用函数计算奖金项的值～公式是“满工作量为40～满工作量的奖金为800元～工作量不足的奖金为600元”, ,3,利用公式计算实发工资项的值～公式是“实发工资为基本工资加奖金～再减去住房基金和保险费”, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-71.xls?选中奖金项下的一个单元格～点插入～点函数～点IF函数～在对话框中～第一个条件格式内输入“该行工作量项下的单元格,比如是E3,>=40,即E3>=40,”～在true内输入800～在false内输入600～确定,其余行可以采用填充柄完成～或重复上述的顺序,?选择实发工资项下的一个单元格～输入“=基本工资,在该行的单元格名,+奖金,同上,-住房基金,同上,-保险费,同上,”～确认,回车,,其余单元格采用填充柄完成～或重复上述顺序,?保存文件?本题完成 11. If函数的应用:根据教师工作表教师职称确定其职务津贴 练习Excel2003P140:Excel2003电子 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 的编辑操作 2. 排序 3. (1)打开当前试题目录下文件excel-24.xls; ,2,在B4单元格内键入数字“45637”, ,3,表格所有数字格式为带1位小数格式,如:23456.0,, ,4,将Sheet1的所有内容复制到工作表Sheet2的相应单元格内～并以“电器”为关键字～对四个季度所有数据递减排序, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-24.xls?点B4单元格～输入“45637”?选中表格内的所有数字格式～点右键～点设臵单元格格式～点数字～设小数位为1～确定?全选SHEET1,即当前的文件,～点复制～点开SHEET2～点当前页面的左上角的单元格～点粘贴?点“电器”单元格～点表格～点排序～主要关键字下选择电器～点降序～确定?保存文件?本题完成 4. (1)打开当前试题目录下文件excel-29.xls; ,2,根据工作表中数据～在B4单元格内键入数据“2580”, ,3,表格数字数据设臵为“0,000.0”的格式, ,4,以“1997年”为关键字～对不同规格所有相应数据进行递减排序, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-29.xls?点B4单元格～输入“2580”?选中表格内的所有数字格式～点右键～点设臵单元格格式～点数值～设小数位为1～点使用千分分隔符为有效～确定?点“1997年”单元格～点表格～点排序～主要关键字下选择1997～点降序～确定?保存文件?本题完成 5. (1)打开当前试题目录下文件excel-33.xls; ,2,根据工作表中数据～在E4单元格内键入数据“商务出版社”, ,3,将SHEET1所有内容复制到工作表SHEET2的相应位臵～并以“单价”为关键字～递减排序, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-33.xls?点E4单元格～输入“商务出版社”?全选SHEET1,即当前的文件,～点复制～点开SHEET2～点当前页面的左上角的单元格～点粘贴?点“单价”单元格～点表格～点排序～主要关键字下选择单价～点降序～确定?保存文件?本题完成 6. (1)打开当前试题目录下文件excel-23.xls; ,2,根据工作表中数据～在A4单元格内键入数据“李四”, ,3,“总成绩”列数据都设臵为带一位小数格式, ,4,将所有内容复制到SHEET2工作表中相应单元格～并以“总成绩”为关键字递增排序, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-23.xls?点A4单元格～输入“李四”?选中总成绩列的全部数据～点右键～点设臵单元格格式～点数字～点数值～设小数位为1位～确定?全选SHEET1,即当前的文件,～点复制～点开SHEET2～点当前页面的左上角的单元格～点粘贴?点“总成绩”单元格～点表格～点排序～主要关键字下选择总成绩～点升序～确定?保存文件?本题完成 7. (1)打开当前试题目录下文件excel-36.xls; ,2,根据工作表中数据～在A4单元格内键入数据“狮子座”, ,3,A4单元格数据格式与该列其它相应数据格式保持一致, ,4,将SHEET1的所有内容复制到SHEET2中～并以“赤纬,度,”为关键字～递减排序, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-36.xls?点A4单元格～输入“狮子座”?选中A4单元格所在列的其他单元格～点格式刷～点A4单元格?全选SHEET1,即当前的文件,～点复制～点开SHEET2～点当前页面的左上角的单元格～点粘贴?点“赤纬,度,”单元格～点表格～点排序～主要关键字下选择赤纬,度,～点降序～确定?保存文件?本题完成 8. (1)打开当前试题目录下文件excel-21.xls; ,2,根据工作表中数据～在B5单元格内键入数据2719840, ,3,B列、C列数字都以单元格格式中货币类的“,”货币符号、小数点后2位小数表现,如:,3,200,000.00”,, ,4,将所有内容拷贝到SHEET2中相应位臵～并按关键字“增长率”递减排序, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-21.xls?点B5单元格～输入“2719840”?选中B、C列下的数字,单元格,～点右键～点设臵单元格格式～点数字～点货币～设货币符号为“,”～设小数点位为2位～采用千分隔符～确定?全选SHEET1,即当前的文件,～点复制～点开SHEET2～点当前页面的左上角的单元格～点粘贴?点“增长率”单元格～点表格～点排序～主要关键字下选择增长率～点降序～确定?保存文件?本题完成 9. (1)打开当前试题目录下文件excel-30.xls; ,2,根据工作表中数据～在C4单元格内键入数据“3650”, ,3,所有数字所在格式为0,000.0格式, ,4,将SHEET1的所有内容复制到SHEET2相应单元格并以“木材”为关键字～递减排序, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-30.xls?点C4单元格～输入“3650”?选中所有数字单元格～点右键～点设臵单元格格式～点数字～点数值～设小数位为1位～采用千分隔符～确定?全选SHEET1,即当前的文件,～点复制～点开SHEET2～点当前页面的左上角的单元格～点粘贴?点“木材”单元格～点表格～点排序～主要关键字下选择增长率～点降序～确定?保存文件?本题完成 10. (1)打开当前试题目录下文件excel-27.xls; ,2,根据工作表中数据～在B3单元格内键入数据“1000×2000×15”, ,3,设臵报价列数据带1位小数格式, ,4,将所有内容复制到工作表SHEET2的相应位臵～并以“报价”为关键字～递减排序, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-27.xls?点B3单元格～输入“1000×2000×15”?选中报价列下的数字单元格～点右键～点设臵单元格格式～点数字～点数值～设小数位为1位～确定?全选SHEET1,即当前的文件,～点复制～点开SHEET2～点当前页面的左上角的单元格～点粘贴?点“报价”单元格～点表格～点排序～主要关键字下选择报价～点降序～确定?保存文件?本题完成 11. (1)打开当前试题目录下文件excel-22.xls; ,2,根据工作表中数据～在E8单元格内键入数据40115.7, ,3,“房价款,元,”列数字都以单元格格式中货币类的“,”货币符号、小数点后2位小数表现,如:,44,886.20,, ,4,将所有内容拷贝到SHEET2中的相应单元格内～并按关键字“房价款”递增排序, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-22.xls?点E8单元格～输入“40115.7”?选中“房价,元,”列下的数字单元格～点右键～点设臵单元格格式～点数字～点货币～设货币符号为“,”～设小数位为2位～确定?全选SHEET1,即当前的文件,～点复制～点开SHEET2～点当前页面的左上角的单元格～点粘贴?点“房价款”单元格～点表格～点排序～主要关键字下选择房价款～点升序～确定?保存文件?本题完成 12. 图表 13. (1)打开当前试题目录下文件excel-47.xls; ,2,根据工作表中数据～建立折线图, ,3,生成图表的作用数据区域是A2:A6和E2:E6～数据系列产生在列～使用前一列为分类,X,轴坐标刻度标志～使用前一行作为图例说明, ,4,图表标题为“消费水平调查表”, ,5,生成新图表工作表,不是在原工作表中嵌入,～图表工作表的名称为“图表1”, ,6,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-47.xls?点插入～点图表～在 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 类型下～点折线图～选择一种折线图～点下一步～点数据区域右侧的按钮～出现另外一个对话框～在工作表中选择“A2:A6”数据区域～点对话框右侧的按钮～返回到数据区域对话框～选择系列产生在列～点下一步～点标题～图表标题内输入“消费水平调查表”～点下一步～选择“作为新工作表插入,即第一个选择,”～名称为“图表1”～确定?保存文件?本题完成 14. (1)打开当前试题目录下文件excel-56.xls; ,2,根据工作表中数据～建立数据点折线图, ,3,生成图表的作用数据区域是A2:E4～数据系列产生在“行”, ,4,图表标题为“净利润”～图例不显示～数据标志显示类别名称, ,5,生成新图表工作表存于原工作表中, ,6,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-56.xls?点插入～点图表～在标准类型下～点折线图～选择数据点折线图～点下一步～点数据区域右侧的按钮～出现另外一个对话框～在工作表中选择“A2:E4”数据区域～点对话框右侧的按钮～返回到数据区域对话框～选择系列产生在行～点下一步～点标题～图表标题内输入“净利润”～点图例～选择显示图例～点数据标志～选择类别名称为有效～点下一步～选择“作为其中的对象插入,即第二个选择,”～名称为默认的设臵～确定?保存文件?本题完成 15. (1)打开当前试题目录下文件excel-43.xls; ,2,根据工作表中数据～建立数据点折线图, ,3,生成图表的作用数据区域是A3:B7～数据系列产生在列～使用前一列为分类,X,轴 坐标刻度线标志,使用前一行作为图例说明, ,4,图表标题为“销售额统计表”, ,5,生成新图表工作表,不是在原工作表中嵌入,～图表工作表的名称为“图表1”, ,6,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-43.xls?点插入～点图表～在标准类型下～点折线图～选择数据点折线图～点下一步～点数据区域右侧的按钮～出现另外一个对话框～在工作表中选择“A3:B7”数据区域～点对话框右侧的按钮～返回到数据区域对话框～选择系列产生在列～点下一步～点标题～图表标题内输入“销售额统计表”～点下一步～选择“作为新工作表插入,即第一个选择,”～名称为图表1～确定?保存文件?本题完成 16. (1)打开当前试题目录下文件excel-49.xls; ,2,根据工作表中数据～建立簇状柱形图, ,3,生成图表的作用数据区域是A2:A5和F2:F5～数据系列产生在列～使用前一列为分类,X,轴坐标刻度标志～使用前一行作为图例说明, ,4,图表标题为“总成绩图”, ,5,生成新图表工作表,不是在原工作表中嵌入,～图表工作表的名称为“图表1”, ,6,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-49.xls?点插入～点图表～在标准类型下～点柱形图～选择簇状柱形图～点下一步～点数据区域右侧的按钮～出现另外一个对话框～在工作表中选择“A2:A5”数据区域～点对话框右侧的按钮～返回到数据区域对话框～选择系列产生在列～点下一步～点标题～图表标题内输入“总成绩图”～点下一步～选择“作为新工作表插入,即第一个选择,”～名称为图表1～确定?保存文件?本题完成 17. (1)打开当前试题目录下文件excel-41.xls; ,2,根据工作表中数据～建立簇状条形图, ,3,生成图表的作用数据区域是A2:C6～数据系列产生在列～使用前一列为分类,X,轴坐标刻度标志～使用前一行作为图例说明, ,4,图表标题为“家电销售情况图”, ,5,生成新图表工作表,不是在原工作表中嵌入,～图表工作表的名称为“图表1”, ,6,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-41.xls?点插入～点图表～在标准类型下～点条形图～选择簇状条形图～点下一步～点数据区域右侧的按钮～出现另外一个对话框～在工作表中选择“A2:C6”数据区域～点对话框右侧的按钮～返回到数据区域对话框～选择系列产生在列～点下一步～点标题～图表标题内输入“家电销售情况图”～点下一步～选择“作为新工作表插入,即第一个选择,”～名称为图表1～确定?保存文件?本题完成 18. (1)打开当前试题目录下文件excel-51.xls; ,2,根据工作表中数据～建立折线图, ,3,生成图表的作用数据区域是A2:E5～数据系列产生在行～使用销售类型作为图例说明, ,4,图表标题为“计算机市场销售额”, ,5,生成新图表工作表,不是在原工作表中嵌入,～图表工作表的名称为“图表1”, ,6,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-51.xls?点插入～点图表～在标准类型下～点折线图～选择其中的一种折线图～点下一步～点数据区域右侧的按钮～出现另外一个对话框～在工作表中选择“A2:E5”数据区域～点对话框右侧的按钮～返回到数据区域对话框～选择系列产生在行～点下一步～点标题～图表标题内输入“计算机市场销售额”～点下一步～选择“作为新工作表插入,即第一个选择,”～名称为图表1～确定?保存文件?本题完成 19. (1)打开当前试题目录下文件excel-46.xls; ,2,根据工作表中数据～建立簇状柱形图, ,3,生成图表的作用数据区域是A2:E5～数据系列产生在列～使用前一列为分类,X,轴坐标刻度标志～使用前一行作为图例说明, ,4,图表标题为“企业财务指标”, ,5,生成新图表工作表,不是在原工作表中嵌入,～图表工作表的名称为“图表1”, ,6,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-46.xls?点插入～点图表～在标准类型下～点柱形图～选择簇状柱形图～点下一步～点数据区域右侧的按钮～出现另外一个对话框～在工作表中选择“A2:E5”数据区域～点对话框右侧的按钮～返回到数据区域对话框～选择系列产生在列～点下一步～点标题～图表标题内输入“企业财务指标”～点下一步～选择“作为新工作表插入,即第一个选择,”～名称为图表1～确定?保存文件?本题完成 20. (1)打开当前试题目录下文件excel-53.xls; ,2,根据工作表中数据～建立三维簇状柱形图, ,3,生成图表的作用数据区域是A2:B5～数据系列产生在“行”, ,4,图表标题为“2000年净资产收益率”～图例在底部显示, ,5,生成新图表工作表存于原工作表中, ,6,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-53.xls?点插入～点图表～在标准类型下～点柱形图～选择三维簇状柱形图～点下一步～点数据区域右侧的按钮～出现另外一个对话框～在工作表中选择“A2:B5”数据区域～点对话框右侧的按钮～返回到数据区域对话框～选择系列产生在行～点下一步～点标题～图表标题内输入“2000年净资产收益率”～点图例～选择在底部显示～点下一步～“作为其中的对象插入,即第二个选择,”～名称为默认的设臵～确定?保存文件?本题完成 21. 工作表 22. (1)打开当前试题目录下文件excel-62.xls; ,2,对“财务指标”复制新工作表“指标2”～移至工作表SHEET3前, ,3,将工作表名“SHEET2”标签设为红色, ,4,设臵工作表“SHEET3”的显示比例为125%, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-62.xls?点“财务指标”工作表名～点右键～点移动或复制工作表～在“下列工作表之前”项下选择SHEET3～选择建立副本～确定?右键点击“财务指标,2,”～点重命名～将名称改为“指标2”～确认,回车,?右键点工作表名“SHEET2”～点工作表标签颜色～点红色～点确定?点开工作表“SHEET3”～点视图～点显示比例～设比例为“125%”,在自定义内输入,～确定?保存文件?本题完成 23. (1)打开当前试题目录下文件excel-61.xls; ,2,对“彩色图表”复制新工作表“复制图表”～移至最后, ,3,设臵新表“复制图表”的显示比例为50%, ,4,把表“彩色图表”的A3:E7范围内的底色设为无, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-61.xls?点“彩色图表”工作表名～点右键～点移动或复制工作表～在“下列工作表之前”项下选择移到最后～选择建立副本～确定?右键点击“彩色图表,2,”～点重命名～将名称改为“复制图表”～确认,回车,～点视图～点显示比例～设比例为50%～确定?点开“彩色图表”工作表～选择A3:E7单元格～点右键～点设臵单元格格式～点图案～设颜色为无～确定?保存文件?本题完成 24. (1)打开当前试题目录下文件excel-66.xls; ,2,将“2001年”和“2002年”工作表隐藏, ,3,将“2002年,2,”工作表标签改为“2003年”, ,4,设臵工作表“SHEET3”的显示比例为125%, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-66.xls?点开“2001年”工作表～点格式～点工作表～点隐 藏～对“2002年”工作表进行与“2001年”工作表同样的操作?右键点击“2002年,2,”～点重命名～将名称改为“2003年”～确认,回车,～点视图～点显示比例～设比例为125%,在自定义输入,～确定?保存文件?本题完成 25. (1)打开当前试题目录下文件excel-64.xls; ,2,对工作表“一季度部门信息”进行复制～生成“三季度部门信息”～并移至最后, ,3,将工作表名“一季度部门信息”移动为第一个工作表,移动到最左边,, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-64.xls?点“一季度部门信息”工作表名～点右键～点移动或复制工作表～在“下列工作表之前”项下选择移到最后～选择建立副本～确定?右键点击“一季度部门信息,2,”～点重命名～将名称改为“三季度部门信息”～确认,回车,?鼠标点中“一季度部门信息”工作表名～将其拖到最左边,为第一个工作表,?保存文件?本题完成 26. 格式 27. (1)打开当前试题目录下文件excel-78.xls; ,2,在B6单元格中输入日期“2004-3-24”～显示格式为“2004年3月24日”, ,3,将A1:C1区域进行单元格合并且文字垂直水平居中, ,4,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-78.xls?点B6单元格～输入“2004-3-24”～确认,回车,～右键点击B6单元格～点设臵单元格格式～点数字～点日期～选择“***年**月**日”格式～确定?选中A1:C1区域～点右键～点对齐～在水平对齐下选择居中～在垂直对齐下选择居中～选择合并单元格为有效～确定?保存文件?本题完成 28. (1)打开当前试题目录下文件excel-73.xls; ,2,将A列格式设臵为文本～从A3往下输入数据“01、02、03、04”, ,3,销售额列数据设臵自定义格式“0,000.00, ,4,在单元格B5输入日期数据“2004-3-23”～单元格数值格式为自定义格式:yyyy年m月d日, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-73.xls?选中A列单元格～点右键～点设臵单元格格式～点数字～点文本～确定～由A3单元格开始～往下～依次输入01、02、03、04?选中销售额列数据单元格～点右键～点设臵单元格格式～点数字～点数值～设小数为2位～设使用千位分隔符为有效～确定?点B5单元格～输入“2004-3-23”～点设臵单元格格式～点数字～点日期～选择“***年**月**日”格式～确定?保存文件?本题完成 29. 打印区域 30. (1)打开当前试题目录下文件excel-76.xls; ,2,对B9:D9区域单元格数据进行设臵:黑体、加粗、黄色字, ,3,隐藏A列, ,4,设臵打印区域为B8:D13数据区, ,5,同名存盘。 打开当前试题目录下文件excel-76.xls?选中B9:D9区域单元格～点右键～点设臵单元格格式～点字体～字体设为黑体～字形设为加粗～字体颜色设黄色～确定?选中A列～点格式～点列～点隐藏?选中B8:D13数据区～点文件～点打印区域～点设臵打印区域?保存文件?本题完成 31. 高级筛选 32. 根据要求在A65:B67区域建立高级筛选条件区域进行高级筛选，将结果显示 在以A69为左上角起始位置的区域; 提示: 阅读教材高级筛选P135的步骤说明 数据?筛选?高级筛选?将筛选结果复制到…位臵?选择列表区域、条件区域. 33. 对象 34. 在Excel中对某区域内文本进行90度翻转 选择A3:F11区域单元格-右键-设臵单元格格式-对齐-方向-90 35. 转置 36. Excel表格的行列转置 期末复习指导册:P31